专题06 双曲线与方程 （5大题型）（期中真题汇编 陕西专用） 高二数学上学期

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题06 双曲线与方程(5大题型) ☆5大高频考点概览 考点01双曲线的定义 考点02双曲线的方程 考点03双曲线的离心率 考点04直线与双曲线 考点05双曲线综合性问题 目目 考点01 双曲线的定义 1.(24-25高二上陕西榆林第十二中学期中)已知F1、F2是平面内两个不同的定点，则 MF1一|MF2|为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2425高二上陕西汉中普通高中十校联盟，期中)双曲线号-名=1上一点P到该双曲线 的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是() A.13 B.15 C.1,13 D.1,15 3.2425高二上陕西师范大学附属中学期中)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2,若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1=3∠PF1F2, 则C的离心率的取值范围为() A.（2,2) B.（V5,2) c.(1,V5] D.(1,2] 4.(23-24高二上陕西西安铁一中学期中)已知焦点为F1F2的双曲线C的离心率为√5，点 P为C上一点，且满足2PF1=3PF2,若△PF1PF2的面积为2V5,则双曲线C的实轴 长为() A.2 B.V2 c.号 D.2W2 5.(2425高二上陕西渭南韩城期中)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-号=1的左、右焦 点，P是C上位于第一象限的一点，且P户·PF2=0,则() 1/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.|PF1-|PF2=2 B.1PF2+|PF22=20 C.IPF1·|PF2=8 D.|PF1=2 6.23-24高二上陕西宝鸡长岭中学期中)已知双曲线C:等-斧=1(b>0)的左、右焦 点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上的动点，过点P作两渐近线的垂线，垂足分别为A, B若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切，则下列说法正确的是() 3 A.双曲线的渐近线方程为y=士号x B.双曲线C的离心率e=29 C.当点P异于双曲线C的顶点时，△PFF2的内切圆的圆心总在直线x=√5上 D.IPA·PB引为定值 7.(23-24高二上陕西西安长安区第一中学期中已知点M(1,2),点P是双曲线C: 号-6=1左支上的动点，F2为其右焦点，N是圆D:(x+5)2+y2=1上的动点，直线 0P交双曲线右支于Q点(0为坐标原点)，则() A.过点M作与双曲线C有一个公共点的直线恰有4条 B.1PM1-|PN的最小值为6-25 C.若△DPF2的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为2 D.过点Q作x轴的垂线，垂足为H(H与Q不重合)，连接PH并交双曲线右支于点T, 则k子Q十k昂Q≥等(kTQ为直线TQ斜率，kpQ为直线PQ斜率) 8.2425高二上陕西汉中普通高中十校联盟期中)设R1,F2分别是双曲线：号-若=1 的左、右焦点，点P是的右支上的一点，且∠PF2F1=60°，则|PF1=一 9.(19-20高二上陕西汉中洋县第一中学期中)圆0的半径为定长r,A是圆0所在平面上与 P不重合的一个定点，P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线1和直线OP相交于点Q, 当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是 ①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点 10.(Q7-18高二上陕西师范大学附属中学期中)已知双曲线C:等-谷=1(a>0,b>0)过 P(-V巨，-V③，Q(年，V2)两点，F、F2分别是它的左、右两个焦点，且M在此双曲 2/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 线上，若∠FMF2=120°，则△F1MF的面积为 目目 考点02 双曲线的方程 11.(20-21高二上陕西西安长安区第一中学期中设6是三角形的一个内角，且 sin9+cos9=专，则方程品十品 =1所表示的曲线为() A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在V轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 12.(19-20高二下陕西商洛商丹高新学校期中)无论6为何值，方程x2+2sin6·y2=1所 示的曲线必不是() A.双曲线 B.抛物线 C.椭圆 D.以上都不对 13.(19-20高二上陕西延安黄陵中学高新部期中)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点 的坐标为 A.(- ,0B.-，0 D.(-5,0) 14.(2425高二上陕西榆林期中)已知关于x,y的方程器一器=1表示的曲线是B,则 曲线E可能是() A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 15.已知曲线C:mx2-y2=1,下列说法正确的是() A.若mn>0,则C为双曲线 B.若m>0且m+n<0,则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0,n<0,则C不可能表示圆 D.若m>0,n>0,则C为两条直线 16.(24-25高二上陕西师范大学附属中学期中)已知cE(0,π)，方程x2+y2c0sa=1表 示的曲线可以是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.两条直线 17.Q425高二上陕西渭南大荔县坡郊中学期中)已知双曲线C的方程为器一广器=1， 则m的取值范围为 18.(223高二上陕西榆林府谷中学月考)若方程，器+品=1表示双曲线，则实数m 3/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的取值范围是」 19.(18-19高二陕西滑南合阳县期末)双曲线的方程+=1，则k的取值范围 是 目目 考点03 双曲线的离心率 20.2425高二上陕西咸阳期末)已知双曲线C经过点(0，V5),离心率为2， 则双曲线 C的标准方程为() A.x2-号=1 B.等-y2=1 C.y2-号=1 D.号-x2=1 21.(24-25高二上陕西西安第八十五中学月考)已知圆C:x2+y2-10y+21=0与双曲 线器-器=1(a>0,b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是() A.V2 B.3 c. D.5 22.2425高二上陕西汉中普通高中十校联盟期未已知双曲线分-器=1(b>0)的离 心率为2 ,则该双曲线的渐近线方程为() A.y=士青xB.y=±3x c.y=±3x D.y=士9x 23.2425高二上陕西安康期末)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的左，右焦点 分别为FF2,第一象限内的点P在C上，且|PF2l=|F1F2=引PF1,则C的离心率为 () A.哥 B. c. D.3 24.(2425高二上陕西榆林期末)若圆C:x2+(y-25)2=4与双曲线 E:等-器=1(a>0,b>0)的海近线相切，则E的离心率为() A.2 B.V3 c.22 D.2W5 25.(24-25高二上陕西西安陕西师范大学附属中学·月考)己知M是双曲线 等-=1(a>0,b>0)左支上的-个点，F1,F2是双曲线的左、右焦点，MR11MP2 4/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ,且sin∠MF1F2:sin∠MF,F1=2:1,则双曲线的离心率为() A.万 B.5 c.5 D.2 26.Q425高二上陕西宝鸡金台区期末已知双曲线等-号=1(a>0)的两条渐近线的 夹角为亏，则双曲线的离心率可能为() A.9 B.9 c.5 D.2 27.2425高二上山西三晋卓越联盟)已知P1,F2是双曲线C:x2-行=1(b>0)的左、 右焦点，过F,的直线交C的右支于A,B两点，若|AF1=2AF2,∠AF1F2=∠FBF2 ,则(). A.C的离心率为2 B.|AB|=8 C.△AF1F,的面积为4 D.△BFF2的周长为18 28.(24-25高二上陕西西安铁一中学·月考)下列结论正确的是() A.经过(3,2)的等轴双曲线的两个焦点坐标为（√10,0）和(-√10,0)】 B.双曲线器-写=1与y2-号=1有相同的渐近线和离心率 C.抛物线y=2x2的焦点坐标为(0，言)】 D.若直线的方向向量为=(1,0,3)，平面α的法向量立=（-2,0，号)，则直线 1//a 29.(54-25高二上·陕西西安铁一中学期末)已知F1F2分别为双曲线 C:等-器=1(a>0,b>0)的左，右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左支交于R,Q两 点，记△PF1F2的内切圆半径为m,△QF1F2的内切圆半径为n,若mn=3a2,则双曲 线C的离心率为 30.(2425高二上陕西滑南华州区成林中学)过双曲线等-斧=1(b>a>0)的左焦点 F1(一C,0)(c>0)作圆x2+y2=等的切线，切点为E,延长F1E交双曲线右支于点P.若 E是F1P的中点，则双曲线的离心率为 31.(24-25高二上陕西渭南韩城期中)已知F1,F2分别是双曲线 C:等-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点P2且斜率为2的直线与C的一条渐近线 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在第四象限相交于点M,四边形MF1NF2为平行四边形.若直线NF的斜率 k∈[-号，一号]，则c的离心率的取值范围为 目目 考点04 直线与双曲线 32.2425高二上陕西西安交通大学附属中学月考)已知双曲线C:警-发=1(a>0), 过右焦点F的直线1与双曲线C交于AB两点.且AB=16,这样的直线有4条，则实数a 的取值范围是() A.（最，64)B.(,64) c.(0,) D.(0,64) 33.(2-23高二上陕西西安鄂邑区·期末)双曲线的标准方程为x2-号=1，则下列说法正 确的是() A.该曲线两顶点的距离为2√3 B.该曲线与双曲线y2-等=1有相同的渐近线 C.该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1 D.该曲线与直线1：y=V5x-2有两个公共点 34.(21-22高二上陕西宝鸡长岭中学)双曲线号-号=1的被点P(2,1)平分的弦所在的直 线方程为() A.8x-9y=7B.8x+9y=25C.4x+9y=6 D.不存在 35.21-22高二上陕西西安长安区第一中学)已知F是双曲线C:x2-若=1的右焦点，P是 C左支上一点，A(0,6V6),当△APF周长最小时，该三角形的面积为() A.3V2 B.3V5 c.66 D.12V6 36.(24-25高二上陕西榆林期中)已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线， 经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上 任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角已知F1、F2分别为双曲线C:等-号=1 的左、右焦点，过C右支上一点A(Xoy,)(xo>2)作双曲线C的切线交x轴于点M,交 y轴于点N,则() 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.双曲线C的离心率为号 B.直线MN的方程为4xox-5yy=20 C.过点F1作FH⊥AM,垂足为H,O为原点，则OH|=2 D.四边形AF1NF,面积的最小值为6 37.24-25高二上陕西渭南富平县進山中学月考)设F为双曲线C:号-号=1的焦点，0 为坐标原点，若圆心为(0，m),半径为2的圆交C的右支于A,B两点，则(). A.C的离心率为V2 B.10A2+10B12=6 C.|0A+I0B|≤4 D.|FA2+|FB|2≥16-8V3 38.(23-24高二上陕西西安西北工业大学附属中学期末)已知双曲线C:x2一号=1的左、 右焦点分别为FF2,右顶点为E,过F的直线1交双曲线C的右支于A,B两点，与两条 渐近线交于点P,Q(其中点A,点P在第一象限内)，设M,N分别为△AF1F2与 △BFF2的内心，则() A.点M的横坐标为2 B.当FA⊥AB时，|AF1=1+V7 C.PA=BQ D.ME·NE为定值 39.2425高二上陕西西安新城区西安中学月考)双曲线器-号=1与直线 1:y=-x+m(m∈R)的公共点个数： 40.23-24高二上陕西宝鸡金台区期末)已知双曲线号-器=1与直线y=等相交于M、N 两点，且M、N两点的纵坐标之积为一专，则该双曲线的离心率为 41.2425高二上陕西滑南韩城期中)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的左、右 顶点分别为A,B,商近线方程为y=±号x,1AB1=4,直线1：y=x十m与C的左、 右支分别交于点M,N(异于点A,B). (1)求C的方程； (②)若直线AM与直线BN的斜率之积为一星，求m的值 42.(24-25高二上陕西汉中普通高中十校联盟·期中)己知中心在原点，焦点在坐标轴上的双 曲线C过点A2,0),且其离心率为国 7/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线：kx一y一1=0与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值 43.(24-25高二上陕西西安交通大学附属中学·月考)设动点M到定点F(3,0)的距离与它到 定直线！：x=青的距离之比为号 (1)求点M的轨迹E的方程： (2)过F的直线与曲线E交右支于PQ两点(P在x轴上方)，曲线E与x轴左、右交点分别为 A,B,设直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,试判断是是否为定值，若是定值，求 出此值，若不是，请说明理由 4.(2324高二下陕西榆林神木第四中学)已知点M(3,2)在双曲线C:等-号=1 (a>1)上 (1)求双曲线C的方程： (2)是否存在过点P(3,-1)的直线1与双曲线C相交于A,B两点，且满足P是线段AB的中 点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由 45.(23-24高二上陕西渭南尚德中学·期中)已知直线1：y=kx+1与双曲线C: x2一y2=1,分别求出满足下列条件的k的值或者范围. (1)1与C没有公共点； (2)1与C有一个公共点： (3)1与C有两个公共点； 46.(23-24高二上陕西西安高新第一中学)已知双曲线C:等-器=1(a,b>0)的左、右焦 点分别为FF2,左顶点为A-2,0),点M为双曲线上一动点，且MF12+|MF22的最 小值为18，O为坐标原点。 (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，已知直线1：x=m(0<m<2与x轴交于点T,过点T的直线交双曲线C右支于 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点B,D,直线AB,AD分别交直线1于点P,Q,若tan∠APQ=tan∠QOT,求实数m 的值. 47.(23-24高二上陕西咸阳礼泉县期中)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的右 顶点为(V2,0),且双曲线C的一条渐近线恰好与直线x一y+1=0垂直， (1)求双曲线C的方程 (2)若直线：x=my+1与双曲线C的右支交于A,B两点，点F为双曲线C的右焦点， 点D在双曲线C上，且AD⊥x轴求证：直线BD过点F. 目目 考点05 双曲线综合性问题 48.(24-25高二上·陕西渭南蒲城县蒲城中学期末)已知双曲线方程9x2-16y2=144,写 出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率 49.(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d,且 l0P2=入+ud2,其中入u均为常数，动点P的轨迹称为，四曲线。 (1)判断(2，-3)曲线为何种圆锥曲线？ (2)若()，山曲线为双曲线，试问入，4应满足什么条件？ (3)设曲线C为3,4)曲线，斜率为1的直线1过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A,B两 个不同的点，求AB 50.24-25高二上陕西汉中多校期已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的右焦点 F到其渐近线的距离为1，且焦距为2√5 (1)求双曲线C的方程； (2)若点A(5,0),点P为双曲线C左支上一点，求|PA+|PF|的最小值 51.(24-25高二上陕西西安新城区西安中学月考)彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员， 它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁 的植圆形、双曲线或抛物线，它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星 引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使 得少数彗星会出现“逃逸”现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗 星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点，离心率为2的运行轨道，且彗星距离太阳的最近距 离为1. 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()若焦点的位置在x轴，求彗星“逃逸”轨道C的标准方程； (2)设直线过C的一个焦点，且与C交于AB两点，当OA.O市=0时，求AB|的值. 52.(24-25高二上·陕西西安高新第三中学月考)求满足下列条件的双曲线的标准方程： ()已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为号，且经过点M(-3,2V3): (2)渐近线方程为y=±专x,且经过点A(2,-3) 53.2425高二上陕西科技大学附属中学月考)双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)经过 点(5,2V3),一条渐近线的倾斜角为号，直线过双曲线的右焦点F,交双曲线于A,B两 点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若1过双曲线的右焦点F,是否存在x轴上的点M(m,0),使得直线绕点F无论怎样转动， 都有MA.MB=0成立？若存在，求出M(m,0)的坐标，若不存在，请说明理由 54.2425高二上陕西榆林期中)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的一个焦 点到一条渐近线的距离为1，离心率为号设直线交双曲线C的右支于A、B两点，交x轴于 点D,且线段AB的中点为M(4,1),O为原点 (1)求双曲线C的方程； (2)求直线的方程： (3)求△OAB的面积 55.(2425高二上陕西渭南大荔县城郊中学期中)求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)求关于y轴对称，与直线y=一12相交所得线段的长为12的抛物线的方程； (②)求与椭圆器+若=1有公共焦点，且离心率为的双曲线的方程。 56.(24-25高二上陕西师范大学附属中学期中)已知点A(-1,0),B(1,0),动点 M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为2记点M的轨迹为曲线C (1)求C的方程： (2)若P,Q是曲线C上两点，试判断点（一1,2）能否成为线段PQ的中点，如果可以，求出 直线PQ的方程；如果不可以，请说明理由 57.(24-25高二上陕西西安交通大学附属中学月考)己知双曲线 C:等-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为P,F2,点P在双曲线右支（且不在坐 10/11 专题06 双曲线与方程 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 双曲线的定义 考点02 双曲线的方程 考点03 双曲线的离心率 考点04 直线与双曲线 考点05 双曲线综合性问题 双曲线的定义 地 城 考点01 1．(24-25高二上·陕西榆林第十二中学·期中)已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 2．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期中)双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据双曲线定义直接可得解. 【详解】由已知双曲线，可知，， 设双曲线的两焦点分别为，， 不妨设， 则, 解得或， 又双曲线上的点到焦点的距离， 所以， 故选：A. 3．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案. 【详解】设与y轴交于点，连接，则，得到， 因为，故P点在双曲线右支上，且， 故，而， 故， 在中，，即，故， 由，且三角形内角和为， 故，则， 即，即，所以的离心率的取值范围为， 故选：A. 4．(23-24高二上·陕西西安铁一中学·期中)已知焦点为的双曲线C的离心率为，点P为C上一点，且满足，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线定义可得，，应用余弦定理及已知有，最后由三角形面积公式列方程求，即得实轴长. 【详解】设，则，故（a为双曲线参数）， 所以，，故， 而，则，则，， 所以，故， 则，故长轴长. 故选：B 5．(24-25高二上·陕西渭南韩城·期中)已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上位于第一象限的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用双曲线的定义与勾股定理得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】由题设，是双曲线与以为直径的圆在第一象限上的交点， 且，，则， 则，， 联立，解得， 故，. 故选：ABC 6．(23-24高二上·陕西宝鸡长岭中学·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 【答案】ABC 【分析】求得双曲线的渐近线方程判断选项A；求得双曲线的离心率判断选项B；求得的内切圆的圆心与直线的位置关系判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】对于选项A：双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去）， 由，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：由，则离心率，故B正确； 对于选项C：设的内切圆与轴， 分别相切于点，    由圆的切线性质知 ， 即，所以， 因此内心在直线，即直线上，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 又渐近线方程是， 则，， ，则，故D错误. 故选:ABC. 7．(23-24高二上·陕西西安长安区第一中学·期中)已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（    ） A．过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条 B．的最小值为 C．若的内切圆与圆外切，则圆的半径为 D．过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率） 【答案】AD 【分析】根据点的位置可确定与双曲线有一个公共点的直线条数判断A；根据，结合双曲线定义判断B；设，由两圆外切可构造方程求得圆的半径判断C；设直线，可求得，从而将化为，利用基本不等式可判断D. 【详解】    A：由双曲线渐近线为，点在双曲线外， 过作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点， 过作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点， 综上，过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条，对； B：由双曲线方程知，焦点为，故圆的圆心为双曲线的左焦点， 所以， ，当且仅当三点共线时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，错； C：若为焦点三角形内切圆与x轴的切点， 由双曲线定义、圆切线长定理有， 所以，故的内切圆的圆心必在上， 设，圆半径为，又圆与圆外切，则，得， 所以的内切圆半径为，错； D：设，，则，故， 所以， 又，所以， 所以，对. 故选：AD 【点睛】关键点睛：对于D，根据对称性设点坐标，应用斜率两点式求得为定值，进而得到关于所设参数的表达式为关键. 8．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期中)设，分别是双曲线的左、右焦点，点是的右支上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由双曲线的定义可得，再由余弦定理可得，两式联立即可求出. 【详解】由双曲线的方程为：， 由双曲线的定义可得：，所以，① 又因为， 所以，即，② 将①代入②可得：， 则，所以. 故答案为：. 9．(19-20高二上·陕西汉中洋县第一中学·期中)圆的半径为定长，是圆所在平面上与不重合的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是 ①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点 【答案】①②④⑤ 【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为为圆内的一定点，为上的一动点， 线段的垂直平分线交半径于点， 可得， 即动点到两定点的距离之和为定值， ①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时，点的轨迹是圆； （2）当为圆外的一定点，为上的一动点， 线段的垂直平分线交半径于点， 可得， 即动点到两定点的距离之差为定值， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹是：以为焦点的双曲线； （3）当为圆上的一定点，为上的一动点，此时点的轨迹是圆心. 综上可得：点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故答案为：①②④⑤ 【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用. 10．(17-18高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知双曲线过，两点，、分别是它的左、右两个焦点，且在此双曲线上，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】由双曲线方程可知，， ∴， 由双曲线定义有， 两边平方得①， 由余弦定理，有， ∴②， 由①②可得， ∴． 地 城 考点02 双曲线的方程 11．(20-21高二上·陕西西安长安区第一中学·期中)设是三角形的一个内角，且，则方程所表示的曲线为（    ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 【答案】C 【解析】先由题意，根据同角三角函数基本关系，判断，，再由，得到，将方程化为，即可得出结果. 【详解】因为是的一个内角，且， 又，所以，即， 即，所以，， 又，所以， 因为方程可化为， 所以，该方程表示焦点在x轴上的双曲线. 故选：C. 12．(19-20高二下·陕西商洛商丹高新学校·期中)无论为何值，方程所示的曲线必不是（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．以上都不对 【答案】B 【分析】由的范围可得的取值范围，然后对其分类可得方程所表示的曲线． 【详解】解：是任意实数， ， 当时，方程所表示的曲线是圆； 当且不等于1时，方程所表示的曲线是椭圆； 当时，方程所表示的曲线是双曲线； 当时，方程所表示的曲线是两条直线． 方程所表示的曲线一定不是抛物线． 故选：B ． 【点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题． 13．(19-20高二上·陕西延安黄陵中学高新部·期中)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为 A．(－，0) B．(－，0) C．(－，0) D．(－，0) 【答案】C 【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解 【详解】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0) 答案选C 【点睛】本题考查双曲线的标准式的化简和双曲线系数的关系式， 14．(24-25高二上·陕西榆林·期中)已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABD 【分析】根据椭圆、双曲线、圆的标准方程得出相应的的取值范围，可得ABD正确，再根据抛物线标准方程可C错误. 【详解】由椭圆标准方程可知当且时， 即且，也即时，曲线是椭圆，即A正确； 由双曲线标准方程可知当时，即时，曲线是双曲线，即B正确； 由抛物线标准方程可知，曲线不可能是抛物线，即C错误； 根据圆的标准方程可知，当，可得，此时曲线是圆，即D正确. 故选：ABD 15．已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A．若，则C为双曲线 B．若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C．若，则C不可能表示圆 D．若，则C为两条直线 【答案】AB 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C. 【详解】若，则C为双曲线，所以A正确； 若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若，当时，C是单位圆，所以C不正确； 若，则C为双曲线，所以D不正确. 故选：AB 16．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知，方程表示的曲线可以是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．两条直线 【答案】BCD 【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案. 【详解】设，故方程可表示为， 对A，要使方程表示圆，则，不合题意； 对B，当时，，方程为，此时为焦点在y轴上的椭圆，符合题意； 对C，当时，，方程为，此时为焦点在x轴上的双曲线，符合题意； 对D，当时，方程为，可得，此时为两条直线. 故选：BCD. 17．(24-25高二上·陕西渭南大荔县城郊中学·期中)已知双曲线C的方程为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程特点可得不等式，解之即得. 【详解】由双曲线方程特点知：，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 18．(22-23高二上·陕西榆林府谷中学·月考)若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程表示双曲线的条件即可求解. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 19．(18-19高二·陕西渭南合阳县·期末)双曲线的方程，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】分别讨论双曲线的焦点在x，y轴上，可得k的不等式组，解不等式可得所求范围． 【详解】双曲线的方程为， 若焦点在x轴上，可得，，解得； 若焦点在y轴上，可得，，解得． 综上可得k的范围是或． 故答案为或． 【点睛】本题考查双曲线的方程，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式的解法，属于基础题． 双曲线的离心率 地 城 考点03 20．(24-25高二上·陕西咸阳·期末)已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 21．(24-25高二上·陕西西安第八十五中学·月考)已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 又由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得， 故选：C． 22．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期末)已知双曲线 的离心率为 则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B．y=±3x C． D． 【答案】C 【分析】利用离心率公式求出的值，即可求得该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可得，故，， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 23．(24-25高二上·陕西安康·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求出，，根据双曲线定义得到关于a，c的方程，求出. 【详解】由题意得，故，， 由题意结合双曲线定义知，故. 故选：B 24．(24-25高二上·陕西榆林·期末)若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出渐近线方程，由圆心到渐近线距离等于半径，得到方程，求出. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径为2， 由对称性，圆心到渐近线的距离， 由题意得，故， 所以离心率. 故选：B 25．(24-25高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·月考)已知是双曲线左支上的一个点，，是双曲线的左、右焦点，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换得到，进而引入常数，利用勾股定理与双曲线的定义得到关于的表示，从而得解. 【详解】如图， 因为， 所以由正弦定理，得， 不妨设，则， 因为，所以， 所以，， 则双曲线的离心率. 故选：B. 26．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 【答案】AD 【分析】根据题意，求得双曲线其中一条渐近线方程为，由双曲线的两条渐近线的夹角为，得到直线的倾斜角为或，求得或，利用离心率的公式，分类讨论，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 27．(24-25高二上·山西三晋卓越联盟·)已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（    ）． A．C的离心率为2 B． C．的面积为4 D．的周长为18 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程可得，由，可得∽，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设A在第一象限，则， 由于，得，， 由于，所以∽， 故，可得，故， 而，故，由，得， 对于A，C的离心率，故A正确； 对于B，由以上分析可知，故B正确； 对于C，在中，，，， 故，故C错误； 对于D，的周长为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质定理得到比例式. 28．(24-25高二上·陕西西安铁一中学·月考)下列结论正确的是（    ） A．经过的等轴双曲线的两个焦点坐标为和 B．双曲线与有相同的渐近线和离心率 C．抛物线的焦点坐标为 D．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 【答案】AC 【分析】利用待定系数法可得双曲线方程为，即可判断A，根据渐近线以及离心率的公式即可求解B，根据抛物线的标准方程即可求解C，根据向量垂直即可判断D. 【详解】对于A，设焦点在轴上的等轴双曲线为，将代入可得，故， 设焦点在轴上的等轴双曲线为，将代入可得，无解， 故双曲线方程为，焦点为和，A正确， 对于B，的渐近线为，离心率为， 而的渐近线为，离心率为，故B错误， 对于C，抛物线的焦点坐标为，C正确， 对于D，由于，故，因此或，D错误， 故选：AC 29．(54-25高二上·陕西西安铁一中学·期末)已知分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】先根据双曲线的定义及内切圆的概念，判断与内切圆圆心在直线上，判断，表述出两内切圆的半径，根据可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设的内切圆圆心为，与各边的切点分别为，，， 根据切线长定理，可得，，， 根据双曲线的定义：， 所以 ， 又，所以， 所以点坐标为，即为双曲线的左顶点. 即在直线上. 设的内切圆圆心为，同理可得点在直线上. 根据内切圆的概念，可得、分别平分、，所以. 设，则. 因为，所以， 同理. 所以. 又，所以， 因为，所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据双曲线的概念和内切圆的定义，先判断出与的内切圆圆心在直线上. 30．(24-25高二上·陕西渭南华州区咸林中学·)过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是的中点，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设点为双曲线的右焦点，连接，由中位线的性质可得出，可求得，利用双曲线的定义求出，再结合勾股定理化简可得出该双曲线离心率的值. 【详解】设点为双曲线的右焦点，连接， 因为为中点，为中点，所以，， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，即，. 故答案为：. 31．(24-25高二上·陕西渭南韩城·期中)已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】联立的方程与渐近线方程，可得坐标，根据两点斜率公式结合平行求解的斜率，即可化简得，进而可求解离心率. 【详解】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为：    地 城 考点04 直线与双曲线 32．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 33．(22-23高二上·陕西西安鄠邑区·期末)双曲线的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．该曲线两顶点的距离为 B．该曲线与双曲线有相同的渐近线 C．该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1 D．该曲线与直线有两个公共点 【答案】C 【分析】对A、B、C：根据双曲线的方程与性质逐项分析判断；对D：联立直线与双曲线的方程求解判断交点个数，即可判断. 【详解】由双曲线的标准方程可得，且焦点在x轴上， 对A：该曲线两顶点为，则两顶点间的距离，A错误； 对B：双曲线的渐近线为， 由双曲线的标准方程可得，且焦点在y轴上，则其渐近线为，B错误； 对C：当点在双曲线的右支时，该点到右焦点距离的最小值为； 当点在双曲线的左支时，该点到右焦点距离的最小值为； 综上所述：该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1，C正确； 对D：联立方程，消去y得，解得， 故该曲线与直线有且仅有1个公共点，D错误. 故选：C. 34．(21-22高二上·陕西宝鸡长岭中学·)双曲线的被点平分的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】将直线方程代入双曲线方程并化简，进而通过根与系数的关系求得答案. 【详解】容易判断弦所在直线的斜率存在，故设方程为：，则…①， 设交点为，将直线代入双曲线方程得：，…②， 由①②得：…③， 因为点P为线段AB的中点，结合根与系数的关系可知：，①代入得， ，容易验证不符合③，即该直线不存在. 故选：D. 35．(21-22高二上·陕西西安长安区第一中学·)已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的方程求出，，求出，设左焦点为，由双曲线的定义可得： 的周长为：，当、、共线时， 周长最小，联立直线与双曲线的方程求得点坐标，再由即可求解． 【详解】由双曲线的方程可得，，因为，所以， 设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 所以的周长为：， 要使的周长最小，则最小，即、、共线， 因为，，所以直线的方程为， 即代入整理得， 解得：或（舍），所以点的纵坐标为， 所以， 故选：D. 36．(24-25高二上·陕西榆林·期中)已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（） A．双曲线的离心率为 B．直线的方程为 C．过点作，垂足为，为原点，则 D．四边形面积的最小值为6 【答案】AC 【分析】对于A，用离心率的计算公式即可求解；对于B，联立直线方程和双曲线方程，由判别式等于0可求出斜率，进而可知直线的方程；对于C，由双曲线的光学性质可知,平分，进而垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求解；对于D，求出的坐标，，结合不等式即可求解面积的最小值. 【详解】对于A，,故A正确； 对于B，设直线的方程为, 联立方程组,消去y整理得： ， ,化简整理得， 又因为，代入上式并化简得：， 因为 所以方程有两个相等的实根，解得， 所以直线的方程为,即，故B错误； 对于，由双曲线的光学性质可知,平分，延长与的延长线交于点E， 则垂直平分,即为的中点，又是中点, 所以，故C正确; 对于D，由直线的方程为，令,得,则， ， 当且仅当,即时等号成立， 所以四边形面积的最小值为，故D错误. 故选：AC. 37．(24-25高二上·陕西渭南富平县迤山中学·月考)设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（    ）. A．C的离心率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的标准方程及离心率公式可判断；设，，联立双曲线与圆的方程结合韦达定理计算可判断；由基本不等式链，结合可判断；由题意得，结合基本不等式可判断. 【详解】对于，因为，则， 所以C的离心率为，故正确； 对于，设，， 联立，消去x可得， 则，解得； 则，， 则，， 所以，故错误； 对于，由基本不等式链得， 当且仅当时取等号，故正确； 对于，F为右焦点，， 又，， ，故正确. 故选：ACD. 【点睛】利用韦达定理解题的基本规律： （1）设直线方程（本题中可直接写出圆的方程），设交点坐标为，； （2）联立直线（曲线）与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式； （5）代入韦达定理求解. 38．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为E，过的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，与两条渐近线交于点P，Q（其中点A，点P在第一象限内），设M，N分别为与的内心，则（    ） A．点M的横坐标为2 B．当时， C． D．为定值 【答案】BCD 【分析】利用双曲线定义及圆切线性质求圆在轴上的切点横坐标即可判断A；根据，结合双曲线定义、勾股定理求判断B；分别联立直线与双曲线，渐近线，表示结合韦达定理整理判断C；由内切圆圆心性质得，结合直角三角形性质有判断D． 【详解】由双曲线方程知：，令圆在轴上的切点横坐标为， 结合双曲线定义及圆切线性质有，即， 所以圆在轴上的切点与右顶点重合，又轴，则的横坐标为1，A错误； 由A推理得：圆在轴上的切点与右顶点也重合，则； 由，分别是，的角平分线，又， 所以，， 在△中，，D正确．    由，则，故， 而，所以，故，得， 所以，B正确； 设直线，渐近线方程为：, ,，，,， 联立与，整理可得， ，可得， 且，，，所以， 由， 得 ， 所以，故C正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由A选项进一步推理得是解决D的关键，注意C选项利用联立计算的方法表示. 39．(24-25高二上·陕西西安新城区西安中学·月考)双曲线与直线的公共点个数 ； 【答案】0或1 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论. 【详解】由，可得双曲线的渐近线方程为：， 对于 直线，当时，直线与渐近线重合，两者无交点； 当时，因此时直线与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点. 综上可得，双曲线与直线的公共点个数为0或1. 故答案为：0或1. 40．(23-24高二上·陕西宝鸡金台区·期末)已知双曲线与直线相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理即可求出，即可得到双曲线C的离心率． 【详解】联立方程组，消去，得， 由题意， ,得， 即双曲线， 故双曲线C的离心率. 故答案为：． 41．(24-25高二上·陕西渭南韩城·期中)已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为 ，，直线与的左、右支分别交于点，（异于点，）. (1)求的方程； (2)若直线与直线的斜率之积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可以得到，解此方程组即可求出结果； （2）联立直线和双曲线的方程，消去得到，根据题意知，利用韦达定理写出，，根据直线方程求出，，写出直线，的斜率分别为，，并计算的值，化简即可求解. 【详解】（1）因为，渐近线方程为， 所以，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）设点,，,，根据题意知， 由，得， 则， ，， 而； 由于， ； ，， ， 化简可得，解得，或， 当时，，不符合题意，舍去， 故 42．(24-25高二上·陕西汉中普通高中十校联盟·期中)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由双曲线过点，焦点在轴上及实半轴长，设双曲线的标准方程为，再由离心率可得的值，从而得双曲线的标准方程； （2）联立直线与双曲线，可得，可得方程只有一解，分情况讨论可得实数的值. 【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴上，且其实半轴长为2， 设双曲线的标准方程为则， 由得， 双曲线的标准方程． （2）由得（※）， 当，即：时，方程（※）有且只有一解，合题意； 当时，由， 得，方程（※）有且只有一解，也合题意； 综上所述：实数的值为：，． 43．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    44．(23-24高二下·陕西榆林神木第四中学·)已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点在双曲线上，可得，求解可得双曲线的方程； （2）设直线的方程为，且设交点，，先利用点差法求得，进而求得直线的方程，代入双曲线方程消去可得的一元二次方程，利用判别式判断方程的根的情况即可得结论. 【详解】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. 45．(23-24高二上·陕西渭南尚德中学·期中)已知直线：与双曲线：，分别求出满足下列条件的的值或者范围. (1)与没有公共点； (2)与有一个公共点； (3)与有两个公共点； 【答案】(1)或 (2)或 (3)且． 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后得关于方程， （1）方程无实数解得直线与双曲线无公共点； （2）方程只有一个实数解得直线与双曲线只有一个公共点； （3）方程有两个解得直线与双曲线有两个公共点． 【详解】（1）联立方程组消去，整理得. 与没有公共点，则，且，解得或. （2）与有一个公共点，则时，；当时，，均与渐近线平行； 当时，则，此时； 所以或； （3）与有两个公共点，则，且，即， 所以且． 46．(23-24高二上·陕西西安高新第一中学·)已知双曲线的左、右焦点分别为，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)如图，已知直线与x轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的方程可得，根据题意结合双曲线的定义，运算求解即可得结果； （2）设直线，根据题意求的坐标，由题意可得，结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设， 不妨设M为双曲线右支上一动点，则， 则，即， 可得， 注意到，则， 由题意可得：，即， 则， 因为的对称轴为，则在上单调递增， 故， 则，解得或（舍去）， 可得，故双曲线C的标准方程为． （2）由题意可得，设直线， 联立方程，消去y得， 则， 直线，令，则，即点， 同理可得点， 由，则可得， ， 注意到，且点P，Q位于同一象限， 即，可得， 故， 整理得， 则， 整理得，解得或（舍去）， 故实数m的值为． 【点睛】方法定睛：解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解． 47．(23-24高二上·陕西咸阳礼泉县·期中)已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直. (1)求双曲线C的方程 (2)若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线的定义和渐近线的方程求出即可； （2）画出图像，设，，直曲联立，得到用纵坐标表示的韦达定理，再用坐标写出向量，，利用向量共线的充分必要条件证明三点共线即可. 【详解】（1）由右顶点为，得， 由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得，即，∴， ∴双曲线C的方程为. （2）    由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0）， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴， 设，，则， 由（）可知，双曲线的渐近线方程为， 又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上， 联立消去得， 则，得， ，，则， 又，∴，， ∴， ∴，又，有公共点F， ∴B，F，D三点共线，∴直线过点F 【点睛】第一问由双曲线的性质和渐近线的定义直接得到；第二问先根据直线过定点且与双曲线有两个交点确定直线的大致位置，在设出，，坐标，直曲联立得到关于的韦达定理，然后再由向量共线的充分必要条件证明点在直线上. 地 城 考点05 双曲线综合性问题 48．(24-25高二上·陕西渭南蒲城县蒲城中学·期末)已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率. 【答案】答案见解析 【分析】由双曲线的性质逐一求解即可. 【详解】双曲线方程可以化成， 所以， 所以顶点坐标为， 焦点坐标为， 焦距为， 实轴长为， 虚轴长为， 令，可得，即渐近线方程为， 离心率为. 49．(24-25高二上·陕西渭南富平县·期末)已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)判断曲线为何种圆锥曲线？ (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线C为曲线，斜率为1的直线l过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A，B两个不同的点，求． 【答案】(1)椭圆 (2)，且． (3) 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果. 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. （3）由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则若，则 则. 50．(24-25高二上·陕西汉中多校·期末)已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用焦点到渐近线的距离和焦距以及即可求解； （2）设双曲线的左焦点为，根据双曲线定义将转化为，即可得出当，，三点共线时取得最小值，进而求解即可. 【详解】（1）双曲线的焦距为， 半焦距，右焦点， 右焦点到渐近线的距离为， 一条渐近线方程为，即， ，得， ， 双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义可知，， ， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故的最小值为. 51．(24-25高二上·陕西西安新城区西安中学·月考)彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的植圆形、双曲线或抛物线．它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸”现象，终生只能接近太阳一次，永不复返．通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点，离心率为2的运行轨道，且彗星距离太阳的最近距离为1． (1)若焦点的位置在轴，求彗星“逃逸”轨道C的标准方程； (2)设直线过C的一个焦点，且与C交于两点，当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设彗星“逃逸”轨道的方程为，由题意可得，，求解可得，进而可求得，可求彗星“逃逸”轨道的标准方程； （2）设直线过双曲线左焦点的直线方程为，与双曲线方程联立方程组，利用根与系数的关系，可得，由已知可得，由弦长公式可求得. 【详解】（1）由题意知，彗星“逃逸”轨道的标准方程为双曲线， 双曲线的焦点在上，设其方程为， 因为双曲线的离心率为2，可得，即， 又因为彗星距离太阳的最近距离为1，可得， 解得，可得， 所以彗星“逃逸”轨道的标准方程. （2）不妨设直线过双曲线左焦点的直线方程为， 联立，消去得，， 当时，由韦达定理可得， 所以 又，所以，解得，经检验， 所以. 52．(24-25高二上·陕西西安高新第三中学·月考)求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点； (2)渐近线方程为，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的离心率公式及过定点即可求出标准方程. （2）由渐近线方程即可将双曲线方程设为，再将定点代入即可. 【详解】（1）设所求双曲线方程为. , ，所以,解得 所以双曲线的标准方程为 （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为. 因为在双曲线上， 即， 所以双曲线的标准方程为 53．(24-25高二上·陕西科技大学附属中学·月考)双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意列方程组求得，即可求得答案； （2）先考虑直线l的斜率存在时，设，设出直线方程，根据可得到对任意的总成立，联立直线l与双曲线方程，得到根与系数关系，结合恒成立可求得的值，得到结论，再验证直线斜率不存在时的情况也适合题意，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可知双曲线的渐近线方程为， 因为一条渐近线的倾斜角为，所以， 双曲线经过点，则， 联立，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 设，，， 因为，所以， 即， 整理得①， 由，得到， 因为直线l与双曲线有两个不同的交点， 故且， 所以， 由题设有①对任意的总成立， 因为， 所以①可转化为， 整理得到对任意的总成立， 故，解得，故所求的定点的坐标为． 当直线l的斜率不存在时，则，此时或， 当时，此时或， 都满足； 综上，定点的坐标为． 【点睛】方法点睛：（1）解决求圆锥曲线的方程问题时，一般是由题意列出关于参数的方程组，即可求得答案；（2）解决关于直线和圆锥曲线的位置关系问题时，比如定点定值问题，一般要注意考虑直线的斜率是否存在，存在时设直线方程，并联立圆锥曲线方程，得到根与系数的关系，要结合题设条件进行化简，即可得结论，关键就是化简以及计算比较复杂，要求十分细心,计算要准确. 54．(24-25高二上·陕西榆林·期中)已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. (1)求双曲线的方程； (2)求直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用点到直线的距离即可求出，结合离心率可以求出； （2）中点弦问题利用点差法求解即可； （3）运用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出三角形的高，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即， 依题意，结合，化简得， 又离心率，所以所以双曲线C的方程为. （2）设，由题意得， 又，，两式相减得， 所以， 又直线l过点,所以直线l的方程为,即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. （3）联立，消去y得， 所以， 所以， 又点到直线l的距离， 所以的面积.    55．(24-25高二上·陕西渭南大荔县城郊中学·期中)求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)求关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12的抛物线的方程； (2)求与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意判断抛物线的焦点位置，设出抛物线方程，根据弦长建立方程，求出值即得； （2）先求出椭圆的半焦距，由题意求得双曲线的实半轴长和虚半轴长，即得双曲线方程. 【详解】（1）由题意可得抛物线的焦点在轴的负方向上，设抛物线的方程为， 令，可得，解得，由题意可得：,解得， 故抛物线的方程为． （2）椭圆中,，因为双曲线与椭圆有公共焦点， 且离心率为，所以由，解得，则， 故双曲线方程为. 56．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由. 【答案】(1)（且） (2)不可以，理由见解析 【分析】（1）由斜率公式化简即可得解； （2）设在曲线上，且中点为，分是否相等两种情况讨论即可，注意用点差法求得斜率后，还应该检验是否和顶点重合，由此即可得解. 【详解】（1）由题意，显然且， 所以的方程为（且）； （2）设在曲线上（），且中点为， 则（且）， 所以， 所以直线为即，， 联立，整理得，，解得或，但这与且矛盾， 故不符合题意； 设在曲线上（），且中点为， 但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾； 综上所述，不存在满足题意的直线的方程. 57．(24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $