专题04 圆锥曲线（四大题型+好题推送）（期中真题汇编 北京专用）高二数学上学期

专题04 圆锥曲线（四大题型+好题推送） 4大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点04直线与圆锥曲线的位置关系 地 城 考点01 椭圆 1．(24-25高二上·北京·期中)已知椭圆的左焦点为，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据题意得到，再根据椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为，得到，再结合，即可求得，，即得椭圆方程. 【详解】解：椭圆C的右焦点为， ， 又椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为， 即① 又， 即② 由①②解得：，， 故椭圆C的方程为． 故选：C. 2．(24-25高二上·北京·期中)如图F1、F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率求解的方法求解即可. 【详解】设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：上的点， ∴2a=4，b=1，c=； ∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴，即x2+y2=（2c）2==12，② 由①②得：，解得x=2-，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c， 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2， ∴双曲线C2的离心率 故选:D． 3．(24-25高二上·北京·期中)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 4．(24-25高二上·北京·期中)已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为，则的值是 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义，结合通径的性质求解的最值，列方程即可求解. 【详解】由可知，焦点在x轴上，∵过的直线交椭圆于A，B两点， ∴，∴. 当AB垂直x轴时最小，值最大， 此时，∴，解得. 故答案为： 地 城 考点02 椭圆双曲线抛物线的定义及应用 1．(24-25高二上·北京·期中)已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3， 又双曲线C：=1的离心率为， 所以，即a=2， 所以b=， 故所求的双曲线方程为=1. 故选：B. 2．(24-25高二上·北京·期中)已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】取双曲线的右焦点，渐近线，由点到直线距离公式得，然后利用公式可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】取双曲线的右焦点，取双曲线的渐近线，即， 依题意得，即， 所以离心率. 故选：B 3．(24-25高二上·北京·期中)若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用已知可得，求解可得渐近线方程与焦点坐标，利用点到直线的距离可求焦点到渐近线的距离. 【详解】由双曲线的方程可得，解得， 所以，所以双曲线的焦点在轴，且， 所以，又双曲线的离心率为3，所以， 解得，所以，，， 所以焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离. 故答案为：. 4．(24-25高二上·北京陈经纶中学·期中)圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义表示出，利用勾股定理表示出，根据双曲线的定义得到，进而可求得双曲线的方程. 【详解】设双曲线的焦距为，因为，， 所以，， 所以，又双曲线方程为， 所以，所以，所心，解得， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． 故答案为：. 5．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意列出等量关系并整理即可得出轨迹C的方程； （2）分情况将曲线C与直线方程联立，根据方程根的个数求得实数k的取值范围． 【详解】（1）设点，由题知， 两边平方，并整理得, 所以轨迹C的方程为. （2）易知直线， 当时，如下图所示： 联立，消去y得，， 当，即或时，有且仅有一个公共点且满足题意； 当，即时，无公共点； 当时，令，， 当时，无公共点；当时，有一个公共点； 综合以上可知当时，有且仅有一个公共点， 故k的取值范围是． 地 城 考点03 椭圆的标准方程与几何意义 1．(24-25高二上·北京·期中)抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可． 【详解】抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x， 准线方程与双曲线y2﹣x2＝1联立可得：y2﹣（）2＝1， 解得y＝±， 因为△ABF为等边三角形，所以 2|y|，即p2＝3y2， 即p2＝3（1），解得p＝2． 故选B． 2．(24-25高二上·北京·期中)劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得结论． 【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示， 记BM⊥OC且垂足为M，AD⊥y轴且垂足为D， 设抛物线方程为， 由题意可知：，，，所以 ， 所以，代入抛物线方程可得，所以， 所以抛物线方程为， 又因为在抛物线上，所以，解得，所以， 所以，所以OA的高度为， 故选：B． 3．(24-25高二上·北京·期中)抛物线的准线方程是 . 【答案】 【详解】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程. 详解：因为抛物线的准线方程为， 所以抛物线的准线方程为，故答案为. 点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题. 地 城 考点04 双曲线的标准方程与几何意义 1．(24-25高二上·北京·期中)已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【详解】（1）解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； （2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 2．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意列出等量关系并整理即可得出轨迹C的方程； （2）分情况将曲线C与直线方程联立，根据方程根的个数求得实数k的取值范围． 【详解】（1）设点，由题知， 两边平方，并整理得, 所以轨迹C的方程为. （2）易知直线， 当时，如下图所示： 联立，消去y得，， 当，即或时，有且仅有一个公共点且满足题意； 当，即时，无公共点； 当时，令，， 当时，无公共点；当时，有一个公共点； 综合以上可知当时，有且仅有一个公共点， 故k的取值范围是． 3．(24-25高二上·北京·期中)已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）、利用已知条件列出方程组，求解，从而得到椭圆得标准方程； （2）、设出直线、的方程，与椭圆方程联立，求出坐标，计算，求出直线的方程，分析出故直线经过定点，从而求出的周长为定值． 【详解】（1），， 椭圆经过点，， ，，椭圆C的标准方程为． （2）解法一：证明：由题意可知，，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组可得， 可得，所以， 则，故． 由可得，可得，所以， 则，故， 所以， 故直线的方程为， 即，， 故直线过定点，所以的周长为定值8． 当时，或，可知是椭圆的通径， 经过焦点，此时的周长为定值， 综上可得，的周长为定值8． 解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：， 由． 设，则有， 直线，令，得， 直线，令，得，所以， 由， 所以， 即， 化简得或． 时直线过点（舍），所以， 即直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，设其方程为：， 则有，代入， 直线也过定点， 综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值． 解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点， 则直线的方程为， 联立椭圆方程可得：，则可知， 易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值， 猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点． 证明如下： 依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入椭圆方程得：， 设，则． 直线，令，得， 直线，令，得， 因为 ， 所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点， 故的周长为定值． 4．(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆的关系列方程组求得的值，即可得椭圆方程； （2）根据椭圆的定义可得，再根据两点距离公式结合点在椭圆上求解的取值范围，即可得所求. 【详解】（1）由题知解得 所以，C的方程为． （2）由椭圆的定义可知， 设点，其中，则， 所以， 因为，所以，即 当且仅当时，，时，， 因为，则，所以． 综上所述，的取值范围是． 5．(24-25高二上·北京第八中学·期中)设，分别为椭圆：的左、右焦点，斜率为直线l经过右焦点，且与椭圆相交于，两点． (1)如果线段的中点在轴上，求直线的方程； (2)如果以为直径的圆过点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直线方程代入椭圆方程化简后，由中点在轴得是该方程的解， 代入后可求得，从而得直线方程； （2）设，直线方程代入椭圆方程消元后应用韦达定理得， 然后代入可求得值． 【详解】（1）由已知，因此， 直线的方程为， 由得 ， 的中点在轴上，则点横坐标为， ∴是方程的一个解， ∴，又，故解得， 所以直线的方程为，即； （2）设，由（1）得，， 以为直径的圆过，则， 所以 , 解得（负值舍去）． 6．(24-25高二上·北京陈经纶中学·期中)已知曲线的方程为，直线． (1)写出的短轴长和离心率； (2)当时，求被截得的弦长； (3)已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 【答案】(1)短轴长，离心率 (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆的标准方程求得，可求椭圆的短轴长和离心率； （2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式即可求出答案； （3）因为，所以，联立方程利用韦达定理即可求出答案. 【详解】（1）由，可得，所以， 所以椭圆的短轴长为，离心率为； （2）当时，直线 联立方程： ，整理可得：， 根据韦达定理：， 根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为： ； （3）设，， 联立方程：，整理可得：， 因为存在两个交点，故，解得， 根据韦达定理：， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得. 【好题推送】 1．(24-25高二上·北京·期中)已知椭圆的短轴的两个端点分别为，焦距为． (1)求椭圆的方程． (2)已知直线与椭圆有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为－．证明：点D在x轴上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，结合，求得的值，即可得到椭圆的方程. （2）设，则，分别求得直线的直线方程，联立方程组，求得，根据点M在椭圆C上，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由椭圆的短轴的两个端点分别为，焦距为， 可得，又由，所以椭圆的方程为. （2）证明：设，则， 所以直线BM的斜率为， 直线AN的方程为， 因为直线BD，BM的斜率的积为， 所以直线BD的斜率为， 所以直线BD的方程为， 联立方程组，解得， 因为点M在椭圆C上，所以， 则，所以点D在x轴上． 2．(24-25高二上·北京·期中)已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据焦点三角形的面积和点坐标求解出的值，则的值可求，故椭圆的标准方程可知； （2）当直线的斜率不存在时，直接分析即可；当直线的斜率存在时，设出的方程并与椭圆方程联立得到横坐标的韦达定理形式，将斜率关系转化为坐标运算，从而求解出直线方程中参数的关系，由此可求直线所过的定点. 【详解】（1）因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程：； （2）设， 当直线的斜率不存在时，则， 由， 解得，此时，故重合，不符合题意， 所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：， 由得， 且，即， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 化简可得：， 因为，所以， 所以， 所以直线必过定点． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04圆锥曲线（四大题型+好题推送） ☆4大高频考点概览 考点01椭圆 考点02双曲线 考点03抛物线 考点04直线与圆锥曲线的位置关系 目目 考点01 椭圆 1.2425高二上北京期中)已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的左焦点为F(-5,0),且椭圆C上的点 与长轴两端点构成的三角形面积最大值为3√2，则椭圆C的方程为() A.号+y2=1B.￥+y2=1 c.+号=1 D.号+若=1 2.(24-25高二上北京期中)如图F、F2是椭圆C:等+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、 C2在第二、四象限的公共点，若四边形AFBF2为矩形，则C2的离心率是(） VA A.V2 B.5 c. D. 3.(2425高二上北京期中)已知RF2为椭圆C:器+号=1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对 称的两点，且PQ|=|F1F2,则四边形PF1QF2的面积为 4.2425高二上北京期中已椭圆等+器=10<b<2,左右焦点分别为P1,F2,过F1的直线1交椭 圆于A,B两点，若BF+|AF的最大值为6，则b的值是 目目考点2 椭圆双曲线抛物线的定义及应用 1.2425高二上北京期中)已知双曲线C:等-器-1a0,b0的离心率为号，且与椭圆器+y2=1有公 共焦点，则双曲线C的方程为() 1/4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.晋-61B.等-号-1 C.等--1 D.器-若-1 2.(Q425高二上北京期中)已知双曲线等-器=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为号，则该双曲 线的离心率为() A.29 B. 2 C.2 D.2W5 3。(2425高二上北京期中)若双曲线器+品=1的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离 为 4.(24-25高二上·北京陈经纶中学期中)圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用.我国首先研制 成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线 反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线C:x2一y2=1的左、右 焦点分别为FF2,当入射光线FP和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），cos∠F1F2P=寻，则 该双曲线的标准方程为· sG 5.(24-25高二上·北京西城区北京师范大学附属实验中学期中)平面直角坐标系xOy中，点M到点F(0,1) 的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线1过定点P(1,0),若直线1与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围。 目目 考点03 椭圆的标准方程与几何意义 1.(24-25高二上北京期中)抛物线y2=2pxp>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B 两点，若△ABF为等边三角形，则p= A.2V2 B.2V3 C.2 D.3 2.(24-25高二上北京·期中劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增 智、强体、育美的综合育人价值，南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园 2/4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的一角专门开辟了一块劳动基地一心远农场（如图1）·现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术， 喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示.现要求水流最高点B 离地面4m,点B到管柱OA所在直线的距离为3m,且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上， 则管柱OA的高度为() B 图1 图2 A.号m B.子m C.m D.m 3.(24-25高二上·北京期中)抛物线y2=16x的准线方程是 目目 考点04 双曲线的标准方程与几何意义 1.(2425高二上北京期中)已知椭圆E:等+罗=1(a>b>0)的-个顶点为A0,1),焦距为2V5 (1)求椭圆E的方程： (2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N, 当MN=2时，求k的值. 2.(2425高二上北京西城区北京师范大学附属实验中学.期中)平面直角坐标系xOy中，点M到点F(0,1) 的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程： (2)设斜率为k的直线1过定点P(1,0),若直线1与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围. 3.2425高二上北京期中已知椭圆C:等+爷=1a>b>0)经过点(1，)，离心率为e=专. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右两个顶点分别为AA2,T为直线1：x=4上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的 另一个交点为M,直线TA2与C的另一个交点为N,F为椭圆C的左焦点，求证：△FMN的周长为定值. 4.(2425高二上北京西城区北京师范大学附属实验中学期中)已知椭圆C:等+带=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为F(-V5,0)和F2(V5,0),长轴长为4. (1)求椭圆C的方程： 3/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设P为椭圆C上一点，M(1,0).若存在实数使得PF1+|PF2=PM,求的取值范围. 5.(2425高二上北京第八中学期中)设R1,F2分别为椭圆W:号+号=1的左、右焦点，斜率为 k(k>0)直线1经过右焦点F2,且与椭圆W相交于A,B两点. (1)如果线段FB的中点在y轴上，求直线的方程： (2)如果以AB为直径的圆过点F1,求直线的斜率k 6。(2425高二上北京陈经纶中学期中)已知曲线C的方程为等+号=1，直线1：y=x+m. (1)写出C的短轴长和离心率： (2)当m=1时，求C被1截得的弦长； (3)已知1与C交于M,N两点，O为坐标原点，当OM⊥ON时，求m的值. 1.(24-25高二上北京期中)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1)B(0,-1),焦距为2V3. (1)求椭圆C的方程， (2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M,N,设D为直线AN上一点，且直线BD,BM的斜率的 积为一.证明：点D在x轴上. 2.(2425高二上北京期中)已知P(0,1)为椭圆C:等+爷=1(a>b>0上一点，点P与椭圆C的两个焦 点构成的三角形面积为5。 (1)求椭圆C的标准方程； (2)不经过点P的直线1与椭圆C相交于AB两点，若直线PA与PB的斜率之和为一1，证明：直线1必过定点， 并求出这个定点坐标 4/4