专题03 函数的概念、性质及应用（六大题型+好题推送）（期中真题汇编，北京专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念、性质及应用（六大题型+好题推送） 6大高频考点概览 考点01 函数三要素（定义域、值域、解析式） 考点02 分段函数 考点03 函数的基本性质（奇偶性、单调性） 考点04 函数的应用 考点05 函数新定义 考点06 对指幂函数 地 城 考点01 函数三要素（定义域、值域、解析式） 1．(24-25高一上·北京房山区·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．(18-19高一·湖南衡阳一中·月考)已知函数=，则g（x）=f（2x-1）+的定义域为 A． B． C． D．（﹣∞，2）∪（2，+∞） 4．(24-25高一上·北京海淀区·期中)下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 5．(18-19高一上·浙江台州书生中学·月考)函数的定义域是 . 6．(24-25高一上·北京丰台区·期中)函数的定义域为 ． 7．(2011高一上·四川省成都市·期中)函数的定义域是 . 8．函数的定义域是 . 9．(24-25高一上·北京通州区·期中)函数的定义域为 . 10．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)函数的定义域是 ． 11．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)函数的定义域是 . 12．(24-25高一上·北京延庆区·期中)函数的定义域是 . 13．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)函数的定义域为 ． 14．(24-25高一上·北京海淀区·期中)函数的定义域是 ． 15．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)写出同时满足以下两个条件的一个函数 . ①，，； ②，且，. 16．(24-25高一上·北京房山区·期中)函数的值域为 . 17．(24-25高一上·北京大兴区·期中)定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是 ， ． 18．函数的定义域是 ． 地 城 考点02 分段函数 1．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)对于函数，下列说法正确的是（    ） A．存在最大值 B．的解集为 C．在上单调递减 D．对任意，有 2．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 3．(24-25高一上·北京丰台区·期中)2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 4．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的值域为R C．对于任意正有理数a，有奇数个零点 D．在上是增函数 6．已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是 ． 7．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)设函数，则 ． 8．设函数若,则的单调递增区间是 ;若的值域为,则的取值范围是 ． 9．(24-25高一上·北京海淀区·期中)若函数是上的减函数，则a的取值范围是 10．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知函数，且当时，总有，则实数的取值范围是 ． 11．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)已知函数 （1）的值为 ； （2）当时，方程有且仅有一个实根，则实数的取值范围是 . 12．已知函数 若，则的值域是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 ． 13．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数．令函数 (1)若，求的值； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，当时，． （i）直接写出当时，的解析式； （ii）对任意的恒成立，求的取值范围． 22．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知是定义域为的偶函数，当时，. (1)求的值； (2)的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间； (3)若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________． 地 城 考点03 函数的基本性质（奇偶性、单调性） 1．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·北京陈经纶中学·期中)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高三上·海南·模拟)已知函数是上的偶函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．(24-25高一上·北京大兴区·期中)下列函数中，是奇函数且值域为的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·北京丰台区·期中)下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·北京大兴区·期中)设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·北京延庆区·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C．， D． 10．(24-25高一上·北京房山区·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·北京海淀区·期中)下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·北京海淀区·期中)已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知奇函数满足，则 . 18．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知是定义在R上的奇函数，当时，．若在R上具有单调性，则a的取值范围是 ． 19．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 20．(24-25高一上·北京丰台区·期中)设函数，． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)若对，，使得，求实数的取值范围． 21．(24-25高一上·北京延庆区·期中)1．已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)当时，比较与的次小. 22．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知函数． (1)判断函数是否具有奇偶性，并证明； (2)当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)当时，求函数的值域． 23．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知的定义域为，且满足，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明． 24．(24-25高一上·北京海淀区·期中)4．已知函数． (1)证明：为奇函数． (2)判断在上的单调性，并证明你的结论． (3)解关于t的不等式． 25．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)5．已知函数是上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 26．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知函数 (1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由； (2)用函数单调性的定义证明：在上是增函数； (3)求函数在区间上的值域． 地 城 考点04 函数的应用 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 2．(19-20高一上·北京第四中学·期中)函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（　　） A．（2，+∞） B．（1，2） C．（0，1） D．（﹣1，0） 3．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高一上·北京拔萃双语学校·期中)果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)关于的方程的两个实数根，满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 9．(24-25高一上·北京海淀区·期中)函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知二次函数，对任意的，都有，则（   ） A．有两个正零点 B．有一正一负两个零点 C．有两个负零点 D．无零点 11．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)设函数，其中． (1)若有两个零点．求实数的取值范围； (2)求在区间上的最值． 14．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)设函数，其中． (1)对于任意，都有，求t的值； (2)若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： (3)若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 15．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知函数 (1)当时，方程在上有实根，求实数的取值范围； (2)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)关于的不等式的解集中的正整数解恰有3个，直接写出实数的取值范围． 16．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知函数，满足下列两个条件 条件①：； 条件②：； (1)求，的值； (2)已知函数有两个不同的正数零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值． 地 城 考点05 函数新定义 1．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 2．设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是 ． 5．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数的定义域为，若满足：对任意的，当时，总有成立，则称为单函数．给出下列四个结论： （1）不是单函数； （2）是单函数； （3）若为单函数，则在定义域上一定是单调函数； （4）若为单函数，则对任意的，当时，总有成立．其中所有正确结论的序号是 ． 6．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得 ，则称函数是“型函数”． （i）是否为“型函数”？ ；（填“是”或“否”） （ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是 ． 7．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． (1)分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与． 8．(20-21高一上·重庆第八中学校·月考)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 地 城 考点06 对指幂函数 1．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)设，则（    ） A． B． C． D． 2．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 5．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)计算 . 6．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)计算： . 7．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则 . 8．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 1．(24-25高一上·北京大兴区·期中)函数则 ；不等式的解集为 ． 2．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知函数，给出下列四个结论： ①函数是偶函数； ②函数的增区间为； ③不等式的解集是； ④当时，令，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是 . 3．(24-25高一上·北京丰台区·期中)设函数，若，则的值域是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 4．设，，若恒成立，则实数的取值范围是 . 5．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)函数, ①当时，的单调递增区间为 . ②若恰有三个零点，则的取值范围是 . 6．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知函数，当时，的最小值是 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 . 7．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 8．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值点为0； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是； ③当时，方程有两个不等的实根； ④当时，函数存在最大值． 其中所有正确结论的序号是 ． 9．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知函数过点. (1)求函数的解析式及定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)令，求的解析式，并证明的图像关于对称. 10．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a、b的值； (2)用定义证明在上为减函数； (3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围 11．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用单调性定义证明在区间上单调递减； (3)若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围． 12．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数为上的偶函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并依据单调性的定义证明； (3)若，且，试比较与的大小，并说明理由. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念、性质及应用（六大题型+好题推送） 6大高频考点概览 考点01 函数三要素（定义域、值域、解析式） 考点02 分段函数 考点03 函数的基本性质（奇偶性、单调性） 考点04 函数的应用 考点05 函数新定义 考点06 对指幂函数 地 城 考点01 函数三要素（定义域、值域、解析式） 1．(24-25高一上·北京房山区·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出使得函数有意义的不等式，求解即可. 【详解】要使得函数有意义，则，解得，故定义域为. 故选：C. 2．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．(18-19高一·湖南衡阳一中·月考)已知函数=，则g（x）=f（2x-1）+的定义域为 A． B． C． D．（﹣∞，2）∪（2，+∞） 【答案】C 【分析】先求出的定义域，然后再求的定义域 【详解】由可得 则函数的定义域为 要使函数有意义 则，解得且 函数的定义域为    故选 4．(24-25高一上·北京海淀区·期中)下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确. 故选：D 5．(18-19高一上·浙江台州书生中学·月考)函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则， 解得，且； 故函数的定义域为：且. 故答案为：且. 6．(24-25高一上·北京丰台区·期中)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的要求直接构造不等式组求解即可. 【详解】由题意知：，解得：且， 的定义域为. 故答案为：. 7．(2011高一上·四川省成都市·期中)函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法，求得函数的定义域. 【详解】， 所以的定义域为. 故答案为： 8．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为 故答案为： 9．(24-25高一上·北京通州区·期中)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 10．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据分式、根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 11．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)函数的定义域是 . 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式求出定义域. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 12．(24-25高一上·北京延庆区·期中)函数的定义域是 . 【答案】 【分析】利用函数有意义列式求出定义域. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由偶次方根的被开方数为非负数，得不等式，解之即得函数的定义域. 【详解】由函数有意义，可得， 解得或，故函数的定义域为. 故答案为：. 14．(24-25高一上·北京海淀区·期中)函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为，偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 15．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)写出同时满足以下两个条件的一个函数 . ①，，； ②，且，. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求. 【详解】令,则,满足条件①； ，且，,满足条件②； 故答案为：（答案不唯一） 16．(24-25高一上·北京房山区·期中)函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域 【详解】因为，所以，故函数的值域为. 故答案为：. 17．(24-25高一上·北京大兴区·期中)定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是 ， ． 【答案】 （不唯一） （不唯一） 【分析】根据定义域、值域相同即可得解. 【详解】根据定义域、值域相同，可取， 两个函数的定义域、值域都为. 故答案为：；（答案不唯一） 18．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】函数有意义，则：， 求解关于实数的不等式组可得函数的定义域为 点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 地 城 考点02 分段函数 1．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)对于函数，下列说法正确的是（    ） A．存在最大值 B．的解集为 C．在上单调递减 D．对任意，有 【答案】D 【分析】作出图象，根据图象逐一分析即可. 【详解】如图所示，函数在处函数没有最大值，故A错误， 对于B，的解集为，故B错误； 对于C，函数在单调递增，在和单调递减，故C错误； 对于D，如图所示，函数为非奇非偶函数， 令，则时有， 而，故方程无解， 而，则，故，故， 当时，则，故，而， 方程也无解， 综上，对任意，有，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】由是奇函数，得，代入即可求. 【详解】因为是奇函数， 所以， 所以. 故选：A 3．(24-25高一上·北京丰台区·期中)2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，分段求出关于的函数解析式，再令，解出的值，从而得解. 【详解】依题意，设用户的用水量为，缴纳的水费为元， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，令，解得，则此户居民本月用水量为. 故选：B. 4．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把分为和两种情况，分类讨论解不等式即可得到结果. 【详解】当时，由得，不等式解集为， 当时，由得，不等式无解. 综上得，的解集为. 故选：C. 5．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的值域为R C．对于任意正有理数a，有奇数个零点 D．在上是增函数 【答案】C 【分析】对于A，举反例排除即可；对于B，由时，，函数的值域里不含负的无理数可排除；对于C，分段考虑每段上函数的零点个数即可推得；对于D，举反例排除即可. 【详解】对于A，因，即，故不是偶函数，即A错误； 对于B，因时，，即函数的值域里不含负的无理数， 即的值域不是R，故B错误； 对于C，函数的零点在时，有；在时，有. 对于时，函数有一个零点为，而对于时，函数有两个零点为或没有零点， 故函数的零点有3个或1个，故C正确； 对于D，因，显然，故在上不是增函数,即D错误. 故选：C. 6．已知函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：函数f(x)＝是上的单调递减函数等价于，解之得，所以实数的取值范围为. 考点：分段函数的单调性. 7．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)设函数，则 ． 【答案】26 【分析】根据分段函数的结构特点，代入求值即得. 【详解】因，故 故答案为：26. 8．设函数若,则的单调递增区间是 ;若的值域为,则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果; (2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】解:由题知当时, , 故在上单调递减, 在上单调递增, 在上单调递减, 故的单调递增区间是; 由于在上的值域为, 若的值域为, 只需在上的值域包含即可, 故需,即, 此时在上的值域为, 故需,即, 综上: . 故答案为:; 9．(24-25高一上·北京海淀区·期中)若函数是上的减函数，则a的取值范围是 【答案】 【分析】由是上的减函数列不等式，求解实数的取值范围即可. 【详解】由题意得，且，解得； 当时，，解得； 综上得实数的取值范围为. 故答案为：. 10．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知函数，且当时，总有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知在上单调递增，根据分段函数单调性列式求解即可. 【详解】由题意可知：在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)已知函数 （1）的值为 ； （2）当时，方程有且仅有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）计算出，可得出，再利用指数幂的运算法则和对数恒等式可求出的值； （2）作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出当直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点时实数的取值范围. 【详解】（1），即，. ，； （2）作出函数在区间上的图象如下图所示： 当直线过点时，；当直线过点时，. 由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点； 当时，直线与函数在区间上的图象至少有两个交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 12．已知函数 若，则的值域是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，由二次函数的性质，可得， 的值域为，若值域为， 时， 且时， ，要使的值域为，则，得，实数的取值范围是，故答案为. 13．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数．令函数 (1)若，求的值； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，当时，． （i）直接写出当时，的解析式； （ii）对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件得到分段函数，根据函数值求得的值； （2）（i）根据对称求出解析式； （ii）根据函数的单调性，以及函数值所对应的点可求出取值. 【详解】（1）当，即，解得或， 当，即，解得， 所以， 当或，若，即，解得，矛盾， 当，若，即，解得，（舍）， 所以当时，； （2）（i）设，则， 因为函数的图象关于点成中心对称图形，当时，， 所以， 当，即时，，则， 当，即时，， 则， 所以； （ii）根据以上条件可得当时，， 当时，， 所以该函数在和上为增函数，在上为减函数， 又， 由（1）可知当时，时，求得，不存在的值， 当时，，令，求得， 因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 所以当时，，即，解得， 所以的取值范围为. 22．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知是定义域为的偶函数，当时，. (1)求的值； (2)的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间； (3)若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】(1) (2)作图见解析，，， (3) 【分析】（1）结合分段函数，根据由内到外的计算方法求值即可； （2）根据偶函数的图象特征作图即可，结合函数图象得出函数的单调递减区间； （3）关于的方程恰有个实数根，函数的图象与函数的图象有个公共点，结合图象即可求解. 【详解】（1）由已知，得，        所以； （2） 的单调递减区间为，，； （3） 关于的方程恰有个实数根， 所以函数的图象与函数的图象有个公共点， 结合图象可知的取值范围为. 地 城 考点03 函数的基本性质（奇偶性、单调性） 1．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义及函数的单调性的判断方法可得结论. 【详解】对于A，，因为，所以不是偶函数，故A错误； 对于B，，因为，所以是偶函数， 又是二次函数，对称轴为，开口向下，所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，，因为，所以是奇函数，故C错误； 对于D，，因为，所以是偶函数， 又时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高一上·北京陈经纶中学·期中)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在上单调递减，不符合题意，A选项错误. 的定义域是，所以B选项错误. 在上单调递减，不符合题意，C选项错误. 在上单调递增，符合题意，D选项正确. 故选：D 3．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 5．(22-23高三上·海南·模拟)已知函数是上的偶函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合特值法可解. 【详解】是偶函数，则，且，代入计算得到. 故选：A. 6．(24-25高一上·北京大兴区·期中)下列函数中，是奇函数且值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断定义域，再判断函数的奇偶性，最后再根据定义域得到值域即可求出结果. 【详解】对于A，定义域为，定义域不关于原点对称， 所以该函数不是奇函数，该选项不符合题意； 对于B，定义域为，， 所以该函数不为奇函数，该选项不符合题意； 对于C，定义域为，， 则该函数为奇函数，又值域为，该选项符合题意； 对于D，定义域为，， 则该函数为奇函数，但值域为，该选项不符合题意； 故选：C. 7．(24-25高一上·北京丰台区·期中)下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 8．(24-25高一上·北京大兴区·期中)设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式求解函数在上的单调区间，再结合题给的区间求解参数的范围，最后得出答案. 【详解】根据题意，.设，且， ， .    时，，此时，在上单调递增； 时，，此时，在上单调递减. 根据题意，函数在区间上单调递增，所以， 解得，. 故选：B. 9．(24-25高一上·北京延庆区·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 又由幂函数的性质知在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故选项A正确， 对于选项B，因为图象不关于轴对称，即不是偶函数，所以选项B错误， 对于选项C，因为，的定义域不关于原点对称，即，是非奇非偶函数，所以选项C错误， 对于选项D，当时，在区间上单调递减，所以选项D错误， 故选：A. 10．(24-25高一上·北京房山区·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个分析每个函数的奇偶性和单调性，即可判断和选择. 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：令，则，且其定义域为，故其为偶函数， 又在上单调递减，故B正确； 对C：二次函数的对称轴为，故其不是偶函数，C错误； 对D：令，则，且其定义域为，故其为奇函数，故D错误. 故选：B. 11．(24-25高一上·北京海淀区·期中)下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】对于A：的定义域为，为偶函数，但是函数在上单调递减，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为偶函数，当时，所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C：为奇函数，故C错误； 对于D：定义域为，且， 所以为偶函数，且函数在上单调递增，故D正确. 故选：D 12．(24-25高一上·北京海淀区·期中)已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件得到函数在上是减函数，再由函数的图象关于直线对称和函数的单调性比较可得答案. 【详解】当且，时，恒成立， 可得在上单调递减，且关于对称， 所以在上单调递增，， ，， 即. 故选：B. 13．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数定义得，可得的对称轴为直线，结合单调性即可得到结果. 【详解】∵是偶函数， ∴，即， ∴，即，故选项B正确. 由得的对称轴为直线， 由在单调递增得在上单调递减， ∴，，的正负不确定，选项A，C，D错误. 故选：B. 14．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断的奇偶性与在上的单调性，根据奇偶性与单调性判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则定义域为，， 又，所以是偶函数， 又在上是增函数，所以当时， 设，则，所以，即， 所以在上是增函数， 所以，又， 所以，即． 故选：C. 15．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为在上为减函数，且， 当时，；当时，； 又因为为奇函数，可得当时，；当时，； 若，则或，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 16．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，将所求不等式变形为，再由函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 17．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知奇函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，结合不等式的性质求解即得. 【详解】由奇函数满足，得，所以. 故答案为： 18．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知是定义在R上的奇函数，当时，．若在R上具有单调性，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据函数的奇偶性求解函数的解析式，然后再根据分段函数单调性的要求求解参数取值范围即可. 【详解】已知当时，， 假设，则，得：， 由于是定义在上的奇函数，所以，解得： 又，则， 又因为在上具有单调性，可知在上单调递减， 因此可得：，解得：.故的取值范围是. 故答案为： 19．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）由题意得方程，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据单调性可得最值. 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 20．(24-25高一上·北京丰台区·期中)设函数，． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)若对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义结合求解出的值； （2）先分析的正负，再结合单调性定义证明单调性即可； （3）根据条件将问题转化为，结合（2）以及幂函数的单调性求解出的取值范围. 【详解】（1）由已知，得的定义域为，， 又因为是奇函数， 所以，即， 解得． （2）证明： ，且， 则 ， 由，得，，， 于是，即， 所以在区间上单调递增． （3）由已知，得， 由（2）知，在区间上单调递增， 所以， 因为在区间上单调递增， 所以， 所以． 21．(24-25高一上·北京延庆区·期中)1．已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)当时，比较与的次小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求函数的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域. （2）讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围. （3）计算的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小. 【详解】（1）当时，，对称轴为直线， 在上为减函数，在上为增函数， ， 故函数的值域为. （2）函数，对称轴为直线， 当函数在上是单调增函数时，，， 当函数在上是单调减函数时，，， 综上得，实数的取值范围为. （3）当时，，对称轴为直线， 在上为减函数，在上为增函数，且， ∵， ∴，故. 22．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知函数． (1)判断函数是否具有奇偶性，并证明； (2)当时，判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1)为定义在上的奇函数，证明见详解 (2)在区间上单调递增，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）可证在区间上单调递增，结合（2）可得：，再结合奇函数性质求值域. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，证明如下： 由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为定义在上的奇函数. （2）若，则在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，则， 当时，， 由（2）可知：在区间上单调递增， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在区间上单调递减. 则，且， 由（1）可知：为定义在上的奇函数， 可得当时，； 综上所述：函数的值域为. 23．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知的定义域为，且满足，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可. （2）先判断单调性，再利用定义法证明即可. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数， 因为在处有定义，所以， 得到，解得，此时， 因为，所以，解得， 故的解析式， （2）在上单调递增，理由如下， 任取，且使， 而， ， 因为，所以，， 由已知得，所以，故， 故，即， 最后得到在上单调递增. 24．(24-25高一上·北京海淀区·期中)4．已知函数． (1)证明：为奇函数． (2)判断在上的单调性，并证明你的结论． (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)证明见详解. (2)在是增函数，证明见详解. (3) 【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明； （2）利用单调性的定义进行证明； （3）利用前面的结论列出不等式组进行求解. 【详解】（1）由已知函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的， 都有：， 为奇函数. （2）在是增函数，证明如下： 选择任意的，满足，则， 通分化简：， 由可得：，，，； 即，有. 证得在是增函数. （3），则， 由是奇函数，则， 又由是增函数，则；结合定义域，得到不等式组： ，解得. 故解集为： 25．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)5．已知函数是上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用函数的奇偶性和特殊点求得并验证即得. （2）判断函数在上的单调性，进而求出最大值. （3）利用（2）的结论，构造一次函数，建立不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数是上的奇函数，则，， 由，得，解得， 于是，显然，即函数是奇函数， 所以的解析式是. （2）且，即，则，， 则， 即，因此函数在上单调递增， 所以在区间上的最大值为. （3）由（2）及对所有的恒成立，得， 依题意，，，令， 因此，恒成立，则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 26．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知函数 (1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由； (2)用函数单调性的定义证明：在上是增函数； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)函数不具有奇偶性 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过函数定义域不关于原点对称可得函数不具有奇偶性. （2）利用定义法即可证明函数在上是增函数. （3）根据函数单调性可求函数的最值，即可得到值域. 【详解】（1）函数定义域为， 由于函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性. （2）. ，且，则 ， ∵，∴， ∴，即， ∴在上是增函数. （3）由（2）得，函数在上是增函数， ∴， ∴函数在区间上的值域为. 地 城 考点04 函数的应用 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在定理说明． 【详解】解：因为， 所以， 故选：C. 2．(19-20高一上·北京第四中学·期中)函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（　　） A．（2，+∞） B．（1，2） C．（0，1） D．（﹣1，0） 【答案】B 【分析】求出，即得解. 【详解】由题得， 所以， 因为函数是R上的连续函数， 故选B 3．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理即可判断. 【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 4．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理说明即可． 【详解】因为，，， 又函数在上单调递增， 所以，所以函数在存在零点. 故选：B. 5．(22-23高一上·北京拔萃双语学校·期中)果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【详解】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 6．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解二分法求零点的原理，二分法是不断将区间一分为二，根据函数值的正负来确定零点所在的子区间.然后根据已知条件，分析近似值与真实零点的误差范围. 【详解】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么. 已知，那么，. 由于，所以，. 所以近似值与真实零点的误差的取值范围是. 故选：B. 7．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)关于的方程的两个实数根，满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性判断即可求. 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，， 所以，解得. 故选：C 8．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】B 【分析】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为，由题意得到与的函数关系，借助二次函数即可求解. 【详解】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为， 由题意，则有， 因为，所以当时，取到最大值为. 故选：B 9．(24-25高一上·北京海淀区·期中)函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断在上的单调性，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，，所以，所以在上存在一个零点. 故选：B 10．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知二次函数，对任意的，都有，则（   ） A．有两个正零点 B．有一正一负两个零点 C．有两个负零点 D．无零点 【答案】B 【分析】赋值先令可得，再由恒成立，代入化简可得，然后根据判别式和两根之积小于零判断即可； 【详解】因为对任意的，都有， 取，可得，即，即； 又恒成立，代入可得恒成立， 即恒成立，所以， 令，，所以有两个根， 又，所以一正一负， 综上有一正一负两个零点， 故选：B. 11．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C 12．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①：根据奇函数定义分析判断即可；对于②：根据中心对称的定义分析判断；对于③：整理可得，构建，结合函数图像分析判断；对于④：取，代入解方程即可得零点个数. 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于①：当时，， 则，所以为奇函数，故①正确； 对于②：因为， 所以函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③：若，令，可得， 构建，可得其图像如图所示， 可知在上单调递增，且的值域为， 则与恒有一个交点，即有且仅有1个零点，故③错误； 对于④：例如，则， 令，解得或， 所以存在，使得函数有三个不同的零点，故④正确； 综上所述：真命题的个数为3. 故选：C. 13．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)设函数，其中． (1)若有两个零点．求实数的取值范围； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据零点定义，利用判别式即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，根据二次函数在闭区间上的单调性求出最值即可. 【详解】（1）有两个零点，即方程有两个解， 即，即，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）的对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以，， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当时，在上单调递减， 所以，. 14．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)设函数，其中． (1)对于任意，都有，求t的值； (2)若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： (3)若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解； （2）根据图象变换结合题意可得，解不等式即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则任意，都有，等价于，根据二次函数的性质，分，，和来讨论即可求解. 【详解】（1）函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以. （2）由题意得， 即，解得或， 所以的取值范围是. （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 则任意，都有，等价于， ①当时，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以； ②当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 所以， ③当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以， ④当时，在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以； 综上：的取值范围是. 15．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知函数 (1)当时，方程在上有实根，求实数的取值范围； (2)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)关于的不等式的解集中的正整数解恰有3个，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）整理函数的解析式，求得边界点，将点代入函数求得参数值，根据函数图象，可得答案； （2）根据对勾函数的单调性，结合作差法构造的函数，求得最值建立不等式，可得答案； （3）根据复合函数的性质，明确函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由，则，即，， 将代入函数，可得，解得； 将代入函数，可得，解得. 方程在上有实根等价于函数与函数在上有交点， 当增大时，可得函数的图象向上平移，如下图： 由图可得. （2）易知函数，当时，，当且仅当，即， 由，且在上单调递增， 则 由题意可得，则，解得. （3）. 由函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，易知不符合题意； 当时，在上单调递减，由题意可得， 则，解得. 16．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知函数，满足下列两个条件 条件①：； 条件②：； (1)求，的值； (2)已知函数有两个不同的正数零点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）由条件①可得：；由条件②可得：关于直线对称，结合对称性可得； （2）（i）分析可知有两根不相等的正实数根，利用韦达定理结合判别式求的取值范围； （ⅱ）根据题意利用韦达定理运算求解即可. 【详解】（1）由条件①可得：； 由条件②可得：关于直线对称，则，解得； 所以，. （2）（i）由（1）可知：， 则， 若函数有两个不同的正数零点， 即有两根不相等的正实数根， 则， 解得， 所以实数的取值范围为； （ⅱ）因为， 所以，解得. 地 城 考点05 函数新定义 1．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在在同一坐标系中，画出的图象，从而得到的图象，进而得解. 【详解】令，得到或， 在同一坐标系中，画出与的图象，如图， 因为，所以图中实线部分为的图象， 由图可知，当时，取到最大值. 故选：C. 2．设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得． 【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在； ②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在； ③函数为偶函数，，令，， 则，存在． 故选：． 4．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据的单调性结合作差法判断的正负，然后逐项分析可得结果. 【详解】①：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以，所以，故（ii）满足； 所以具有“丰彩”性质； ②：在上单调递增，故（i）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； ③：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以， 所以， 所以具有“丰彩”性质； ④：的对称轴且开口向下， 所以在上单调递减，故（i）满足； 因为， 又因为，，所以，所以，故（ii）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； 故答案为：①③. 5．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数的定义域为，若满足：对任意的，当时，总有成立，则称为单函数．给出下列四个结论： （1）不是单函数； （2）是单函数； （3）若为单函数，则在定义域上一定是单调函数； （4）若为单函数，则对任意的，当时，总有成立．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】取特殊值，根据新定义判断（1），根据新定义推理可判断（2），举反例判断（3），反证法判断（4）. 【详解】对（1），因为，，不满足单函数定义，所以不是单函数，故（1）正确； 对（2），，当时，可得，即，所以是单函数，故（2）正确； 对（3），为单函数，可取，但是在定义域上不单调，故（3）错误； 对（4），当时，假设，则由单函数定义，可得，矛盾，故，故（4）正确. 故答案为：（1）（2）（4） 6．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得 ，则称函数是“型函数”． （i）是否为“型函数”？ ；（填“是”或“否”） （ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是 ． 【答案】 否 【分析】根据“型函数”的定义，结合特殊值进行判断；对进行分类讨论，根据“型函数”的定义列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. 由于是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. 故答案为：否； 7．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． (1)分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与． 【答案】(1)①③为“函数”，②不为“函数” (2) (3)， 【分析】（1）根据“函数”的定义结合方程思想逐项分析求解即可； （2）分析可知原题意等价于无解，即可得结果； （3）根据单调性以及“函数”的定义可知，，并代入检验. 【详解】（1）对于①：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 对于②：令，即， 整理可得，解得， 即不恒成立，所以不为“函数”； 对于③：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 综上所述：①③为“函数”，②不为“函数”. （2）令， 则，整理可得， 原题意等价于无解， 若，则，即无解，符合题意； 若，解得，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （3）因为的单调递增区间为，由题意可知：， 若且，则， 即，不合题意，可知， 且的定义域为，则，. 此时，其图像如图所示， 可知在上单调递增， 当时，则，不满足，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 综上所述：恒成立，函数为“函数”， 所以，. 8．(20-21高一上·重庆第八中学校·月考)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 地 城 考点06 对指幂函数 1．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质计算三个数的范围，即可比较数的大小. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以. 故选：A. 2．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的性质可知，函数在上为减函数，再利用偶函数的性质将所求不等式化为，可得出，利用指数函数的单调性得出，解出即可. 【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增， 所以，函数在区间上为减函数， 由得，所以，， 即，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：A. 3．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在区间上的单调性可得出、的大小关系，从而可得出、、的大小关系. 【详解】指数函数为减函数，所以，，即， 幂函数在区间上为增函数，所以，，即. 因此，. 故选：C. 4．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法可得解. 【详解】由已知，设，且， 又函数图像过点， 即， 解得， 即， 故答案为：. 5．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)计算 . 【答案】 【分析】利用指数的运算法则和对数的换底公式可计算出所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 6．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)计算： . 【答案】2 【分析】根据对数的运算性质求值即可. 【详解】. 故答案为：2. 7．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】/ 【分析】设，将代入可求出，所以，即可求出. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点， 所以，所以, 所以，所以， 故答案为：. 8．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 【答案】(1) (2) (3)为奇函数. 【分析】（1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得. （2）根据函数的单调性来求得最大值. （3）根据函数的奇偶性的定义进行判断. 【详解】（1）设幂函数，因为的图象过点， 所以，得.所以.所以. （2）因为， 所以在区间上单调递增. 所以在区间上的最大值为. （3）因为函数， 所以. 因为的定义域为， 所以. 所以为奇函数. 【好题推送】 1．(24-25高一上·北京大兴区·期中)函数则 ；不等式的解集为 ． 【答案】 0 【分析】根据给定条件求出的值，即可求得的值； 根据分段函数的解析式，对自变量进行讨论，解不等式即可得到答案. 【详解】因为，所以，即； 依题意，不等式等价于：或， 解，得：；解，得：； 综上可得：或，故原不等式的解集为. 故答案为：0， 2．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知函数，给出下列四个结论： ①函数是偶函数； ②函数的增区间为； ③不等式的解集是； ④当时，令，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④. 【详解】函数的定义域为R， 对于①，，函数是偶函数，①正确； 对于②，，函数的增区间为，②错误； 对于③，不等式，则或， 解得或，所以不等式的解集是，③错误； 对于④，依题意，， 当时，， 当且仅当，即时取等号； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 而， 即，所以的最小值为，④正确. 故所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 3．(24-25高一上·北京丰台区·期中)设函数，若，则的值域是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】第一空，利用二次函数与反比例函数的性质即可得解；第二空，作出二次函数与反比例函数的图象，分析的取值范围，数形结合即可得解. 【详解】第一空：当时，， 当时，， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以的值为； 当时，函数为单调递减函数，其值域为， 综上，的值域是； 第二空：作出函数与的图象，如图， 因为的值域是， 当时，， 若，由图象可知可取得无穷小，不满足题意， 由第一空可知也不满足题意，则必有， 所以，得，则， 当时，，， 且当时，解得或， 即，，结合图象可知， 综上，，即实数c的取值范围是. 故答案为：；. 4．设，，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出，的大致图象，由恒成立，利用数形结合可得到关于a的不等式，解不等式即可得解. 【详解】 作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示. 要使恒成立，必有，即， 又，所以. 故答案为： 5．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)函数, ①当时，的单调递增区间为 . ②若恰有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】①根据条件，得到，再利用基本函数的单调性，即可求解； ②先作出，利用的零点为和，再对进行分类讨论，分，，三种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】①当时，，又， 所以， 当时，，此时的单调递增区间为， 当时，，对称轴为，且图象开口向下， 由二次函数的性质知，单调递增区间， 又，所以当时，的单调递增区间为. ②的图象如图， 由图知，当时，在上有个零点， 则在有且仅有一个零点， 对称轴，又，，则满足题意， 当时，在上有个零点， 则在有个零点， 又对称轴为，图象开口向下，且，， 当，即时，，所以满足题意， 当，即时，在区间上单调递增， 又，则，得到， 当时，要使有三个零点，则，且在有个零点， 此时对称，又，则， 即， 令，对称轴，在区间上单调递减， 且，所以， 综上，实数的取值范围是. 6．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知函数，当时，的最小值是 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，写出函数的解析式，结合分段函数的性质可求得函数的最小值； 分、、三种情况讨论，分析函数的单调性由条件列不等式，可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，则；当时，， 故当时，函数的最小值为； （2）由上可知，当时，函数存在最小值； 当时，函数在上单调递增， 此时， 则函数不存在最小值； 当时，函数在上单调递减，此时， 若且时，则，由题意可得，解得， 此时，； 若且时，函数在上单调递增，则， 由题意可得，即，该不等式无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 7．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】（1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，由可得，则有； 当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ①当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ②当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使. 综上可得，. 8．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值点为0； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是； ③当时，方程有两个不等的实根； ④当时，函数存在最大值． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断①③④的真假；结合函数单调性的概念，求参数的取值范围，可判断②的真假. 【详解】对①，当时，函数， 可知函数在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，所以当时，；函数在上单调递增，恒有. 综上可知：当时，函数的最大值点为0.故①正确； 对②，因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以要使在上单调递增，须有 .故②正确； 对③，当时，在上，，方程无解； 在上，恒成立，方程无解； 在上，函数，单调递增，方程至多有1解. 故当时，方程至多有1解. ③错误； 对④，当时，函数在上单调递增，；在上，函数有最大值；在上，恒成立. 因为，所以成立，所以此时函数有最大值，为.故④正确. 故答案为：①②④ 9．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知函数过点. (1)求函数的解析式及定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)令，求的解析式，并证明的图像关于对称. 【答案】(1)，定义域为 (2)偶函数，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据条件可得，即可得，由解析式可直接求出定义域，即可求解； （2）利用奇偶函数的判断方法，即可求解； （3）利用，即可得，再任取一点，通过证明其关于对称的点也在的图象上，即可求解. 【详解】（1）因为函数过点，则，得到， 所以，定义域为. （2）函数为偶函数，证明如下， 因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数. （3）因为， 设是图象上任意一点，关于的对称点为， 因为，所以， 即点也在图象上，所以的图像关于对称. 10．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a、b的值； (2)用定义证明在上为减函数； (3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得a； （2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论； （3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为恒成立，利用判别式求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，且， ，解得：， ， ， ，解得：； 当，时，， ，满足为奇函数； 综上所述：，； （2）由（1）得：； 设，则， ，，， ， 在上为减函数； （3）由得：， 又为上的奇函数，， ， 由（2）知：是定义在上的减函数， ，即恒成立， 所以只需， 解得，即实数的取值范围为. 11．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用单调性定义证明在区间上单调递减； (3)若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围． 【答案】(1)是偶函数，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）求出定义域，找出的关系； （2）利用四步证明，取值，作差变形，定号，下结论； （3）根据偶函数及在上单调递减，要使，与轴交于正半轴且将代入函数值小于． 【详解】（1）解：的定义域为， ， 是偶函数； （2）解：且， 且， ，，， ， 则， 即， 在区间上单调递减； （3）解：的图象与轴交于两点，且， 则， 解得：． 12．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数为上的偶函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并依据单调性的定义证明； (3)若，且，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）当时，，则，由偶函数的概念，即可求得的解析式； （2）在上单调递减.利用函数单调性定义，设，作差，整理变形即可证明； （3） 【详解】（1）由已知，当时，， 因为为偶函数，所以. （2）结论：在上单调递减. 证明：任取，且， ， ， 因为，所以， 所以， 因此，所以在上单调递减. （3）结论： 理由如下：因为，，则，解得， ①当时，且在上单调递减，所以； ②当时：且在上单调递减， 所以 因为为偶函数，故 综上：. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $