专题01 集合与逻辑（九大题型+好题推送）（期中真题汇编，北京专用）高一数学上学期

专题01 集合与逻辑（九大题型+好题推送） 9大高频考点概览 考点01 集合的含义与表示 考点02 集合的基本关系 考点03 集合的运算 考点04 利用文氏图解题 考点05 根据集合的关系与运算求参数 考点06 集合的新定义问题 考点07 充分、必要条件的判断 考点08 根据充分、必要条件求参数 考点09 集合与逻辑综合题 地 城 考点01 集合的含义与表示 1．(24-25高一上·北京·期中)设集合,则集合中元素的个数是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C． 2．(24-25高一上·北京·期中)下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据元素与集合的关系以及常见数集的符号表示即可得出选项. 【详解】为正整数集，则，故A不正确； 为自然数集，则，故B正确； 为整数集，则，故C正确； 为有理数集，则，故D正确； 故选：A 【点睛】本题考查了常见数集的符号表示，需熟记符号所表示的数集，属于基础题. 3．(21-22高一上·北京西城区·期末)方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可. 【详解】由，消去得，解得，所以方程组的解为或， 所以方程组的解集. 故选：C 4．(24-25高一上·北京·期中)如果集合中只有一个元素，则的值是 ． 【答案】0或1 【分析】当，，满足条件，当，由，求得．综合可得的值． 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故答案为：0或1 5．(24-25高一上·北京·期中)已知集合，且，则m的值为 ． 【答案】或/3或1 【分析】根据题意得到，，解方程再验证得到答案. 【详解】，， 当时，，此时，满足条件； 当时，， 时，不满足互异性，排除；时，，满足条件. 综上所述：或. 故答案为：或. 6．(24-25高一上·北京丰台区·期中)设集合，若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系，建立关于的方程，解方程及验证得解. 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ①当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ②当时，，满足题意，则实数的值为. 故答案为：. 7．(24-25高一上·北京延庆区·期中)求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，方程解集为. (3) (4) 【分析】（1）解一元二次方程即可得解集. （2）对分类讨论即可得方程的解集. （3）利用换元法令，把原方程化为一元二次方程，结合的取值范围即可得到原方程的解集. （4）利用代入消元法即可得到方程组的解集. 【详解】（1）由得，， 解得，故方程的解集为. （2）当时，方程无解，解集为， 当时，解方程得，方程解集为. （3）令，则方程可化为， 解方程得，（舍）， ，故方程解集为. （4）由得，，解得, 方程组的解为，， 故方程组解集为. 地 城 考点02 集合的基本关系 1．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知集合满足，则有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出集合的真子集个数即可得解. 【详解】集合满足，则集合可视为集合与集合的每个真子集的并集， 而集合的真子集个数为， 所以有7个. 故选：D 2．(24-25高一上·北京大兴区·期中)设集合，则不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合A，再根据元素与集合、集合与集合的关系及子集的性质逐一判断. 【详解】，显然A正确；B不正确； 因为是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故C、D正确； 故选：B. 3．(24-25高一上·北京·期中)已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素； ③存在且；④存在且； 这四个命题中，真命题的个数为（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，由子集的定义分析、元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案． 【详解】根据题意，“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题．则其否定为真， 则非空集合的元素不都是集合的元素， 据此分析4个命题： ①的元素不都是的元素，正确， ②的部分元素可以为的元素，不正确， ③可能的元素都不是的元素，故存在且，不正确， ④存在且，正确， 其中正确的命题有2个， 故选：． 4．(24-25高一上·北京通州区·期中)设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 5．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 6．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7．(24-25高一上·北京海淀区·期中)已知，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得，即可得到或，从而求出的值，再检验即可. 【详解】因为，所以，又， 所以或， 解得或或， 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当或时，经检验均符合题意； 综上可得或 故答案为：或 8．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知，集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 9．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 地 城 考点03 集合的运算 1．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：A. 2．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知全集或，则集合（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意利用补集和交集运算求解即可. 【详解】因为全集或， 则，所以. 故选：B. 3．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的运算法则直接求解. 【详解】由于集合，， 所以， 故选：. 4．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知集合，若存在，使得中恰有2个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意方程在区间恰好有两个根，由此即可依次列出关于的不等式，并求解即可. 【详解】由题意存在，使得方程即方程在区间恰好有两个根， 一方面，若，则方程在区间最多有一根，矛盾， 所以只能，由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以首先， 另一方面：方程即方程在区间的两个根的差的绝对值不超过2， 从而，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 5．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知全集且，则集合中的元素有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】利用列举法表示集合，解不等式化简集合，再求出即可得解. 【详解】依题意，，解不等式，得，则， 所以，集合中的元素有4个. 故选：B 7．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】集合，， 所以 . 故选：C. 8．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的含义即可求解. 【详解】因为 所以. 故选：C. 9．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，，所以. 故选：D 10．(24-25高一上·北京延庆区·期中)0．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，所以 ， 故选：D. 11．(24-25高一上·北京·期中)已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，所以. 故选：C 12．(24-25高一上·北京·期中)已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 13．(24-25高一上·北京·期中)全集为，集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】解不等式得到，，结合补集和交集的概念求出答案. 【详解】由，故，， 又， 故或， 或. 故选：C 14．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解一元二次方程解得集合，再求并集即可. 【详解】 ，又， 故 . 故选：D. 15．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】由题意. 故选：C 16．(24-25高一上·北京·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由得又， 故 ， 故选：A 17．(24-25高一上·北京·期中)已知集合且，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合包含的元素特征，结合的结果可得结果. 【详解】，. 故选：D. 18．(24-25高一上·北京海淀区·期中)已知，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得，即可得到或，从而求出的值，再检验即可. 【详解】因为，所以，又， 所以或， 解得或或， 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当或时，经检验均符合题意； 综上可得或 故答案为：或 19．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知集合且，满足：，，则 ； . 【答案】 【分析】利用集合的交并补定义求解即可得集合. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 若，则，则不满足， 所以，所以. 故答案为：；. 20．(24-25高一上·北京通州区·期中)设集合、是两个实数集，给出下列三个结论： ①若，则，使，且； ②若，，则； ③若，，且“”的充要条件是“”. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】根据交集的定义可判断①的正误；求出集合、，利用交集的定义求出集合，可判断②的正误；对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证或得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，可判断③的正误. 【详解】对于①，若，则，使，且，①对； 对于②，， ，则，②对； 对于③，因为， ， 当时，则，此时，， 当时，则或，此时，， 当时，则或，要使得，则，此时，， 综上所述，“”的充要条件是“”，③错. 故答案为：①②. 21．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知全集，集合为的两个非空子集，且，则 ；满足的一个集合为 . 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据补集的定义以及子集定义即可求解. 【详解】由于，，故 ， ，则. 故答案为：，（答案不唯一） 22．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知全集，集合，其中． (1)化简集合A，并求集合； (2)若，求集合； (3)若，都有或，求实数的取值范围． 【答案】(1)化简见解析， (2)或 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式求集合A，进而可得其补集； （2）可得，进而可得交集； （3）分析可知，结合交集运算求解. 【详解】（1）由，解得或，可得或， 所以. （2）若，则， 所以或. （3）由题意可知：， 且或，， 可得，所以实数的取值范围为. 23．(24-25高一上·北京朝阳区东北师范大学附属中学朝阳学校·期中)3．已知全集，集合，. (1)求； (2)求； 【答案】(1) 或； (2). 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再应用交运算求集合； （2）应用集合的并补运算求集合. 【详解】（1）由或，， 所以 或； （2）由（1）知，故 . 24．(24-25高一上·北京海淀区·期中)已知全集，求． 【答案】答案见解析 【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求得或，结合交并补集的定义和概念计算即可. 【详解】由题意知，或， 所以，， 或，所以. 25．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知全集，集合. (1)求； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）首先求集合，再求集合的运算； （2）根据子集关系，比较端点值，即可求解. 【详解】（1）由题意，集合或， 又因为，所以. 因为全集，所以或. （2）因为， 所以或，即或. 所以实数的取值范围为. 26．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）解不等式求出，，从而求出并集及补集； （2）列出不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）解得：，故， 当时，， 所以，或； （2）， 因为，所以， 综上：的取值范围为. 地 城 考点04 利用文氏图解题 1．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是 . 故选：B. 2．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)设全集，，．如图所示，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图中阴影部分所表示的集合为，根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A 地 城 考点05 根据集合的关系与运算求参数 1．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)设集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求得集合，可求，； （2）由已知可得，只需：或，求解即可. 【详解】（1）由，得，所以， 若，， 所以， 所以， 所以； （2）， 只需：或， 解得：或， 所以的取值范围是. 2．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知集合，． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用绝对值不等式以及一元二次不等式化简集合,即可根据并集定义求解， （2）根据交集的结果可得，即可分类讨论求解. 【详解】（1）由可得， 当时，， 故 （2）由可得， 当时，，解得，符合题意， 当时，若 ，则， 故，解得， 若 ，则， 故，解得， 综上可得 3．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知全集，集合. (1)求； (2)再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：；条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）结合集合关系及集合运算，根据所选条件列不等式，由此来求得的取值范围. 【详解】（1）因为集合， 所以或. 所以. （2）选择条件①： 因为，所以. 所以，或. 所以，或. 因为，所以. 所以的取值范围是. 选择条件②： 因为，所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以的取值范围是. 4．(24-25高一上·北京陈经纶中学·期中)已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合，进而求得. （2）根据，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的值. （3）根据集合的元素的个数进行列举，由此求得正确答案. 【详解】（1）令，解得，， 当时，， 令，解得，， 所以. （2）由， ①当时，，符合题意， ②当时，，此时不满足， ③当时，， 若，则需，此时方程组无实数解. 综上，. （3）集合， 由（2）可知， 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，要使中有且只有三个元素， 而，则，则，. 所以或. 5．(24-25高一上·北京·期中)已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围． 【答案】a≥﹣1或a． 【分析】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围． 【详解】 假设集合A、B、C都是空集， 对于A，元素是x，，表示不存在x使得式子 成立， ，解得； 对于B，，同理，解得 或者； 对于集合C，，同理，解得； 三者交集为 ； 取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集， ∴a的取值范围是或 ； 综上， 或 . 地 城 考点06 集合的新定义问题 1．(24-25高一上·北京·期中)对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（    ） A．对于函数，有成立 B．若是二次函数，且A是空集，则B为空集 C．对于函数，有成立 D．对于函数，存在，使得成立 【答案】D 【分析】根据所给定义结合函数的性质一一判断即可； 【详解】解：对于A：函数，，故A正确. 对于B：若A是空集，则恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以无解，即B为空集，故B正确. 对于C：函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且.又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确. 对于D：函数，，，，故D错误. 故选：D 2．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可. 【详解】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C. 3．(24-25高一上·北京·期中)设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 【答案】（1），；（2）4；（3），或. 【解析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值； （2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况， 排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值； （3）假设，，根据定义可得或，进而得到A. 【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故， SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故. （2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ； （3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因， 故，所以， 设，则是的因数， 所以是的因数，且是的因数，因为， 所以，因为是的因数，所以， 因为是的因数，所以是的因数， 因为，所以，所以或， 故，或， 所以当取到最大值4时，故，或. 【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质 4．(24-25高一上·北京·期中)对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质． (2)是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由． (3)若存在、具有性质，且，使，求的最大值． 【答案】(1)，中的元素个数分别为9，14，不具有性质． (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性质． （2）假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． （3）当时，不存在，具有性质，且，使．，根据、、分类讨论，能求出的最大值为14． 【详解】（1）解： 对于任意的，记集合，2，3，，，．当时，； 当时，，集合，中的元素个数分别为9，， 集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质， 因为，，，，不符合题意， 不具有性质． （2）证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，． 因为，所以， 不妨设．因为，所以，． 同理，，．因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． （3）解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使． 若，当时，， 取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则，具有性质，且，使． 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为， 令，， 则，具有性质，且，使． 当时，集中除整数外，其余的数组成集合， 令，． 则，具有性质，且，使． 集合中的数均为无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则，且． 综上，所求的最大值为14． 5．(24-25高一上·北京丰台区·期中)给定正整数 ，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质 (2) (3)，，，， 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【详解】（1）因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质， 集合中的，， 所以集合不具有性质， 所以集合具有性质，集合不具有性质； （2）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以，       不妨设，则，且， 令，， 则，且，且， ①当时，显然， 因为，所以， 所以，解得，         此时，具有性质； ②当时，则， 因为且， 所以，， 所以，解得， 此时，与题意不符（舍）， 综上，， 故； （3）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以， 不妨设，， 此时， 若，显然， 所以， 由集合具有性质， 所以，， 因为且与互为相反数， 所以，两个数中必然一正一负， 所以中有0，有正数也有负数， 下面对中元素的正负个数进行讨论： （1）当中有1个负数，4个正数时， 不妨设，， 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （2）当中有4个负数，1个正数时， 不妨设时，， 因为均小于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （3）当中有2个负数，3个正数时， 不妨设时，，， 因为， 所以， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以， 即，① 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以，， 因为，， 所以，，， 故，，，， 所以，，，② 由①②，得， 于是：. （4）当中有3个负数，2个正数时， 由（3），同理可得， 由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个， 分别是，，， ，. 6．(24-25高一上·北京大兴区·期中)若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合. (1)写出一个具有性质的集合，并说明理由； (2)若，证明：集合和不可能都具有性质； (3)若集合有4个元素，，且， ，证明：这个集合不可能同时都具有性质． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）需要根据性质的定义，在给定集合中找出满足条件的四个元素组成集合，并验证. （2）需要假设它们都具有性质，然后推出矛盾.这里要用到性质的定义以及集合的相关性质. （3）可以采用反证法，假设这个集合都具有性质，然后根据集合的并集、交集性质以及性质的定义推出矛盾. 【详解】（1）取，满足， 所以是具有性质的集合. （2）因为， 所以和中一个为奇数，一个为偶数. 所以中至多有2个偶数. 若和都具有性质J，由中有4个奇数和4个偶数知，中必有两个偶数. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 故若和不可能都具有性质J. （3）假设集合同时都具有性质J，则每个集合中至多有两个偶数. 因为中恰有2n个偶数，所以这n个集合中都只含2个偶数. 设,其中为偶数，为奇数. 所以, 且. 由题意知，，即. 因为. 所以 矛盾，故假设不成立. 所以集合不可能同时都具有性质J. 7．(23-24高一上·北京第十九中学·期中)已知集合A为数集，定义.若，定义：. (1)已知集合，直接写出，及的值； (2)已知集合，，，求，的值； (3)若.求证：. 【答案】(1),,; (2)，; (3)详见解析 【分析】（1）利用题给定义即可求得，及的值； （2）利用题给定义即可求得，的值； （3）先转化的含义，再利用文氏图即可证得成立. 【详解】（1）集合， 则，， （2）集合，，， （3）由， 可得的值即为两集合中相异元素个数， 定义为集合A中元素个数， 则 令， ， , 则 则 ， 故有. 8．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)对于非空有限数集，记或表示中所有元素的个数. (1)若，用列举法直接写出； (2)给定且，设，对于且，记，求的最小值（用表示）； (3)设非空有限数集满足以下条件：①；②；③.求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义可求解； （2）分，，结合的奇偶讨论可求解； （3）由已知有，，结合条件得，进而可得与间元素存在一一对应关系，可得结论. 【详解】（1）； （2）当时：， 若为偶数，，当且仅当时取等号， 若为奇数，，当且仅当时取等号， 当时：， 若为偶数，，当且仅当时取等号， 若为奇数，，当且仅当时取等号， 综上，当为奇数时，的最小值为， 当为偶数时，的最小值为； （3）对于，记且且， 则有：， ， 故：， ， 由于， 则均为非空集合， ， 进而有：， 任取，由于，则， 因为，所以， 而，则，故， 若，则，则， 与矛盾，故有， 同理，任取，有， 即：与间元素存在一一对应关系， 所以，故. 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合条件分类讨论，即可求解. 9．(24-25高一上·北京延庆区·期中)设集合，对于集合A中的任意元素和及实数，定义：当且仅当时 ；.若A的子集满足：当且仅当时，，则称为A的完美子集. (1)集合，，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由； (2)集合，若不是A的完美子集，求的值. 【答案】(1)是A的完美子集，不是A的完美子集，理由见解析； (2). 【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当时，即可得解； （2）先计算 ，接着由得方程，解该方程得或，再结合元素互异性分类讨论和这两种情况即可得解. 【详解】（1）是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下： 对于，因为， 所以， 所以当且仅当时，， 所以是A的完美子集； 对于，因为， 所以 ， 令， 所以存在无数组解使得， 如当时，， 所以不是A的完美子集. （2）因为， 所以， 所以 ， 因为不是A的完美子集，所以存在，使得， 即存在使得， 解方程组得， 由集合互异性可得且，故且， 所以解得或，且由得， 若，则有 ， 所以存在无数组解使得， 如当时，， 所以不是A的完美子集，符合题意； 当且时，则由得， 所以由得，又得，故，不符合题意； 综上的值为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论； （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况； （3）类比新定义中的概念、原理、方法去解决题中需要解决的问题. 10．(22-23高一上·北京东城区·期末)对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； (3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)n的最大值为11 【分析】（1）根据新定义即可求出； （2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值. （3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. 【详解】（1）由集合知，， 所以. （2）因为，， 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中 这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 所以有一组满足题意， （3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以 ， 解得或（舍去）， 所以n的最大值为11. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 地 城 考点07 充分条件与必要条件 1．(24-25高一上·北京·期中)已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件； 反之,若,则函数不一定是奇函数,“ f(x) 为奇函数”不是必要条件.应选A. 考点：充分必要条件. 2．(24-25高一上·北京·期中)“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先根据得到或，从而得到答案. 【详解】由，解得或. 所以“”是“”的必要而不充分条件 故选：B 【点睛】本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式的解法，属于简单题. 3．(24-25高一上·北京·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．(24-25高一上·北京丰台区·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质以及充分不必要条件即可求解. 【详解】因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．(24-25高一上·北京陈经纶中学·期中)设，则“”是“函数在上是减函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数的单调性、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】函数在上是减函数，则. 所以“”是“函数在上是减函数”的充分而不必要条件. 故选：A 6．(19-20高一·北京中关村中学·月考)下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，故由不能得到，充分性不成立，故不正确； 对于B选项，，两者互为充要条件，故不成立； 对于C选项，，反之，不然，故满足条件； 对于D选项，，故是的必要不充分条件，不满足； 综上，只有C正确. 故选：C 【点睛】本题考查充分不必要条件，是基础题. 7．(24-25高一上·北京·期中)设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】若，则， 作出函数图象，   ， 由图象可知成立，但显然不为减函数； 若为减函数，又，则， 所以“”是“为减函数”的必要不充分条件. 故选：B 8．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解分式不等式，再根据集合的包含关系，判断选项. 【详解】，解得：， 集合， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．(24-25高一上·北京·期中)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10．(24-25高一上·北京·期中)若，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】当时，不成立；当时，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题． 11．(24-25高一上·北京·期中)已知定义在R上的函数则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据分段函数求值和自变量，结合充分条件和必要条件判断即可. 【详解】若，则，所以， 若，则，所以， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 12．(24-25高一上·北京·期中)设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，，，． 【详解】根据不等式的可加性可得成立； 反之不成立，例如取，，，，满足，但是不成立， ∴是的充分不必要条件，故选A． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 13．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由时，判断关于的不等式的解集是否为；再根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】当时，二次函数开口向下， 又的， 所以关于的不等式的解集为； 又，因为关于的不等式的解集为， 所以有，解得， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分必要条件. 故选：C. 14．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性结合给定条件证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】因为，所以， 故，即是奇函数， 若，可得，故， 可得，故充分性成立， 令，，此时满足， 但不满足，故必要性不成立，故A正确. 故选：A 地 城 考点08 全称量词与存在量词 1．(24-25高一上·北京·期中)已知命题p：，，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案 【详解】因为命题p：，是全称命题， 所以命题的否定为，. 故选：A 2．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全称命题的否定可得出原命题的否定. 【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，熟悉全称命题的否定是判断的关键，属于基础题. 3．(24-25高一上·北京·期中)已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答. 【详解】由题意得，因为全称命题的否定是特称命题， 故则命题的否定是. 故选：D 4．(24-25高一上·北京海淀区·期中)命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“”为特称量词命题， 其否定为：. 故选：A 5．(24-25高一上·北京大兴区·期中)命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定结构直接判断即可 【详解】命题“”的否定为：. 故选：D 6．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定式特称命题分析判断. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 7．(24-25高一上·北京通州区·期中)命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数”的否定是（    ） A．存在一个实数，它的绝对值是正数 B．存在无数个实数，它的绝对值不是正数 C．任意一个实数，它的绝对值都不是正数 D．任意一个实数，它的绝对值都是正数 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定判断即可. 【详解】命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数“的否定命题是： “任意一个实数，它的绝对值都是正数”. 故选：D 8．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出取得最小值的条件，进而求出的范围，再利用其否定为真命题即可得解. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号，而，则， 由“函数的最小值为2”为假命题，所以. 故选：D 9．(24-25高一上·北京·期中)已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是． 故选：B． 10．(24-25高一上·北京·期中)设有下面四个命题，其中真命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量词的意义，逐项分析其真假，即可求解. 【详解】对A：由恒成立，故该命题为假命题，故A错误； 对B：当时，，故该命题为假命题，故B错误； 对C：，故该命题为真命题，故C正确； 对D：，故无解，故该命题为假命题，故D错误. 故选：C. 11．(24-25高一上·北京房山区·期中)设命题，.则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】因为命题，， 所以为：， 故选：. 12．(24-25高一上·北京丰台区·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”， 故选：A. 13．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】根据命题“”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即“”，从而得到答案． 【详解】命题“”的否定是“”， 故答案为：. 14．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值： ； . 【答案】 （答案不唯一，满足且即可） 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】由，得到，即， 若，则是假命题，则有，即， 所以符合题意的一组的值为， 故答案为：；（答案不唯一，满足且即可） 15．(24-25高一上·北京通州区·期中)设集合、是两个实数集，给出下列三个结论： ①若，则，使，且； ②若，，则； ③若，，且“”的充要条件是“”. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】根据交集的定义可判断①的正误；求出集合、，利用交集的定义求出集合，可判断②的正误；对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证或得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，可判断③的正误. 【详解】对于①，若，则，使，且，①对； 对于②，， ，则，②对； 对于③，因为， ， 当时，则，此时，， 当时，则或，此时，， 当时，则或，要使得，则，此时，， 综上所述，“”的充要条件是“”，③错. 故答案为：①②. 16．(23-24高一上·北京第二中学·)（1）若命题“R，”是真命题，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）答案见解析 【分析】（1）利用二次函数图象得出解得结果； （2）分成，，，，五种情况讨论一元二次不等式的解集. 【详解】（1）∵R，为真命题， 则函数与x轴有交点， ∴，即，解得或． ∴实数的取值范围是或． （2）当时，不等式等价于，即； 当时，原不等式化为， 当时，即时，解得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或． 当时，原不等式化为， 解得． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 地 城 考点10 集合与逻辑综合题 1．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析可知是的真子集，结合包含关系运算求解即可. 【详解】由，可得， 由，可得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 可知是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 2．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据条件得到，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】因为是的必要不充分条件，则， 又，，所以， 故答案为：. 3．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知集合． (1)当时，求； (2)再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围． 条件（1）：； 条件（2）：“”是“”的充分条件． 注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【分析】（1）由集合的交并补运算得到结果即可； （2）选条件（1）时由补集和集合间的包含关系计算即可；选条件（2），先由充分条件得到，再计算即可； 【详解】（1）当时，， 所以， 或，所以， （2）选条件（1）， 或，， 因为，所以，即； 选条件（2）， 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，即. 【好题推送】 1．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解二次不等式，确定集合，在根据并集运算求并集即可. （2）根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）由 ，即. 当时，由 ，即. 所以. （2）因为， 若，则，由得： ； 若，则，成立； 若，则，由得： . 综上，实数的取值范围是：. 2．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知集合，，． (1)求； (2)求实数的值，使得，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化解集合、，再根据交集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可求出，再代入求出，检验即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）因为，， 所以， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，故舍去； 综上可得. 3．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）求出，根据交集、并集以及补集运算，求解即可； （2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围． 【详解】（1）由得，，所以．                因为，所以或，        所以或． （2）因为，所以， 当时，可得，解之可得， 此时，故不满足舍弃， 当时，可得 ，故． 综上可知的取值范围为. 4．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，判断是否能“任意双拆”，并证明； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)7. 【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论. （2）不妨设，利用反证法，通过讨论集合中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立； （3）分析可知集合中每个元素均为奇数，且集合中所有元素都为奇数，分析可知，当时，，根据“任意分拆”的定义可判断集合可“任意分拆”，即可得出结论. 【详解】（1）对于集合，，且，因此集合可双拆， 若在集合中去掉元素，因为，，，则集合不可“任意分拆”； 对于集合，，， 因此集合可双拆， ，在集合中，任意一个数与其它3个数的和都不等， 任意两个数的和与另外两个数的和也都不等，因此集合不可“任意分拆”. （2）集合不能“任意双拆”， 不妨设，反证法：如果集合可以“任意双拆”， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，①，或，②， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，③，或，④， 由①③可得，矛盾；由②③可得，矛盾； 由①④可得，矛盾；由②④可得，矛盾. 因此，当时，集合一定不能“任意双拆”. （3）设集合，由，，， 得均为偶数，因此均为奇数或偶数, 若为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数； 如果为偶数，则也均为偶数， 此时设，则也是可“任意分拆”的， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数， 因此集合中元素个数为奇数， 当时，显然集合不可“任意分拆”； 当时，由（2）可知，不可“任意分拆”，则， 当时，取集合， ，，， ，，， 则集合可“任意分拆”， 所以集合中元素个数的最小值为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与逻辑（九大题型+好题推送) ☆9大高频考点概览 考点01集合的含义与表示 考点02集合的基本关系 考点03集合的运算 考点04利用文氏图解题 考点05根据集合的关系与运算求参数 考点06集合的新定义问题 考点07充分、必要条件的判断 考点08根据充分、必要条件求参数 考点09集合与逻辑综合题 目目 考点01 集合的含义与表示 1.(24-25高一上北京期中)设集合A={0,1,2},则集合B={x-yx∈Ay∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 c.5 D.9 2.(24-25高一上·北京·期中)下列说法不正确的是() A.OE N" B.0EN C.0.1Z D.2∈Q |x+y=0 3.(②1-22高一上北京西城区期方程组气x2+y2=2的解集是(） A.{(1,-1),(-1,-1)} B.{(1,1),（-1,1)} C.{(1-1),(-1,1)} D.0 4.(24-25高一上北京期中)如果集合A={xax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是 5.(24-25高一上北京期中)已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为 6.(24-25高一上北京丰台区期中)设集合M={1,a,a2-2a},若0∈M,则实数a的值为一 7.(24-25高一上北京延庆区·期中)求下列方程（组）的解集： (1)x2+5x-6=0 (2)ax=3 (3)x+2Wx-1=0 等+y2=1 4④y=x+1 1/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 集合的基本关系 1.(24-25高一上北京延庆区·期中)已知集合A满足{1}三A{1,2,3,4},则A有() A.2个 B.4个 C.5个 D.7个 2.(24-25高一上北京大兴区期中设集合A={aa2=1},则不正确的是() A.-1∈A B.(1}=A C.0二A D.{-1,1}∈A 3.(24-25高一上·北京期中)己知非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素； ③存在x∈P且x∈M;④存在x∈M且x庄P: 这四个命题中，真命题的个数为()· A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2425高一上北京通州区期中设集合M为非空集合，且M∈{x∈N|x≥3}，若m∈M,则器∈M ，满足上述条件的集合M的个数为() A.12 B.15 C.31 D.32 5.(24-25高一上北京师范大学第二附属中学期中)下列集合：①{0}；② M={x|x=n2+1,x<0,n∈R};③{0；④0；⑤{(0,0)}；⑥方程x2+1=0的实数解组成的集 合其中，是空集的所有序号为 6.(24-25高一上北京第十二中学期中)若集合A={xax2-ax+2=0}=0,则实数a的取值范围 是」 7.(2425高一上·北京海淀区·期中)已知B={1,m2},C={1,3,m},若BUC=C,则m的值为 8.(24-25高一上北京房山区期中)已知m,nER,集合A={1,m+nm},B={0,贵，n},且A=B, 则mn= 9.(24-25高一上北京师范大学第二附属中学期中)设集合A中的三个元素分别为a,0,一1，集合B中的三 个元素分别为c+b,种，1.已知A=B,求a,b,c的值 目目 考点03 集合的运算 1.(24-25高一上北京第一零一中学期中)己知集合M={x|-3<x<1,N={-3,-2,-1,0,1}, 则M∩N=() 2/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.{-2,-1,0}B.{-3,-2,-1}C.{-2,-1,0,1}D.{-3,-2,-1,0} 2.(24-25高一上北京第十五中学期中)已知全集U=R,A={x-2≤x≤3B={Xx<-1或x>4}, 则集合A∩(CyB)=() A.{X-2≤x<-1} B.{x|-1≤x≤3}C.{x|x≤3或x≥4}D. {x|-2≤x<4} 3.(24-25高一上北京房山区期中)已知集合A={0,1,2},B={-2,-1,1,2},则AUB=() A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2-1,1,2}C.{-2,-1,0,1} D.{-2,0,1,2} 4.(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学期中)已知集合 A={(x,y)|x+y=a},B={(x,y)Iy=4,b≤x≤b+2},若存在b>0,使得A∩B中恰有2 个元素，则a的取值范围是() A.（4,2W5] B.(4,5] c.[2W5,+o0) D.[5,+∞) 5.(24-25高一上北京延庆区期中)己知全集U={xENx≤6}且A={xEU川x2≤5}，则集合CyA 中的元素有() A.2个 B.4个 C.5个 D.7个 7.(2425高一上北京第十二中学期中)设集合A={1,2,6},B={x∈R|0≤x≤6}，则A∩B=() A.{2} B.{2,6} C.{1,2,6}D.{x∈R|0≤x≤6} 8.(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学期中)已知集合 A={-3,-1,0,2,4},B={x|-2<x<3,则AnB=() A.{-1,0} B.{0,2} C.{-1,0,2}D.{0,2,4} 9.(24-25高一上北京延庆区·期中)已知集合A={-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},则AnB=() A.{0,1} B.{-10} C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1} 10.(24-25高一上北京延庆区期中0.若集合A=[-3,1],B=(-2,3),则AUB=（) A.(-2,1] B.[-2,1) C.(-3,3] D.[-3,3) 11.(24-25高一上北京·期中)已知集合A={-1,0,2},B={-1,1},则集合AUB=() A.{-1} B.{-1,0,2} C.{-10,1,2}D.{0,2} 12.(2425高一上北京期中)已知集合A={1,2,3},B={-1,3},那么集合AUB等于() A.{3} B.(-1,1,2,3} C.(-1,1} D.{x|-1≤x≤3} 13.(2425高一上北京期中)全集为R,集合A={x()≤1}，B={2-6x+8≤0}，则 An CRB=() 3/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.{xK≤0} B.{x2≤x≤4}C.{x|0≤x<2或x>4}D.{x0≤x<2或x≥4} 14.(2425高一上北京通州区期中)已知集合M={-1,0,1},N={x∈Rx(x-2)=0},则 MUN=() A.{0} B.{-1,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 15.(24-25高一上北京丰台区期中)已知集合A={0,1,2},B={0,1},则AnB=（） A.(1} B.(2} c.0,1} D.{0,1,2 16.(24-25高一上北京期中)已知集合A={x|x+1>0B={x|-2≤x≤3}，则A∩B=() A.{x|-1<x≤3 B.{0,1,2,3} C.{x|-1<x<3 D.{-1,0,1,2} 17.(24-25高一上北京期中)已知集合M={xx∈A且x庄B},集合A={3,4,5,6,7},集合 B={2,4,6,8},则M=() A.{4,5,6} B.{5,67} C.{2,8} D.{3,5,7} 18.(24-25高一上北京海淀区·期中)己知B={1,m2},C={1,3,m},若BUC=C,则m的值为」 19.(24-25高一上北京师范大学附属实验中学期中)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A,B二U且A三B, 满足：AnB={1,4},An{3,5}=0,Cu(AUB)={2,7},则A= _；B= 20.(24-25高一上北京通州区期中)设集合M、N是两个实数集，给出下列三个结论： ①若M∩N≠O,则归x∈R,使x∈M,且xo∈N; ②若M={y=2},N=yy=x2-2x},则MnN=[-1,V2): ③若M={xx>2},N={x2-(a+1)x+a>0,aER},且“M二N的充要条件是“a≥2” 其中所有正确结论的序号是 21.(24-25高一上北京通州区·期中)己知全集U={1,2,3,4,5,6},集合AB为U的两个非空子集，且 B={2,3,5},则CuB=一；满足A三CuB的-个集合A为 22.(24-25高一上北京第十五中学期中)已知全集U=R,集合 A={xx2+2x-3≥0，B={x|x≤a},其中a∈R. (I)化简集合A,并求集合CyA; (2)若a=2,求集合A∩B; (3)若Vx∈R,都有x∈A或x∈B,求实数a的取值范围 23.(2425高一上北京朝阳区东北师范大学附属中学朝阳学校期中3.己知全集U=R,集合 4/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A={x|x2-5x+6>0},B={x3x-1>0} (1)求AnB; (2)求(CAUB; 24.(24-25高一上北京海淀区期中)己知全集U=RA={x|x<3},B={xx2-4x-5>0}, 求CuB,AnB,Cu(AUB). 25.(24-25高一上北京房山区期中)已知全集U=R,集合A={x|-1<x<3}B={x川x>2} (1)求AnB,(CyA): (2)已知集合C={x|a<x<a+2,若C三B,求实数a的取值范围 26.(24-25高一上北京第十二中学期中)设全集U=R,集合A={xx2-2x<0}, B=(xERIx-a>0). (1)当a=1时，求AUB,CyA: (2)若B∈CuA,求a的取值范围. 目目 考点04 利用文氏图解题 1.(24-25高一上北京师范大学第二附属中学期中)“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参 加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A、径赛项目B、其他健身项目C该班有25名同学选择球类 项目A,20名同学选择径赛项目B,18名同学选择其他健身项目C;其中有6名同学同时选择A和B,4名 同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和C.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三 类项目，则这个班同学人数是() A.51 B.50 C.49 D.48 2.(24-25高一上·北京师范大学附属中学期中)设全集U=R,M={x0≤x≤2}， N={x1≤x≤3}.如图所示，阴影部分所表示的集合为() U A.(-∞，0)U(3,+∞) B.(-∞，0]U[3,+∞) C.(-∞，1)U(2,+∞) D.(-∞，1]U[2,+∞) 目目 考点05 根据集合的关系与运算求参数 5/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学期中)设集合 A={x|x2+2x-3≤0，B={xlx-a>2} (I)若a=0,求AUB,An(CRB): (2)若A∩B=A,求a的取值范围 2.(24-25高一上北京中国人民大学附属中学期中)已知集合A={xx-1<2}, B={xx2-6ax+5a2<0} (1)若a=1,求AUB; (2)若A∩B=B,求a的取值范围 3.(24-25高一上·北京通州区·期中己知全集U=R,集合 A={x|-1<x≤3}B={x|x>2},C={-2,t-1} (1)求(CyA)nB: (2)再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求t的取值范围。 条件①：CnA=O:条件②：CS(CuB) 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 4.(24-25高一上·北京陈经纶中学期中)已知集合A={x|-x2+6x-8>0}，集合 B={xx2-4ax+3a2<0} (1)当a=2时，求CBA; (2)若AUB=A,求实数a的值： (3)设集合C=B∩N,若C中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合C 5.(24-25高一上·北京期中)已知集合A={xx2+4am-4a+3=0},B={xx2+(a-1)x+a2=0},C={x x2+2-2a=0},其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围. 目目 考点06 集合的新定义问题 1.(2425高一上北京期中)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的不动点”，若 f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”，记A={f(x)=x},B={xf(f(x))=x},则 下列说法错误的是() A.对于函数f(x)=x,有A=B成立 B.若f(x)是二次函数，且A是空集，则B为空集 C.对于函数f(x)=(),有A=B成立 D.对于函数f(x)=是，存在bE(0,+o),使得A=B成立 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.24-25高一上北京第十二中学期中)设集合S={A0A1A2},在S上定义运算田：ADA=A,其 中k为i+j被3除的余数，i,jE{0,1,2},则使关系式(A⊕A)田A=A成立的有序数对，)共有 () A.0对 B.2对 C.3对 D.4对 3.(24-25高一上北京期中)设集合A={a1ya2a3a4},其中a1a2a3a4是正整数，记 S4=a1十a2十a3十a4·对于a,aeA1≤i<j≤4)，若存在整数k,满足k(a+a)=SA,则称 a:+a整除SA,设n4是满足a+j整除S4的数对(i,j)(i<j)的个数. (1)若A={1,2,4,8},B={1,5,7,11},写出n4,s的值 (2)求n4的最大值： (3)设A中最小的元素为a,求使得na取到最大值时的所有集合A. 4.(24-25高一上北京期中)对于任意的n∈N,记集合En={1,2,3,…,n}, Pn-={×=后，a∈Enb∈En},若集合A满足下列条件：①ACPn:②Vxx2EA,且x1≠x2, 不存在k∈M,使x1+x2=k2,则称A具有性质n.如当n=2时，B2={1,2},P2={1,2方}， 12∈P2,且x1+X2,不存在kEN,使x1十x2=k2,所以P2具有性质n (1)写出集合P3,P4中的元素个数，并判断P3是否具有性质n. (2)是否存在A、B具有性质Q,且A∩B=O,使E15=AUB,若存在请求出A、B,若不存在请说明理由. (3)若存在A、B具有性质Q,且A∩B=O,使Pn=AUB,求n的最大值 5.(24-25高一上北京丰台区期中)给定正整数n(n≥3)，设集合A={aa2…,an,对 寸iE{1,2,…,n,jE{1,2,…,n,a+aj,a-aj两数中至少有一个数属于A,则称集合A具有性质 P (1)设集合M={-1,0,1,2,N={-1,1,2,请直接写出M,N是否具有性质P; (2)若集合A={2a,b}具有性质P,求a+b的值； (3)若具有性质P的集合B恰有6个元素，且一6EB,求集合B 6.(24-25高一上·北京大兴区期中)若含有4个元素的数集A={a,b,C,d能满足ab一cd=1,则称数集A 具有性质J.给定集合B={1,2,3,4,5,6,7,8},C={xeN11≤x≤4n,n≥3，n∈N} (I)写出一个具有性质J的集合，并说明理由； (2)若A={a,b,C,d,A二B,证明：集合A和CBA不可能都具有性质J: 7/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若集合A(i=1,2,…,n,n∈N有4个元素，A三C,且A1UA2U…UAn=C,A1∩A2∩ …∩An=O,证明：AA2…,A这n个集合不可能同时都具有性质J. (1,X∈A 7.2324高-上北京第十九中学期中已知集合A为数集，定义a(x)={0,xA若 AB∈{x≤8，x∈N},定义： d(AB)=|f4(1)-fB(1)川+|fa(2)-fB(2)川+·+|fa(8)-fB(8)川. (1)已知集合A={1,2},直接写出f4(1),f4(2)及f4(8)的值； (2)已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},C=0,求d(AB),d(AC)的值： (3)若AB,C∈{xx≤8，xEN}.求证：d(AB)+d(AC)≥d(B,C) 8.(24-25高一上北京师范大学附属实验中学期中)对于非空有限数集A,记A={a|a∈A或 -aEAA表示A中所有元素的个数 (1)若A={-1,0,2},用列举法直接写出A (2)给定k∈N且k≥2，设A={1,2,…,k},对于1≤m≤k且m∈N,记Bm={x|x+m∈A},求 Bm的最小值（用k表示）； (③设非室有限数集AA满足以下条件：①An=,②(AUAg)”=AUA2:©号=贵=号求证 A=A 9.(24-25高一上北京延庆区期中)设集合A={a=(81x2X3),k∈R,k=1,2,3},对于集合A中 的任意元素a=(xx2x3)和b=(y1y:y3)及实数入，定义：当且仅当x:=y,(i=12,3)时a=b a+b=(x1+y1X2+y2X3+y3);入a=(xx2x3)若A的子集B={aa2a3}满足：当且仅 当入1=2=3=0时，1a1+入22十入3=(0,0,0)，则称B为A的完美子集 (1)集合B1={(1,0,0),(0,20),(0,0,3)},B2={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)},分别判断这两个 集合是否为A的完美子集，并说明理由； (2)集合B={(2m,m,m-2),(m,2m,m-2),(m,m-2,2m)},若B不是A的完美子集，求m的 值 10.(22-23高一上·北京东城区期末)对于非空数集A,若其最大元素为M,最小元素为m,则称集合A的 幅值为T4=M-m,若集合A中只有一个元素，则T4=0 (1)若A={2,3,4,5,求T4: (2)若A={1,2,3,…,9A={a,b,c}=AAnA=0ij=12,3,i≠)，A1UA2UAs=A,求 TA,十TA,十TA,的最大值，并写出取最大值时的一组AA2A: 8/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)若集合N的非空真子集A1A2A…,An两两元素个数均不相同，且T4,十T4,十T4,十…+TA,=55 ,求n的最大值 目目 考点07 充分条件与必要条件 1.(24-25高一上北京期中)已知函数f(x)的定义域为R,则“f(x)为奇函数”是“f(0)=0的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(24-25高一上·北京期中)“x2>1”是“x>1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高一上北京期中)“x-1=0”是“x2-1=0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一上北京丰台区·期中0<x<2”是x<2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(24-25高一上北京陈经纶中学期中)设aER,则“a<1”是“函数f(x)=-2+2x在(1，+∞)上 是减函数”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(19-20高一北京中关村中学月考)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是() A.a2>b2 B.a3>b3 C.a>b+1 D.a>b-1 7.(24-25高一上北京期中设函数f(x)的定义域为R,则xERf(x+1)<f(x)”是“f(x)为减 函数”的() A.充分必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(24-25高一上北京房山区期中)已知x∈R,则“-1≤x≤2”是“装≤0的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(24-25高一上北京期中)设a,bER,则告>b>0”是“a<言”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2425高一上北京期中)若a,b∈R,且ab≠0，则“a>b”是“言<言"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2024,x∈Z 1.(2425高一上北京期中)已知定义在R上的函数f(x)={-一2024xEz则f(f(x)=2024 是“x庄Z的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(24-25高一上北京期中)设a,b,c,d为实数，则“a>b,c>d°是“a+c>b+d的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学期中)“a<0”是“关于x的不等式ax2-x+吉>0的解集为0 ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.(24-25高一上北京中国人民大学附属中学期中)已知f(x)=x3-3x,则“x1十x2=0”是 “f(1)+f(x2)=0的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 目目 考点08 全称量词与存在量词 1.(24-25高一上北京期中)已知命题p:xo∈R,x行-x+寺≤0，则命题p的否定为() A.3x∈R,x号-x0+>0 B.3XER,号-x0十章<0 C.xo∈R,x2-x+寺≤0 D.Vx∈R,x2-x+>0 2.(19-20高一上北京陈经纶中学期中命题“Vx∈R,x2>0”的否定是() A.Vx∈R,x2≤0 B.3x∈R,x2≤0 C.Vx庄R,x2≤0 D.3xER,x2≤0 3.(24-25高一上北京期中)己知命题p:口x>0,x+京≥2，则P为() A.Vx>0,x十袁<2 B.x≤0，x+袁<2 C.x≤0，x+袁<2 D.3x>0,x+袁<2 10/13