专题02 等式与不等式（六大题型+好题推送）（期中真题汇编，北京专用）高一数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02等式与不等式（六大题型+好题推送) ☆6大高频烤点概览 考点01不等式的性质 考点2一元二次方程、不等式与二次函数 考点03分式不等式的求解 考点04基本不等式 考点5基本不等式的实际应用 考点06一元二次不等式的综合问题 目目 考点01 不等式的性质 1.(24-25高一上北京延庆区期中)设a,b,c∈R,且a<b,c<d,则() A.a2<b2 B.晋> C.ac<bd D.a3<b3 2.(24-25高一上北京通州区·期中)已知a>b,且ab≠0，则下列不等式成立的是() A.ac>bc B.a>b-1 C.a2>b2 D.吉<吉 3.(24-25高一上北京师范大学附属实验中学.期中)若a<b,c≠0，则下列不等式恒成立的是（) A.是<只 B.ac<bc C.ac2<bc2 D.ac3<bc3 4.(22-23高一上黑龙江佳木斯第八中学期中)对于实数a,b,c,下列说法正确的是() A.若a>b,则<吉 B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>0>b,则ab<a2 D.若c>a>b,则号>高 5.(19-20高一上北京陈经纶中学期中)已知a、b、c∈R,a<b,则下列不等式正确的是() A.ac<bc B.(a-b)c2≤0C.吉>言 D.a2>b2 6.(24-25高一上北京延庆区·期中)若P=a2-2a和Q=2a-4,则P和Q的大小关系为() A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q 7.(20-21高一上浙江杭州学军中学月考)已知0<a<吉且M=a-品，N=-中，则M、N的 大小关系是() 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.M=N B.M<N C.M>N D.不能确定 8.(24-25高一上北京中国人民大学附属中学期中)已知a,b,c∈R,若a>b,则() A.ac2>bc2 B.a2>b2 C.a3>b3 D.ab 9.(24-25高一上北京第一零一中学期中)若a,b,c为非零实数，且a>c,b>c,则() A.a+b>c B.ab>c2 C.a+b>2c D.吉+君>月 10.(24-25高一上北京房山区·期中)己知a,b∈R且a<b<0,则下列结论正确的是() A.音<吉 B.ab<b2 C.-ab<-a2 D.a+吉<b+吉 11.(2425高一上·北京第十五中学期中)下列命题正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若a2>b2,则a>b D.若a>b,ab>0,则<言 12.(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学期中)司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油， 乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价 角度分析，则() A.甲更低 B.乙更低 C.甲和乙一样高D.不能判断谁更高 13.(24-25高一上北京丰台区期中)能够说明“若a>b>c,则ab>c2”是假命题的一组实数a,b,c的值依 次为一 14.(24-25高一上北京房山区期中)己知a,b∈R,使“若a<0且b>0,则a2<b2为假命题的一组实数 a,b的值为a=_,b= 15.(24-25高一上北京师范大学附属实验中学期中)设实数xy满足：1≤x≤2,6≤y≤8，则的取值 范围是 16.(24-25高一上北京大兴区期中设a∈RM=2a(a-2,N=(a+1(a-3),则M与N的大小关系是 MN. 17.(24-25高一上北京房山区·期中)己知-1<x<2,-3<y<0,则x-y的取值范围是_ 18.(24-25高一上北京中国人民大学附属中学期中)设x1,x2是关于x的方程x2一4x一a=0的实数根， 则实数a的取值范围是，（1-X1)(1-x2)的最大值为· 19.(24-25高一上北京师范大学附属中学.期中)写出一个a的值，使关于x的不等式x+a<1恰有两个整 数解.a= 2/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 一元二次方程、不等式与二次函数 1.(24-25高一上北京通州区期中)已知不等式kx(x+1)<(k≠0)对一切实数x都成立，则实数k的 取值范围是() A.(-3,0) B.（-,0) C.(-2,0) D.（-3,0) 2.(23-24高一上陕西部分学校)某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元， 则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈Z)，则 被租出的礼服会减少10x套若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司 每套礼服每天的租价应定为() A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 3.若关于x的不等式x2一4x一2-一a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是（) A.(-0,-2) B.(-2,十o) C.(-6,十o) D.(-0,-6) 4.(22-23高一上北京丰台区期中)已知关于x的不等式mx2+mx-1>0的解集为0，则实数m的取值 范围是() A.(-∞-4)U(0,+∞B.[-4,0)C.(-∞，-4]U[0,+∞D.[-4,0] 5.(24-25高一上北京丰台区·期中)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为 x-3<x<2},则a+b的值为() A.-2 B.-1 C.0 D.2 6.关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根a,阝，且2+B2=12,那么m的值为() A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4 7.(17-18高二上浙江嘉兴期末)若关于x的不等式2ax2-4x<ax一2只有一个整数解，则实数a的取值 范围是() A.号<a≤1B.1<a<2 C.1≤a<2 D.-1<a<1 8.(24-25高一上北京大兴区期中)已知函数fx)=ax2+bx+c,a>b>C,a+b+c=0,集合 A={mf(m)<0},则() A.VmEA,f(m+3)>0 B.VmEA,f(m+3)<0 C.3mEA,f(m+3)=0 D.3mEA,f(m+3)<0 9.(24-25高一上北京大兴区期中若不等式x2-（a+2x+2a≤0对任意的x∈[-1,1恒成立，则a的取 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值范围是() A.[-1,1 B.[-1,+∞ c.[-1,2] D.(-∞，-1] 10.(24-25高一上北京第十二中学期中)已知fx)=m(x-2mx+m+3),g(x)=x-1,若Vx∈R, fx)<0或g(x)<0,则m的取值范围是() A.（-4,0) B.（-4,-2 c.(-2,0) D.（-3,-2 11.(2425高一上北京师范大学附属中学期中)对任意a∈[-1,1]，f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零，则x的取值范围是() A.(-∞，1)U(3,+∞) B.（1,3) C.(-∞，1)U(2+∞) D.（1,2) 12.(2425高一上北京陈经纶中学期中)2.己知不等式ax2+bx+c≤0的解集为x|x≤-2或x≥1}， 则不等式bx2+2ax-c-5b≤0的解集是 13.(2425高一上北京第一零一中学期中)3.函数f(x)=Vx2+2x-8的值域是 ；单调递减区 间是 14.(24-25高一上北京师范大学附属中学期中)解关于x的不等式2x2-(a-2)x-a>0. 15.(2425高一上北京延庆区期中)求下列不等式（组）的解集： (1)x2-4x+320 (2)-3x2+2x+1>0 (3)学≥1 |2|<1 (412x2-3x+4>0 16.(24-25高一上北京第十五中学.期中)6.已知二次函数fx)=x2-ax+3,且Vx∈Rfx)≥f2) (I)求实数a的值，并求函数y=f(x)在区间[tt+1(t∈R)上的最小值g(t). (2)求关于x的不等式fx)≤(1-m)x2+(m-3)x+2,m∈R的解集 目目 考点03 分式不等式的求解 1.(22.23高一上湖南长沙周南中学)不等式器≤0的解集是 2.(2425高一上重庆字水中学期中)不等式岁≤1的解集为 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 基本不等式 1.(19-20高一上北京东直门中学期中已知正实数x,y满足2x+y=3,则xy的最大值是 A.1 B.2 C. D. 2.(24-25高一上北京大兴区期中)已知a,b∈R,且ab=2,则点+忘的最小值为() A. B.吉 C.1 D.2 3.(2425高一上·北京通州区·期中)已知函数f(x)的定义域为R,则下列说法正确的个数为() ①若f(x)=x2+4,则f(x)≥1 ②若f(x)在(-∞，0]上单调递增，在(0，+∞)上也单调递增，则f(x)在R上单调递增 ③若f(-2)>f(-1),则f(x)在R上不可能为增函数 ④若f(-2)=f(2),则f(x)在R上不可能为奇函数 A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25高一上北京第十五中学期中)在函数①y=x+(x≠0)，②y=x+号-3(x>1),③ y=-x-是-2收<叭.@y=收2+2+KER中，以2为最小值的函数的序号为(） A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 5.(24-25高一上北京延庆区期中)已知x<0,则y=1+2x+是的最大值是一，当且仅当x=时， 等号成立 6.(24-25高一上北京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=x+是2，x∈(2+∞)，当x= 时，函数有最小值 7.(23-24高一上北京顺义牛栏山第一中学期中)已知函数f(x)=x+是. (1)利用函数的单调性定义证明函数f(x)在(2，+∞)上单调递增； (2)比较f(a+),f(4a+吉)(a>1)的大小. 8.(24-25高一上北京通州区期中)已知函数f(x)=x2-2x+4 (I)求f(x)的值域： (2)设函数g(x)-型 ①当x>0时，求g(x)的最小值： ②根据定义证明g(x)在区间(2，十∞)上单调递增 9.(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学期中已知m>0,n>0 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)求把+品的最小值： (2)对于(1)中取得最小值的每组m”,都有路≤m2-2+5恒成立，求k的取值范围 10.(23-24高一上浙江精诚联盟月考)0.已知函数f(x)=ax2+bx+1, (1)若f(1)=2,且a>0,b>0,求吉+号的最小值； (2)若b=一a一1，解关于x的不等式f(x)≤0. 目目 考点05 基本不等式的实际应用 1.玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为言天， 且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生 产产品 A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 2.(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学期中)已知某商品每件的成本为8元，每月销量y(万件)与 每件售价x(元)的函数关系近似为：y=受一1，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为()（注： 净利润=销售总额一总成本) A.10元 B.12元 C.15元 D.16元 3.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现计划在“五一”期间对A商品进行广告促 销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位：万元)符合函数模型m=3一品.若 要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入万元。 4.(23-24高一上·北京清华大学附属中学期中)某公司计划投资A,B两种金融产品，根据市场调查与预测， A产品的利润y与投资金额x的函数关系为y1=18一，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为 y2=言（注：利润与投资金额单位：万元）·现在该公司有100万元资金，并全部投入A,B两种产品中 且均有投，其中x万元资金投入A产品， (1)请把A,B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； (2)在(1)的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 5.(24-25高一上·北京丰台区·期中)某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过150台，每 台售价为40万元.每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为20万元，每 月生产x台(x∈N)时需要投入的可变成本为Q(x)(单位：万元)，每月的利润为f(x)(单位：万元)， 6/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 其中利润是收入与成本之差.当每月产量不超过40台时，Q(x)=x2+10x;当每月产量超过40台时， Q(x)=41x+00-690.假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄. (1)求f(x)关于x的函数解析式： (②)如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？ 6.(24-25高一上·北京第十二中学期中如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾 池的容积为50m3,为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m,如果池底每平方米的造价为200 元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为x(m),墙高5m (1)试将垃圾池的总造价y(元)表示为x()的函数，并指出x的取值范围； (②)垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？ 7.(24-25高一上·北京大兴区·期中已知经过x(x∈N)年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组 成，其中购车费用是22.5万元，使用x(x∈N)年的维修费为x(0.2+0,1x)万元，且每年的其他费用为0.8 万元 (1)求经过2年该车的总花费为多少万元； (2)设经过x(x∈N)年该车的年平均花费为y万元，写出y关于x(xEN)的函数解析式，并求y的最小 值. 8.(24-25高一上北京通州区·期中)如图，计划靠一面墙建一个菜园，墙长为20米.用篱笆围成两个相同的 长方形区域种植蔬菜 lllllllllllllllllle (1)若每个长方形区域的面积为54平方米，要使篱笆的总长度最小，每个长方形的长和宽分别是多少米？并 求篱笆总长度的最小值； (2)若每个长方形的长为a(a>2)米，宽为长的一半篱笆价格每米为8元，区域的重建费用每平方米为20 元.要使总费用不超过360元，求a的取值范围， 9.(24-25高一上·北京房山区期中)某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为3米，底面积为12平方 米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费因此，甲工程队给出的报价 7/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米400元，左、右两面新建墙体每平方米150元，屋 顶和地面以及其他共计7200元，设屋子的左、右两面墙的长度均为x(2≤x≤4)米，总造价为y元 (I)写出y与x的函数关系式，并注明函数定义域： (2)当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价 目目 考点06 一元二次不等式综合问题 1.(23-24高一上北京丰台区·期中已知二次函数f(x)的最小值为1，且f0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式： (2)若fx在区间2a,2a+1]上不单调，求实数a的取值范围： (3)当x∈[-克，2]时，fx)>4mx+1恒成立，求实数m的取值范围 2.(24-25高一上北京丰台区期中)设函数f(x=ax2-（a+2x+2(a≠0) (I)若（从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知）， 求实数a的值，并以此时f(x)的图象与坐标轴的交点为三角形的顶点，求该三角形的面积； 条件①：关于x的方程f(x)=0有两个实数根x1x2,且X1·X2=2; 条件②：VxER,都有f(号-x)=f(号+x: 条件③：fx)的最小值为-，且a<2 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 (2)求关于x的不等式fx)>0的解集 3.(24-25高一上·北京大兴区期中)已知函数f(x)=x2-2x-3. (1)求不等式f(x)≥0的解集： (2)求fx)在区间-2,2上的最大值与最小值； (3)设xX2∈R,求证：f(时空：)≤+型 4.(24-25高一上北京房山区期中)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a. (1)当a=一1时，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由： (2)求关于x的不等式f(x)<0的解集： (3)若f(x)+2x≥0在区间(1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围， 5.(24-25高一上北京第十二中学.期中)已知函数f(x)=ax2-（a+1)x+1 (1)若函数f(x)的单调减区间为(-oo,1],求实数a的值： 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当a≤1时，解关于x的不等式ax2-（a+1)x+1>0; (3)关于x的不等式ax2-（a+1)x+1>0仅包含一个整数解，写出一个a的值（结论不要求证明）. 1.(22-23高一上上海建平中学期中若关于x的不等式1≤kx2+x+k≤2的解集中只有一个元素，则实 数k的取值集合为一 2.(24-25高一上北京第一零一中学期中)解关于x的不等式：ax2-(a+2)x+2≥0(a∈R). 3.(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学期中)已知关于x的不等式x2-2x-1>a(a∈R) (1)若a=1,求不等式的解集： (2)若不等式的解集为R,求实数a的范围， 4.(24-25高一上·北京通州区期中)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+2(a>0) (1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集： (2)若f(x)在区间[1,3]上单调递增，求a的最小值； (3)求关于x的不等式f(x)>0的解集 9/9 专题02 等式与不等式（六大题型+好题推送） 6大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 一元二次方程、不等式与二次函数 考点03 分式不等式的求解 考点04 基本不等式 考点05 基本不等式的实际应用 考点06 一元二次不等式的综合问题 地 城 考点01 不等式的性质 1．(24-25高一上·北京延庆区·期中)设，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取满足，而，B错误； 对于C，取满足，而，C错误； 对于D，由不等式性质知，由，得，D正确. 故选：D 2．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊值以及作差比较法来确定正确答案. 【详解】依题意，，且， A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项错误. D选项，若，则，所以D选项错误. 故选：B 3．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)若，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】对于A，当时，则，又因为，所以，故A不正确； 对于B，当时，由，得，故B不正确； 对于C，因为，所以，由，得，故C正确； 对于D，当时，则，由，可得，故D不正确. 故选：C. 4．(22-23高一上·黑龙江佳木斯第八中学·期中)对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断. 【详解】对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误； 对于B选项，若，则.故B选项错误； 对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确； 对于D选项，因为，所以，所以， 所以，即.因为根据题意不知道的符号， 所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误. 故选：C. 5．(19-20高一上·北京陈经纶中学·期中)已知、、，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法对各选项中不等式的正误进行判断. 【详解】对于A选项，当且，由不等式的性质可得，A选项中的不等式不正确； 对于B选项，当时，，又，由不等式的性质可得，B选项中的不等式正确； 对于C选项，取，，则，C选项中的不等式不正确； 对于D选项，取，，则，D选项中的不等式不正确. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质、比较法、函数单调性以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题. 6．(24-25高一上·北京延庆区·期中)若和，则和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，通过作差法，得到，即可求解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时取等号，所以， 故选：C. 7．(20-21高一上·浙江杭州学军中学·月考)已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 8．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)已知，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可判断ABD，根据立方差公式即可求解C. 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，取，满足，但，故B错误， 对于C，由于， 故时，由于不同时为0，故不可能同时为0，故， 因此，故C正确， 对于D，若为负数，则无意义，故D错误， 故选：C 9．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：， ，故C成立. 故选：C 10．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法，以及不等式的性质，即可判断. 【详解】A.由，，，，所以，故A错误； B. 由，所以，故B错误； C. 由，所以，则，故C错误； D.由A可知，，又，所以，故D正确. 故选：D 11．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A正确； 对于选项B：例如则，故B错误； 对于选项C：例如，满足，但，故C错误； 对于选项D：若，则， 可得，即，故D正确； 故选：D. 12．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（   ） A．甲更低 B．乙更低 C．甲和乙一样高 D．不能判断谁更高 【答案】B 【分析】设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为,依题意，计算甲与乙加油的均价，再作差比较，即可判断. 【详解】设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为， 则甲两次加油的均价为：；而乙两次加油的均价为：， 由，因且，故得， 即乙两次加油的均价更低. 故选：B. 13．(24-25高一上·北京丰台区·期中)能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】举例说明“若，则”是假命题即可求解. 【详解】当一组实数的值依次为时，满足，但， 故一组实数的值依次为符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 14．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为 ， . 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用不等式性质，分析使得该命题为假命题的满足的条件，再取一组值即可. 【详解】根据题意，若，则，又，则， 故要说明该命题为假命题，则只需即可， 也即在的前提下，满足的均可； 故可取，（答案不唯一）. 故答案为：，，（答案不唯一）. 15．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16．(24-25高一上·北京大兴区·期中)设，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】用作差法比较大小即可． 【详解】， 所以． 故答案为：． 17．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质，求得的范围，再求的范围即可. 【详解】因为，故可得，又，则， 即的范围为. 故答案为：. 18．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)设，是关于的方程的实数根，则实数a的取值范围是 ，的最大值为 ． 【答案】 1 【分析】空1由判别式可得；空2由韦达定理结合不等式关系可得； 【详解】由； 又， ， 所以的最大值为1； 故答案为：. 19．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)写出一个的值，使关于的不等式恰有两个整数解． ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质求解不等式，由题意建立新的不等式，可得答案. 【详解】由，则，可得， 设，由题意可得， 解得，当时，. 故答案为：（答案不唯一） 地 城 考点02 一元二次方程、不等式与二次函数 1．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用判别式列不等式来求得的取值范围. 【详解】不等式对一切实数都成立， 即不等式对一切实数都成立， 所以，解得. 故选：A 2．(23-24高一上·陕西部分学校·)某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以 ， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 3．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 【答案】A 【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，然后求函数f（x）＝x2－4x－2在x∈(1，4)时的最大值即可 【详解】解：不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max， 令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，对称轴为 所以f（x）＜f（4）＝－2， 所以a＜－2． 故选：A 【点睛】此题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查计算能力，属于中档题. 4．(22-23高一上·北京丰台区·期中)已知关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】分与，结合根的判别式列出不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】当时，，解集为，满足要求， 当时，需要满足，解得：， 综上：实数m的取值范围是. 故选：D 5．(24-25高一上·北京丰台区·期中)已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 则，解得，则. 故选：A. 6．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ） A． B． C．或1 D．或4 【答案】A 【分析】，利用韦达定理可得答案. 【详解】关于x的方程有两个实数根， ， 解得：， 关于x的方程有两个实数根，， ，， ，即， 解得：或舍去 故选：A. 7．(17-18高二上·浙江嘉兴·期末)若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 8．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知判断二次函数的开口方向和的范围，利用韦达定理求的根，然后可得的解集，利用二次函数单调性即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 因为，所以，所以的一个根为1， 由韦达定理可得，的另一个根为， 所以的解集为，所以， 由单调性可知恒成立. 故选：A 【点睛】关键点睛：关键在于利用韦达定理求解不等式的解集，然后结合单调性即可得解. 9．(24-25高一上·北京大兴区·期中)若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将问题转化为，分类讨论与两种情况讨论，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】令，的对称轴为， 当，即时，， 所以，则，故； 当，即时，， 所以，则，故； 综上，，即实数的取值范围是. 故选：D. 10．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)已知，，若，或，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，将问题转化为，恒成立求解，再按分类探讨即可得解. 【详解】函数，当时，，满足或； 而当时，，由，或，得，恒成立， 由，即或，解得或， 当时，恒成立，由二次函数性质知函数的图象开口向下，则， 而的2个根为，有，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：A 11．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)对任意的值恒大于零，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，函数的值恒大于零， 设，即在上恒成立， 因为在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 所以 ，解得或， 即的取值范围是. 故选：A 12．(24-25高一上·北京陈经纶中学·期中)2．已知不等式的解集为或，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得正确答案. 【详解】依题意，不等式的解集为或， 所以，所以， 所以不等式，即， 则，解得或， 所以不等式的解集. 故答案为： 13．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)3．函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案. 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 14．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 15．(24-25高一上·北京延庆区·期中)求下列不等式（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据条件，因式分解得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件，变形得到，再因式分解得，即可求解； （3）先变形成，再等价于且，即可求解； （4）先利用绝对值不等式的解法，求的解，再求的解，再求交集，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以或， 故不等式的解集为或. （2）由，即，得到，所以， 故不等式的解集为. （3）由，得到，等价于且，所以或， 故不等式的解集为或. （4）由，得到，即， 对，因为，所以的解集为， 故不等式组的解集为. 16．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)6．已知二次函数，且． (1)求实数的值，并求函数在区间上的最小值． (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)答案见详解 【分析】（1）分析可知二次函数在处取到最小值，即可得，结合二次函数单调性求； （2）整理可得，分类讨论最高项系数以及两根大小解不等式. 【详解】（1）由题意可知：二次函数在处取到最小值， 则，即，可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递减， 所以的最小值为； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为； 若时，在上单调递增， 所以的最小值为； 综上所述： . （2）因为，即， 可得， （i）若，则，解得，原不等式解集为； （ⅱ）若，令，解得或， 原不等式解集为； （ⅲ）若，令，解得或， ①当，即时，原不等式解集为； ②当，即时，原不等式解集为； ③当，即时，原不等式解集为； 综上所述：若，原不等式解集为； 若，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为. 地 城 考点03 分式不等式的求解 1．(22-23高一上·湖南长沙周南中学·)不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】把分式不等式等价转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集． 【详解】解：不等式等价于，解得， 故答案为：． 2．(24-25高一上·重庆字水中学·期中)不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】移项，通分后可化简为简单分式不等式求解，需要注意分母不为零. 【详解】移项得：，通分化简得到分式不等式：； 两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组： 解得.原不等式解集为. 故答案为： 地 城 考点04 基本不等式 1．(19-20高一上·北京东直门中学·期中)已知正实数满足，则的最大值是 A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当，即、时等号成立，所以的最大值是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属基础题. 2．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】对条件变形，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 3．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知函数的定义域为，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则 ②若在上单调递增，在上也单调递增，则在上单调递增 ③若，则在上不可能为增函数 ④若，则在上不可能为奇函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最小值，可判断①；举出反例可判断②；根据单调性定义可判断③；若，则函数在R上可以为奇函数，可判断④. 【详解】对于①：因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故，①正确； 对于②：若，则满足题目要求，但在R上不是增函数，故②错误； 对于③：因为，所以由单调性定义可知， 在上不可能为增函数，故③正确； 对于④：若，则函数在R上可以为奇函数， 例如：，满足，且为奇函数，故④错误. 综上可知，①③正确. 故选：B 4．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】对于①：举反例说明即可；对于②③：利用基本不等式分析判断；对于④：换元令，结合对勾函数单调性分析判断. 【详解】对于①：例如，则，可知的最小值不为2，故①错误； 对于②：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2，故②正确； 对于③：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2，故③正确； 对于④：令，则， 可知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以的最小值不为2，故④错误； 故选：B. 故选：B. 5．(24-25高一上·北京延庆区·期中)已知，则的最大值是 ，当且仅当 时，等号成立. 【答案】 【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应的值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为：； 6．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知函数，，当 时，函数有最小值 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式可得最值及取得最值的条件. 【详解】由已知，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：；. 7．(23-24高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中)已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【详解】（1）函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. （2），则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 8．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知函数. (1)求的值域； (2)设函数. ①当时，求的最小值； ②根据定义证明在区间上单调递增. 【答案】(1)； (2)①2；②证明见解析. 【分析】（1）对二次三项式配方，即可求得函数值域； （2）①利用基本不等式，即可求得函数的最小值；②根据单调性定义，作差、变形、定号即可证明. 【详解】（1）因为函数，所以， 所以的值域为. （2）因为函数，所以. ①因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取到最小值，最小值为2. ②任取，且， 那么 因为，所以， 所以，即. 所以在区间上单调递增. 9．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知. (1)求的最小值； (2)对于（1）中取得最小值的每组，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）由（1）知，，求解的最小值即可. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为4； （2）由题知：当时，只需， 即：， 又， 当且仅当时，等号成立，因此， 只需：，整理得：， 等价于：且， 解得，， 综上，的取值范围是. 10．(23-24高一上·浙江精诚联盟·月考)0．已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为且，所以，即， 又，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）当时，不等式，即为，即； 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 地 城 考点05 基本不等式的实际应用 1．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【答案】B 【解析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值． 【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是 这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数） 由基本不等式，得 当且仅当，即时，取得最小值， 时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 故选： 【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题． 2．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（    ）（注：净利润销售总额总成本） A．10元 B．12元 C．15元 D．16元 【答案】B 【分析】由每件售价，表示出每月的净利润，再利用基本不等式求最大值，等号成立时，即可求得，可得答案. 【详解】设每月的净利润为， 由题意， ， 当且仅当，即时，等号成立， 则每件售价应定为元. 3．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入 万元． 【答案】 【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值. 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．(23-24高一上·北京清华大学附属中学·期中)某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金额x的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品． (1)请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域； (2)在（1）的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 【答案】(1) (2)时，利润最大. 【分析】（1）A，B对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可； （2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值. 【详解】（1）由题意，万元投入A产品，则万元投入B产品，则 ，. （2）由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，公司利润最大. 5．(24-25高一上·北京丰台区·期中)某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄． (1)求关于的函数解析式； (2)如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）根据利润是收入与成本之差可构造分段函数解析式； （2）根据二次函数最值、基本不等式分别求解每一段上的最大值，对比可得总体最大值并确定最大值点. 【详解】（1）由题意知：， . （2）当时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线， 此时； 当时，（当且仅当时取等号）； ，该公司每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元. 6．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高. (1)试将垃圾池的总造价（元）表示为的函数，并指出的取值范围； (2)垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)，； (2)高为m，垃圾池总造价最低为9600元. 【分析】（1）（2）利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，进而结合池壁、池底面积，得出总造价，再利用均值不等式求出最值. 【详解】（1）无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为m，则宽m， ，即，. （2）由（1）知，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当垃圾池的高为m，宽为3m时，垃圾池总造价最低为9600元. 7．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知经过年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是22.5万元，使用年的维修费为万元，且每年的其他费用为0.8万元． (1)求经过2年该车的总花费为多少万元； (2)设经过年该车的年平均花费为万元，写出关于的函数解析式，并求的最小值． 【答案】(1)经过2年该车的总花费为万元； (2)，的最小值为万元 【分析】（1）设总花费为万元，根据题意列出总费用的表达式，再将代入计算即可； （2）利用，再利用基本不等式求最值． 【详解】（1）解：设总花费为万元， 则， 当，（万元）， 答：经过2年该车的总花费为万元； （2）解：由题意得：， ，， 当且仅当：，即，等号成立， 故的最小值为万元． 8．(24-25高一上·北京通州区·期中)如图，计划靠一面墙建一个菜园，墙长为20米.用篱笆围成两个相同的长方形区域种植蔬菜 (1)若每个长方形区域的面积为54平方米，要使篱笆的总长度最小，每个长方形的长和宽分别是多少米？并求篱笆总长度的最小值； (2)若每个长方形的长为米，宽为长的一半.篱笆价格每米为8元，区域的重建费用每平方米为20元.要使总费用不超过360元，求的取值范围. 【答案】(1)长和宽分别为9米和6米时，篱笆总长度最小，且最小值为36米 (2). 【分析】（1）列出总长的表达式，直接利用基本不等式即可求解最值， （2）根据题意列出总费用，即可根据不等式求解. 【详解】（1）设每个长方形的长为米， 因为每个长方形区域的面积为54平方米，所以宽为米. 所以篱笆总长为 当且仅当，即时等号成立， 所以每个长方形的长和宽分别为9米和6米时，篱笆总长度最小，且最小值为36米. （2）因为每个长方形的长为米，宽为长的一半， 所以每个长方形的宽为米. 所以长方形区域的面积为平方米，篱笆的总长度为米. 所以总费用为元. 因为总费用不超过360元， 所以，解得. 因为，所以. 所以要使总费用不超过360元，的取值范围是. 9．(24-25高一上·北京房山区·期中)某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. (1)写出与的函数关系式，并注明函数定义域； (2)当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 【答案】(1) (2)当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体长为米，进而可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. 则. 所以. （2）因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 地 城 考点06 一元二次不等式综合问题 1．(23-24高一上·北京丰台区·期中)已知二次函数的最小值为1，且. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，再由得，从而得解； （2）由题意得，解之即可得解； （3）将问题转化为在区间上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为， 又函数的最小值为，可设， 又因为，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由函数，其对称轴为， 要使得函数在区间上不单调， 则满足，解得， 故实数的取值范围为. （3）由函数， 若在上，恒成立， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则开口向上，对称轴为， 又在上恒成立，即， 当，即时，在上单调递增， 则，解得，则； 当，即时， ，解得，则； 当，即时，在上单调递减， ，解得（舍去）； 综上，实数的取值范围为． 2．(24-25高一上·北京丰台区·期中)设函数 . (1)若______（从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知）， 求实数的值，并以此时的图象与坐标轴的交点为三角形的顶点，求该三角形的面积； 条件①：关于的方程有两个实数根，且； 条件②：，都有； 条件③：的最小值为，且. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）据题意列出关于的方程，确定函数解析式，即可求出其与坐标轴的交点，进而得到三角形面积； （2）由于方程的两根为，，故分，，，四种情况讨论解不等式. 【详解】（1）选择条件①：关于的方程有两个实数根，且, 所以，解得， 此时， 设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点， 令，解得，，所以，， 又因为，所以， 所以三角形的面积. 选择条件②：，都有， 所以的对称轴为，即，解得， 此时， 设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点， 令，解得，，所以，， 又因为，所以， 所以三角形的面积. 选择条件③：因为的最小值为，且， 所以，且在对称轴处取得最小值， 即，解得或（舍去）， 此时， 设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点， 令，解得，，所以，， 又因为，所以， 所以三角形的面积. （2）因为，所以方程的两根分别为，. 当时，有，解得； 当时，有，解得或； 当时，有，解得或； 当时，有，解得. 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 3．(24-25高一上·北京大兴区·期中)已知函数． (1)求不等式的解集； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)设，求证：． 【答案】(1) (2)最大值为5，最小值为 (3)证明见解析 【分析】（1），即，解一元二次不等式即可； （2）求出二次函数的对称轴，利用单调性及二次函数的性质即可求解； （3）利用作差法即可得证. 【详解】（1）由，可知， 即，解得或， 所以的解集为. （2）因为的对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，. （3）因为， ， 所以， 即. 4．(24-25高一上·北京房山区·期中)已知函数. (1)当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，即可说明； （2）首先将不等式因式分解，再讨论两根的关系，即可求解不等式； （3）首先不等式参变分离为，转化为求最值问题，方法一，换元后，利用基本不等式求最值，方法二，不换元，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）当时，是偶函数. 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数. （2）由，得， 所以. 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）因为“在区间上恒成立”等价于“在上恒成立”，所以. 方法1： 令，则. 因为，当且仅当，即时，取等号. 所以时取等号. 所以，所以， 所以实数的范围是. 方法2：，， 因为，当且仅当，即时，取等号. 所以. 所以. 所以实数的范围是. 5．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)已知函数. (1)若函数的单调减区间为，求实数的值； (2)当时，解关于的不等式； (3)关于的不等式仅包含一个整数解，写出一个的值（结论不要求证明）. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)（答案不唯一，）. 【分析】（1）根据给定条件，结合二次函数的单调性列式计算得答案. （2）根据题意按，，，分类讨论求解不等式. （3）利用（2）的信息，确定的取值情况及不等式对应的解集，即可判断得解. 【详解】（1）当时，函数的单调递减区间是，不满足题意； 当时，由函数的单调减区间为，得，解得， 所以. （2）不等式，， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）由（2）知，当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，中仅有一个整数， 则，解得，取， 所以的一个值为. 【好题推送】 1．(22-23高一上·上海建平中学·期中)若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，当时即可求出的值，同理求出时参数的值，即可得解. 【详解】解：对于不等式， 当时，解集为显然不合题意， 当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则恒成立且方程有两个相等的实数根， 即且，显然时， 由，解得， 所以， 当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则恒成立且方程有两个相等的实数根， 即且，显然时， 由，解得， 所以， 综上可得. 故答案为： 2．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为： . 当时， . 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时， . 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 3．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求实数的范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）根据不等式解集为，利用判别式法求解. 【详解】（1）解：时，原不等式为， 整理，得， 对于方程， 因为， 所以它有两个不等的实数根， 解得， 所以不等式的解集为或. （2）原不等式可化为， 因为不等式解集为， 所以方程无实数根， 所以， 所以的范围是. 4．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)2 (3)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值. （3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）因为，不等式为. 对于方程，解得. 所以不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上. 因为在区间上单调递增， 所以.解得.所以的最小值为2. （3）因为， 所以，即. 当，即时，解得，或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $