专题07 一元一次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07一元一次方程的解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、等式的基本性质 类型二、求解含括号的一元一次方程 类型三、求解含分母的一元一次方程 类型四、解一元一次方程错解复原问题 类型五、换元法求解一元一次方程 压轴专练 典例详解 类型一、等式的基本性质 等式基本性质与解题技巧 一、核心知识点 1.性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍成立（若a=b,则a小pmc=bpmc)。 2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数)，等式仍成立（若a=b,则ac=bc;若a=b 且c≠0，则是=名)。 二、解题技巧 1.移项：把某项从等式一边移到另一边，需变号（依据性质1，如x+3=5移项得x=5-3)。 2.去分母：等式两边同乘各分母最小公倍数（依据性质2，注意不含分母的项也要乘）。 3.检验：解出结果后代入原等式，验证左右两边是否相等。 例1.(24-25七年级上·全国期末)运用等式的基本性质，下列变形错误的是() A,若m=n,则m+a=n+a B若等分侧2x=y C.若m=n a+1a+’则m+1=n+1 D.若经分别a= 【变式1-1】(24-25七年级上河南信阳·阶段练习)下列运用等式的性质变形正确的是() A.若a=b,则9-b B.若a+b=b+a,则a=b CC C.若8-b,则a=b D.若ab=ac,则b=c 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(24-25七年级上辽宁抚顺期末)运用等式性质进行的变形，正确的是() A.如果a=b,那么a-2=b+2 B.如果a=b,那么a2=2b C.如果a=b,那么9-b D.如果a=b,那么a+c=b+c cC 【变式1-3】(24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习)下列运用等式的性质，变形不正确的是() A.若a=b,则5-2a=5-2b B.若ac=bc,则a=b C.若g-b,则a=b D.若a=b,则2+1c2+ a b 类型二、求解含括号的一元一次方程 含括号的一元一次方程求解 一、 核心知识点 解含括号的一元一次方程，核心是通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程转化为x=a(a 为常数)的形式，过程需遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.去括号：用分配律展开，括号前是“-”时，括号内各项要变号（如2-(x+3)=0去括号得2x-3=0)。 2.移项变号：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号（如上式移项得x32)。 3.检验：解出x后代入原方程，验证左右两边是否相等，避免计算错误。 例2.(25-26七年级上四川成都开学考试)解方程：4(x+1)-3x-1=2x+3. 【变式2-1】(24-25七年级下·吉林长春阶段练习)解方程：3(x-2)+1=x-2x-1. 【变式2-2】(24-25七年级下.福建漳州期末)解方程：3x=2(x-2+1. 【变式2-3】(24-25七年级上·安微马鞍山期末)解方程：2(x-1)=2-5(x+2). 类型三、求解含分母的一元一次方程 含分母的一元一次方程求解 一、核心知识点 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 求解关键是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程化为x=a(a为常数)的形式， 每一步均需遵循等式基本性质，尤其去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，避免漏乘常数 项。 二、解题技巧 1.去分母：先找各分母最小公倍数（如分母2和3，最小公倍数为6），两边同乘该数，消去分母（如 1-等，两边乘6得3x+6=2x)。 2.后续步骤：按去括号、移项（移项变号）、合并同类项、系数化为1的顺序计算，最后代入原方程检验 确保结果正确。 例3.(24-25七年级上全国期末)解下列方程： 2x+1_5x-1=1」 3 6 【变式31】(24-25七年级下福建泉州期末)解方程：1+_1+2x 23 【变式3-2】(24-25七年级下辽宁沈阳期末)解方程：x-2x---x+2 323 【变式33】(2425七年级下广东汕头开学考试)解下列方程：2+1x=1=1 23 类型四、解一元一次方程错解复原问题 元一次方程错解复原问题 一、核心知识点 错解复原需基于等式基本性质和一元一次方程求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 为1)，通过分析错误步骤，反向推导或正向修正，找出正确解，关键是定位错误类型（漏乘、符号错、 移项不变号等)。 二、解题技巧 1.定位错误：对比错解步骤与正确流程，找出错误点（如去分母漏乘常数项、去括号符号错误）。 2.正向修正：保留正确步骤，修正错误部分，按正常流程重算（如错解去分母漏乘，补乘后重新计算）。 3.反向验证：若已知错解结果，可代入错解步骤，反求原方程中的参数（如未知常数），再求正确解，最 后检验。 例4.(2425七年级上陕西西安阶段练习)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过 程： 解方程： 2x-0.3_x+0.4=1 0.5 0.3 解：原方程可化为20x-3_10x+4-1…第一步， 5 3 方程两边同时乘15，得3(20x-3-510x+4=15…第二步， 去括号，得60x-9-50x+20=15.…第三步， 移项，得60x-50x=15+9-20...第四步， 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 合并同类项，得10x=4第五步， 系数化为1，得x=0.4.…第六步 上述小明的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 请你写出正确的解题过程。 变式41】(2425七年级上宁夏银别期末)下面是小明解方程3=1-的过程 6 解：去分母，得2(2x-1=6-3-x(第一步) 去括号，得4x-2=6-3+x(第二步) 移项，得4x+x=6-3-2(第三步) 合并同类项，得5x=1(第四步) 系数化为1，得x= (第五步) 5 根据解答过程完成下列任务. 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程 【变式4-2】(24-25七年级上河北邯郸期末)数学课上，嘉琪在黑板上写出了下列方程的解题过程，如下 所示. 5-x+4=5解：去分母，得10x-3(x+4=30.第一步 3 2 去括号，得10x-3x+12=30.第二步 移项合并同类项，得7x=18..第三步 18 系数化为1，得x= …第四步 (1)小亮观察后发现嘉琪的解题过程是错误的，嘉琪从第 步开始出现错误，出错的原因是 (2)请求出题月中方程的解. 【变式43】(2425七年级上河北唐山阶段练习)【问圈】解方程：)-2=1 26 【解题】解：，得3x-(x-2)=6, ……第一步 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 去括号，得3x-x+2=6, 第二步 移项，得3x-x=6+2, 第三步 合并同类项，得2x=8, 第四步 【批注】 ()以上求解步骤中，第一步横线上应填的是 ，从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程. 类型五、换元法求解一元一次方程 换元法解一元一次方程 一、核心知识点 换元法是将方程中重复出现的复杂整式（如多项式、分式）设为新未知数（如），把原方程转化为关于 新未知数的简单一元一次方程，求解后再代回新未知数，求出原方程的解，核心是简化方程结构，本质 仍遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.设元：观察方程，设重复出现的复杂部分为t(如方程2(3x-1)-5=3(3x-1),设t=3x-1)。 2.求解新方程：将原方程转化为2t-5=3t,解出t=-5。 3.回代求原解：把t=-5代入t=3x-1,得3x-1=-5,解得x=号，最后检验。 例5。(2425七年级上湖北武汉阶假段练习》关于x的一-元一次方程024+6=2x+b的解为：=-，则关 于)的一元一次方程024+列+6=2y+b+10的解为() A.-3 B.-5 C.-7 D.-8 【变式5-1】(24-25七年级上江西南昌期末)已知关于x的一元一次方程，x。+5=2019x+m的解为 2019 x=2018,那么关于y的一元一次方程)二+5=20195-)+m的解为() 2019 A.2023 B.-2013 C.2013 D.-2023 【变式52】2425七年级上河北那台期未)若关于的一元一次方程025+3=2x+6的解为x=-3, 则关于y的一元一次方程20252y+-=4y+b-1的解为《) A.y=1 B.y=-1 C.y=-2 D.y=-4 【变式53】(23,24七年级下河南南阳期未)已知关于x的一元一次方程02+3=2x+b的解为x=2, 5/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则关于y的一元一次方程2024y+3到+3=2+3)+b的解为（) A.y=-1 B.y=1 C.y=-3 D.y=-4 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上浙江杭州·期末)下列变形中，正确的是() A.若ac=bc,那么a=b B.若a=b,那么=b C.la=b,那么a=b D.若a=b,那么a2=b2 2.(22-23七年级下，河南洛阳·期中)下列方程变形正确的是() A.方程3-x=2-5(x-1,去括号，得3-x=2-5x+1 B.方程3x-2=2x+1,移项，得3x-2x=1-2 心方程子号来知数的系数化为1，有=- D.方程-，去分母，得3x4r=10 3.(22-23七年级下·广东湛江开学考试)若关于x的方程2x+m=1的解是方程3x-2=2x-1的解的3倍，则 m的值是() A.3 B.-1 C.1 D.-5 4.(24-25七年级上·全国期末)若关于x的方程c-3=2(x+6)的解为大于4的整数，则整数k的值为() A.3或5 B.3或7 C.5或7 D.以上答案都不对 5.(24,25七年级上辽宁抚顺期未)定义一种新运算m:当>y时，x数y=X+宁：当=)时， &yEx+y:当x<y时，x&yy,例如：2&19 F2·已知2&r=5r+2 3，则x的值为() B,或2 D.或或2 7 二、填空题 6.(24-25七年级上河北邯郸·阶段练习)根据等式的性质填空： 6/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如果x=y,那么x+1=y+ (2)如果x=y,那么」 x=5y; (3)如果3x=6y,那么x=y. 7.(25-26七年级上·北京·开学考试)己知3m-5和-2m+3互为相反数，则m的值为_ 8.(2024七年级上全国专题练习)将方程=+2+中含小数的分母转化为整数，得 0.30.43 9.(223七年级上全国期末)若方程号+1--6的解为=12，号引m-)-m-=-7的解为： 4 4 10.(24-25七年级下四川乐山期末)若关于x的方程k-2)x-3=1-2x+)的解为整数，则整数k的取值 个数为 个 三、解答题 11.(24-25七年级上·全国期末)解方程： (1)4x-1=2x+5; 23+1=4. -+ 23 12.(24-25七年级上·陕西安康阶段练习)解下列方程. ①230-=5： 64 3x1.4x5x-7 (2) 0.50.46 13.(24-25七年级上全国·期末)解下列方程： (1)3(x+1-2x=7: a2-1 5 14.(24-25七年级上江苏徐州·期末)解方程： (1)2(x-1-34-2x=2 号31 15.(24-25七年级上全国期末)解方程： (1)8-3(3x-2)=6 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a15.7 6 16,(24-25七年级上全国随堂练习》小明在做数学作业时，解方程2-1_2，x=1的步骤如下： 23 ①去分母，得3(2x-1)-2(2-x)=1, ②去括号，得6x-3-4+2x=1, ③移项，得6x+2x=1+3+4, ④合并同类项，得8x=8, ⑤系数化为1，得x=1. (1)小明解方程的步骤从第 步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是 (②)请你写出这道题正确的解答过程 17.(24-25七年级上甘肃兰州期末)已知(m-2)xm2+12=0是关于x的一元一次方程. (1)求m的值； (2)若方程(m-2)x2+12=0的解与关于x的一元一次方程n(2x+1)=x+5的解互为相反数，求n的值. 3a-2b(a≥b 18.(2023七年级上江苏南通·竞赛)对于有理数a、b定义一种新运算aOb= a- (a<1'如 3 503=3x5-2x3=9,1O3=1-2x3=-1,请按照这个定义完成下列计算： 3 ①若02-3，求x的值： 2若A=-2+22-x+1,B=-2x+x-x+)，且A0B=-4,求3r+x+2的值) 2 国法和k的为正装经，1满足信+小D1-子+12.直接写出的值 8/8 专题07 一元一次方程的解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、等式的基本性质 类型二、求解含括号的一元一次方程 类型三、求解含分母的一元一次方程 类型四、解一元一次方程错解复原问题 类型五、换元法求解一元一次方程 压轴专练 类型一、等式的基本性质 等式基本性质与解题技巧 一、核心知识点 1.性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍成立（若a=b，则a\pm c=b\pm c）。 2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立（若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则 = ）。 二、解题技巧 1.移项：把某项从等式一边移到另一边，需变号（依据性质1，如x+3=5移项得x=5-3）。 2.去分母：等式两边同乘各分母最小公倍数（依据性质2，注意不含分母的项也要乘）。 3.检验：解出结果后代入原等式，验证左右两边是否相等。 例1．（24-25七年级上·全国·期末）运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C． 若，则，则，原变形正确，该选项不符合题意； D． 若，则，即，原变形错误，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）下列运用等式的性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．直接利用等式的基本性质进而判断得出即可． 【详解】解：A．若， 成立的条件是，故选项A变形不正确，故该选项不符合题意， B．若，无法得，故选项B不符合题意， C．若，则，变形正确，故选项C符合题意， D．若，则成立的条件是，故选项D变形不正确，故该选项不符合题意， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么或，原写法错误，不符合题意； B、如果，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，当时，那么，原写法错误，不符合题意； D、如果，那么，原写法正确，符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若,则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意； B、若,则，原结论错误，符合题意； C、若 ，则，原结论正确，不符合题意； D、因为 ，所以若，则，原结论正确，不符合题意； 故选：B． 类型二、求解含括号的一元一次方程 含括号的一元一次方程求解 一、核心知识点 解含括号的一元一次方程，核心是通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程转化为x=a（a为常数）的形式，过程需遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.去括号：用分配律展开，括号前是“-”时，括号内各项要变号（如2-(x+3)=0去括号得2-x-3=0）。 2.移项变号：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号（如上式移项得-x=3-2）。 3.检验：解出x后代入原方程，验证左右两边是否相等，避免计算错误。 例2．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解方程的步骤：去括号、移项、合并同类项解答即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出方程的解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式2-2】（24-25七年级下·福建漳州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项求解即可． 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解答即可，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 类型三、求解含分母的一元一次方程 含分母的一元一次方程求解 一、核心知识点 求解关键是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程化为x=a（a为常数）的形式，每一步均需遵循等式基本性质，尤其去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，避免漏乘常数项。 二、解题技巧 1. 去分母：先找各分母最小公倍数（如分母2和3，最小公倍数为6），两边同乘该数，消去分母（如+1=，两边乘6得3x + 6 = 2x）。 2. 后续步骤：按去括号、移项（移项变号）、合并同类项、系数化为1的顺序计算，最后代入原方程检验，确保结果正确。 例3．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可． 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）解方程： 【答案】． 【分析】先去分母，消除方程中的分数形式，再去括号去掉式子中的括号，接着移项使含未知数的项和常数项分别位于等号两边，然后合并同类项化简方程，最后将未知数的系数化为 ，求出方程的解．本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 等解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解： 去分母，方程两边同时乘以得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为得． 【变式3-3】（24-25七年级下·广东汕头·开学考试）解下列方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，求出解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 类型四、解一元一次方程错解复原问题 一元一次方程错解复原问题 一、核心知识点 错解复原需基于等式基本性质和一元一次方程求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），通过分析错误步骤，反向推导或正向修正，找出正确解，关键是定位错误类型（漏乘、符号错、移项不变号等）。 二、解题技巧 1.定位错误：对比错解步骤与正确流程，找出错误点（如去分母漏乘常数项、去括号符号错误）。 2.正向修正：保留正确步骤，修正错误部分，按正常流程重算（如错解去分母漏乘，补乘后重新计算）。 3.反向验证：若已知错解结果，可代入错解步骤，反求原方程中的参数（如未知常数），再求正确解，最后检验。 例4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，得（第三步） 合并同类项，得（第四步） 系数化为1，得（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程． 【答案】任务一：①等式的性质二；②三，移项未变号；任务二：见解析 【分析】本题考查了解含有分母的一元一次方程，熟悉各步骤，注意各步的注意事项是解题的关键． 任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二，据此即可完成； ②观察每步变形知，第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，即可求解． 【详解】解：任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二； 故答案为：等式的性质二； ②第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 故答案为：三；移项未变号； 任务二：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-2】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数学课上，嘉琪在黑板上写出了下列方程的解题过程，如下所示． 解：去分母，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项合并同类项，得．……第三步 系数化为1，得．……第四步 (1)小亮观察后发现嘉琪的解题过程是错误的，嘉琪从第______步开始出现错误，出错的原因是__________________； (2)请求出题目中方程的解． 【答案】(1)二；去括号时没有变号 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）检查解题过程，可发现第二步去括号没有变号； （2）根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第二步开始出现错误，出错的原因是去括号时没有变号． 故答案为：二；去括号时没有变号 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）【问题】解方程： 【解题】解：____， 得， ……………………第一步 去括号，得                    ……………………第二步 移项，得，                         ……………………第三步 合并同类项，得，                        ……………………第四步 ……… 【批注】 (1)以上求解步骤中，第一步横线上应填的是_______ ，从第_______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)去分母，三 (2)解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次方程，按步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、把x系数化为1，进行检查并解方程，即可求解． 【详解】（1）解：第一步横线上应填的是去分母， 移项，得，   从第三步开始出现错误； 故答案为：去分母，三； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得，         系数化为，得． 类型五、换元法求解一元一次方程 换元法解一元一次方程 一、核心知识点 换元法是将方程中重复出现的复杂整式（如多项式、分式） 设为新未知数（如t），把原方程转化为关于新未知数的简单一元一次方程，求解后再代回新未知数，求出原方程的解，核心是简化方程结构，本质仍遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.设元：观察方程，设重复出现的复杂部分为t（如方程2(3x - 1) - 5 = 3(3x - 1)，设t = 3x - 1）。 2.求解新方程：将原方程转化为2t - 5 = 3t，解出t = -5。 3.回代求原解：把t = -5代入t = 3x - 1，得3x - 1 = -5，解得x = -，最后检验。 例5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 【变式5-1】（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元一次方程，熟练掌握换元法的思想是解题的关键．通过观察两个方程的结构特征，利用换元法将关于的方程转化为已知解的关于的方程形式，进而求解的值． 【详解】解：对于方程， ∵令， ∴原方程可化为． ∵已知关于的方程的解为， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 【变式5-3】（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可． 【详解】解：因为原方程的解为． 所以方程满足， 解得， 故选：A． 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，绝对值的意义及平方的非负性，解题的关键是掌握等式的基本性质：性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，结合绝对值和平方的非负性进行判断． 【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）下列方程变形正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，未知数的系数化为1，得 D．方程，去分母，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据去分母、去括号、移项、系数化为1这些变形解答即可． 【详解】解：A、方程，去括号，得，故此选项不符合题意； B、方程，移项，得，故此选项不符合题意； C、方程，未知数的系数化为1，得，故此选项不符合题意； D、方程，去分母，得，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（22-23七年级下·广东湛江·开学考试）若关于的方程的解是方程的解的3倍，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程． 求方程的解，即可得关于的方程的解，代入，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由得， 根据题意可知，是方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&amp;”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加，所以． （2）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘，所以． （3）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以，所以． 【详解】解：（1）∵ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． （3）∵ ∴ 故答案为：． 7．（25-26七年级上·北京·开学考试）已知和互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了相反数的定义，解一元一次方程，利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·全国·期末）若方程的解为，的解为： ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，换元法，掌握相关知识是解决问题的关键．将第二个方程中看作一个整体换元，找到和第一个方程的关系，即可得到答案 【详解】解： 即，① 由题意此方程的解为， 令， 则第二个方程变形为：， 对照①可得，方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握解方程的方法是解题关键． （1）直接移项合并同类项，进而系数化为1得出答案； （2）直接去分母，进而移项合并同类项，进而系数化为1得出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，步骤为:去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 原方程可化为． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 13．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化成，得． 14．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得． 15．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键． （1）根据去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可； （2）根据去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小明在做数学作业时，解方程的步骤如下： ①去分母，得， ②去括号，得， ③移项，得， ④合并同类项，得， ⑤系数化为1，得． (1)小明解方程的步骤从第_______步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是______________． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)①；去分母时，1漏乘6 (2)见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，是解题关键． （1）检查小明解答过程，即可作出判断； （2）写出正确解答过程即可． 【详解】（1）小明解方程的步骤从第①步开始出现了错误，错误的原因是去分母时，1漏乘6； （2）正确的解答过程如下： ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是关于x的一元一次方程，得到，，求得m的值即可； （2）分两种情况，先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得或且， ∴或； （2）解：当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 综上所述，或． 18．（2023七年级上·江苏南通·竞赛）对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： (1)若，求的值； (2)若，，且，求的值； (3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 【答案】(1) (2)20 (3)3 【分析】本题考查整式的加减运算，理解新定义运算规则，注意分情况讨论是解题的关键． （1）分和两种情况，根据新定义运算得出关于x的方程，解方程，然后判断是否满足条件即可得； （2）先计算，得出，再根据新定义计算，得出，利用整体代入法求解即可； （3）先判断，根据新定义计算，得出，整理得，根据和均为正整数，可得的值． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 解得，与矛盾，舍去； 当时，， ， ， 解得，符合题意； 综上可知，x的值为． （2）解：，， ，即， ， ， ； （3）解： 和均为正整数， ， ， ， 解得， 和均为正整数， 是5的因数，且只能是， 此时，，， 即k的值为3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $