专题03 代数式规律性探索的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题03 代数式规律性探索的两种考法 类型一、数字类规律性探索问题 1．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 【答案】(1)，过程见详解；(2) 【分析】本题考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法，是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①得， 即； （2）解：令，① 则，② ②－①得， ∴ ∴． 2．已知：，，…，，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，求的值； (4)由以上探究可知，若，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______；的这些所有的不同的值的和的绝对值等于______． 【答案】(1) (2)0或 (3)或 (4)2025，4048，0 【分析】本题主要考查了有理数运算，绝对值运算以及分类讨论思想，正确进行分类讨论是解题的关键． （1）分和两种情况分别求解即可； （2）将分为都是正数，都是负数和一正一负的情况讨论即可； （3）将分为都是正数，都是负数，两正一负和两负一正的情况讨论即可； （4）由的不同值的个数推断出的不同值的个数为个，则当时，共有个不同的值，当所有的都为1时，取得最大值，最大值为，当所有的都为时，取得最小值，最小值为，由此可得最大值与最小值的差，另的取值是关于0对称的，由此求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （2）当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，； 则答案为：0或； （3）当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 则的值为或； （4）由以上探究可知，的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 对于，每一个，2，，的值为1或， 由此可知的不同值的个数为个， 当时，共有个不同的值， 当所有的都为1时，取得最大值，最大值为， 当所有的都为时，取得最小值， 最小值为， 则最大值与最小值的差为：， 的取值为，，，2022，2024，这些数是关于0对称的， 则的这些所有的不同的值的和为： ， 所以的这些所有的不同的值的和的绝对值为0． 故答案为：2025，4048，0． 3．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【分析】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【详解】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （3）原式= = ． （4） ．永远不可能倒完． 4．【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4）计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4） 【分析】（1）根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可． （2）根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可． （3）根据，化简解答即可． 【能力提升】（4）根据题意，得，结合规律解答即可． 本题考查了规律的探索，公式的应用，熟练掌握规律，并运用规律解题是解题的关键． 【详解】（1）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （2）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （3）解：根据题意，得， 故 故答案为：． （4）解：根据题意，得， 故答案为：． 类型二、图形类规律性探索问题 1．【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，明确题意，发现图形和数字得变化规律是解题的关键． （1）仿照阅读材料求解即可； （2）仿照阅读材料求解即可； （3）根据有理数乘方的意义，表示出，然后寻找到规律即可解答． （4）根据(1)的方法，进行计算即可． 【详解】（1）解：设① 将等式①的两边同时乘以3得： ② 由②-①得：， ∴，即． （2）解：设①， 将等式①的两边同时乘以，得：②， 由①-②得：， ∴，即； （3）解：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：① 设， 可得：②， ①-②得：， ∴ ∴． 2．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了代数式的规律题，根据题目规律得到连续自然数相加，再根据连续自然数相加的规律得到答案即可； 【详解】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， ，即第6个三角形数是21； ，即第n个三角形数是． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．以此类推，第n幅图为． 故答案为：（1）21，；（2）；（3），，． 4．【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： 以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究二： 以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： （1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； （2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究三： 长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【问题解决】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【实际应用】以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成 个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成 个互不重叠的小三角形． 【答案】探究一：4；探究二：6；探究三：8；[问题解决]：；[实际应用]：4050；[拓展延伸]： 【分析】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键． 探究一：根据图形可回答； 探究二：根据图形可回答； 探究三：根据图形可回答； 问题解决：由探究活动可得规律为，进而解决问题； 实际应用：把2024代入所得规律，求值即可； 拓展延伸：由四边形的规律可得m边形的规律． 【详解】解：探究一：以长方形的4个顶点和它内部的1个点（如图①），共5个点为顶点， 此时可把长方形分割成4个互不重叠的小三角形． 故答案为：4； 探究二：在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点，那么点的位置会有两种情况： 一种情况是，点在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点在上（如图②）； 另一种情况是，点在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点在△的内部（如图③）． 不管哪种情况，都可把长方形分割成6个互不重叠的小三角形． 故答案为：6； 探究三：长方形的4个顶点和它内部的3个点、、，共7个点为顶点，可把长方形分割成8个互不重叠的小三角形．如图所示． 故答案为：8； [问题解决] 以长方形的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 所以，以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：． 故答案为：； [实际应用] 当时，， 以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成4050个互不重叠的小三角形． 故答案为：4050； [拓展延伸] 当内部1个点时，可以与m边形的m个顶点连接形成m个三角形，当内部有n个点时，相当于在m个三角形的基础上多出个三角形， ∴可把原m边形分割成个三角形． 故答案为：． 5．用一根绳子留成一个长，宽的长方形： 【基础设问】 （1）下列说法可以用表示的是_______． A．a的2倍与b的和    B．a与b的2倍的和    C．a与b的和的2倍    D．2与a的乘积与b的和 （2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S； ②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【能力设问】 （3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______． （4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______． 【拓展设问】 （5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除． 割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． ②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差； ③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程． 【答案】（1）C；（2）①，；②；（3）；（4）96；（5）①455能被7整除；②；③见解析 【分析】（1）根据代数式的意义解答即可； （2）①用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积求解即可； ②把a，b的值代入计算即可； （3）先判断出，，然后化简绝对值，最后根据整式的加减计算即可； （4）根据题意可得第①个图形中一共有个正方形，第②个图形中一共有个正方形，第③个图形中一共有个正方形，……由此发现规律，即可求解； （5）①根据“割尾法”判断即可； ②根据题意表示出，即可求解； ③设（k为整数）把表示为，即可证明． 【详解】解：（1）表示的是a与b的和的2倍， 故选：C； （2）①阴影部分的面积为； ②当，时，； （3）∵c为最大的负整数， ∴， 由数轴知：，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （4）第①个图形中一共有个正方形， 第②个图形中一共有个正方形， 第③个图形中一共有个正方形， …… 第n个图形中一共有个正方形， 当时，第⑧个图形中正方形的个数为个正方形， 故答案为：96； （5）①对于三位数455，割掉末位数字5得45，， 因为35是7的倍数， 所以455能被7整除； ②对于三位数，割掉末位数字m得， ∴； ③（i）． 因为是7的倍数， 设（k为整数） 所以（ii）． 把（ii）式变形代入（i）式， 得， ∴能被7整除． 【点睛】本题考查了列代数式，图形的规律，整式的加减等，准确理解题意是解题的关键． 6．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 【答案】(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 7．问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 【答案】①；②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查图形的规律，能够通过题中所给的方法，探究出规律，并能将得到的公式加以运用是解题的关键； 通过观察图形可得；通过观察图形，可得这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： 即可求解，即可得规律代入探究的结论即可得； 【详解】解：①由题意可得，同一行圆圈个数之和均为 个；由此可得两个图前n行圆圈个数总和为： ②； ③由题意可得，相同位置上三个圆圈中数字之和均为 ， ④由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数字的总和为： ⑤    ； ⑥计算 ⑦求 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式规律性探索的两种考法 类型一、数字类规律性探索问题 1．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 2．已知：，，…，，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，求的值； (4)由以上探究可知，若，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______；的这些所有的不同的值的和的绝对值等于______． 3．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 4．【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4） 计算： 类型二、图形类规律性探索问题 1．【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 2．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 4．【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： 以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究二： 以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： （1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； （2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究三： 长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【问题解决】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【实际应用】以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成 个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成 个互不重叠的小三角形． 5．用一根绳子留成一个长，宽的长方形： 【基础设问】（1）下列说法可以用表示的是_______． A．a的2倍与b的和    B．a与b的2倍的和    C．a与b的和的2倍    D．2与a的乘积与b的和 （2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S； ②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【能力设问】（3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______． （4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______． 【拓展设问】（5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除． 割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． ②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差； ③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程． 6．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 7．问题呈现：在小学我们学习过用图示法求的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，…，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈__________个；共有小圆圈__________个． ②__________． 数学思考：如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即；……；第n行n个圆圈中数的和为，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第行的第1个圆圈中的数分别为，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为__________； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：__________； ⑤__________． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为__________． ⑦求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $