专题04 分数混合运算的应用（知识梳理+10个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学六年级上学期专项培优精讲练

专题04 分数混合运算的应用 【知识梳理+10个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题】 （原卷版） 资料简介 内容梳理 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01： “求一个数的几分之几是多少”的两步问题 2 知识点梳理02： “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的两步问题 3 知识点梳理05：稍复杂的“比多比少”问题 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：分数的连乘运算的应用 4 高频考点讲练2：连续求一个数的几分之几是多少的问题 5 高频考点讲练3：分数的连除运算 6 高频考点讲练4：分数的乘、除法的混合运算 7 高频考点讲练5：求比一个数多/少几分之几的数是多少 8 高频考点讲练6：已知总量及一部分分率，求另一部分量 9 高频考点讲练7：整数乘法运算定律推广到分数乘法 10 高频考点讲练8：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 11 高频考点讲练9：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 11 高频考点讲练10：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 12 升学真题 实战演练 13 优选题型 培优强化 14 基础夯实 14 培优拔尖 17 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级上册内容的专题强化培优学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5题小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 优选题型，培优强化：结合本专题内容精选15-20题较难题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01： “求一个数的几分之几是多少”的两步问题 这类问题通常需要我们先求出一个中间量，再求出最终结果。关键是要找准单位“1”，理解清楚数量之间的关系。 1.常见模型1： 已知总量，先求总量的一部分（几分之几），再求这一部分的另一部分（几分之几），或者用总量减去这一部分得到另一部分。 例如：一本书有120页，小明第一天看了全书的 ，第二天看了第一天的 ，第二天看了多少页？（先求第一天看的页数，再求第二天看的页数） 2.常见模型2： 已知一个数量，先求它的几分之几是多少，再进行加减运算。 例如：学校买来100千克白菜，吃了 ，还剩多少千克？（可以先求吃了多少千克，再用总量减去吃了的；也可以先求剩下的占几分之几，再用总量乘以这个分率） 易错点提示： （1）单位“1”的转换： 两步问题中，有时单位“1”会发生变化。例如上面的例子，“第二天看了第一天的 ”，这里的单位“1”是“第一天看的页数”，而不是“全书的页数”。一定要找准每一步的单位“1”是谁。 （2）数量关系分析不清： 不理解题目中的“谁是谁的几分之几”，导致列式错误。建议通过画线段图来帮助理解。 （3）分步与综合算式： 分步计算时要注意每一步计算的正确性，以及分步结果的单位。列综合算式时要注意运算顺序，必要时添加括号。 知识点梳理02： “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的两步问题 这类问题是“求一个数的几分之几是多少”的逆运算，通常需要用方程来解决，或者用除法分步计算。同样要找准单位“1”，并理解数量关系。 1.方程法： （1）找出题目中的单位“1”的量，通常是我们要求的未知量，设为 。 （2）根据题目中的数量关系，列出含有 的方程（通常是：单位“1”的量 × 对应分率 = 已知量）。 （3）解方程，求出 的值。 例如： 小明看一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，两天一共看了70页。这本书共有多少页？（设全书共 页，则 ） 2.算术法（除法）： （1）先找出已知量对应的分率。 （2）用已知量除以它所对应的分率，得到单位“1”的量。 易错点提示： （1）找准“对应分率”： 这是算术法解决此类问题的关键。已知量必须和它所对应的分率相除，才能得到单位“1”。 （2）方程的设与列： 设准未知数，根据关键句准确列出方程。解方程时要注意分数运算的正确性。 （3）与“求一个数的几分之几是多少”混淆： 看到分数就用乘法，而忽略了是已知部分求整体还是已知整体求部分。 （4）检验： 解完题后，最好把结果代入原题中检验一下，看是否符合题意。 知识点梳理05：稍复杂的“比多比少”问题 这类问题涉及到“一个数比另一个数多几分之几”或“一个数比另一个数少几分之几”的数量关系，通常也是两步或多步运算。 1.模型1（已知单位“1”，求比较量）： （1）单位“1”的量 × (1 + 几分之几) = 比单位“1”多几分之几的量 （2）单位“1”的量 × (1 - 几分之几) = 比单位“1”少几分之几的量 例如：学校去年有图书800册，今年比去年增加了 ，今年有图书多少册？（单位“1”是去年的册数） 2.模型2（已知比较量，求单位“1”）： （1）比较量 ÷ (1 + 几分之几) = 单位“1”的量 （2）比较量 ÷ (1 - 几分之几) = 单位“1”的量 例如：学校今年有图书960册，今年比去年增加了 ，去年有图书多少册？（单位“1”是去年的册数，未知，可用方程或除法） 易错点提示： （1）准确判断“多几分之几”还是“少几分之几”： 以及这个分率是“谁比谁”的几分之几，即谁是单位“1”。 （2）“1”的含义： 算式中的“1”代表的是单位“1”的量本身。例如“增加了 ”，是指增加的部分是单位“1”的 ，所以现在的量是单位“1”的 。 （3）方程法的优势： 在解决此类复杂问题时，方程法往往比算术法更容易理解，尤其是当单位“1”未知时。 （4）画线段图： 这是解决“比多比少”分数问题的“利器”，能清晰地表示出数量关系和分率对应。 高频考点讲练1：分数的连乘运算的应用 【典例精讲】（23-24六年级上·四川成都·期末）学校合唱队有60人，舞蹈队的人数是合唱队的，管乐队的人数是舞蹈队的。管乐队有多少人？ （1）在方框里画线段图表示三支队伍之间的人数关系。 （2）列式解答： 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）请在横线上补充合适的信息，使问题可以用算式“”来解答，并解答出来。 “古稀”“花甲”“不惑”等都是古代对年龄的称谓。其中“古稀”表示70岁，“花甲”表示的年龄是“古稀”的，____________________。“不惑”表示的年龄是多少岁？ 【演练2】（2024六年级下·全国·专题练习）母亲节当天，实验小学六年级组织了“爱心感恩”活动，每位同学自己动手做一件手工作品送给母亲。 ①为妈妈折花的人数占六年级总人数的。②做贺卡的人数是折花的。 ③折一朵花需要张彩纸。④六年级一共有350人。 （1）要求做贺卡的人数，需要知道的信息是（          ）。（填序号） （2）请你根据选择的信息，进行解答。 高频考点讲练2：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（24-25六年级上·广东清远·期末）学校航模社团有80人，书法社团人数是航模社团人数的，武术社团人数是书法社团人数的。武术社团有多少人？ 【答案】40人 【演练1】（24-25六年级上·辽宁营口·期中）气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的，航模小组的人数是摄影小组的，航模小组有多少人？ （1）画图表示航模小组与气象小组、摄影小组之间的人数关系 （2）航模小组的人数是气象小组的几分之几？ （3）用两种不同的方法列式解决问题，只列综合算式，不需解答。 方法一：综合算式______ 方法二：综合算式______ 【演练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在解决“商店运来橘子240千克，第一天卖出总量的，第二天卖出的橘子的量相当于第一天的，第二天卖出了多少千克？”这个问题时，乐乐是这样计算的：（千克），你认为乐乐计算得正确吗？请写出你的判断理由。 高频考点讲练3：分数的连除运算的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在解决“一块地有公顷，用2台收割机收割，时可以收割完，平均每台收割机每时收割多少公顷？”这道题时： 淘淘是这样做的：                               乐乐是这样做的： （公顷） 答：平均每台收割机每时收割公顷。 （公顷） 答：平均每台收割机每时收割公顷。 你认为谁做得对？请写出你的判断理由。 【演练1】（20-21五年级下·辽宁·期中）文具超市新进一批文具用品，铅笔有200支，铅笔的数量是圆珠笔的，圆珠笔数量是钢笔的，钢笔有多少支？ 【演练2】（20-21六年级上·辽宁·单元测试）乐乐在计算一道除法题时，把除以2按照乘2计算了，结果得，正确的结果应是多少？ 高频考点讲练4：分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】（2024·陕西西安·小升初真题）某校六年级参加英语演讲比赛的学生有48人，五年级参加英语演讲比赛的人数是六年级的，是四年级的。该校四年级参加英语演讲比赛的学生有多少人？ 【演练1】（24-25六年级上·广东深圳·期中）侦察员在破案现场量得犯罪嫌疑人的鞋印长度为27厘米。资料显示：成人的脚的长度约是鞋长的，是身高的。这个犯罪嫌疑人的身高大约是多少厘米？ 【演练2】（24-25六年级上·福建泉州·期中）学校举行“高歌百年路·奋进新时代”庆“七一”歌咏比赛。经过评选，获得一等奖的有6人，是参赛总人数的；获得二等奖的人数占参赛总人数的。获得二等奖的有多少人？请写出数量关系式，再解答。 高频考点讲练5：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大变化。从普通列车到快速列车，现在已经发展到了高速列车（如“和谐号”“复兴号”）。中国铁路技术装备达到了“领跑世界”的先进水平。下面是一些列车运行速度的信息。 “和谐号”列车的速度是300千米/时 “复兴号”列车的速度比“和谐号”列车的速度快 “复兴号”列车的速度是多少？ 【演练1】（24-25五年级下·陕西西安·期末）某学校特别重视学生的综合素养，成立了60多个社团，既培养了学生的特长，也丰富了学生的学习生活。其中2024年参加腰鼓队的有20人，是合唱队人数的，2025年参加合唱队的人数比2024年增加了，2024年和2025年参加合唱队的分别有多少人？ 【演练2】（24-25五年级下·广东惠州·期中）人类血型主要分为A型、B型、O型和AB型。其中O型血的人被称为“万能供血者”，AB型血的人被称为“万能受血者”。五年级1班O型血的人有18人，AB型血的人比O型血的人多，AB型血有多少人？ 高频考点讲练6：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·单元测试）《水浒传》是中国四大名著之一，其讲述了北宋以宋江为首的绿林好汉的故事。梁山共有108名好汉，如果第一天派出去，第二天派出去剩余好汉的，那么这时留守山寨的还有多少名好汉？ 【演练1】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）实验小学有两桶医用酒精，一桶酒精重千克，用去后，剩下的酒精质量正好是另一桶酒精的，另一桶酒精重多少千克？ 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）某化工厂每天产生27吨的工业污水，其中有经过处理，未经处理的污水有多少吨？ 高频考点讲练7：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）洗衣机厂有甲乙两个分厂，每个分厂10月份都计划生产14000台洗衣机。上旬甲厂完成计划的，乙厂完成计划的。上旬甲厂比乙厂多生产多少台洗衣机？ 【演练1】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）越野赛跑全程12千米，其中环山路段占，海滨路段占，其余的是公路路段。 （1）环山路段比海滨路段长多少千米？ （2）如果明年把赛跑全程延长，将是多少千米？ 高频考点讲练8：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级下·福建南平·期末）拉萨被称为“日光城”，年平均日照时间约是3000时，比福建多。福建的年平均日照时间约是多少时？ 【演练1】（25-26六年级上·全国·课后作业）东汇城商场新购进480台电视机，（    ），新购进冰箱多少台？列式为480×（1＋）。 A．新购进的冰箱比电视机少 B．新购进的冰箱比电视机多 C．新购进的电视机比冰箱少 D．新购进的电视机比冰箱多 【演练2】（24-25六年级上·福建泉州·期中）共享单车是一种创新的城市交通方式，为城市居民提供了一种健康生活方式。阅读以下资料卡，并根据资料卡中的信息解答下列各题。 某共享单车公司2023年在某城市投放共享单车8400辆，比2022年多。经测算，两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的，其中因满足私欲为方便自己使用，加私锁、损毁二维码的数量占到；因占小便宜，偷车、拆卸车座等零部件的数量占。 （1）两年中共损坏的单车有多少辆？ （2）请你再提出一个数学问题并解答。 高频考点讲练9：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·假期作业）打印一篇稿件，第一天打了32页，第二天打的页数是第一天的，两天共打了这篇稿件的，这篇稿件共多少页？ 【演练1】（24-25六年级上·山西吕梁·期中）有一项工程要铺设一条电缆线，第一周铺设了全长的，第二周铺设了全长的，还剩220千米没有铺，这条电缆线全长有多少千米？（先写出等量关系，再列方程解答） 【演练2】（24-25六年级上·甘肃张掖·期中）四、五、六年级学生共同种植了一批树，四年级植了总棵数的多24棵，五年级植了总棵数的少10棵，六年级植树105棵。问：同学们共植树多少棵？ 高频考点讲练10：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】（22-23六年级上·陕西宝鸡·期中）周末李华带了一些钱去文具店，买笔记本花去了，买钢笔又花了剩下的，还剩下18元。他一共带了( )元钱。 【演练1】（22-23五年级下·浙江金华·期末）“六月杨梅红树林，初凝一颗值千金”，美味营养的杨梅是我们兰溪的特产之一，某村杨梅今年比去年增产，增产11吨，去年杨梅产量有多少吨？（用方程解答） 【演练2】（21-22五年级下·广东湛江·期末）甲乙丙三堆零件，第一次从甲堆中拿出若干零件放到乙丙中去，使乙丙分别增加；第二次又从乙堆中拿出若干零件放到甲丙中去，使甲丙分别增加；第三次又从丙堆中拿出若干零件放到甲乙中去，使甲乙分别增加。这时三堆零件都是640个，甲堆原来有零件多少个？ 【实战演练1】（2025·陕西西安·小升初真题）今年“六一”儿童节，某游乐园为孩子们送福利，原价每人110元的门票（不分大人和小孩）降价优惠。实施优惠后，今年“六一”当天入园人数比去年增加了。据统计，降价前去年“六一”当天入园的有4万人，那么该游乐园今年“六一”当天的门票总收入与去年当天相比，是否有增长？ 【实战演练2】（2025·陕西西安·小升初真题）一项工程甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，在这期间，甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），开始到完工共用了( )天。 【实战演练3】（2024·福建泉州·小升初真题）学校图书馆购进文学类图书280本，比科技类图书的本数多，购进的科技类图书有多少本？（先画线段图，写出等量关系，再列方程解答） 【实战演练4】（2023·广东深圳·小升初真题）妙想妈妈在一块长20米、宽15米的长方形地上种植鲜花。今年她进行了扩建，宽不变，长增加了。如果每平方米土地的鲜花卖200元，今年这块地种植的鲜花可以卖多少元？ 【实战演练5】（2023·四川成都·小升初真题）小明家有一块葡萄园，摘下的葡萄时，装满了若干筐后还多24千克。收完余下的葡萄，这时余下的葡萄恰好装满6筐。那么，小明家的葡萄共收了多少千克？ 基础夯实 1．（23-24六年级上·四川成都·期末）一瓶水，第一次喝了，第二次喝了剩下的，两次喝水量相比，下面说法正确的是（    ）。 A．第一次喝的更多 B．第二次喝的更多 C．无法比较 2．（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）一个书架上有80本故事书，科技书的数量比故事书少，文学书的数量比科技书多。这个书架上有（    ）本文学书。 A．195 B．165 C．75 D．60 3．（23-24六年级上·陕西西安·期中）丰华养殖场养鸭740只，养鸡的只数比鸭多，养鸡多少只？列式不正确的是（    ）。 A． B． C． 4．（25-26六年级上·全国·随堂练习）学校图书馆有科普书800本，__________。故事书有多少本？根据所给条件选出正确的算式。（从下列选项中选出正确的选项） A．      B．      C． (1)故事书比科普书多       ( ) (2)故事书比科普书少       ( ) (3)故事书是科普书的       ( ) 5．（24-25六年级上·辽宁·假期作业）乐乐买了一本《神话故事》书共60页，第一天看了这本书的，第二天看了第一天页数的，第三天从第( )页开始看。 6．（25-26六年级上·全国·随堂练习）某农户家养了120只白兔，养的黑兔的只数是白兔只数的，养的羊的只数比黑兔的只数少。 （1）该农户家养了多少只黑兔？ （2）该农户家养了多少只羊？ 7．（23-24六年级上·陕西西安·期中）某电器商场六月份销售了160台空调，七月份销售的比六月份多。七月份销售了多少台空调？ 8．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）《西游记》是我国古代第一部浪漫主义章回体长篇小说。奇思买了一本320页的《西游记》，他第一周看了全书的，第二周看的是第一周的，他第二周看了多少页？ 9．（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）学校五年级一班有42名同学，其中参加舞蹈社团的学生占了全班的，舞蹈社团中男生占了，五年级一班舞蹈社团中男生有几人？（先画图，再列式解答） 10．（24-25六年级下·安徽亳州·期末）同学们在参加2024年亳州市“暑假读一本好书”读书征文活动时，发现中国四大名著之一的《水浒传》中梁山好汉共有108员将领，其中正将占总数的，其余是副将。副将有多少员？ 培优拔尖 11．（23-24六年级下·广东湛江·期末）下面哪个问题用算式240×（1－）来解决？（    ） A．六年级有学生240人，比五年级少，五年级有学生多少人？ B．一本书有240页，笑笑看了，还剩多少页？ C．淘气收集了240张邮票，笑笑收集的邮票比淘气少，笑笑比淘气少收集多少张邮票？ D．学校图书馆里有故事书240本，故事书比科技书多，科技有多少本？ 12．（2024·陕西咸阳·小升初真题）蛇冬眠的时间大约是180天，熊冬眠的时间是蛇的，是青蛙的，青蛙冬眠的时间大约是（　　）天。 A．216 B．150 C．120 D．96 13．（24-25六年级下·山西吕梁·期末）在学校的春季运动会上，六（2）班获得15枚奖牌，比六（1）班的奖牌数多了，六（1）班在春季运动会上共获得( )枚奖牌。 14．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）一项工程，甲队单独做需要6天完成，乙队单独做需要8天完成。现在甲、乙两队合作，需要( )天完成。 15．（24-25六年级上·广东惠州·期末）一本书共有150页，奇思第一天读了全书的，第二天读了余下的，第三天应从第( )页读起。 16．（24-25六年级下·陕西西安·期末）一个盒子里有黑、白两种颜色的棋子共170枚，先拿出白棋子的，再拿出8枚黑棋子。这时剩下的白棋子和黑棋子同样多。这个盒子里原来有黑、白棋子各多少枚？ 17．（24-25六年级上·安徽淮南·期末）我国的长江是世界第三大长河，全长6300千米，比世界第二长河亚马逊河仅短。亚马逊河全长多少千米？（用方程解） 18．（23-24六年级上·安徽淮南·期末）为净化空气，某宾馆负责人决定在室内、外摆放一些多肉、绿萝和万年青三种植物。多肉植物品种多样又容易养殖，他打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，是绿萝盆数的。他打算买多少盆绿萝呢？ 19．（24-25六年级上·辽宁·假期作业）客车、货车分别从A、B两地同时相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的，当货车行至全程的时，客车离A地的距离占全程的，A、B两地相距多少千米？（温馨提示：有需要的，可画线段图帮助理解） 20．（23-24六年级上·辽宁·期中）如图所示，正方形和圆相距30厘米，正方形的边长和圆的直径都是10厘米，正方形沿着直线向右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢。当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是多少秒？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分数混合运算的应用 【知识梳理+10个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题】 （解析版） 资料简介 内容梳理 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01： “求一个数的几分之几是多少”的两步问题 2 知识点梳理02： “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的两步问题 3 知识点梳理05：稍复杂的“比多比少”问题 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：分数的连乘运算的应用 4 高频考点讲练2：连续求一个数的几分之几是多少的问题 7 高频考点讲练3：分数的连除运算 8 高频考点讲练4：分数的乘、除法的混合运算 10 高频考点讲练5：求比一个数多/少几分之几的数是多少 12 高频考点讲练6：已知总量及一部分分率，求另一部分量 13 高频考点讲练7：整数乘法运算定律推广到分数乘法 14 高频考点讲练8：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 16 高频考点讲练9：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 18 高频考点讲练10：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 20 升学真题 实战演练 23 优选题型 培优强化 27 基础夯实 27 培优拔尖 32 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级上册内容的专题强化培优学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5题小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 优选题型，培优强化：结合本专题内容精选15-20题较难题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01： “求一个数的几分之几是多少”的两步问题 这类问题通常需要我们先求出一个中间量，再求出最终结果。关键是要找准单位“1”，理解清楚数量之间的关系。 1.常见模型1： 已知总量，先求总量的一部分（几分之几），再求这一部分的另一部分（几分之几），或者用总量减去这一部分得到另一部分。 例如：一本书有120页，小明第一天看了全书的 ，第二天看了第一天的 ，第二天看了多少页？（先求第一天看的页数，再求第二天看的页数） 2.常见模型2： 已知一个数量，先求它的几分之几是多少，再进行加减运算。 例如：学校买来100千克白菜，吃了 ，还剩多少千克？（可以先求吃了多少千克，再用总量减去吃了的；也可以先求剩下的占几分之几，再用总量乘以这个分率） 易错点提示： （1）单位“1”的转换： 两步问题中，有时单位“1”会发生变化。例如上面的例子，“第二天看了第一天的 ”，这里的单位“1”是“第一天看的页数”，而不是“全书的页数”。一定要找准每一步的单位“1”是谁。 （2）数量关系分析不清： 不理解题目中的“谁是谁的几分之几”，导致列式错误。建议通过画线段图来帮助理解。 （3）分步与综合算式： 分步计算时要注意每一步计算的正确性，以及分步结果的单位。列综合算式时要注意运算顺序，必要时添加括号。 知识点梳理02： “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的两步问题 这类问题是“求一个数的几分之几是多少”的逆运算，通常需要用方程来解决，或者用除法分步计算。同样要找准单位“1”，并理解数量关系。 1.方程法： （1）找出题目中的单位“1”的量，通常是我们要求的未知量，设为 。 （2）根据题目中的数量关系，列出含有 的方程（通常是：单位“1”的量 × 对应分率 = 已知量）。 （3）解方程，求出 的值。 例如： 小明看一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，两天一共看了70页。这本书共有多少页？（设全书共 页，则 ） 2.算术法（除法）： （1）先找出已知量对应的分率。 （2）用已知量除以它所对应的分率，得到单位“1”的量。 易错点提示： （1）找准“对应分率”： 这是算术法解决此类问题的关键。已知量必须和它所对应的分率相除，才能得到单位“1”。 （2）方程的设与列： 设准未知数，根据关键句准确列出方程。解方程时要注意分数运算的正确性。 （3）与“求一个数的几分之几是多少”混淆： 看到分数就用乘法，而忽略了是已知部分求整体还是已知整体求部分。 （4）检验： 解完题后，最好把结果代入原题中检验一下，看是否符合题意。 知识点梳理05：稍复杂的“比多比少”问题 这类问题涉及到“一个数比另一个数多几分之几”或“一个数比另一个数少几分之几”的数量关系，通常也是两步或多步运算。 1.模型1（已知单位“1”，求比较量）： （1）单位“1”的量 × (1 + 几分之几) = 比单位“1”多几分之几的量 （2）单位“1”的量 × (1 - 几分之几) = 比单位“1”少几分之几的量 例如：学校去年有图书800册，今年比去年增加了 ，今年有图书多少册？（单位“1”是去年的册数） 2.模型2（已知比较量，求单位“1”）： （1）比较量 ÷ (1 + 几分之几) = 单位“1”的量 （2）比较量 ÷ (1 - 几分之几) = 单位“1”的量 例如：学校今年有图书960册，今年比去年增加了 ，去年有图书多少册？（单位“1”是去年的册数，未知，可用方程或除法） 易错点提示： （1）准确判断“多几分之几”还是“少几分之几”： 以及这个分率是“谁比谁”的几分之几，即谁是单位“1”。 （2）“1”的含义： 算式中的“1”代表的是单位“1”的量本身。例如“增加了 ”，是指增加的部分是单位“1”的 ，所以现在的量是单位“1”的 。 （3）方程法的优势： 在解决此类复杂问题时，方程法往往比算术法更容易理解，尤其是当单位“1”未知时。 （4）画线段图： 这是解决“比多比少”分数问题的“利器”，能清晰地表示出数量关系和分率对应。 高频考点讲练1：分数的连乘运算的应用 【典例精讲】（23-24六年级上·四川成都·期末）学校合唱队有60人，舞蹈队的人数是合唱队的，管乐队的人数是舞蹈队的。管乐队有多少人？ （1）在方框里画线段图表示三支队伍之间的人数关系。 （2）列式解答： 【答案】（1）如图： （2）24人 【思路引导】（1）根据题意得：舞蹈队的人数是合唱队的，则将合唱队人数的线段平均分成3份，舞蹈队占其中的两份；将画出的舞蹈队人数线段平均分成5份，管乐队占其中的2份。据此可画出线段图。 （2）可将合唱队人数看作单位“1”，则舞蹈队人数为，管乐队人数，已知合唱队人数60人，运用分数的连乘运算得出答案。 【规范解答】（1）三支队伍的人数关系为： （2）管乐队人数为： 60×＝24（人） 答：管乐队有24人。 【演练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）请在横线上补充合适的信息，使问题可以用算式“”来解答，并解答出来。 “古稀”“花甲”“不惑”等都是古代对年龄的称谓。其中“古稀”表示70岁，“花甲”表示的年龄是“古稀”的，____________________。“不惑”表示的年龄是多少岁？ 【答案】“不惑”的年龄是“花甲”的；40岁 【思路引导】根据算式可知是求70的的是多少，由已知条件可知“花甲”表示的年龄是“古稀”的，“古稀”表示70岁，（岁），60岁是“花甲”的年龄，而问题让我们求“不惑”的年龄，是求一个数的几分之几，用乘法计算的，所以补充的信息是“不惑”的年龄是“花甲”的，据此解答。 【规范解答】补充的信息是“不惑”的年龄是“花甲”的。 （岁） 答：“不惑”表示的年龄是40岁。 【演练2】（2024六年级下·全国·专题练习）母亲节当天，实验小学六年级组织了“爱心感恩”活动，每位同学自己动手做一件手工作品送给母亲。 ①为妈妈折花的人数占六年级总人数的。②做贺卡的人数是折花的。 ③折一朵花需要张彩纸。④六年级一共有350人。 （1）要求做贺卡的人数，需要知道的信息是（          ）。（填序号） （2）请你根据选择的信息，进行解答。 【答案】（1）①②④ （2）84人 【思路引导】（1）要求做贺卡的人数，必须知道信息：①为妈妈折花的人数占六年级总人数的；②做贺卡的人数是折花的；④六年级一共有350人。 （2）已知六年级一共有350人，为妈妈折花的人数占六年级总人数的，把六年级总人数看作单位“1”，单位“1”已知，用总人数乘，求出折花的人数； 又已知做贺卡的人数是折花的，把折花的人数看作单位“1”，单位“1”已知，用折花的人数乘，即可求出做贺卡的人数。 【规范解答】（1）要求做贺卡的人数，需要知道的信息是①②④。 （2）350×× ＝140× ＝84（人） 答：做贺卡的有84人。 高频考点讲练2：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（24-25六年级上·广东清远·期末）学校航模社团有80人，书法社团人数是航模社团人数的，武术社团人数是书法社团人数的。武术社团有多少人？ 【答案】40人 【思路引导】由题意可知，把航模社团人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用航模社团人数乘可得书法社团人数，把书法社团人数看作单位“1”，同样用乘法计算即可得解。 【规范解答】 （人） 答：武术社团有40人。 【演练1】（24-25六年级上·辽宁营口·期中）气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的，航模小组的人数是摄影小组的，航模小组有多少人？ （1）画图表示航模小组与气象小组、摄影小组之间的人数关系 （2）航模小组的人数是气象小组的几分之几？ （3）用两种不同的方法列式解决问题，只列综合算式，不需解答。 方法一：综合算式______ 方法二：综合算式______ 【答案】（1）见详解 （2） （3）； 【思路引导】（1）因为摄影小组的人数是气象小组的，先画一条线段表示气象小组人数，把气象小组人数平均分成3份，摄影小组人数占其中的1份；又因为航模小组的人数是摄影小组的，再把摄影小组人数平均分成4份，航模小组的人数占其中的3份，据此画图即可； （2）由（1）的图可知：用就可以表示航模小组的人数是气象小组的几分之几，据此解答即可； （3）方法一是：先求出摄影小组的人数，再求出航模小组的人数，列式为：； 方法二是：先求出航模小组的人数是气象小组的几分之几，再求出航模小组的人数，列式为：。 【规范解答】（1） （2）＝ 答：航模小组的人数是气象小组的。 （3）方法一：综合算式（人） 方法二：综合算式（人） 答：航模小组有3人。 【演练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在解决“商店运来橘子240千克，第一天卖出总量的，第二天卖出的橘子的量相当于第一天的，第二天卖出了多少千克？”这个问题时，乐乐是这样计算的：（千克），你认为乐乐计算得正确吗？请写出你的判断理由。 【答案】不正确；理由是乐乐列式正确，计算结果错误。 【思路引导】连续求一个数的几分之几是多少，用这个数连续乘分数列式解答。本题的橘子总量240千克是本题的单位“1”，根据题意那么第二天卖出的量是单位“1”的的，列连乘法算式计算解答即可。 【规范解答】 （千克） 故乐乐计算得不正确，理由是乐乐的列式正确，但计算结果是错误的。 高频考点讲练3：分数的连除运算 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在解决“一块地有公顷，用2台收割机收割，时可以收割完，平均每台收割机每时收割多少公顷？”这道题时： 淘淘是这样做的：                               乐乐是这样做的： （公顷） 答：平均每台收割机每时收割公顷。 （公顷） 答：平均每台收割机每时收割公顷。 你认为谁做得对？请写出你的判断理由。 【答案】见详解 【思路引导】题目中已知一块地有公顷，2台收割机时可以收割完。要求平均每台收割机每时收割的公顷数。淘淘的算式÷2÷，先计算÷2得到1台收割机时收割的公顷数，再除得到1台收割机1小时收割的公顷数，即××＝公顷，计算思路和结果均正确；乐乐的算式÷2×中，乘是错误的，因为是收割完这块地所用的时间，应该是除，即乘。 【规范解答】淘淘的列式及计算结果正确，乐乐的列式及计算结果错误。 淘淘的计算： ÷2÷ ＝×× ＝（公顷） 乐乐的计算应该是： ÷2÷ ＝×× ＝（公顷） 【演练1】（20-21五年级下·辽宁·期中）文具超市新进一批文具用品，铅笔有200支，铅笔的数量是圆珠笔的，圆珠笔数量是钢笔的，钢笔有多少支？ 【答案】1500支 【思路引导】铅笔有200支，铅笔的数量是圆珠笔的，把圆珠笔的数量看作单位“1”，用除法求出圆珠笔的数量，圆珠笔数量是钢笔的，再把钢笔的数量看作单位“1”，用除法求出钢笔的数量。 【规范解答】200÷÷ ＝600÷ ＝1500（支） 答：钢笔有1500支。 【考点剖析】单位“l”未知，用除法计算，已知量÷已知量的对应分率＝单位“l”的量。 【演练2】（20-21六年级上·辽宁·单元测试）乐乐在计算一道除法题时，把除以2按照乘2计算了，结果得，正确的结果应是多少？ 【答案】 【思路引导】用÷2求出除法算式中的被除数，再除以除数2即可。 【规范解答】÷2÷2 ＝÷2 ＝ 答：正确的结果应是。 【考点剖析】根据运算的互逆性，先求出算式中的被除数是解题关键。 高频考点讲练4：分数的乘、除法的混合运算 【典例精讲】（2024·陕西西安·小升初真题）某校六年级参加英语演讲比赛的学生有48人，五年级参加英语演讲比赛的人数是六年级的，是四年级的。该校四年级参加英语演讲比赛的学生有多少人？ 【答案】35人 【思路引导】已知五年级参加英语演讲比赛的人数是六年级的，把六年级参赛的人数看作单位“1”，单位“1”已知，用六年级参赛的人数乘，求出五年级参赛的人数； 已知五年级参加英语演讲比赛的人数是四年级的，把四年级参赛的人数看作单位“1”，单位“1”未知，用五年级参赛的人数除以，求出四年级参赛的人数。 【规范解答】48×÷ ＝40÷ ＝40× ＝35（人） 答：该校四年级参加英语演讲比赛的学生有35人。 【演练1】（24-25六年级上·广东深圳·期中）侦察员在破案现场量得犯罪嫌疑人的鞋印长度为27厘米。资料显示：成人的脚的长度约是鞋长的，是身高的。这个犯罪嫌疑人的身高大约是多少厘米？ 【答案】168厘米 【思路引导】已知成人的脚的长度约是鞋长的，把鞋长看作单位“1”，单位“1”已知，用鞋长乘，求出脚的长度； 又已知成人的脚的长度约是身高的，把身高看作单位“1”，单位“1”未知，用脚的长度除以，求出身高。 【规范解答】27×÷ ＝24÷ ＝24×7 ＝168（厘米） 答：这个犯罪嫌疑人的身高大约是168厘米。 【演练2】（24-25六年级上·福建泉州·期中）学校举行“高歌百年路·奋进新时代”庆“七一”歌咏比赛。经过评选，获得一等奖的有6人，是参赛总人数的；获得二等奖的人数占参赛总人数的。获得二等奖的有多少人？请写出数量关系式，再解答。 【答案】获得一等奖的人数÷×＝获得二等奖的人数 12人 【思路引导】把参赛总人数看作单位“1”，获得一等奖的6人是参赛总人数的，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出参赛总人数； 已知获得二等奖的人数占参赛总人数的，把参赛总人数看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求出获得二等奖的人数。 【规范解答】获得一等奖的人数÷×＝获得二等奖的人数 6÷× ＝6×6× ＝36× ＝12（人） 答：获得二等奖的有12人。 高频考点讲练5：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大变化。从普通列车到快速列车，现在已经发展到了高速列车（如“和谐号”“复兴号”）。中国铁路技术装备达到了“领跑世界”的先进水平。下面是一些列车运行速度的信息。 “和谐号”列车的速度是300千米/时 “复兴号”列车的速度比“和谐号”列车的速度快 “复兴号”列车的速度是多少？ 【答案】350千米/时 【思路引导】将“和谐号”列车的速度看作单位“1”，“复兴号”列车的速度是“和谐号”列车的，“和谐号”列车的速度ד复兴号”列车的对应分率＝“复兴号”列车的速度，据此列式解答。 【规范解答】 答：“复兴号”列车的速度是350千米/时。 【演练1】（24-25五年级下·陕西西安·期末）某学校特别重视学生的综合素养，成立了60多个社团，既培养了学生的特长，也丰富了学生的学习生活。其中2024年参加腰鼓队的有20人，是合唱队人数的，2025年参加合唱队的人数比2024年增加了，2024年和2025年参加合唱队的分别有多少人？ 【答案】 2024年参加合唱队的有100人，2025年参加合唱队的有150人。 【思路引导】把2024年合唱队人数看作单位“1”，已知20人占2024年合唱队人数的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可得2024年合唱队人数，2025年合唱队人数是2024年的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【规范解答】（人） （人） 答：2024年参加合唱队的有100人，2025年参加合唱队的有150人。 【演练2】（24-25五年级下·广东惠州·期中）人类血型主要分为A型、B型、O型和AB型。其中O型血的人被称为“万能供血者”，AB型血的人被称为“万能受血者”。五年级1班O型血的人有18人，AB型血的人比O型血的人多，AB型血有多少人？ 【答案】24人 【思路引导】将O型血的人数看作单位“1”，AB型血的人数是O型血的（1＋），O型血的人数×AB型血的对应分率＝AB型血的人数，据此列式解答。 【规范解答】18×（1＋） ＝18× ＝24（人） 答：AB型血有24人。 高频考点讲练6：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·单元测试）《水浒传》是中国四大名著之一，其讲述了北宋以宋江为首的绿林好汉的故事。梁山共有108名好汉，如果第一天派出去，第二天派出去剩余好汉的，那么这时留守山寨的还有多少名好汉？ 【答案】54名 【思路引导】由题意可知，是把总人数108名看作单位“1”，第一天派出去人数的对应分率为，则剩余人数对应分率为；是把剩余人数看作单位“1”，第二天派出去人数的对应分率为，则剩余人数对应分率为，根据连续求一个数的几分之几，用连续乘法计算，直接可求出留守山寨的人数。 【规范解答】 答：这时留守山寨的还有54名好汉。 【演练1】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）实验小学有两桶医用酒精，一桶酒精重千克，用去后，剩下的酒精质量正好是另一桶酒精的，另一桶酒精重多少千克？ 【答案】千克 【思路引导】第一桶酒精用去了，则还剩下（1－），据此用乘法求出第一桶酒精剩下多少千克；第一桶酒精剩下的质量刚好是另一桶酒精的，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法列式求出另一桶酒精的质量。 【规范解答】×（1－） ＝× ＝（千克） ÷＝×＝（千克） 答：另一桶酒精重千克。 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）某化工厂每天产生27吨的工业污水，其中有经过处理，未经处理的污水有多少吨？ 【答案】2.7吨 【思路引导】将工业污水总吨数看作单位“1”，其中有经过处理，未经处理的污水占（1－），工业污水总吨数×未经处理的对应分率＝未经处理的污水吨数。 【规范解答】27×（1－） ＝27× ＝2.7（吨） 答：未经处理的污水有2.7吨。 高频考点讲练7：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）洗衣机厂有甲乙两个分厂，每个分厂10月份都计划生产14000台洗衣机。上旬甲厂完成计划的，乙厂完成计划的。上旬甲厂比乙厂多生产多少台洗衣机？ 【答案】2000台 【思路引导】把每个分厂10月份计划生产的总台数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总台数×即可求出上旬甲厂完成计划的台数，用总台数×即可求出乙厂完成计划的台数，再求出差即可。 【规范解答】14000×－14000× ＝14000×（－） ＝14000× ＝2000（台） 答：上旬甲厂比乙厂多生产2000台洗衣机。 【演练1】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 【答案】70幅 【思路引导】根据题意可知，表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数占全部获奖的（－），根据分数乘法的意义，用120×（－）即可求出表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数。 【规范解答】120×（－） ＝120×－120× ＝90－20 ＝70（幅） 答：表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多70幅。 【演练2】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）越野赛跑全程12千米，其中环山路段占，海滨路段占，其余的是公路路段。 （1）环山路段比海滨路段长多少千米？ （2）如果明年把赛跑全程延长，将是多少千米？ 【答案】（1）2千米；（2）17千米 【思路引导】（1）把全程看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用全程的长度×即可求出环山路段的长度，用全程的长度×即可求出海滨路段的长度，然后用环山路段的长度减去海滨路段的长度即可。 （2）把今年全程看作单位“1”，明年全程的长度是今年的（1＋），根据分数乘法的意义，用今年的长度×（1＋）即可求出明年全程的长度。 【规范解答】（1）12×－12× ＝12×（－） ＝12× ＝2（千米） 答：环山路段比海滨路段长2千米。 （2）12×（1＋） ＝12× ＝17（千米） 答：如果明年把赛跑全程延长，将是17千米。 高频考点讲练8：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典例精讲】（24-25六年级下·福建南平·期末）拉萨被称为“日光城”，年平均日照时间约是3000时，比福建多。福建的年平均日照时间约是多少时？ 【答案】2000时 【思路引导】已知拉萨年平均日照时间比福建多，这里将福建的年平均日照时间看作单位“1”，那么拉萨的年平均日照时间是福建的1＋＝；拉萨年平均日照时间约是3000时，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。据此解答。 【规范解答】3000÷（1＋） ＝3000÷ ＝3000× ＝2000（时） 答：福建的年平均日照时间约是2000时。 【演练1】（25-26六年级上·全国·课后作业）东汇城商场新购进480台电视机，（    ），新购进冰箱多少台？列式为480×（1＋）。 A．新购进的冰箱比电视机少 B．新购进的冰箱比电视机多 C．新购进的电视机比冰箱少 D．新购进的电视机比冰箱多 【答案】B 【思路引导】在这个算式中，480是电视机的台数，1＋表示比“1”多，因为是用电视机的台数480乘（1＋），这意味着是把电视机的台数看作单位“1”，所求的冰箱台数比电视机台数多。根据所给算式判断对应的条件。 求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。 已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数，用除法计算。 【规范解答】A．新购进的冰箱比电视机少，那么列式应该是480×（1－），不符合所给算式，所以A选项错误。 B．新购进的冰箱比电视机多，把电视机台数看作单位“1”，冰箱台数就是电视机台数的（1＋），列式为480×（1＋），符合题意，所以B选项正确。 C．新购进的电视机比冰箱少，此时把冰箱台数看作单位“1”，电视机台数是冰箱台数的（1－），那么求冰箱台数应该用除法，列式为480÷（1－），不符合所给算式，所以C选项错误。 D．新购进的电视机比冰箱多，把冰箱台数看作单位“1”，电视机台数是冰箱台数的（1＋），求冰箱台数应该用除法，列式为480÷（1＋），不符合所给算式，所以D选项错误。 故答案为：B 【演练2】（24-25六年级上·福建泉州·期中）共享单车是一种创新的城市交通方式，为城市居民提供了一种健康生活方式。阅读以下资料卡，并根据资料卡中的信息解答下列各题。 某共享单车公司2023年在某城市投放共享单车8400辆，比2022年多。经测算，两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的，其中因满足私欲为方便自己使用，加私锁、损毁二维码的数量占到；因占小便宜，偷车、拆卸车座等零部件的数量占。 （1）两年中共损坏的单车有多少辆？ （2）请你再提出一个数学问题并解答。 【答案】（1）3080 （2）见详解 【思路引导】（1）以2022年投放的单车数量为单位“1”，2023年投放数量占2022年的（1＋），根据已知比一个数多几分之几是多少，求这个数用除法计算，用2023年数量÷（1＋）即可求出2022年投放的数量，再加上2023年数量就是两年投放总和，再以两年投放总和为单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用两年投放总和×即可求出损坏数量。 （2）根据“因占小便宜，偷车、拆卸车座等零部件的数量占”可提出：因占小便宜，偷车、拆卸车座等零部件损坏的单车有多少辆？以两年中共损坏的单车数量为单位“1”，用两年中共损坏的单车数量×即可解答。 【规范解答】（1）8400÷（1＋）＋8400 ＝8400÷＋8400 ＝8400×＋8400 ＝7000＋8400 ＝15400（辆） 15400×＝3080（辆） 答：两年中共损坏的单车有3080辆。 （2）因占小便宜，偷车、拆卸车座等零部件损坏的单车有多少辆？（答案不唯一） 3080×＝1155（辆） 答：因占小便宜，偷车、拆卸车座等零部件损坏的单车有1155辆。 高频考点讲练9：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典例精讲】（24-25六年级上·辽宁·假期作业）打印一篇稿件，第一天打了32页，第二天打的页数是第一天的，两天共打了这篇稿件的，这篇稿件共多少页？ 【答案】90页 【思路引导】先将第一天打的页数看作单位“1”，用32页乘，求出第二天打的页数；然后将这篇稿件的总页数看作单位“1”，用两天打的页数和除以，即可求出这份稿件的总页数，据此解答。 【规范解答】 （页） 答：这篇稿件共90页。 【考点剖析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【演练1】（24-25六年级上·山西吕梁·期中）有一项工程要铺设一条电缆线，第一周铺设了全长的，第二周铺设了全长的，还剩220千米没有铺，这条电缆线全长有多少千米？（先写出等量关系，再列方程解答） 【答案】全长－第一周铺设的长度－第二周铺设的长度＝还剩下没有铺的长度 400千米 【思路引导】将电缆线全长看作单位“1”，全长×第一周铺设的对应分率＝第一周铺设的长度，全长×第二周铺设的对应分率＝第二周铺设的长度，设这条电缆线全场有x千米，根据全长－第一周铺设的长度－第二周铺设的长度＝还剩下没有铺的长度，列出方程解答即可。 【规范解答】等量关系：全长－第一周铺设的长度－第二周铺设的长度＝还剩下没有铺的长度 解：设这条电缆线全场有x千米。 x－x－x＝220 x＝220 x÷＝220÷ x＝220× x＝400 答：这条电缆线全长有400千米。 【演练2】（24-25六年级上·甘肃张掖·期中）四、五、六年级学生共同种植了一批树，四年级植了总棵数的多24棵，五年级植了总棵数的少10棵，六年级植树105棵。问：同学们共植树多少棵？ 【答案】168棵 【思路引导】如下图所示，把总棵数看作单位“1”，那么总棵数的（1－－）是（105＋24－10）棵，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用（105＋24－10）除以（1－－）即可求出总棵数。 【规范解答】（105＋24－10）÷（1－－） ＝119÷（1－－） ＝119÷ ＝119× ＝168（棵） 答：同学们共植树168棵。 高频考点讲练10：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 【典例精讲】（22-23六年级上·陕西宝鸡·期中）周末李华带了一些钱去文具店，买笔记本花去了，买钢笔又花了剩下的，还剩下18元。他一共带了( )元钱。 【答案】108 【思路引导】把李华带的钱数看作单位“1”，买笔记本花去了，剩下总钱数的（1－）。买钢笔又花了剩下的，则买钢笔花了总钱数的（1－）×＝。那么最后剩下总钱数的（1－－），已知最后剩下18元，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用18除以（1－－）即可求出李华带的总钱数。 【规范解答】（1－）× ＝× ＝ 18÷（1－－） ＝18÷ ＝18×6 ＝108（元） 则他一共带了108元钱。 【演练1】（22-23五年级下·浙江金华·期末）“六月杨梅红树林，初凝一颗值千金”，美味营养的杨梅是我们兰溪的特产之一，某村杨梅今年比去年增产，增产11吨，去年杨梅产量有多少吨？（用方程解答） 【答案】55吨 【思路引导】把去年的产量看作单位“1”，根据分数乘法的意义，今年比去年增产，单位“1”乘可求出增产的吨数。据此，将去年的产量设为x吨，可以列出等量关系：今年比去年增产的×去年的产量＝增产的吨数，据此列方程即可。 【规范解答】由分析可得： 解：设去年的产量为x吨， x＝11 x÷＝11÷ x＝11×5 x＝55 答：去年杨梅产量有55吨。 【考点剖析】本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，根据题中已知条件写出等量关系式即可。 【演练2】（21-22五年级下·广东湛江·期末）甲乙丙三堆零件，第一次从甲堆中拿出若干零件放到乙丙中去，使乙丙分别增加；第二次又从乙堆中拿出若干零件放到甲丙中去，使甲丙分别增加；第三次又从丙堆中拿出若干零件放到甲乙中去，使甲乙分别增加。这时三堆零件都是640个，甲堆原来有零件多少个？ 【答案】750个 【思路引导】最后三堆零件都是640个，则三堆零件的总数是640×3＝1920（个）。根据“第三次从丙堆中拿出若干零件放到甲乙中去，使甲乙分别增加”，把第二次后甲的零件数量看作单位“1”，则最后甲的零件数量是第二次后数量的（1＋），那么甲第二次后的零件数量是640÷（1＋）＝480（个），同理，乙第二次后的零件数量也是480个，则丙第二次后的零件数量是1920－480－480＝960（个）。 根据“第二次从乙堆中拿出若干零件放到甲丙中去，使甲丙分别增加”可知，甲第一次后的零件数量是480÷（1＋）＝360（个），丙第一次后的零件数量是960÷（1＋）＝720（个），则乙第一次后的零件数量是1920－360－720＝840（个）。 根据“第一次从甲堆中拿出若干零件放到乙丙中去，使乙丙分别增加”可知，乙堆原来的零件数量是840÷（1＋）＝630（个），丙堆原来的零件数量是720÷（1＋）＝540（个），则甲堆原来的零件数量是1920－630－540＝750（个）。 【规范解答】640×3＝1920（个） 第二次后甲、乙：640÷（1＋） ＝640÷ ＝480（个） 丙：1920－480－480＝960（个） 第一次后甲： 480÷（1＋） ＝480÷ ＝360（个） 丙：960÷（1＋） ＝960÷ ＝720（个） 乙： 1920－360－720＝840（个） 原来乙：840÷（1＋） ＝840÷ ＝630（个） 丙：720÷（1＋） ＝720÷ ＝540（个） 甲：1920－630－540＝750（个） 答：甲堆原来有零件750个。 【考点剖析】本题考查分数四则混合运算的应用和倒推问题。已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数，先求出已知数占未知数的几分之几，再用除法计算，据此倒推出每次三堆零件的不同数量是解题的关键。 【实战演练1】（2025·陕西西安·小升初真题）今年“六一”儿童节，某游乐园为孩子们送福利，原价每人110元的门票（不分大人和小孩）降价优惠。实施优惠后，今年“六一”当天入园人数比去年增加了。据统计，降价前去年“六一”当天入园的有4万人，那么该游乐园今年“六一”当天的门票总收入与去年当天相比，是否有增长？ 【答案】没有增长 【思路引导】已知去年“六一”入园的有4万人，今年“六一”入园人数比去年增加了，把去年“六一”入园人数看作单位“1”，则今年“六一”入园人数是去年的（1＋），单位“1”已知，用去年“六一”入园的人数乘（1＋），求出今年“六一”的入园人数。 已知今年“六一”原价每人110元的门票降价优惠，即今年“六一”的门票单价比原价降低，把原价看作单位“1”，则今年“六一”的门票单价是原价的（1－），单位“1”已知，用原价乘（1－），求出今年“六一”的门票单价。 根据“单价×数量＝总价”，分别求出去年、今年“六一”当天的门票总收入，再比较，得出结论。 【规范解答】4万人＝40000人 今年“六一”入园人数： 40000×（1＋） ＝40000× ＝50000（人） 今年“六一”的门票每人： 110×（1－） ＝110× ＝88（元） 去年“六一”门票总收入：110×40000＝4400000（元） 今年“六一”门票总收入：88×50000＝4400000（元） 4400000元＝4400000元 答：没有增长。 【实战演练2】（2025·陕西西安·小升初真题）一项工程甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，在这期间，甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），开始到完工共用了( )天。 【答案】11 【思路引导】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率； 已知甲队休息了2天，乙队休息了8天，即甲队单独做了8天，乙队单独做了2天；根据“工作量＝工作效率×工作时间”，分别求出两队独做完成的工作量，再相加，即是两队独做一共完成的工作量； 用工作总量“1”减去已完成的工作量，即是剩下的工作量，剩下的工作量由两队合做完成，根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，求出完成剩下的工作量还需要的天数； 最后把甲独做的天数、乙独做的天数以及甲乙合做完成剩下工作量的天数相加，即是开始到完工共用的天数。 【规范解答】甲的工作效率：1÷10＝ 乙的工作效率：1÷30＝ 甲独做8天、乙独做2天共完成： ×8＋×2 ＝＋ ＝＋ ＝ 剩下的工作量由两队合做完成，需要的天数： （1－）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝1（天） 一共需要：8＋2＋1＝11（天） 开始到完工共用了11天。 【实战演练3】（2024·福建泉州·小升初真题）学校图书馆购进文学类图书280本，比科技类图书的本数多，购进的科技类图书有多少本？（先画线段图，写出等量关系，再列方程解答） 【答案】 图及等量关系见详解； 240本 【思路引导】根据题意，把科技类图书的本数看作单位“1”，文学类图书280本，比科技类图书的本数多，据此画出示意图，可知本题的等量关系为：科技类图书的本数×＋科技类图书的本数＝文学类图书的本数，设购进的科技类图书有x本，列出方程解答即可。 【规范解答】如图： 等量关系为：科技类图书的本数×＋科技类图书的本数＝文学类图书的本数。 解：设购进的科技类图书有x本。 x＋x＝280 x＝280 ×x＝280× x＝240 答：购进的科技类图书有240本。 【实战演练4】（2023·广东深圳·小升初真题）妙想妈妈在一块长20米、宽15米的长方形地上种植鲜花。今年她进行了扩建，宽不变，长增加了。如果每平方米土地的鲜花卖200元，今年这块地种植的鲜花可以卖多少元？ 【答案】75000元 【思路引导】根据题意，宽不变，长增加了，那么长就是原来的（1＋），根据分数乘法的意义求出现在的长，然后再根据长方形面积的计算方法长方形的面积＝长×宽，求出这块长方形的面积，然后再乘每平方米土地的鲜花卖的钱数即可求解。 【规范解答】20×（1＋） ＝20× ＝25（米） 25×15×200 ＝375×200 ＝75000（元） 答：今年这块地种植的鲜花可以卖75000元。 【实战演练5】（2023·四川成都·小升初真题）小明家有一块葡萄园，摘下的葡萄时，装满了若干筐后还多24千克。收完余下的葡萄，这时余下的葡萄恰好装满6筐。那么，小明家的葡萄共收了多少千克？ 【答案】384千克 【思路引导】摘下的葡萄是将所有的葡萄看成单位“1”，那么余下的葡萄就是，而余下的葡萄能装6筐，这个6筐对应的分率是，也就是6筐是整个葡萄筐数的 ，6÷＝（筐），整个葡萄可以装筐。那么的葡萄是可以装×＝（筐），将转化为带分数为，可以理解为装了3筐，剩下的筐就是24千克，则每筐就是24÷＝40（千克）。葡萄总共可以装筐，每筐是40千克，求出葡萄的千克数。 【规范解答】6÷（1－） ＝6÷ ＝6× ＝（筐） ×＝（筐） 24÷＝40（千克） 40×＝384（千克） 答：小明家的葡萄共收了384千克。 基础夯实 1．（23-24六年级上·四川成都·期末）一瓶水，第一次喝了，第二次喝了剩下的，两次喝水量相比，下面说法正确的是（    ）。 A．第一次喝的更多 B．第二次喝的更多 C．无法比较 【答案】B 【思路引导】可以把这瓶水看作单位“1”，根据第一次喝了用减法计算出剩下的水量，然后把剩下的水量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几用乘法计算出第二次的喝水量，最后将两次的喝水量进行比较。根据分母相同，分子大则分数大。分子和分母都不相同，通分后化成同分母或同分子的分数再进行比较大小。 【规范解答】（1﹣）× ＝ ＝ 第一次的喝水量是＝，第二次的喝水量是，因为＞，所以第二次喝的更多。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）一个书架上有80本故事书，科技书的数量比故事书少，文学书的数量比科技书多。这个书架上有（    ）本文学书。 A．195 B．165 C．75 D．60 【答案】C 【思路引导】已知有80本故事书，科技书的数量比故事书少，把故事书的本书看作单位“1”，则科技书的本数是故事书的（1－），根据分数乘法的意义，用80×（1－）即可求得科技书的数量；文学书的数量比科技书多，把科技书的本书看作单位“1”，则文学书的数量是科技书的（1＋），根据分数乘法的意义，用科技书的数量乘（1＋）即可求得文学书的数量。据此解答即可。 【规范解答】科技书的数量： 80×（1－） ＝80× ＝65（本） 文学书的数量： 65×（1＋） ＝65× ＝75（本） 所以，这个书架上有75本文学书。 故答案为：C 3．（23-24六年级上·陕西西安·期中）丰华养殖场养鸭740只，养鸡的只数比鸭多，养鸡多少只？列式不正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】把这个养殖场养的鸭的只数看作单位“1”，则养鸡的只数就是鸭的只数的，根据分数乘法的意义，用这个养殖场养鸭的只数（740只）乘就是养鸡的只数； 或根据分数乘法的意义，用鸭的只数740乘，就是鸡比鸭多的只数，再加上鸭的只数740只，就是鸡的只数。 【规范解答】丰华养殖场养鸭740只，养鸡的只数比鸭多，养鸡多少只？ 列式正确的是：、 列式是错误的。 故答案为：B 4．（25-26六年级上·全国·随堂练习）学校图书馆有科普书800本，__________。故事书有多少本？根据所给条件选出正确的算式。（从下列选项中选出正确的选项） A．      B．      C． (1)故事书比科普书多       ( ) (2)故事书比科普书少       ( ) (3)故事书是科普书的       ( ) 【答案】(1)B (2)C (3)A 【思路引导】根据“故事书和科普书数量比较的不同条件”，计算故事书数量。根据“求比一个数 多/少几分之几的数”、“求一个数的几分之几是多少”进行求解。 【规范解答】（1）把科普书数量看作单位 “1”，故事书数量是科普书的。科普书有800本，故事书数量为：，对应选项B 。 （2）把科普书数量看作单位 “1”，故事书数量是科普书的。已知科普书800本，故事书数量为：，对应选项C 。 （3）直接根据 “求一个数的几分之几是多少用乘法”，故事书数量为：，对应选项A。 5．（24-25六年级上·辽宁·假期作业）乐乐买了一本《神话故事》书共60页，第一天看了这本书的，第二天看了第一天页数的，第三天从第( )页开始看。 【答案】31 【思路引导】“第一天看了这本书的”，是把这本书的页数看作单位“1”，用这本书的总页数乘就是第一天看的页数；“第二天看了第一天页数的”，是把第一天看的页数看作单位“1”，用第一天看的页数乘就是第二天看的页数，用第一天看的页数加上第二天看的页数再加上1，即可求出第三天从哪页开始看。 【规范解答】（页） （页） （页） 所以，第三天从第31页开始看。 6．（25-26六年级上·全国·随堂练习）某农户家养了120只白兔，养的黑兔的只数是白兔只数的，养的羊的只数比黑兔的只数少。 （1）该农户家养了多少只黑兔？ （2）该农户家养了多少只羊？ 【答案】（1）（只）     （2）（只） 【思路引导】（1）已知白兔有 120 只，黑兔的只数是白兔只数的，根据 “求一个数的几分之几是多少，用乘法”，即可求出黑兔数量。 （2）已知羊的只数比黑兔的只数少，把黑兔的数量看作单位 “1”，那么羊的数量是黑兔数量的（），再依据 “求一个数的几分之几是多少，用乘法”，结合（1）中求出的黑兔数量，就能算出羊的数量 。 【规范解答】（1）（只） 答：该农户家养了90只黑兔。 （2） 答：该农户家养了40只羊。 7．（23-24六年级上·陕西西安·期中）某电器商场六月份销售了160台空调，七月份销售的比六月份多。七月份销售了多少台空调？ 【答案】192台 【思路引导】把六月份看作单位“1”，则七月份是六月份的（1＋），再根据分数乘法的意义，用160×（1＋）计算即可解答。 【规范解答】 ＝ ＝192（台） 答：七月份销售了192台空调。 8．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）《西游记》是我国古代第一部浪漫主义章回体长篇小说。奇思买了一本320页的《西游记》，他第一周看了全书的，第二周看的是第一周的，他第二周看了多少页？ 【答案】48页 【思路引导】从题意可知：以《西游记》的全书页数为单位“1”，第一周看了全书页数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用320×＝40页，求出第一周看的页数；再以第一周的页数为单位“1”，第二周看的是第一周的，用40×即可求出第二周看的页数。 【规范解答】320×× ＝40× ＝48（页） 答：第二周看了48页。 9．（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）学校五年级一班有42名同学，其中参加舞蹈社团的学生占了全班的，舞蹈社团中男生占了，五年级一班舞蹈社团中男生有几人？（先画图，再列式解答） 【答案】画图见详解；4名 【思路引导】五年一班有42名同学，其中参加舞蹈社团的学生占了全班的，我们可以用42×先求得参加舞蹈社团的学生人数，又根据舞蹈社团中男生占了，再用舞蹈社团的学生人数×，即可求出五年一班舞蹈社团中男生人数。据此解答即可。 【规范解答】 42×× ＝14× ＝4（名） 答：五年一班舞蹈社团中男生有4人。 10．（24-25六年级下·安徽亳州·期末）同学们在参加2024年亳州市“暑假读一本好书”读书征文活动时，发现中国四大名著之一的《水浒传》中梁山好汉共有108员将领，其中正将占总数的，其余是副将。副将有多少员？ 【答案】72员 【思路引导】把梁山好汉总人数看作单位“1”， 正将占总数的，则副将人数占总人数的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出副将有多少员。 【规范解答】108×（1－） ＝108× ＝72（员） 答：副将有72员。 培优拔尖 11．（23-24六年级下·广东湛江·期末）下面哪个问题用算式240×（1－）来解决？（    ） A．六年级有学生240人，比五年级少，五年级有学生多少人？ B．一本书有240页，笑笑看了，还剩多少页？ C．淘气收集了240张邮票，笑笑收集的邮票比淘气少，笑笑比淘气少收集多少张邮票？ D．学校图书馆里有故事书240本，故事书比科技书多，科技有多少本？ 【答案】B 【思路引导】算式240×（1－），即求剩余量或比原数少的情况。可将原来的量看作单位“1”，进而依次判断各个选项，进而得出答案。 【规范解答】A．将五年级学生看作单位“1”，则六年级学生有人，不符合题意，选项错误。 B．总页数240页，看了，剩余页数列式为240×（1－），符合题意，此选项正确。 C．求少的具体数量，列式为240×，不符合题意，此选项错误。 D．故事书比科技书多，科技书是单位“1”，列式为240÷（1＋），不符合题意，此选项错误。 故答案为：B 12．（2024·陕西咸阳·小升初真题）蛇冬眠的时间大约是180天，熊冬眠的时间是蛇的，是青蛙的，青蛙冬眠的时间大约是（　　）天。 A．216 B．150 C．120 D．96 【答案】B 【思路引导】将蛇冬眠的时间看成单位“1”，熊的冬眠时间蛇的，根据分数乘法的意义，用180×列式求出熊冬眠时间，再把青蛙冬眠的时间看作单位“1”，单位“1”未知，用蛇冬眠的时间除以即可求出青蛙冬眠的时间。 【规范解答】180×÷ ＝120÷ ＝120× ＝150（天） 所以青蛙冬眠的时间大约是150天。 故答案为：B 13．（24-25六年级下·山西吕梁·期末）在学校的春季运动会上，六（2）班获得15枚奖牌，比六（1）班的奖牌数多了，六（1）班在春季运动会上共获得( )枚奖牌。 【答案】9 【思路引导】把六（1）班获得的奖牌数看作单位“1”。六（2）班获得15枚奖牌，比六（1）班多，所以六（2）班奖牌数对应的分率是。已知六（2）班有15枚奖牌，对应的分率是，根据“已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数，用除法”即可解答。 【规范解答】把六（1）班获得的奖牌数看作单位“1”。 （枚） 六（1）班在春季运动会上共获得9枚奖牌。 14．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）一项工程，甲队单独做需要6天完成，乙队单独做需要8天完成。现在甲、乙两队合作，需要( )天完成。 【答案】/ 【思路引导】把工作总量看作单位“1”，用1÷两队效率和＝合作需要的工作时间。 【规范解答】1÷（1÷6＋1÷8） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 需要天完成。 15．（24-25六年级上·广东惠州·期末）一本书共有150页，奇思第一天读了全书的，第二天读了余下的，第三天应从第( )页读起。 【答案】71 【思路引导】分析题目，把这本书的总页数看作单位“1”，第一天读了，则还剩下总页数的（1－）没读，根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式求出第二天读了总页数的几分之几，再用总页数乘第一天和第二天一共看了总页数的几分之几即可得到两天看的总页数，最后加1就可得到第三天应该从第几页开始读起。 【规范解答】（1－）× ＝× ＝ 150×（＋） ＝150×（＋） ＝150× ＝70（页） 70＋1＝71（页） 一本书共有150页，奇思第一天读了全书的，第二天读了余下的，第三天应从第71页读起。 16．（24-25六年级下·陕西西安·期末）一个盒子里有黑、白两种颜色的棋子共170枚，先拿出白棋子的，再拿出8枚黑棋子。这时剩下的白棋子和黑棋子同样多。这个盒子里原来有黑、白棋子各多少枚？ 【答案】 黑棋子80枚；白棋子90枚 【思路引导】由题意可知，把白棋子的数量看作单位“1”，拿走黑棋子后剩余的棋子占原来白棋子的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可得白棋子的数量，再用170减白棋数量可得黑棋数量，据此解答。 【规范解答】 （枚） （枚） 答：这个盒子里原来有黑棋子80枚，白棋子90枚。 17．（24-25六年级上·安徽淮南·期末）我国的长江是世界第三大长河，全长6300千米，比世界第二长河亚马逊河仅短。亚马逊河全长多少千米？（用方程解） 【答案】6480千米 【思路引导】设亚马逊河全长x千米；长江比世界第二长河亚马逊河仅短，即长江全长是亚马逊河全长的（1－），用亚马逊河全长×（1－）＝长江全长，列方程：x×（1－）＝6300，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设亚马逊河全长x千米。 x×（1－）＝6300 x＝6300 x＝6300÷ x＝6300× x＝6480 答：亚马逊河全长6480千米。 18．（23-24六年级上·安徽淮南·期末）为净化空气，某宾馆负责人决定在室内、外摆放一些多肉、绿萝和万年青三种植物。多肉植物品种多样又容易养殖，他打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，是绿萝盆数的。他打算买多少盆绿萝呢？ 【答案】32盆 【思路引导】已知打算购买56盆多肉植物，万年青的盆数是多肉盆数的，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，可得万年青的盆数；因为万年青的盆数是绿萝盆数的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，所以再除以，即可计算出购买绿萝的盆数。 【规范解答】56×÷ ＝24÷ ＝24× ＝32（盆） 答：他打算买32盆绿萝。 19．（24-25六年级上·辽宁·假期作业）客车、货车分别从A、B两地同时相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的，当货车行至全程的时，客车离A地的距离占全程的，A、B两地相距多少千米？（温馨提示：有需要的，可画线段图帮助理解） 【答案】720千米 【思路引导】先用除以，求出两车行驶的时间，再用60乘行驶的时间，求出客车行驶的路程，最后用客车行驶的路程除以，即可求出A、B两地相距多少千米，据此解答。 【规范解答】 （千米） 答：A、B两地相距720千米。 【考点剖析】此题考查了行程问题及分数乘除法解决实际问题，需准确分析题目中的数量关系。 20．（23-24六年级上·辽宁·期中）如图所示，正方形和圆相距30厘米，正方形的边长和圆的直径都是10厘米，正方形沿着直线向右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢。当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是多少秒？ 【答案】21.5平方厘米；6.25秒 【思路引导】（1）当圆和正方形完全重叠时，此时是一个外方内圆的图形，那么没有重合部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求解。 （2）已知正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢，把圆的速度看作单位“1”，则正方形的速度是圆的（1－），单位“1”未知，用正方形的速度除以（1－），即可求出圆的速度。 正方形与圆同时开始运动到最后完全分开，总路程＝相距的30厘米＋正方形的边长＋圆的直径；根据时间＝路程÷速度，即可求出正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间。 【规范解答】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） （2）圆每秒运动： 3÷（1－） ＝3÷ ＝3× ＝5（厘米） 经过的时间： （30＋10＋10）÷（3＋5） ＝50÷8 ＝6.25（秒） 答：当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是6.25秒。 【考点剖析】（1）本题考查圆的面积、正方形的面积公式的运用，明白当圆和正方形完全重叠时是一个外方内圆的图形是解题的关键。 （2）本题考查分数除法的应用以及行程问题，先根据分数除法的意义求出圆的速度，再根据速度、时间、路程之间的关系解答。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $