第一次月考试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

2025-2026学年九年级上学期第一次月考试卷 数学 试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：初三上第1-2章（苏科版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 3．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，，点C是的中点，则（　　） A． B． C． D． 5．在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点，为上的点．若，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，的弦长为，的半径为，则弦的弦心距为（    ） A． B． C． D． 8．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若弧ABD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则弧BC的度数为何？（　　） A．25 B．40 C．50 D．55 9．某服装店一月份营业额为万元，一季度的营业额共万元，若平均每月营业额的增长率为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．方程化为一般式是 ． 12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ． 13．已知的半径为，点在内，则 （填“”、“”或“”） 14．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是 ． 15．如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则 度．    16．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 17．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．        18．如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解下列方程． (1) (2) 20．（8分）已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p，q，满足，求m的值． 21．（8分）如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    22．（8分）如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)在图上标出圆心M，圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系，并说明理由． 24．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 25．（10分）如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)过点C作，垂足为点F，，求的半径． 26．（12分）（1）如图，已知矩形，，，动点从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点同时从点出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发_____时，点P和点Q之间的距离是； （2）当运动时间为时，，两点的距离为多少？当运动时间为时，，两点的距离为多少？ （3）若点沿着移动，点，分别从A，同时出发，点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为？ 27．（12分）如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A，B两点，交y轴于C、D两点．直线l与交于C、E两点，其中交点E在弧上．过A点作，垂足为点P，连接与．      (1)求证：； (2)连接，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由； (3)若M点的坐标为，B点的坐标为，的中点为N，则线段长度的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第一次月考试卷 数学 试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：初三上第1-2章（苏科版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程移项得：， 分解因式得：， 解得：，． 故选D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，解题的关键是能够根据所给方程特点选择合适的求解方法． 3．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，即， 故选：A． 4．如图，是的直径，，点C是的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧，弦，角的关系，根据，得到，进而得到，等弧对等角，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴； 故选B． 5．在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是： ， 故选：B． 6．如图，是的直径，点，为上的点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，再求出即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．如图，的弦长为，的半径为，则弦的弦心距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点O作，根据垂径定理得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点O作， ∵，⊙O的半径为，的弦长为， ∴ ，， 由勾股定理得： ∴弦的弦心距为 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出长． 8．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若弧ABD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则弧BC的度数为何？（　　） A．25 B．40 C．50 D．55 【答案】B 【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A＝65°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据 的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出 的度数． 【详解】连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形， ∵∠A＝65°，∠D＝60°， ∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×65°＝50°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°， ∵＝150°， ∴∠AOD＝150°， ∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣50°﹣60°＝40°， 则的度数为40°． 故选B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 9．某服装店一月份营业额为万元，一季度的营业额共万元，若平均每月营业额的增长率为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出方程． 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x， 则第二个月的营业额为：， 第三个月的营业额为： 则由题意列方程为： 故选D． 【点睛】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程． 10．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，过点C作于H，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解： 连接，过点C作于H， 是的切线， ， ， 当时，最小，取最小值， 为等边三角形， ， ， 的最小值为：， 故选：C． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11．方程化为一般式是 ． 【答案】 【分析】去括号，移项后即可得出答案．本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 【详解】解：， ， ， 即方程化为一般式是， 故答案为：． 12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据根的判别式即可列不等式，计算即可得答案，注意． 【详解】解：由题意可得：，且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考真了根的判别式∶一元二次方程的根与有如下关系∶当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的概念． 13．已知的半径为，点在内，则 （填“”、“”或“”） 【答案】＜ 【分析】根据点与圆的三种位置关系的判定方法，直接判断，即可解决问题． 【详解】解：∵O的半径为5cm， 点P在O内， ∴OP<5cm. 故答案为<. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练的掌握圆的相关知识是本题解题的关键. 14．已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是 ． 【答案】12π． 【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积． 【详解】设扇形的半径为r． 则＝4π， 解得r＝6， ∴扇形的面积＝＝12π， 故答案为12π． 【点睛】本题考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l＝，扇形的面积公式S＝，解题的关键是熟记这两个公式． 15．如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则 度．    【答案】12 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，利用求多边形的内角和公式，得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键，根据正多边形的内角的求法，可得、，进而可得答案． 【详解】正五边形的内角， ， 正六边形的内角， ， ， 故答案为：12． 16．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 17．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．        【答案】26 【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径. 【详解】解：由题可知， 为半径， 尺寸， 设半径， ， 在中，根据勾股定理可得： 解得：, 木材直径为26寸； 故答案为：26. 【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解. 18．如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出，进而证明，连接，由切线的性质得到，推出，则当最小时，，即此时是等腰直角三角形，过点P作于E，求出，则，． 【详解】解：∵直线与坐标轴分别交于点，点， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵与轴相切．点的坐标为， ∴， ∴， ∴要使最小，则要使最小， ∴当最小时，，即此时是等腰直角三角形， 过点P作于E， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线证明当最小时，，即此时是等腰直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）本题可以用直接开平方法求解，也可以用因式分解法求解； （2）本题可以用公式法求解，也可以用配方法求解． 解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。熟练掌握各种解法，并且能选择正确的解法是解题的关键． 【详解】（1）方法一： 解： ． 方法二： 解： 即 或者 ． （2）方法一： 解： ． 方法二： 解： ． 20．（8分）已知关于x的方程 (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p，q，满足，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：． ， ∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得，． ． ， 解得：，， 即m的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是理解根的判别式和根与系数的关系的公式，正确列出不等式和方程求解． 21．（8分）如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 22．（8分）如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．    (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的基本元素，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明，可得，即可求证； （2）根据，可得的度数，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴， ∴， ， 即是等腰三角形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)在图上标出圆心M，圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)点D在上，理由见解析 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形性质和垂径定理，找出圆心的位置是解题的关键． （1）由网格得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为点；根据图形即可得出点的坐标 （2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段的长，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】（1）如图，圆心M的坐标为； （2）圆的半径， 线段， 所以点D在上． 24．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)7040； (2)60． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）根据题意可列出关于x的方程，解出方程，再结合使消费者得到实惠，确定出最后的售价即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，（元）． 故答案为7040． （2）解：设销售单价应定为x元，根据题意得 整理得， 解得 ∵要使顾客得到实惠 ∴， 答：销售单价应定为60元． 25．（10分）如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)过点C作，垂足为点F，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质及判定、圆周角定理、直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，解题关键是熟练掌握证明切线的方法，能利用勾股定理结合方程思想求解半径． （1）连接，通过证明得出即可； （2）设，由勾股定理得，，列方程求出x的值，则． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∵中，E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点C在圆上， ∴是的切线； （2）解：∵中， ， ∴， 设， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得， 则， 即的半径为． 26．（12分）（1）如图，已知矩形，，，动点从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点同时从点出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发_____时，点P和点Q之间的距离是； （2）当运动时间为时，，两点的距离为多少？当运动时间为时，，两点的距离为多少？ （3）若点沿着移动，点，分别从A，同时出发，点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）或；（2）；；（3）经过或时，的面积为 【分析】（1）过点作于，得到，利用勾股定理得到方程，故可求解； （2）根据运动时间求出，利用勾股定理即可求解； （3）分当点在上时，当点在上时和当点在上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设运动时间为秒时，如图，过点作于， 由运动知，， ∵点和点之间的距离是， ∴， 解得， ∴或． 故答案为：或． （2）时，由运动知， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ∴当时，两点的距离为； 当时，由运动知， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理得， 两点的距离为． （3）点从点移动到点所花的时间为， 当点在上时，， 解得：． 当点在上时，， 解得：或（舍）． 当点在上时，， 解得：（不符合题意舍去）， 综上所述，经过或时，的面积为． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解． 27．（12分）如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A，B两点，交y轴于C、D两点．直线l与交于C、E两点，其中交点E在弧上．过A点作，垂足为点P，连接与．      (1)求证：； (2)连接，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由； (3)若M点的坐标为，B点的坐标为，的中点为N，则线段长度的最大值为 ． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】（1）连接，，利用垂径定理得出，利用线段垂直平分线的性质可得出，利用等边对等角得出，再利用圆内接四边形的性质得出，进而即可得解； （2）连接，过点A作交于点F，先利用全等证出和，然后进行线段和差的计算，即可得解； （3）连接，，以为直径作，连接，，，先利用圆的性质和勾股定理求出和，然后再利用圆的性质和三角形的三边关系证出线段长度的最大值，进而即可得解． 【详解】（1）如图，连接，，    ∵M为圆心，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，连接，过点A作交于点F，    由（1）知，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，，以为直径作，连接，，，    ∵M点的坐标为，B点的坐标为， ∴的半径为， ∴， ∴， 如图，过G点作，    ∴， ∴， ∴， ∵的中点为N，M为圆心， ∴， ∴N点始终在上， ∵， ∴线段长度的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $