专题01 二次函数综合题角相关（7种类型35道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

专题01 二次函数综合题角相关 （7种类型35道） 地 城 类型01 角相等 1．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 2．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 3．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 5．如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，顶点为F，对称轴交x轴于点． (1)求b的值； (2)连接，P为二次函数图象上的一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，过点A作的垂线交二次函数图象于点M，连接，设直线的函数表达式为． ①直接写出k的值； ②如图2，点P，Q均为二次函数图象上的一点（点P在第一象限的图象上），若，直线是否平行于？请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 地 城 考点02 角互余 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 地 城 类型02 角互余 9．已知，抛物线与轴分别交于和两点，与轴交于点，连接． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，点为抛物线第一象限上一点，横坐标为，连接、，求的面积与的函数关系（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点与点关于轴对称，点与点关于点对称，过点作轴于点，连接，当时，绕点将顺时针旋转交过点且平行于轴的直线于点，求的长． 10．抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标． 11．如图，平面直角坐标系中，抛物线过，其对称轴为直线，该抛物线与直线交于、两点．其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，连接，点为直线上一点，连接．当面积最大时，求点的坐标及最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线点是新抛物线上一动点，连接、 ．当时，请直接写出符合条件的点坐标． 12．如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标． 地 城 类型03 角互补 13．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 16．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点顺时针旋转得到，抛物线经过A、D两点． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使得与互补？若存在，请求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 17．图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴于交点A，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P 为第二象限内该抛物线上的一动点 （不与点 A，C重合），过点 P 作轴交x轴于点 D， 过点 P作交直线于点E， 求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，在（2）中 取得最大值的条件下，点M为原抛物线的顶点，点N为点 P的对应点，在新抛物线上确定一点 Q，使得，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 地 城 类型04 角的倍数关系 19．如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点，连接． (1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，连接和，若点P到x轴的距离为d，的面积为2d，求点P的坐标； (3)如图3，当点P为第四象限抛物线上的一个点，连接和，作于点Q，当中存在某个内角等于度数的2倍时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 20．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接，，求的长． 23．如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求当的值最大时点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，连接，点是线段上一点，且满足，将抛物线沿射线方向平移，得到过点的新抛物线，点是新抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．地 城 类型05 角的和差关系 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26．【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义． (1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________ (2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值： (3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 28．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是线段下方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点E为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点Q是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（A在B左侧）．与y轴交于点C．且，，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交直线于点E，当线段的长度最大时，过点A作的垂线交EP的延长线于点F，点G为直线上一动点，连接，H为的中点，连接，求线段的最小值； (3)将原抛物线沿射线方向平移，使得平移后的抛物线经过点，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，M为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，N为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点N的坐标． 30．已知二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点为内部一个动点，且，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，问的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由； (3)点为二次函数与轴的另一个交点，点为二次函数上一点，若，求点的坐标． 31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC．地 城 类型06 已知角度数的存在性问题 (1)求抛物线的表达式； (2)点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； (2)若，求m的值； (3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 34．已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)若点C的坐标为． ①求二次函数的表达式； ②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：． (2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值． 35．如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 36．如图①，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线与抛物线于相交于点，． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)如图②，点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点在抛物线上，连接，若，求点的坐标． 37．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．地 城 类型07 角平分线相关的存在性问题 (1)求的长； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程． 38．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且． (1)直接写出抛物线的解析式为______． (2)如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标． (3)将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离． 39．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴正半轴于点，，点在此抛物线上． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为第二象限内抛物线上一点，点的横坐标为，连接交轴于点，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，求的值； (3)如图，在的条件下，点在该抛物线上，，连接，点在上，点在该抛物线上，点的横坐标为，连接，，，的面积为，点在轴正半轴上，，连接交轴于点，连接，，若平分，求值． 40．抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，的面积为6．    (1)直接写出点A、B的坐标为 、 ；抛物线的解析式为 (2)如图1，连结，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线的距离为，求点D的坐标； (3)如图2，平行于的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，恰好平分，求P点坐标． 41．已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 42．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．    (1)求该抛物线的解析式． (2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？ (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数综合题角相关 (7种类型35道) 类型角相等 类型2角互余 类型3角互补 二次函数综合题角相关 类型4角的倍数关系 类型5角的和嗟关系 类型6已知角度数的存在性问题 类型7角平分线相关的存在性问题 目目 类型01 角相等 1.抛物线y=(x-3)x+)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,点D为顶点. D D 备用图 (1)求点B及点D的坐标. (2)连接BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E. 1/171 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标. ②若第一象限抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标 【答案】(1)点B的坐标为(3,0)，点D的坐标为1，-4) (2)①点P的坐标为 924 7’-7 ②点M的坐标为5,12 【详解】(1)解：：抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧)， 当y=0时，x-3)x+1=0,解得x=3或x=-1, :点B的坐标为(3,0). y=(x-3)(x+1=x2-2x-3=(x-1)2-4, :顶点D的坐标为1，-4)； (2)解：①.抛物线y=(x-3)(x+1=x2-2x-3与y轴交于点C, C点坐标为(0，-3)， .0C=0B=3, BC=3V2,LBC0=L0BC=45°， :对称轴为直线x=1, :点E的坐标为1,0). 如图，连接BC,过点C作CH⊥DE于H, VA 0 E B 则H点坐标为(1，-3)， :点D的坐标为1，-4)： :CH=DH =1, 2/171 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CD=V2,LCDH=LBC0=∠BCH=45°， .∠BCD=90°， :△BCD为直角三角形. 分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R, :∠BDE=∠DCP=∠QCR, ·LCDB=∠CDE+LBDE=45°+∠DCP, ∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP, .∠CDB=∠QCO, 又：∠BCD=∠Q0C=90°， ∴.△BCD∽△QOC, BC CD 即32.V2 20 Oc 90-0C ∴.0Q=30C=9,即Q(-9,0), 设直线CQ的解析式为y=x+b,则有： 1 「-3=b 0=-9k+b' 解得 3, b=-3 :直线CQ的解析式为y=-。x-3, 3 设直线BD的解析式为y=kx+b,则有： 0=3k+h,解得6=6' k=2 -4=k+b 直线BD的解析式为y=2x-6, 9 X= 联立 y=3 ，解得 y=2x-6 24 y=- > 924 :点P的坐标为77 ②如图，点M在第一象限抛物线上，设MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G, 3/171 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :B(3,0),E(1,0),D(1,-4), .BE=2,DE=4, :∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°， ∴△MCN∽aDBE, CN MN ,即CN=MN, BE DE 24 :MN 2CN 设CN=a,则MN=2a, :CDE=45°，DEIy轴， ∠NCF=∠CDE=45°， :△CNF为等腰直角三角形， NF=CN=a,CF=√2a, :∠GFM=∠NFC=45°， :△MGF为等腰直角三角形， :MF MN NF 2a-a a, MG-FG= -a, 2 CG=FG+FC= a+va=3 2 -a 2 ..OG=CG-OC= 3V2 a-3 2 M2.32 2a,2a-3 将点M代入抛物线y=（x-3(x+1, 4/171 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 得到aa-5V2)=0,解得a=5√2或a=0(舍去)， .M(5,12. 所以，当∠CMN=∠BDE时，点M的坐标为5,12). 2.如图，直线y=x+c与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过点B,C,与 1 2 2 x轴的另一个交点为A. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且∠MCB=∠ABC,请直接写出点M的坐标. 123 2t2 【答案】y=2 (2)P(2,-3) 3)点M1750 3’9 或(3，-2) 1 【详解】(1)解：直线y=二x+c与x轴交于点B(4,0), 2 可有0=2×4+c,解得c=-2, ∴.点C(0,-2), 日抛物线y)x+bx+c经过点B,Cy C=-2 .将点B(4,0),C(0,-2)代入，可得 0=8+4b+c1 b=- 解得 2 C=-2 范物的解所式为y一-2： (2)如下图，过点P作PE⊥AB交BC于点E, 5/171 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B E 能物线，-子”-子-2与铺的交点为48 x2- 当y=0时，可有0=2 2-2, 解得x1=4,x2=-1, .点A(-1,0), 设点0-小则点0小 2 PE= 2a-2- a2+2a, 2 :四边形4P面积4+0x2+女+2水4=a-2+9, :当a=2时，四边形ACPB面积有最大值， 此时点P(2,-3)； (3)如下图，当点M在BC上方时，设CM交x轴于点H, VA H :∠MCB=∠ABC, .CH=BH, :CH2=0C2+0H2, ∴BH2=CH2=22+(4-BH)2, 解行财- ÷OH=OB-BH=4-3=3】 2 6/171 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设直线CH解所式为y=+6,将点C0-2,点H[0代入， -2=b 可得 k+b’ 解得 3 0= b=-2 :直线CH解析式为y= x-2, 3 y=x-2 3 联立方程组可得 1 3 y=x2 2 -2 2 17 x=0 X2= 3 解得： 或 (y=-2 50 3= 9 .点M 1750 3’9 当点M'在BC下方时， :∠M'CB=∠ABC, MC∥AB, 点M'的纵坐标为-2， ∴点M'的坐标为(3，-2) (1750 综上所述，点M坐标为 3’9 或(3，-2). 【点晴】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像 与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分 析问题是解题关键 3.如图所示，抛物线y=三x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),P是抛物线y的顶点. B 备用图 (1)求抛物线y所对应的函数解析式； 7/171 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)设直线PB所在的函数解析式为y,=mx+n,请直接写出不等式mx+n>二x2+bx+c的解集； 4 (3)抛物线y上是否存在点M,使得∠BAM=∠ABP,若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由. 213 【答案】()4=4 -2x-4 (21<x<3 3)存在，(1，-1)或(5,3) 【详解】(1)解：：抛物线乃=2+bx+c与x轴交于点4-1,0)，点B3,0. 4 ·设抛物线解析式为 y=x+1(x-3). 4 整理，得y=x1x3 -X- 4 2-4 (2)解：1<x<3. 1 2-化为顶点式，得八=4x--1 将y三豆x213 :点P坐标为(1，-1) :点B的坐标为(3,0)， :不等式mr+m>x2+br+c的解集为1<x<3; (3)解：存在. 由抛物线的对称性可知∠BAP=∠ABP 故当点M在x轴下方时，点M与点P重合，可得点M1坐标为(L,-1). 如图所示，作点P关于x轴的对称点Q,点P的坐标为(L,-1), 可得Q点坐标为1，). 设直线AQ的解析式为y=x+b, 点A-1,0),Q(1,1, 1 k= -k+b=0 ”解得 2 k+b=1, 1 b= 2 :直线A0的解析式为y=2x+ 11 2 8/171 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M +2 联立方程组可得 2 y=x2-x-3 42- 41 解得x=-1(舍)，x2=5. 11 将x=5代入y=2x+2 得y=3. 故M的坐标为(5,3) 综合以上可得点M的坐标为(1，-1)或(5,3). 4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A-5,0),B(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为C,顶点为D, 连接CD。 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P为该抛物线上一动点（与点B,C不重合），设点P的横坐标为m. ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P,使得∠PBC=∠BCD,请直接写出所有点P的坐标. 【答案】(1)y=x2+6x+5 ao号：@( 2或(0,5) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题 的关键是需要利用分类讨论的思想求解； 9/171 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解： (2)①利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=x+1,如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G,设 点Gm,m+1),则点P(m,m2+6m+5),PG=m+1-(m2+6m+5)=-m2-5m-4,根据Sasc=2 1 PG(xc-xg) ,即可求解； ②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可. 【详解】(1)解：将点A(-5,0)、B(-4,-3)代入抛物线y=ax2+bx+5, 25a-5b+5=0 得： 116a-4b+5=-3’ a=1 解得： b=6' :·该抛物线的表达式为：y=x2+6x+5①： (2)解：①令y=0,得x2+6x+5=0, 解得：x=-1,x2=-5, ·点C(-1,0), 4k+d=-3 设直线BC的解析式为y=x+d,将点B、C的坐标代入得： -k+d=0’ k=1 解得：d=1' :直线BC的解析式为y=x+1..②， 如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G, 图1 设点G(m,m+1),则点P(m,m2+6m+5), .PG=m+1-(m2+6m+5)=-m2-5m-4, Sc=)PG-(K。-x3）=x(-m2-5m-4x3=-3m2-15m m-6=-3m+5+ (m+ 7 2 2 21 8 10/171