课时分层训练(12) 24.3正多边形和圆-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（人教版）

课时分层训练(十二)　正多边形和圆 知识点一　认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是(　C　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是(　B　) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．若某纪念币的形状可近似看为正七边形，则一个内角的度数为．(不取近似值) 知识点二　与正多边形有关的计算 4．如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12 cm，则该正六边形的内切圆半径为(　A　) A． cm B．2 cm C．2 cm D． cm 第4题图 第5题图 5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P为 上的一点，则∠APC的度数为(　D　) A．36° B．60° C．65° D．72° 6．若正方形的外接圆半径为2，则其内接圆半径为(　A　) A． B．2 C． D．1 7．如图，在正六边形ABCDEF中，若对角线AC，BD相交于点M，则的值为 2 ． 第7题图 　　　第8题图 8．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 1＋ ．(结果保留根号) 9．如图，正方形、正六边形的边长相等，在同一平面内将两个多边形的一边重合，那么∠α的度数为 30° ． 10．如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则的度数为 24° ． 11．已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S． 解：画示意图如图，作半径OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H． ∴∠AOH＝＝30°． ∴AH＝R． ∴a＝2AH＝R．由勾股定理， 可得OH2＝R2－， ∴OH＝R． ∴S＝a·OH×6＝R·R·6＝R2． 知识点三　正多边形的画法 12．如图(1)是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图(2)，AE是⊙O的直径，请你用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH．(不写作法，保留作图痕迹) (1) 　 (2) 第12题图 解：如图所示，正八边形ABCDEFGH即为所求． 13．如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 　 　 解：如图所示． (方法一) (方法二) (方法三) (方法四) 方法一：①用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； ②连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法二：①用量角器画圆心角∠BOC＝120°； ②在⊙O上用圆规截取 ＝＝； ③连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． 方法三：①作直径AD； ②以点D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于点B，C； ③连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法四：①作直径AE； ②作半径OE的垂直平分线MN，交⊙O于点B，C； ③连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 14．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为(　C　) A． B．3 C．2 D．6 15．如图，点O是正方形AB′C′D′和正五边形ABCDE的中心，连接AD，CD′交于点P，则∠APD′的度数为(　B　) A．72° B．81° C．76° D．80° 16．如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，E是 上的一动点(不与点A，B重合)，F是 上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°．有以下结论： ①OG＝OH； ②△GBH周长的最小值为6＋2； ③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9． 其中，正确的是 ①③ ．(填序号) 17．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． (1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 ∶1 ． (2)若连接BE，则BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 解：(1)设⊙O的半径为R， 则它的内接正方形的边长为R， 它的内接正六边形的边长为R， 内接正方形和内接正六边形的边长之比为R∶R＝∶1． 故答案为∶1． (2)BE是⊙O的内接正十二边形的一边．理由如下： 如图，连接OA，OB，OE，BE． 在正方形ABCD中，∠AOB＝90°． 在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝30°． ∵n＝＝12， ∴BE是⊙O的内接正十二边形的一边． 18．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE＝3，EF＝4，FC＝5，求正方形ABCD的外接圆的半径． 解：如图，连接AC，则AC是该圆的直径，延长AE交⊙O于点G，连接CG，则∠AGC＝90°． ∵AE⊥EF，EF⊥FC， ∴四边形EFCG是矩形． ∴EG＝FC＝5，CG＝EF＝4． ∴AG＝8． 由勾股定理，得AC＝＝4， ∴正方形外接圆的半径为2． 【创新运用】 19．如图，在图(1)，(2)，(3)，…，(n)中，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON． (1)求图(1)中∠MON的度数； (2)图(2)中∠MON的度数是 90° ，图(3)中∠MON的度数是 72° ； (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案) (1)　　　(2)　　　 (3)　　　　(n) 第19题图 解：(1)如图，连接OB，OC． ∵正三角形ABC内接于⊙O， ∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°． 又∵BM＝CN，OB＝OC， ∴△OBM≌△OCN(SAS)． ∴∠BOM＝∠CON． ∴∠MON＝∠BOC＝120°． (3)∠MON＝． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $