第二十二章成果展示-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（人教版）

第二十二章成果展示 二次函数 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．下列函数是二次函数的是(　D　) A．y＝ B．y＝(x＋3)2－x2 C．y＝ D．y＝x(x－1) 2．抛物线y＝－2(x＋1)2－3的对称轴是(　B　) A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝3 D．直线x＝－3 3．若抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的值为(　B　) A．－ B． C．－4 D．4 4．下列选项中，与y＝2(x－1)2＋3的形状相同的抛物线的解析式为(　D　) A．y＝1＋x2 B．y＝(2x＋1)2 C．y＝(x－1)2 D．y＝2x2 5．如图，在平面直角坐标系中，有四条抛物线，其中，二次项系数的绝对值最小的是(　C　) A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 6．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则下列结论错误的是(　B　) A．函数有最小值 B．当－1＜x＜2时，y＞0　 C．a＋b＋c＜0 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 7．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到抛物线y＝－(x－2)2＋3，则原抛物线的解析式为(　A　) A．y＝－(x＋1)2＋1 B．y＝－(x－1)2－1　 C．y＝－x2 D．y＝－(x－5)2＋5 8．经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点的抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB的长为(　B　) A．10 B．12 C．13 D．15 解析：∵经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点的抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c(x为自变量)与x轴有交点， ∴＝－，Δ＝b2－4×(－b2＋2c)≥0． ∴b＝c＋1，b2－4c≤0． ∴(c＋1)2－4c≤0． ∴(c－1)2≤0． ∴c－1＝0， 解得c＝1． ∴b＝c＋1＝2． ∴AB＝|(4b＋c－1)－(2－3b)| ＝|4b＋c－1－2＋3b| ＝|7b＋c－3| ＝|7×2＋1－3| ＝|14＋1－3| ＝12． 9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，下列结论正确的有(　A　) ①abc＜0；②b2－4ac＜0；③2a＞b；④(a＋c)2＜b2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第9题图　　　 　第10题图 10．如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点、水平直线OB为x轴建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且AC⊥x轴．若OA＝10 m，则桥面离水面的高度AC为(　B　) A．16 m B． m C．16 m D． m 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为 y＝(x－2)2＋1 ． 12．经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是 y＝－x2＋x＋3 ． 13．已知点＋3，y3) 都在函数 y＝－(x＋4)2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是y1＞y2＞y3． 14．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝x2与y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是 8 ． 　 第14题图　　　　 第15题图 15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＝0的根为 x1＝0，x2＝－3 ． 16．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)的总长为27 m，则能建成的饲养室的面积最大为 75 m2． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(6分)已知二次函数的解析式是y＝x2－2x－3． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标以及它的顶点坐标； (2)根据(1)的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线． 解：(1)令y＝0，则x2－2x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3． 令x＝0，则y＝－3． 即抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点的坐标为(－1，0)，(3，0)，与y轴交点的坐标为(0，－3)． 由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 可得其顶点坐标为(1，－4)． (2)列表如下． x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －3 －4 －3 0 … 画出抛物线如图． 18．(8分)设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，且a，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … －1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若m＝4． ①求二次函数的解析式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． (2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 解：(1)①由题意，得 解得 ∴二次函数的解析式是y＝x2－2x＋1． ②∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1． ∴当x＜1时，y随x的增大而减小． (2)∵x＝0和x＝2时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1． ∴(1，n)是顶点，(－1，m)和(3，p)关于对称轴对称． 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0． ∵－＝1，∴b＝－2a． ∴二次函数为y＝ax2－2ax＋1． ∴m＝a＋2a＋1≤0． ∴a≤－． 19．(8分)已知二次函数y＝x2－4x＋3a＋2(a为常数)． (1)请写出该二次函数的三条性质； (2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，求a的取值范围． 解：(1)∵二次函数y＝x2－4x＋3a＋2＝(x－2)2＋3a－2，∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，3a－2)，有最小值3a－2．(答案不唯一) (2)令x2－4x＋3a＋2＝2x－1． 整理，得x2－6x＋3a＋3＝0． ∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点， ∴方程x2－6x＋3a＋3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根． ∴ 解得≤a<2． ∴a的取值范围为≤a＜2． 20．(10分)如图，抛物线 y＝a(x＋1)2 的顶点为点A，与y轴的负半轴交于点B，且 S△AOB＝． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若C是抛物线上A，B两点之间的一点，当S△ABC 最大时，求点C的坐标． 解：(1)由题意，得A(－1，0)，B(0，a)， ∴OA＝1，OB＝－a． ∵S△AOB＝， ∴×1×(－a)＝， 解得a＝－1． ∴抛物线的函数解析式为y＝－(x＋1)2． (2)∵A(－1，0)，B(0，－1)， ∴AB所在直线的函数解析式为y＝－x－1． 如图，在抛物线上A，B两点之间任取一点C，过点C作CD⊥x轴，交AB于点D． 设C[x，－(x＋1)2]，则D(x，－x－1)， ∴CD＝－(x＋1)2＋x＋1． ∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ [－(x＋1)2＋x＋1]×1， ∴S△ABC＝－＋． ∵－＜0， ∴当x＝－时，S△ABC最大，此时点C的坐标为． 21．(12分)某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月的销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． (1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获得利润1 800 元？ (3)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意，得y＝80＋20×＝－2x＋200， ∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋200(30≤x≤60)． (2)由题意，得(x－30)(－2x＋200)－450＝1 800，解得x1＝55，x2＝75(舍去)． ∴当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获得利润 1 800 元． (3)设每月获得的利润为w元．由题意，得 w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2 000． ∵－2＜0， ∴当x<65时，w随x的增大而增大． ∵30≤x≤60， ∴当x＝60时，w最大，w最大＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950． ∴当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是1 950元． 22．(12分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2kx＋k2＋k图象的对称轴为直线x＝k，且k≠0，顶点为P． (1)求a的值； (2)求顶点P的坐标；(用含k的式子表示) (3)已知A(0，1)，B(2，1)，若函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点，写出k的取值范围． 解：(1)∵二次函数y＝ax2－2kx＋k2＋k图象的对称轴为直线x＝k， ∴－＝k．∴a＝1． (2)把a＝1代入y＝ax2－2kx＋k2＋k， 得y＝x2－2kx＋k2＋k． 当x＝k时，y＝k2－2k2＋k2＋k＝k， ∴顶点P的坐标为(k，k)． (3)∵函数y＝ax2－2kx＋k2＋k＝x2－2kx＋k2＋k＝(x－k)2＋k，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝k，顶点坐标为(k，k)． ∵A(0，1)，B(2，1)， ∴①当k＞1时，抛物线的顶点在直线AB的上方，抛物线与线段AB没有公共点，则函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB没有公共点； ②当k＝1时，顶点(1，1)在线段AB上，即函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点； ③当k＜0时，则x＝k＋1或x＝k－1时，y＝1＋k＜1，函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象在线段AB下方，没有公共点； ④当0＜k＜1时，若函数图象过点A(0，1)，则k2＋k＝1，解得k＝＜0(舍去)或k＝． ∵0＜＜1， ∴根据抛物线的对称性知，当≤k＜1时，函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB有两个公共点；当0＜k＜时，函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点． 综上所述，若函数y＝≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点，则0<k＜或k＝1． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $