第一章成果展示 特殊平行四边形-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（北师大版）

第一章成果展示 特殊平行四边形 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　C　) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行 2．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O．若BD＝6，则菱形ABCD的面积是(　C　) A．6 B．12 C．24 D．48 3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为(　B　) A．45° B．15° C．10° D．125° 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为(　A　) A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为(　A　) A． C．21 D．24 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E．若△ABE的周长为8，AB＝3，则AD的长为(　C　) A．2 B．5.5 C．5 D．4 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为(　D　) A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8 8．如图，已知点O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E．若四边形OCED的周长是20，则BC等于(　B　) A．5 B．5 C．10 D．10 9．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边AB，BC的长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是(　B　) A．6 B．12 C．24 D．不能确定 10．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是(　C　) A．1 B．2 C． 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为 10 ． 12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 8 ． 第12题图 13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝ 70° ．(填度数) 第13题图 14．如图，矩形ABCD≌矩形EFGB，点C在BG上，连接DF，H为DF的中点．若AB＝10，BC＝6，则CH的长为 2 ． 15．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为 (－1，5) ． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，3)，D是OA的中点，点P在BC上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 (1，3)或(4，3)或(9，3) ． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝12 cm，以CD为边在四边形ABCD外部作面积为的正方形CDEF，∠ABC＝90°． (1)连接AC，求AC和CD的长； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)∵AB＝4 cm，BC＝3 cm，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝＝5(cm)． ∵正方形CDEF的面积为169 cm2， ∴CD＝＝13(cm)． (2)∵AD＝12 cm，且122＋52＝132， ∴AD2＋AC2＝CD2． ∴∠CAD＝90°． ∴四边形ABCD的面积为AB·BC＋AD·AC＝×4×3＋×12×5＝36(cm2)． 18．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝，BD＝2，求OE的长． (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA． ∵AC平分∠BAD， ∴∠OAB＝∠DAC． ∴∠DCA＝∠DAC． ∴CD＝AD＝AB． ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形． (2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC． ∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC． ∵BD＝2，∴OB＝BD＝1． 在Rt△AOB中，∵AB＝，OB＝1， ∴OA＝＝2．∴OE＝OA＝2． 19．(8分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB． (1)求证：▱ABCD是矩形； (2)请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC． ∴AC＝BD． ∴▱ABCD是矩形． (2)解：AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 20．(10分)如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． (1)求证：EB＝GD； (2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由． (1)证明：∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形， ∴AG＝AE，AB＝AD，∠DAB＝∠GAE＝90°． ∴∠GAD＝90°＋∠EAD，∠EAB＝90°＋∠EAD． ∴∠GAD＝∠EAB． 在△GAD和△EAB中， ∴△GAD≌△EAB(SAS)． ∴EB＝GD． (2)解：EB⊥GD．理由如下： 如图，AD，BE的交点记作点M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°． ∴∠AMB＋∠ABM＝90°． 由(1)知△GAD≌△EAB， ∴∠GDA＝∠EBA． ∵∠DMH＝∠AMB， ∴∠HDM＋∠DMH＝∠ABM＋∠AMB＝90°． ∴∠DHM＝180°－(∠HDM＋∠DMH)＝180°－90°＝90°． ∴EB⊥GD． 21．(10分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． (1)求证：四边形DEFG是正方形； (2)求AE＋AG的值． (1)证明：如图，过点E分别作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB． ∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N， ∴EM＝EN． 又∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是正方形． ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝∠MEN＝90°． ∴∠DEM＝∠FEN． 又∵∠EMD＝∠ENF＝90°，EM＝EN， ∴△EMD≌△ENF(ASA)． ∴ED＝EF． ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． (2)解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°． ∴∠ADG＝∠CDE． ∴△ADG≌△CDE(SAS)．∴AG＝CE． ∴AE＋AG＝AE＋CE＝AC＝AD＝4． 22．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为边AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE． (1)求证：CE＝AD； (2)当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由． (3)若D为AB的中点，则当∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由． (1)证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB． ∴AC∥DE． ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD． (2)解：四边形BECD是菱形．理由如下： ∵D为AB的中点，∴AD＝BD． ∵CE＝AD，∴BD＝CE． ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵DE⊥BC， ∴四边形BECD是菱形． (3)解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°． ∴AC＝BC． ∵D为AB的中点， ∴CD⊥AB． ∴∠CDB＝90°． ∵四边形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $