2.2.2函数的表示法课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 函数 第2节 函数 2.2 函数的表示法 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解函数的三种表示法及各自的优缺点； 2、会画简单函数的图像，并能从图像中获取有用信息； 3、掌握求函数解析式的常见方法. 1、函数图像的画法； 2、求函数解析式的常见方法。 1、从图像中获取相关信息； 2、求函数解析式的常见方法 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 提问1：函数的定义是什么？ 给定实数集中的两个非空数集和，如果存在一个对应关系，使对于中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就把对应关系叫作定义在上的一个函数.记作，，其中集合叫作函数的定义域，叫作自变量，与值对应的值叫作函数值，集合叫作函数的值域. 3 新 课 引 入 韦 达 提问2、如何把一个函数表示出来呢？ 在初中的学习中，我们已经知道表示函数有列表法、图像法和解析式。 ①中的函数用的是列表法，②中的函数用的是图像法，③中的函数用的是解析式。 本节课我们来进一步的了解这三种方法。 x -3 -2 -1 1 2 3 f(x) 5 1 -1 -3 3 5 g(x) 1 4 2 3 -2 -4 ①、观察右表，则f(f(-1)-g(3))=(　　) A.-4 B.-3 C.3 D.5 ②、如右图,函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中点A,B,C的坐标分别(0,4), (2,0),(6,4),则f(f(f(0)))=(　　) A.2 B.4 C.0 D.3 ③、已知函数f（x）＝3x+2，则f（x+1）＝____________　　 ①②③分别用的是什么方法表示函数？ 4 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、观察右表，则f(f(-1)-g(3))=(　　) A.-4 B.-3 C.3 D.5 x -3 -2 -1 1 2 3 f(x) 5 1 -1 -3 3 5 g(x) 1 4 2 3 -2 -4 解:由题表知,f(-1)=-1,g(3)=-4, 所以f(f(-1)-g(3))=f(3)=5. 列表法 定义：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法。 优点：可直接通过表格读数,不必通过计算,就表示出两个变量之 间的对应值,非常直观。 缺点：任何一个表格内标出的数都是有限个,只能表示有限个数值 之间的函数关系,若自变量取值有无数个,则只能给出局部 的对应关系。 5 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知函数 f(x)、g(x) 分别由下表给出： 则 f(g(1))=________;当g(f(x))=2时，x=______ 解：由表格可得：g(1)=3 ∴f(g(1))=f(3)=1 由表格可得：g(2)=2 ∴f(x)=2 ∴x=1 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 6 典 例 引 路 柯 西 例2、画出函数f(x)=|x|的图象. 解:f(x)=|x|= 其图象为第一、二象限的角平分线。 图像法 定义：用“图形”表示函数的方法。 优点：可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律 缺点：通过图象很难得到每个自变量取值对应的精确函数值,误差较大 例3、画出取整函数 y = [x] 的图像。 7 典 例 引 路 牛 顿 例4、作出下列函数的图象: (1)y=1-x(x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 1.作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象. 2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点. 8 典 例 引 路 狄利克雷 例5、画出函数 f(x) = 的图像。 1、在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范 围的对应性； 2、不是所有的函数都能画出图像，比如狄利克雷函数： f(x) = 9 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、函数 f(x) 的图像如图所示，则其定义域和值域分别是什么？ 解：定义域为：、值域为：. 10 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、下列图象中不能表示函数的图象的是（　　） 练3、对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是（　　） A． B． C． D． A． B． C． D． D D 例4、画出函数f(x)= 的图象 11 典 例 引 路 华罗庚 例7、已知函数f（x）＝3x+2，则f（x+1）＝____________　　 解：∵函数f（x）＝3x+2， ∴将上式中的“x”用“x+1”代入 f（x+1）＝3（x+1）+2＝3x+5． 解析式 定义：在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)用代数式(或解析式)来表达 的方法。 优点：通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值,较 便利地利用代数工具研究其性质。 缺点：用解析式表示函数时容易漏掉其定义域,而且对于一些实 际问题很难得到解析式。 12 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 求函数解析式的方法 代入法、换元法、配凑法、待定系数法、方程组法、赋值法 13 典 例 引 路 傅里叶 代入法 例7、已知函数f（x）＝3x+2，则f（x+1）＝____________　　 解：∵函数f（x）＝3x+2， ∴将上式中的“x”用“x+1”代入 f（x+1）＝3（x+1）+2＝3x+5． 已知一个函数的解析式，用它表示另一个函数，求另一个函数的解析式。 14 同 步 练 习 黎 曼 练5、已知函数求 解：=4 15 典 例 引 路 贝叶斯 例8、根据条件，求函数解析式. ① ②； 解：设，则， 得 所以； 解：设，则，得， 则 所以； 换元法 由𝑓[𝐠(𝑥)]解析式求𝑓(𝑥)解析式,令反过来用示x，把原解析式中的x都换成t,最后定义域是t的范围。 在用换元法的时候一定要标出新元的范围。 16 同 步 练 习 庞加莱 练6、已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式. 解：令+1=t,则x=(t-1)2,且t≥1, 函数f(+1)=x+2可化为 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x≥1. 17 典 例 引 路 拉格朗日 配凑法 例9、已知 ，求f(x). 解：， ， 所以； 解析式求解析式，如果解析式可以用示，就把等都换成x,定义域相当于范围。 18 同 步 练 习 莱布尼兹 练7、已知函数f(2x-1)=4x2(x>0),则f(x)=______　　　　　　　　　　 解：f(2x-1)= f(x)= 19 典 例 引 路 例10、已知是一元二次函数，且满足； .求 f(x). 解：设，由，则，即 又， 即 得 则，解得 所以. 待定系数法 若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式. 伯努利 20 同 步 练 习 洛必达 练8、已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1, 求f(x)。 解: ∵ f(x)是一次函数, ∴可设f(x)=ax+b(a≠0), 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又f(f(x))=4x-1, ∴a2x+ab+b=4x-1. 则 解得 ∴f(x)=2x-(x∈R),或f(x)=-2x+1(x∈R). 21 典 例 引 路 方程组法 例11、若f(x)满足关系式f(x)+2f()=3x(x≠0),则f(2)的值为(　　) A.1 B.-1 C.- D. 解析:由f(x)+2f()=3x, ① 以代x,得f()+2f(x)=,② ②×2-①得3f(x)=-3x, 所以f(x)=-x(x≠0), 所以f(2)=-2=-1. 答案:B 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换， 设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式 布 丰 22 同 步 练 习 陈景润 练9、则_____ 解：因为，① 所以② 解得 23 典 例 引 路 赋值法 例12、已知函数满足：对任意实数x,y满足 解：令得 则 f(x)=x2+x+1 当题中所给变量较多，且含有“ 任意”等条件时，往往可以对具有“ 任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 丘成桐 24 同 步 练 习 佩雷尔曼 练10、已知函数f(x)的定义域为N*， 且满足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2，f(1)=2，则函数的解析式为____ 解：函数的定义域为N*，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2， 取y=1，得f(x+1)-f(x)=2x， 所以f(x)-f(x-1)=2(x-1)， f(x-1)-f(x-2)=2(x-2)， ……， f(2)-f(1)=2， 以上各式相加得f(x)=x2-x+2． 故答案为：f(x)=x2-x+2. 25 全 课 总 结 列表法 图像法 解析法 定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法。 用“图形”表示函数的方法。 在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)用代数式(或解析式)来表达的方法。 优点 可直接通过表格读数,不必通过计算,就表示出两个变量之间的对应值,非常直观。 可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律。 通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值,较便利地利用代数工具研究其性质。 缺点 任何一个表格内标出的数都是有限个,只能表示有限个数值之间的函数关系,若自变量取值有无数个,则只能给出局部的对应关系。 通过图象很难得到每个自变量取值对应的精确函数值,误差较大。 用解析式表示函数时容易漏掉其定义域,而且对于一些实际问题很难得到解析式。 一、函数的三种表示法方法： 二、求函数解析式的方法：代入法、换元法、配凑法、待定系数法、方程组法、赋值法 26 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 27 $