专题04 二次函数与几何综合重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题04二次函数与几何综合重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数与角相等】...............................................1 【题型02 ：二次函数与线段最值】.............................................13 【题型03：二次函数与面积综合】...............................................20 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】...................................28 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】.........................................40 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】.........................................58 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】...................................72 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】...................................88 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】.............................107 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】..................................120 【题型01 ：二次函数与角相等】 1．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)点N的坐标为或或或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出：，：，令，即可求出M点坐标即可； （3）①若，则，②若，则，③若，则，分别求出N点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 如图1，当时， ， 由（1）可得抛物线， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴：， ∵，∴：， ∴， ∴（舍）， ， ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ①如图2，若，则，即， ∴， ∴解得：， ∴点N的坐标为或； ②若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； ③若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 综上，点N的坐标为或或或． 2．如图，抛物线与轴交于两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，其顶点为D． (1)点E为轴上的动点，当周长最小时，求点E的坐标； (2)若E为中点，P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． (3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足，求点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键： （1）求出的坐标，作点C关于轴的对称点，连接交轴于E，此时周长最小，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （2）分两种情况，①点不在直线上，设直线交轴于N，直线交轴于M，证明，得到，求出直线的解析式，进而求出的坐标，进而求出点坐标，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点的坐标即可；②点在直线上，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可； （3）设，交轴于H，过Q作轴于G，分割法求出三角形和四边形的面积，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当时，则：，当时，， ∴， 作点C关于轴的对称点，连接交轴于E，则，周长最小． 设直线的解析式为，把代入，则有， ∴ ∴直线的解析式为， 令，则，解得： ∴点E的坐标为； （2）①点不在直线上时，如图，设直线交轴于N，直线交轴于M， ∵， ∴，   ∵轴   ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴中点， 设直线解析式为， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为． ∴当时，， ∴，      同法可得：直线解析式为， 由解得或， ∴P的坐标为． ②当点在直线上时，则：，解得：解得或， ∴P的坐标为； 故或． （3）设，交轴于H，过Q作轴于G． ∵ 则，， ∵， ∴， 设直线解析式为，     则有， 消去，解得：， ∴， ∴． ∵， ∴，解得：或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 3．抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图（1），当时，连接，点P在第四象限内抛物线上，若，求点P的坐标； (3)如图（2），若顶点为H，在第一象限的抛物线上取点D，连接并延长交x轴于点E，当时，将沿方向平移得到．将抛物线L平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是； 【分析】（1）令，解一元二次方程即可得出点A，点B的坐标． （2）过线段的中点M，作的垂直平分线交y轴于点D，连接，设，则，，，利用勾股定理求出点D的坐标，将绕A点顺时针旋转得到线段，则，作轴于F点，直线交第四象限的抛物线于点P．，由全等三角形的性质进一步求出点，然后求出解析式，再联立直线和抛物线解析解方程组即可得出答案． （3）过D作轴于M，设，则，，将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向下平移个单位，即可得出抛物线解析式，由，解出x即可得出定点坐标． 【详解】（1）解：令， ∴ ∵， ∴，， ∴，． （2）解：当时，则抛物线解析式为：， 过线段的中点M，作的垂直平分线交y轴于点D，连接， 则，，， 设， 则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 将绕A点顺时针旋转得到线段，则，作轴于F点，直线交第四象限的抛物线于点P． ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 设的解析式为：， 则， 解得：， 则直线为， 联立 解得， ∴． （3）解：抛物线与L交于定点，理由如下： 过D作轴于M，如图： 设， 则，， ∵， ∴， 将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向下平移个单位， 又，，， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线解析式为， 由， 解得：， ∴抛物线与L交于定点． 【点睛】本题了主要考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数与角度的问题，抛物线平移问题，抛物线与坐标轴的交点问题等，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）先求出点D的坐标为，可得，，，的长， 过点A作于点E，再由，可得，再由勾股定理求出，从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，再由，可得，过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，设点M的坐标为，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 令，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵点， ∴，， 如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点M作轴于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点M的坐标为， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或2或4， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）设直线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设，则，可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设，则， ∴ ∵，， ∴当时，线段的值最大，最大值为． 7．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为， ∴． （2）（2）是有最大值，理由如下： ∵当时，， ∴． 设直线的函数表达式为， ∴， 解得． ∴直线的函数表达式为， 设， 则． ∴ ． 当时，有最大值， 此时， ∴有最大值，为．此时． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数的最值，勾股定理等知识，利用割补法表示出的面积是解题的关键． （1）把代入，得，根据对称轴公式得出，然后联立方程组求解即可； （2）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论极值即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）当时，，当时，， 解得， ∴， 根据勾股定理，得. 连接，设点， 由，得 ， ， ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 9．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 【题型03：二次函数与面积综合】 10．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）把、两点的坐标代入抛物线的解析式可得和的值，即可求得抛物线的解析式； （2）当时，解方程得到点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，过点作垂直于轴交于点，设点坐标为，则，，得到关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得到，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，即，解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 如图所示，过点作垂直于轴交于点， 设点的坐标为，则， ， ， ， 抛物线的开口向下， 当时，， 即面积的最大值为． 11．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，求点的坐标． ②设点是线段上的一动点，作轴交抛物线于点，试问是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①点的坐标为或；②存在，点的坐标为 ；的面积的最大值是 【分析】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与几何图形， 对于（1），根据抛物线的对称性解答即可； 对于（2）①，当时，结合抛物线的对称轴为直线，可得，进而求出，可得二次函数关系式，再求出抛物线与轴的交点的坐标，然后设点坐标，根据，可得 ，求出x，即可得出答案； 先求出直线的解析式，再设点坐标为，则点坐标为，即可得出 ，可得点的坐标，结合可得答案. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线的抛物线与轴相交于A、两点， 、两点关于直线对称. 点A的坐标为， 点的坐标为； （2）解：时，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将代入 ， 得， 解得：， 则二次函数的解析式为 ， 抛物线与轴的交点的坐标为， ， 设点坐标为 . ∵， ， ， ． 当时，； 当时，， 点的坐标为或； 设直线的解析式为， 将，代入解析式， 得 , 解得：， 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， 当 时，有最大值， 当 时，三角形的面积有最大值，此时点的坐标为； ， 点的坐标 ；的面积的最大值是 ． 12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 13．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点． (1)求抛物线表达式； (2)如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解解析式，解分式方程，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （）待定系数法求出函数解析式即可； （）先求出，，通过待定系数法求出直线表达式为，设点的坐标为，，，然后分当点在直线上方时，当点在直线下方时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当， 解得：，， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线表达式为， 设点的坐标为，，， 如图，当点在直线上方时， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∵， ∴， ∴； 综上可知：点的坐标为或． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 14．如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值：， (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵，，设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴面积为， ∴ 面积的最大值：， 此时. （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)则点P的坐标为：或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 17．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． (1)因为抛物线与x轴相交，所以可令，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； (2)根据P点在上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； (3)此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 【详解】（1）解：令，得 ， 解得或， ∴， 将C点的横坐标代入得 ， ∴， ∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的函数解析式是； （2）设P点的横坐标为， 则P、E的坐标分别为，， ∵P点在E点的上方， ∴， 由，对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，PE的最大值为； （3）(3)存在4个这样的点F，分别是，． ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点， ∴轴， ∴，， ∴F点的坐标是； ②如图2， ，A点的坐标为， ∴F点的坐标为； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数， ∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴直线与x轴的交点F的坐标为； ④如图4， 同③可求出F的坐标为， ∴符合条件的F点共有4个，为，，． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线，对称轴是直线，即可得，，设， ，分三种情况：①当、为对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 9．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合—面积问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20．如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 21．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 22．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点E坐标为时，面积最大，最大值为 (4)点N坐标为，，， 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、一元二次方程，一次函数的图象和性质、轴对称图形的性质、菱形的判定及性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． （1）根据点和点的坐标，采用待定系数法即可求得答案． （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，直线与对称轴的交点即为所求． （3）设过点与直线平行的直线的解析式为，根据题意可知，当直线的图象与抛物线的图象只有一个交点时，点到直线的距离最大，此时的面积最大，求得点的坐标，进而可求得的面积． （4）分两种情况讨论：①当点位于原点上方时，根据，，即可求得点的坐标；当点位于点下方时，先求得直线的解析式，根据，可求得点的横坐标，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线过点A，C， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为． （2）∵当时，， 解得，， ∴， 则抛物线对称轴为直线 ∵点D在直线上，点A、B关于直线对称 ∴， ∴当点B、D、C在同一直线上时，最小， 设直线解析式为，将代入，得 ∴， 解得 ∴直线 ∴ ∴ 故答案为． （3）过点E作轴于点G，交直线与点F 设，则 ∴ ∴ ， ∴当时，面积最大 ∴ ∴点E坐标为时，面积最大，最大值为． （4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形． ∵， ， ∴， ①为菱形的边长，如图， 则 ， ∴，，． ②若为菱形的对角线，如图，则， 设，则 ，， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述，点N坐标为，，，． 23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键． （1）根据题意得到，由抛物线与轴的交点可设，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则点，所以，由，结合二次函数最大值的计算方法即可求解； （3）设，，则，根据菱形的性质得到，由此列式得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，， ∴， 抛物线与轴交于点，， ∴设，将点代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； （2）解：为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得： ， ． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)点A的坐标为，该抛物线的函数表达式为 (2)存在这样的点，此时点的坐标为 (3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令求出点A的坐标即可； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， 把，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． 当时， ，解得或， ∴点A的坐标为； （2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． （3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， ∵，， 当时，S有最大值，最大值为32，此时， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 26．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 27．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 28．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 30．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）先根据一次函数求出点坐标，再由求出坐标，然后由待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，则，然后设，表示出，，，再分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当， ∴， 将代入，则， ∴， 当，， 解得：， ∴， ∵， ∴， 将代入，则 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：存在，由可得对称轴为直线，则 ∴设， 则，，， ①时，， 解得：或（舍）， ∴； ②时，， 解得：， ∴； ③当时，， 解得：， ∴或， 综上：当是等腰三角形，，，，． 31．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 32．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)存在，或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点坐标为，顶点的坐标为， ∴； （2）设， 当时，如图， 则点纵坐标与中点的纵坐标相同， ， ， 解得：， 故此时点坐标为； ②当时，如图， ， ， 故此时点的坐标为或； ③当时，如图， , , 解得：， 故此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或； 33．如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求出抛物线的表达式； (2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的横坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键． （1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，得到，先求出点的坐标，推出，进而得到，设，则，由勾股定理可得，结合，可求出，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求解； （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图，作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点， ， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 又 ， ， 设，则， ， 又 ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立：， 解得：， 点在第一象限， ， 即点的横坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 如图， 当时， ， 解得：， 或； 当时， 即， 解得：， 或， 综上：点坐标为或或或． 34．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)的坐标为：或或或 【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可； （4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：当点与点关于轴对称，则，求出点的坐标；延长交直线于点，此时，三点共线，不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；当，求出点的坐标；当时，求出点的坐标，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， 故答案为：． （3）过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴点． （4）存在，理由如下： ∵点，对称轴， ∴点， ∴， 设点， 设直线与轴交于点， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点； 延长交直线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形； 当， ∴， 解得：， ∴点或； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合，分类讨论的方法． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 35．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 36．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 37．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，，， 【分析】（1）根据题意设抛物线，根据点A的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设，，，则， ，则分类讨论，即，，，根据勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线， 将代入得：，解得： ∴抛物线H的表达式为； （2）解：令，得， 解得：或， 令，则， ∴，， ∵点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点， ∴设， ∴，， 如图示： ①当时，则 ∴， 解得：， ∴，， ②当时，， ∴ 解得： ，即 ③当时，， 即 解得，即， 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与直角三角形的存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 39．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 40．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 41．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 42．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，，， 【分析】（1）根据题意设抛物线，根据点A的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设，，，则， ，则分类讨论，即，，，根据勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线， 将代入得：，解得： ∴抛物线H的表达式为； （2）解：令，得， 解得：或， 令，则， ∴，， ∵点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点， ∴设， ∴，， 如图示： ①当时，则 ∴， 解得：， ∴，， ②当时，， ∴ 解得： ，即 ③当时，， 即 解得，即， 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与直角三角形的存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 43．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 44．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 45．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 46．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 47．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，三角形的面积求法，等腰直角三角形的讨论，二次函数的图象与性质，难度比较大，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，用待定系数法求出直线的解析式，利用抛物线解析式设出点P坐标，从而得出点D的坐标，利用求面积，再配成顶点式从而可求面积的最大值； （3）通过作垂线构造，从而得出边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：如图1，过点P作x轴的垂线，交线段于点D， 设直线的解析式为， 由，的坐标得， ， 解得 ∴直线的表达式为：， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：存在，理由： 设，F（0，n）， ∵， ∴，， 如图2，过点P作轴于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或2， 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴； 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴． 综上，点F的坐标为或． 48．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 49．如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先求出直线的解析式，设点，则，则，，根据，列出关于m的方程，解方程即可； （3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，，得出，求出s的值即可． 【详解】（1）解：把点、代入得：， 解得： ∴， ∴顶点坐标为：； （2）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴； （3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， 当时，解得：或； 当时，解得：或； 综上分析可知，点M的横坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 50．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 51．如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，，． 【分析】（）求出的长，然后利用面积公式即可求解； （）利用待定系数法求解析式即可； （）分别解得的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以，，为顶点的三角形与全等，设，则，据此当点在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可； 本题考查了二次函数的应用，根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，解题的关键是掌握知识点的应用与分类讨论的思想方法． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴可设所求解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴解析式为； （3）解：∵抛物线：， ∴对称轴直线， ∴直线为直线， ∵，， ∴等腰中，， ∵与全等，， ∴且点、在直线上， 设，则， ∴当时，，即； ∴当时，，即； ∵，， ∴，即 ∵，点，在直线上， ∴， ∴，， ∴，，，． 52．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等： （1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 53．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或，或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 54．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标； (3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握利用待定系数法求出二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出直线的解析式，可得从而得到，进而得到即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 解得： ∴直线的解析式为， 设 当时，最大，最大为4， （3）解：存在，理由如下： 抛物线的解析式为， ， 与全等， 当时，点与点关于对称轴对称， 故； 当时，点重合，故， 综上，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数与几何综合重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数与角相等】...............................................1 【题型02 ：二次函数与线段最值】.............................................3 【题型03：二次函数与面积综合】...............................................6 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】...................................8 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】.........................................10 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】.........................................14 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】...................................16 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】...................................19 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】................................24 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】..................................26 【题型01 ：二次函数与角相等】 1．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，其顶点为D． (1)点E为轴上的动点，当周长最小时，求点E的坐标； (2)若E为中点，P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． (3)点B右侧抛物线上一动点Q，满足，求点Q的横坐标． 3．抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图（1），当时，连接，点P在第四象限内抛物线上，若，求点P的坐标； (3)如图（2），若顶点为H，在第一象限的抛物线上取点D，连接并延长交x轴于点E，当时，将沿方向平移得到．将抛物线L平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求二次函数的表达式和点B的坐标． (2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 7．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． 9．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【题型03：二次函数与面积综合】 10．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 11．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，求点的坐标． ②设点是线段上的一动点，作轴交抛物线于点，试问是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时点的坐标和面积的最大值． 12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 13．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点． (1)求抛物线表达式； (2)如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 14．如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 17．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 9．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 20．如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 26．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 27．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 28．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 30．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 31．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 32．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求出抛物线的表达式； (2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 35．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 36．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 37．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 39．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 40．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 41．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 42．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 43．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 44．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 45．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 46．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 49．如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 50．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 51．如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 52．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 53．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 54．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标； (3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $