专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 【答案】 【详解】解：由题意得：，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，故答案为：． 例2（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______。(2)若，试说明． 【答案】(1)(2)见详解 【详解】（1）解：，， ∵，，故答案为：； （2）证明：∵，， ，，， 在和中，，． 例3（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）（1）如图①，已知：中，，直线m经过点A，于D，于E，猜想：_______； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问第一问猜想是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）与的面积之和为8 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∴，∴， 又∵，，∴，∴，， ∴，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立；∵， ∴，即； ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）解：∵， 同理（2）可知，，，∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为，∴，， ∵，∴，∴，与的面积之和为8． 例4（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图（1），已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线 m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请直接写出线段和之间的数量关系． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，若，试证明． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）证明见解析 【详解】解：（1）证明：∵直线，直线，∴． ∵，∴．∵，∴． 又，∴．∴，．∴； （2）成立．证明如下： ∵，∴．∴． ∵，，∴． ∴，．∴； （3）设，∴．∴． ∵，，∴，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴．∴． ∵，∴．∴． 例5（24-25八年级上·浙江·期中）（1）【问题发现】如图1，在与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ． （2）【问题提出】如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】如图3，四边形中，面积为14且的长为7 ， 求的面积．    【答案】（1）7；（2）；（3） 【详解】解：（1），， 在和中，，， ，，；故答案为：7； （2）过作交延长线于，如图    ，，，， 在和中，，， ，； （3）过作于，过作交延长线于，如图   面积为14且的长为7，，， ，，是等腰直角三角形，，， ，，，， 在和中，，，，． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 【答案】1.2 【详解】解：，， ，，，， 在和中，，∴， ，， ，． 例2（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）证明：①于，于，， ，，， ，； ②，，，； （2）证明：， ，，， 在和中，， ，，； （3）解：，理由如下：同（2）可证， ，，. 例3（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明：如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：，，，． ，． 在和中，，，，． ，，，；故答案为：； （2）证明：如图，，，，， ，， 在和中，，； （3）解：在线段上截取，连接， ∵，∴， ∵，∴，∵， ∴设，则，，，设，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，，， ∴，∴，，∴， 在和中，，∴；∴，， ∵用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙， ∴， ，∴，，∴，故选：C． 2．（24-25七年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵于D，于E，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴的长是．故选A． 3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，∴， 又∵，∴； （2）∵，∴，，∴． 4．（24-25七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ； (2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． (3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：；②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【答案】(1)(2)(3)①见详解②． 【详解】（1）解：∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，故答案为：； （2）解：∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，，∴； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，，∴，∵，，∴即， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴； ②∵，∴为定直线，∴当时，最小，如图，过点作于点， ∴，∵，，∴， ∴，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴的面积为． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3）或或 【详解】解：（1），理由如下：如图1，，，， 于点，于点，，，， 在和中，，， ，，； （2），理由如下：如图2，， ，， 在和中，，， ，，； （3）分三种情况：当E在上，D在上时，即时， ，， ，，， 以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ，，解得：； 当E在上，D在上时，即时，此时D与E重合， ，，，，解得：； 当E到达A，D在上时，即时，，， ，，解得：； 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 6．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)全等，见解析(3)，与的夹角为，见解析 【详解】（1）解：（1），，，， 又，，， 在和中，， （2）和全等，理由如下：， ，且，， 在和中，， （3），与所成夹角为，理由如下： ，，且，， 和均为等边三角形，， 在和中，，，，， 又在等边和等边中，，， ，， 在和中， ，，， 综上所述：，与的夹角为． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）， ，，， 在和中， ，， ，，，故答案为：； （2）仍然成立，理由如下： ，，， ，在和中， ，， ，，； （3），， ，， ，在和中， ，，， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，，，，与的面积之和为． 8．（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知:如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．（1）填空：________．（填“”“”或“”）（2）求证：．（3）试说明：． 拓展应用:（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）6 【详解】（1）解：∵在中，为中线，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2）证明：由（1）可知：，， ，，，； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，，； （4）解：，，， ，在和中，，，， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，，，， ，与的面积之和为6． 9．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】（2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】（3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）2 【详解】（1）证明：“勤学”小组：过点作交的延长线于点， ∵，，∴，．∴． 在和中，∴． ∴，．∴，∴． ∴是等腰直角三角形．∴．∴． “善思”小组：在上截取线段， ∵，是等腰直角三角形． ∴．∴． ∵，，∴．∵，， ∴，．∴． ∵，∴．∴． （2）证明：过点作垂足为， ∵，，∴，．∴． 在和中，，∴．∴． 在中，，且，，∴．∴； （3）过点作，垂足为；过点作垂足为； ∵，，∴．∵，， ∴，．∴． ∵，∴．∴． ∵的面积为6，，∴．∴． 在中，，∴是等腰直角三角形．∴． ∴．∴．∴的面积为：． 10．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想（1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究（2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析（3），证明见解析 【详解】解：（1），， ，，， 在和中，，， ，，；故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，，， 在和中，， ， ，，； （3）．理由如下，如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，，∴，同理， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（  ）；（请填写全等判定的方法） （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为____________． （4）拓展应用：如图4，中，，，将绕点顺时针旋转90°，得，连接，则的面积为____________． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）． 【详解】解：如图，，，，， 又，，， 在和中，，，故答案为：； （2）如图，过作于E，则， 由旋转得：，，∴，，∴， 在和中，，∴，， ； （3）如图中，的面积为，，的面积是：， ∵，，，， ∴，， 在和中，，∴ 与的面积之和等于与的面积之和，即等于 的面积，即为5，故答案为：5； （4）如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则，∵，，∴，由旋转得，，， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）爱动脑筋的小华同学提出问题，当直线旋转到如图2位置时，（1）中的结论是否发生改变？请你帮助小华解决问题．如果改变，请写出你的结论并说明理由． （3）经过小华的提问，琪琪也提出新的想法：如图3，将（1）中的条件改为：“在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？”请你解决琪琪提出的问题．如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）改变；，见解析；（3）成立，见解析 【详解】（1）证明：直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，． （2）不成立；；证明：直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，． （3）成立；证明：  ， ，， 在和中，，， ，，． 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，．∴． 在和中，，∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：    (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)17米 【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴， （2）证明：过D作交的延长线于点F，如图：       ∵，∴，， ∴，而，∴， ∴，，∴，∴，∵，∴； （3）过A作，过B作，如图：同理可证，∴，， 由题意知，，∴，∵，即，∴，∴， ∴（米）． 14．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）在中，，，直线绕点旋转，过点A作于，过点作于．当直线绕点旋转到图1的位置时，易证．   　　  　　   (1)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？并加以证明． (2)当直线绕点旋转到图3的位置时，，，数量关系是________（直接写出结果） (3)如果，，则________．（直接写出结果） 【答案】(1)，证明见解析(2)(3)11或5 【详解】（1）解：，理由如下：，， ，，， 又，，， ，； （2）解：，理由如下：，， ，，， 又，，，， ；故答案为：； （3）解：分两种情况：当直线绕点旋转到图1的位置时， ，，，，， 又，，， ，； 当直线绕点旋转到图2的位置时，由（1）知；故答案为：11或5． 15．（24-25八年级上·海南海口·期末）探究题：（1）问题发现：在中，，直线经过点，且于，于． ①当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出之间的等量关系．（不用证明） ②当直线绕点旋转到图2的位置时，之间的等量关系是否发生变化？若发生变化，请写出结论并证明，若无变化，请说明理由． （2）拓展探究：如图3：，求的面积； （3）解决问题：如图4：在等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 【答案】（1）[问题发现]①；②发生变化，，见解析； （2）[拓展探究]；（3）[解决问题]不变， 【详解】解：（1）[问题发现]：①证明：∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． ②等量关系发生变化．． 证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，即：． （2）[拓展探究]：如图3：过点作交的延长线于点． 同法可证，∴，∴； （3）[解决问题]：不变．理由：如图，在上取一点，使得． ∵都是等边三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 16．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】（3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，，①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①见详解，②5． 【详解】解：[模型呈现]：，∴，故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，，∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ，故选：C； [深入探究] ①证明：∵，∴，， ∴，∵，∴； ②设点B到线段的距离为h，∵，的面积为1，∴，， 由①知，则∵的面积为12， ∴，故答案为：5． 17．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 【答案】(1)，；(2)见解析(3)3 【详解】（1）解：由题意可知：，∴DE，AE，故答案为：，； （2）证明：是等边三角形，，∴， ，， 又，∴，； （3）解：，，， ，， 又，∴，，， ，故答案为：． 18．（24-25八年级上·重庆·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．          (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)不成立，见解析 【详解】（1）证明：直线直线，．． ，．． 在和中， ．． （2）成立．证明：， 在和中，． ．． （3）不成立．理由：，． ，． 在和中，． ．． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25八年级上·山西长治·期末）如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 例2（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______。(2)若，试说明． 例3（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）（1）如图①，已知：中，，直线m经过点A，于D，于E，猜想：_______； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问第一问猜想是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 例4（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图（1），已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线 m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请直接写出线段和之间的数量关系． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，若，试证明． 例5（24-25八年级上·浙江·期中）（1）【问题发现】如图1，在与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ． （2）【问题提出】如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】如图3，四边形中，面积为14且的长为7 ， 求的面积．    模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，垂足分别为D，E，，求的长． 例2（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 例3（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm．（2）探索证明：如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长度． 4．（24-25七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ； (2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． (3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：；②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）（1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 6．（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 8．（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知:如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．（1）填空：________．（填“”“”或“”）（2）求证：．（3）试说明：． 拓展应用:（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 9．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】（2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】（3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    10．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想（1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究（2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（  ）；（请填写全等判定的方法） （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为____________． （4）拓展应用：如图4，中，，，将绕点顺时针旋转90°，得，连接，则的面积为____________． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）爱动脑筋的小华同学提出问题，当直线旋转到如图2位置时，（1）中的结论是否发生改变？请你帮助小华解决问题．如果改变，请写出你的结论并说明理由． （3）经过小华的提问，琪琪也提出新的想法：如图3，将（1）中的条件改为：“在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？”请你解决琪琪提出的问题．如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 13．（24-25七年级上·山东烟台·期中）阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，．∴． 在和中，，∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：    (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 14．（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）在中，，，直线绕点旋转，过点A作于，过点作于．当直线绕点旋转到图1的位置时，易证．   　　  　　   (1)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？并加以证明． (2)当直线绕点旋转到图3的位置时，，，数量关系是________（直接写出结果） (3)如果，，则________．（直接写出结果） 15．（24-25八年级上·海南海口·期末）探究题：（1）问题发现：在中，，直线经过点，且于，于． ①当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出之间的等量关系．（不用证明） ②当直线绕点旋转到图2的位置时，之间的等量关系是否发生变化？若发生变化，请写出结论并证明，若无变化，请说明理由． （2）拓展探究：如图3：，求的面积； （3）解决问题：如图4：在等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 16．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】（3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，，①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 17．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 18．（24-25八年级上·重庆·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．          (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $