专题24.5 解直角三角形的应用（举一反三讲义）数学华东师大版九年级上册

专题24.5 解直角三角形的应用（举一反三讲义） 【华东师大版】 【题型1 仰角俯角问题】 2 【题型2 方向角问题】 4 【题型3 坡度坡角问题】 5 【题型4 实物建模问题】 7 【题型5 物理实验问题】 9 【题型6 方案设计问题】 11 【题型7 临界值问题】 14 【题型8 其它问题】 16 知识点 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【题型1 仰角俯角问题】 【例1】2025·贵州遵义·二模）2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到点处测得正前方点处的俯角为．求海底点处距离海面的深度（结果精确到个位，参考数据：）． 【变式1-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门的高度（垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点处，在此处测得汝南北城门顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行m到达点，此时测得妆南北城门底端的俯角为，若在同一平面内，求汝南北城门的高度．（结果精确到m参考数据：） 【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑．小刚想测量纪念碑的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是米．若小刚站在水平地面处用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为，径直向后退6米到处，又用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为． (1)请你帮助小刚在图2上补全他设计的测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）； (2)根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【变式1-3】（2025·陕西西安·模拟预测）陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下： 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角为测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，.求塑像的高度.平面镜大小忽略不计，参考数据：，， 【题型2 方向角问题】 【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． (1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； (2)求体育馆到淇淇家的直线距离； (3)若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 【变式2-1】（2025·河南信阳·三模）我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东 方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东 方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据： 【变式2-2】（2025·重庆·模拟预测）2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场，对面就是朝天门，小明同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的点或者弹子石的点观看演出．小明根据所学知识画了如图所示的方位图，为朝天门，为春晚主舞台所在地弹子石广场，在的北偏东方向，在的东南方向的1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向的米处，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） (1)求，两地间的距离； (2)小明查资料得知，当观看地点到，的距离之和越小，观看效果越佳，请通过计算说明小明应在，两处中选择哪一处观看？ 【变式2-3】（2025·重庆·模拟预测）周末，小智和小慧去参加户外趣味闯关活动，如图是活动场地图，共有两条赛道，出发点均为A，终点在出发点A的正北方向，赛道1的任务点在出发点A的西北方向 米处，终点在任务点的北偏东方向；赛道2的任务点在出发点的北偏东方向，终点在任务点的西北方向．（参考数据： (1)求出发点A与终点C之间的距离；（结果精确到个位） (2)小智选择赛道1且以每秒2米的速度从出发点到达任务点，做任务花费2分钟，然后以原速前往终点，小慧选择赛道2且以每秒3米的速度从出发点到达任务点，做任务花费3分20秒后以原速前往终点，请你通过计算，判断谁先到达终点 ． 【题型3 坡度坡角问题】 【例3】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 【变式3-1】（2025·山西吕梁·三模）2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 【变式3-2】（2025·山西晋城·三模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构.小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点C，于点B，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架的高度．（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【变式3-3】（2025·江西上饶·模拟预测）滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． (1)求斜坡的高度； (2)求滕王阁的高度． 【题型4 实物建模问题】 【例4】（2025·广西梧州·三模）如图，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其示意图如图所示（栏杆宽度忽略不计），其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高的高度为 ．（结果精确到）（参考数据：，，） 【变式4-1】（2025·河北邯郸·三模）如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． (1)求起钉时的大小； (2)求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 【变式4-2】（2025·江苏盐城·三模）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ (1)的度数 (2)点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【变式4-3】（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 【题型5 物理实验问题】 【例5】（24-25九年级上·福建莆田·期中）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【变式5-1】（2025·辽宁抚顺·三模）物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放的镜框是否稳固，与桌面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关．角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险．角度过大，镜框易倾倒．经过多次实验，发现在图1中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在至之间较为稳固．图中镜框长5分米，靠在竖直的墙上． (1)等于3分米时镜框是否较为稳固？请说明理由； (2)保证镜框较为稳固时，求出的可调节范围（最大值与最小值的差）大约是多少分米？（结果精确到0.1分米）． （参考数据：，，，） （参考知识：当，随的增大而增大，随的增大而减小） 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁·期末）在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度．如图一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车．若该人水平向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为．将按照题干所述方式分解为和，与绳和地面的位置关系如图所示．若，绳子与水平方向成角为． (1)求绳子运动的速度和的大小； (2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为，绳子由滑轮到人的距离为，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度．（参考数据：，，） 【变式5-3】（2025·内蒙古·模拟预测）无动力帆船是借助风力前行的，如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力P为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被能的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 （单位：N）（参考数据：，） 【题型6 方案设计问题】 【例6】（2025·湖南·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 【变式6-1】（2025·贵州遵义·二模）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 【变式6-2】（2025·海南海口·三模）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图       说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据回答以下问题： (1)______°，______°； (2)计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【变式6-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）综合与实践 某校致学社团的同学们想要利用所学的知识测量一棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点C，D在点B的正西方向． 是银杏树旁的房屋． 是银杏树正西方向的指路牌，借助进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方． 测量数据 ，，． ，． ， ， ． (1)第________小组的数据无法计算出银杏树的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【题型7 临界值问题】 【例7】（2025·江苏·二模）随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，）． 【变式7-1】（2025·吉林四平·模拟预测）如图是某电脑显示器示意图，由显示屏（矩形）和支架组成，显示屏对角线的中点O固定在支架直杆的一端，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知，．为避免在旋转过程中显示屏与支架平台发生磕碰，求支架直杆的最小值（结果精确到1cm，参考数据：，，）． 【变式7-2】如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图2，长度厘米，厘米，是上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，与地面成角，，椅背与水平线成角，其中是躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于 (1)若点恰好是的黄金分割点，人躺在上面才会比较舒适，求此时点与地面的距离．（结果精确到1厘米） (2)午休结束后，老师会把和伸缩支架收起紧贴，在（1）的条件下，求伸缩支架可达到的最大值．（结果精确到1厘米）（参考数据：，， 【变式7-3】（2025·山西·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，） 【题型8 其它问题】 【例8】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 【变式8-1】（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 【变式8-2】汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE=43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB=1.6m，求盲区中DE的长度．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） 【变式8-3】（24-25九年级上·上海·期中）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.5 解直角三角形的应用（举一反三讲义） 【华东师大版】 【题型1 仰角俯角问题】 2 【题型2 方向角问题】 7 【题型3 坡度坡角问题】 14 【题型4 实物建模问题】 20 【题型5 物理实验问题】 25 【题型6 方案设计问题】 31 【题型7 临界值问题】 38 【题型8 其它问题】 44 知识点 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【题型1 仰角俯角问题】 【例1】（2025·贵州遵义·二模）2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面下500米点处测得俯角为正前方的海底点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到点处测得正前方点处的俯角为．求海底点处距离海面的深度（结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】海底点处距离海面的深度约为2191米． 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，先过点作，垂足为，延长交于，整理得米，把数值代入进行计算，得，则（米），即可作答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于， 设米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 即， ∴， ∵米， ∴（米）， 答：海底点处距离海面的深度约为2191米． 【变式1-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门的高度（垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点处，在此处测得汝南北城门顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行m到达点，此时测得妆南北城门底端的俯角为，若在同一平面内，求汝南北城门的高度．（结果精确到m参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识点，能构造直角三角形求解是解题的关键； 延长交延长线于C，先证明，然后在中，利用求出的长，再求的长即可． 【详解】如图，延长交延长线于C， 由题知，，，，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 答：汝南北城门的高度约为． 【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑．小刚想测量纪念碑的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是米．若小刚站在水平地面处用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为，径直向后退6米到处，又用测角仪测得纪念碑顶端的仰角为． (1)请你帮助小刚在图2上补全他设计的测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）； (2)根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)纪念碑的高度大约是30米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，补全图形即可； （2）设米，分别解和，求出的值，利用线段的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，补全图形如图所示： （2）据题意，米，米． 设米， 在中，， ． 在中，， 解得，，符合题意． （米） 答：纪念碑的高度大约是30米． 【变式1-3】（2025·陕西西安·模拟预测）陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下： 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角为测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，.求塑像的高度.平面镜大小忽略不计，参考数据：，， 【答案】塑像的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用． 过点G作，垂足为H，根据题意可得：，米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而可证∽，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点G作，垂足为H， 由题意得：，米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 米， ，， ， ∽， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 米， 塑像的高度约为米． 【题型2 方向角问题】 【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． (1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； (2)求体育馆到淇淇家的直线距离； (3)若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，方位角，解题的关键是熟练掌握方位角定义和三角形函数定义． （1）根据题意画出图形即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，则，根据三角形函数定义解直角三角形，结合勾股定理求出结果即可； （3）根据时间路程速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：画出示意图如图1． （2）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于点，则， ，， ，， 体育馆到淇淇家的直线距离约为． （3）解：淇淇全程所用的时长为： ． 【变式2-1】（2025·河南信阳·三模）我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东 方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东 方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据： 【答案】河流的宽度约为45米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和三角函数是解题的关键．延长交直线于点．设米，得到米，米，由米得到米，列方程即可求出答案． 【详解】解：延长交直线于点． 由题意得：米，直线． 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， 米， 即． 解得， （米）． 答：河流的宽度约为45米． 【变式2-2】（2025·重庆·模拟预测）2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场，对面就是朝天门，小明同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的点或者弹子石的点观看演出．小明根据所学知识画了如图所示的方位图，为朝天门，为春晚主舞台所在地弹子石广场，在的北偏东方向，在的东南方向的1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向的米处，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） (1)求，两地间的距离； (2)小明查资料得知，当观看地点到，的距离之和越小，观看效果越佳，请通过计算说明小明应在，两处中选择哪一处观看？ 【答案】(1)，两地间的距离约为1638米 (2)应选择地观看演出，详见解析 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是构造直角三角形，并利用锐角三角函数求解． （1）过点作于点，分别利用锐角三角函数和直角三角形的性质求出的长度即可； （2）过点作于点，分别求出地与地到，两地的距离之和，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在的北偏东方向，在的东南方向， ． 在的东南方向，在的北偏东方向， ， ，． 米， 米，米． ，， 是等腰直角三角形， 米， （米）， 答：，两地间的距离约为1638米； （2）解：如图，过点作于点． 由（1）可知米，是等腰直角三角形， 米， 地到，两地的距离之和为 （米）． 由题意得， 为等腰直角三角形． 米， 米， ， ， 在中，，米． ，在的北偏西方向的米处， ， 是直角三角形， 米， 地到，两地的距离之和为 （米）， ， 应选择地观看演出． 【变式2-3】（2025·重庆·模拟预测）周末，小智和小慧去参加户外趣味闯关活动，如图是活动场地图，共有两条赛道，出发点均为A，终点在出发点A的正北方向，赛道1的任务点在出发点A的西北方向 米处，终点在任务点的北偏东方向；赛道2的任务点在出发点的北偏东方向，终点在任务点的西北方向．（参考数据： (1)求出发点A与终点C之间的距离；（结果精确到个位） (2)小智选择赛道1且以每秒2米的速度从出发点到达任务点，做任务花费2分钟，然后以原速前往终点，小慧选择赛道2且以每秒3米的速度从出发点到达任务点，做任务花费3分20秒后以原速前往终点，请你通过计算，判断谁先到达终点 ． 【答案】(1)出发点与终点C之间的距离约为473米 (2)小慧先到达终点 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是关键． （1）根据题意运用解直角三角形的计算得到米，（米），结合图形即可求解； （2）根据解直角三角形的计算得到的值，算出小慧的时间，再算出小智的时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：如答图，终点在出发点A的正北方向，连接 过点作于点， ， 由题意可知， ，， 在中,，， ∴米， 在中，（米）， （米）， 答：出发点与终点之间的距离约为473米； （2）解：小慧活动过程：如答图，过点 作于点F， ∵点在点的西北方向， ∴ ∵ ， ，点在的北偏东方向， ∴ ， ∴， 由（1）得 米， 在中，米， 在中， 米， ∴ 米， 米， ∴（米）， ∴小慧用时 （秒）， 小智活动过程：由（1）知、 米，在中， （米）， ∴， ∴小智用时 （秒）， ∵秒 秒.：小慧先到达终点， 答：小慧先到达终点． 【题型3 坡度坡角问题】 【例3】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 【答案】（1）A，B之间的距离要大于5米；（2）平台EF的最大长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，过点作交于点，可得，再解即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，即得，由坡度的定义得米，解得米，进而求出即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 【变式3-1】（2025·山西吕梁·三模）2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 【答案】25米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的性质得到，，利用求出，求出x的值，最后根据含30度角的直角三角形特征求出结果． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 则四边形为矩形． ，． 设． 在中，，． ． ． 在中， ，． ， ． ， ． 解，得． 在中， ，， （米）． 答：背水坡的长为25米． 【变式3-2】（2025·山西晋城·三模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构.小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点C，于点B，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架的高度．（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】15.7米 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质、仰角俯角、坡度等解直角三角形的应用等知识，过点作于点，由于点，于点，如图所示，则四边形为矩形，由坡度问题、俯角仰角解直角三角形即可得到答案．读懂题意，数形结合，构造直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，由于点，于点，如图所示： 则四边形为矩形， ，， 斜坡的坡度为，且米， ， 当米时，则米， 设米， 在中，，，则， 即， ， ， 在中，，则， ， 解得， 答：信号钢支架的高度约为15.7米． 【变式3-3】（2025·江西上饶·模拟预测）滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． (1)求斜坡的高度； (2)求滕王阁的高度． 【答案】(1)6米； (2)米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用. （1）由题意得，则，在中求得，即可列出，求得； （2）过点A作，垂足为点F，则米，，在中求得，设 米，则，在中求得，在中求得，根据解，即可知． 【详解】（1）解：由题意得， ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴在中， ， ∴（米）， 答：斜坡的高度为6米； （2）解：如图，过点A作，垂足为点F， ∵由题意得 米，，在中，米， ∴（米）， 设 米， ∴米， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：滕王阁的高度为米． 【题型4 实物建模问题】 【例4】（2025·广西梧州·三模）如图，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其示意图如图所示（栏杆宽度忽略不计），其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高的高度为 ．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据题意，结合图形，在中，利用三角函数求出的长，即可得到的长，得到结果． 【详解】解：过点作于，过点作于点，如图 有， ∴四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴， 在中，米， (米) (米) 适合该地下车库的车辆限高的高度为米， 故答案为：米． 【变式4-1】（2025·河北邯郸·三模）如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． (1)求起钉时的大小； (2)求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 【答案】(1)75° (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，理解题意构造直角三角形是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，由此即可求解； （2）过点作于点，过点分别作于点，于点，在中，由余弦函数可求得的长；易得四边形为矩形，，在中，由正弦函数求得，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图，过点作于点，过点分别作于点，于点， ∴． ∵三点共线，， ∴， ∴在中，． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 答：起钉时点到底座的距离约为． 【变式4-2】（2025·江苏盐城·三模）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ (1)的度数 (2)点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 【变式4-3】（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 【答案】 / 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键．如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求出此支点O到小竹竿的距离出；如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 即点到小竹竿的距离为米； 如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可得，米，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴水桶水平移动的距离米． 故答案为：， 【题型5 物理实验问题】 【例5】（24-25九年级上·福建莆田·期中）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2） ，， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 【变式5-1】（2025·辽宁抚顺·三模）物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放的镜框是否稳固，与桌面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关．角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险．角度过大，镜框易倾倒．经过多次实验，发现在图1中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在至之间较为稳固．图中镜框长5分米，靠在竖直的墙上． (1)等于3分米时镜框是否较为稳固？请说明理由； (2)保证镜框较为稳固时，求出的可调节范围（最大值与最小值的差）大约是多少分米？（结果精确到0.1分米）． （参考数据：，，，） （参考知识：当，随的增大而增大，随的增大而减小） 【答案】(1)等于3分米时镜框不稳固，理由见解析 (2)镜框较为稳固时的可调节范围约为1.2分米 【分析】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． （1）在中，，由，，可得， 镜框此时不稳固．再求解即可； （2）分为当时及当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：分米时，不稳固．理由如下： 在中， ∵， ∵， ∴， ∴镜框此时不稳固． 答：等于3分米时镜框不稳固； （2）解：当时，在中（分米）， 当时，（分米）， （分米）， 答：镜框较为稳固时的可调节范围约为1.2分米． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁·期末）在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度．如图一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车．若该人水平向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为．将按照题干所述方式分解为和，与绳和地面的位置关系如图所示．若，绳子与水平方向成角为． (1)求绳子运动的速度和的大小； (2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为，绳子由滑轮到人的距离为，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)绳子的速度为， (2)绳子长度为 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的性质． （1）以，，，标记矩形的四个顶点，由题意可得：，，，，，根据，，即可求解； （2）延长交墙壁于．设绳子与滑轮的切点为，由题意得：，，，根据求出，再根据绳子长度为，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，以，，，标记矩形的四个顶点． ，，，，． 在中，，， ． 在中，，， ， 绳子的速度为，； （2）延长交墙壁于．设绳子与滑轮的切点为． 由题意得：，，， 在中， ， ． ． 答：绳子长度为． 【变式5-3】（2025·内蒙古·模拟预测）无动力帆船是借助风力前行的，如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力P为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被能的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 （单位：N）（参考数据：，） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出，在中，根据即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵为，为， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可知， ， ∴， ∴ 在中，，， ∴， 故答案为：． 【题型6 方案设计问题】 【例6】（2025·湖南·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 【答案】米． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键；选择方案一：设米，在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长；选择方案二：设米，在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 【详解】解：选择方案一，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 选择方案二，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 【变式6-1】（2025·贵州遵义·二模）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）先证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出答案即可； （2）过点F作于点，于点，证明，得出，设，则，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， 故． （2）解：过点F作于点，于点， 则四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴，． ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 故水平距离． 【变式6-2】（2025·海南海口·三模）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图       说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据回答以下问题： (1)______°，______°； (2)计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)22，35 (2) 【分析】本题主要考查了对顶角，利用锐角三角函数解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和锐角三角函数解直角三角形的步骤． （1）利用对顶角的性质求解即可； （2）过点A作于点F，利用锐角三角函数求出，再利用锐角三角函数求出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与是对顶角， ； ∵与是对顶角， ； 故答案为：22，35； （2）解：过点A作于点F，    在中，，， 即， 在中，，， 即， ∴， 解得． 答：新生物A处到皮肤的距离为． 【变式6-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）综合与实践 某校致学社团的同学们想要利用所学的知识测量一棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表． 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点C，D在点B的正西方向． 是银杏树旁的房屋． 是银杏树正西方向的指路牌，借助进行测量，使P，E，A三点在一条直线上，点P，F在点B的正西方． 测量数据 ，，． ，． ， ， ． (1)第________小组的数据无法计算出银杏树的高度； (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)二 (2)银杏树的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键是利用三角函数关系，结合已知角度和边长，建立方程求解银杏树高度． （1）判断小组数据能否计算高度，需看是否能利用已知角度，结合直角三角形边角关系（三角函数）求解，第二小组仅知两个角，缺边长数据，无法建立计算关系，故第二组无法计算． （2）选第一小组（或第三小组），利用直角三角形中，和角的三角函数关系，设银杏树高为，表示出相关线段长度，再根据建立方程，求解得出高度． 【详解】（1）解：由测量数据可知，第一小组和第三小组均可以计算出银杏树的高度， 第二小组仅给出，，还需要测量出一条边的数据，才可以计算出银杏树的高度． 故答案为：二． （2）①选择第一小组 由题意可知：，， ∴， 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得 答：银杏树的高度约为 ②选择第三小组． 由题意可知：，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设，则． ∴， ∴， 解得． 答：银杏树的高度约为． 【题型7 临界值问题】 【例7】（2025·江苏·二模）随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，）． 【答案】(1)米 (2)①；②2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； （2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 【变式7-1】（2025·吉林四平·模拟预测）如图是某电脑显示器示意图，由显示屏（矩形）和支架组成，显示屏对角线的中点O固定在支架直杆的一端，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知，．为避免在旋转过程中显示屏与支架平台发生磕碰，求支架直杆的最小值（结果精确到1cm，参考数据：，，）． 【答案】支架直杆的最小值约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据余弦的定义求出，根据线段中点的定义求出，然后根据当时，旋转过程中显示屏与支架平台刚好不发生磕碰求解即可． 【详解】解：在中，∵，． ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴当时，旋转过程中显示屏与支架平台刚好不发生磕碰， ∴支架直杆的最小值约为． 【变式7-2】如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图2，长度厘米，厘米，是上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，与地面成角，，椅背与水平线成角，其中是躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于 (1)若点恰好是的黄金分割点，人躺在上面才会比较舒适，求此时点与地面的距离．（结果精确到1厘米） (2)午休结束后，老师会把和伸缩支架收起紧贴，在（1）的条件下，求伸缩支架可达到的最大值．（结果精确到1厘米）（参考数据：，， 【答案】(1)此时点与地面的距离约为71厘米 (2)伸缩支架可达到的最大值约为70厘米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据点B恰好是的黄金分割点，算出的长度，再由、，即可求得的长度； （2）由物理力学知识能够知道，在此范围内正弦函数单调递增，由此可得知当时，最长，借助特殊角的三角函数值即可得出结论． 【详解】（1）解：点是的黄金分割点， ，， 厘米， 厘米， 厘米． 答：此时点与地面的距离约为71厘米． （2）解：，且（物理力学知识得知）， 在其取值范围内为单调递增函数， 又， 当接近时，最大，此时厘米． 答：伸缩支架可达到的最大值约为70厘米 【变式7-3】（2025·山西·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，以及轴对称的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接交于点，过点作于点，过点作于点．由轴对称的性质可得，求出，在Rt中，求出，在中，求出，根据求出，然后根据三点共线时，取得最小值即可求解． 【详解】解：如答图，连接交于点，过点作于点，过点作于点． 由题意可知四边形和四边形是矩形． ． 由轴对称的性质可得． ， ． ． ， ， ． 在Rt中，， ． 在中，， ． ， ． 解得． ． 当点运动到点处时， 即三点共线时，取得最小值， 即 ． 答：连杆的最小值是． 【题型8 其它问题】 【例8】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 【答案】（1）A，B之间的距离要大于5米；（2）平台EF的最大长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，过点作交于点，可得，再解即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，即得，由坡度的定义得米，解得米，进而求出即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 【变式8-1】（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用正方形的性质和三角函数来求解线段长度． 根据正方形与正方形的面积相等，得到，由于，证明四边形是平行四边形，得到，，作 于点，在中，根据三角函数的定义，求得，从而计算出的长度． 【详解】解：正方形与正方形的面积相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 作 于点，则， 在中， ， ， 解得， 【变式8-2】汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE=43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB=1.6m，求盲区中DE的长度．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） 【答案】盲区中DE的长度为2.8m 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出四边形ACDF是矩形，在Rt△ACB中，求出AC的长，根据矩形性质求出DF的长，进而在Rt△DEF中，正切值求出DE的长度． 【详解】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB， ∴DF∥AC， ∵AF∥EB， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵∠ACD=90° ∴四边形ACDF是矩形， ∴DF=AC． 在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°， ∴AC=AB•sin43°≈1．6×0．7=1.12（m）， ∴DF=AC=1.12（m）， 在Rt△DEF中， ∵∠FDE=90°， ∴tan∠E=， ∴DE≈=2.8（m）． 答：盲区中DE的长度为2.8m． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定和解直角三角形的实际应用，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键． 【变式8-3】（24-25九年级上·上海·期中）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 【答案】(1)78.6米 (2)买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即，楼高米，窗台米，作于E，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）根据题意，分别算出在B、C两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：    为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 窗台米， 作于E，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于H，于N，    则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， ∵楼一层每平方米4万8，每增加一层单价增高0.2万元， ∴在B栋购买所花的费用为（万元）， ∵楼一层每平方米5万，每增加一层单价也增高0.2万元， ∴在C栋购买所花的费用为（万元）， ∵， ∴买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $