专题07 数字类及图形类规律探索5大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题07 数字类及图形类规律探索 题型1 数字类规律探索——排列问题 题型4 数字类规律探索——等式问题 题型2 数字类规律探索——个位数问题 题型5 图形类规律探索 题型3 数字类规律探索——新运算问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 数字类规律探索——排列问题 1．观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ 设x、y、z分别为第①②③行的第99个数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．2 2．观察下列关于自然数的式子：①；②；③…，根据上述规律，则第2021个式子的值是（   ） A．8084 B．8085 C． D． 3．已知，，，，，……，，则 ． 4．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为 ．  5．观察下面一列数：1，，2，，1，3，，，，4，，，1，2，5，，…（已写出了第1至第16个数） (1)第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； (2)按此规律，第30个数是 ； (3)在上面这列数中，从左起第m个数记为，当时，求m的值． 题型2 数字类规律探索——个位数问题 6．观察下列算式：，…，根据上述算式中的规律，推测的个位数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 8．观察下列等式：，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 9．用表示（n个7相乘）结果的个位数字，如：，，，则 ． 10．发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 题型3 数字类规律探索——新运算问题 11．定义一种关于的运算：①当是奇数时，结果为；②为偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数）；运算重复进行，正整数表示运算次数，则（   ） A．62 B．49 C．31 D．19 12．定义新运算：规定下图中每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是 ． 13．下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 14．定义新运算：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算（    ） A． B． C． D． 15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…；（2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2022 D．2023 16．将100按“加15，减12，加3，加15，减12，加3，．．．”的顺序不断重复运算，运算26步后，得到的结果是 （1步指每“加”或“减”一个数） 题型4 数字类规律探索——等式问题 17．观察等式：，，，若，用含的式子表示，结果是（   ） A． B． C． D． 18．观察下列等式： 第 1 层： 第 2 层： 第 3 层： 第 4 层： … 按照上述规律，第层左边第一个数是（ 　） A． B． C． D． 19．观察下列等式：，，，，……，按以上规律写出了，则（    ） A． B． C． D． 20．已知等式：，，，…，（，均为正整数），则 ． 21．观察 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 发现仿照以上规律，请你写出： (1)第6个等式：___________； (2)第13个等式：___________． (3)概括写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示） 题型5 图形类规律探索 22．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，用同样规格的黑白正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为 块，当白色瓷砖为（n为正整数）块时，黑色瓷砖为 块． 24．如图是用棋子摆成的“”字形，第1个图中有5枚棋子，第2个图中有8枚棋子，第3个图中有枚棋子，按照这样的规律继续摆放，第5个图中有( )枚棋子，第个图中有( )枚棋子． 25．用边长分别为1、2、3、5的正方形拼成如下图的长方形，按下面的规律依次记作长方形①、长方形②、长方形③、长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，长方形⑧的周长应该为 ． 26．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 27．如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 … (2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 28．每年春节前夕，重庆市中山古镇老街居民都将在千米长街上大摆百家宴，吸引众多游客慕名前来，共享团圆宴．百家宴用的桌子都是一样的，一张桌子可坐6人，有如图所示两种摆放方式． (1)若有8张这样的桌子，两种摆放方式各能坐多少人？ (2)当有张这样的桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？ (3)若有若干名游客预约了今年除夕这天的午餐，由于人数较多，古镇老街百家宴组委会决定分批接待这些游客，现已备好480张这样的餐桌，若一批想要同时接待2000位游客共同就餐，组委会备好的这些餐桌够用吗？如果够用，请说明理由；如果不够用，请计算说明至少还需要准备多少张这样的餐桌？ $专题07 数字类及图形类规律探索 题型1 数字类规律探索——排列问题 题型4 数字类规律探索——等式问题 题型2 数字类规律探索——个位数问题 题型5 图形类规律探索 题型3 数字类规律探索——新运算问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 数字类规律探索——排列问题 1．观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ 设x、y、z分别为第①②③行的第99个数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第99个数是，第二行数据的第99个数是，第三行数据的第99个数是， ， 故选：A． 2．观察下列关于自然数的式子：①；②；③…，根据上述规律，则第2021个式子的值是（   ） A．8084 B．8085 C． D． 【答案】D 【详解】解：第①个式子：． 第②个式子：． 第③个式子：． 由此可得，第n个式子为： ． 当时， ． 因此，第2021个式子的值为． 应选项：D． 3．已知，，，，，……，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，，， ∴每2个一循环， ， ， 故答案为． 4．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为 ．  【答案】 【详解】解：由题可知，第一次输出，  第二次输出，  第三次输出，  第四次输出，  第五次输出，  第六次输出，  第七次输出，  第八次输出，    ……，  由此可得，从第二次开始，每三次一个循环，  余，  第次输出结果与第次输出结果一样，  第次输出的结果为，  故答案为： 5．观察下面一列数：1，，2，，1，3，，，，4，，，1，2，5，，…（已写出了第1至第16个数） (1)第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； (2)按此规律，第30个数是 ； (3)在上面这列数中，从左起第m个数记为，当时，求m的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【详解】（1）解：； ； 故答案为：1，； （2）解：由题意，原数据可写成：， 即分子分母和为2的数有1个，和为3的数有2个，和为4的数有3个，每个组合中分子从1开始逐渐增大，分母逐渐减小至1， 故分子分母和为的数有个，分母从开始逐渐减小至1，分子从1开始逐渐增大到， ∵， ∴第29个数开始，分子分母的和为9，且第一个数为， ∴第30个数为； （3）解：由（2）可知：所在的组合的数的分子分母的和为，前一个组合中的数的分子分母的和为2028，共有2027个数， 故． 题型2 数字类规律探索——个位数问题 6．观察下列算式：，…，根据上述算式中的规律，推测的个位数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：根据给出的数据的个位数字可得，结果的个位数以2，4，8，6顺序循环，循环周期为4， ∴， ∴的个位数字是6， 故选：C． 7．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 8．观察下列等式：，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 【答案】 【详解】解：∵，，，，，…， 个位数字是，，，循环， 余， 的结果的个位数字是． 故答案为：7． 9．用表示（n个7相乘）结果的个位数字，如：，，，则 ． 【答案】10067 【详解】解：，，，，，，…， 的个位数以7，9，3，1四个数为一个周期， 而， ， 故答案为：10067 10．发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 题型3 数字类规律探索——新运算问题 11．定义一种关于的运算：①当是奇数时，结果为；②为偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数）；运算重复进行，正整数表示运算次数，则（   ） A．62 B．49 C．31 D．19 【答案】A 【详解】解：∵定义一种关于的运算：当是奇数时，结果为； ∴第1次运算的结果为， ∵为偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数）；运算重复进行，正整数表示运算次数， ∴第2次运算的结果为， 第3次运算的结果为， 第4次运算的结果为， 第5次运算的结果为， 第6次运算的结果为， 第7次运算的结果为， ……， 以此类推可知，从第1次运算开始，每6次运算为一个循环，运算的结果依次为， ∵， 即循环三次，第19次的运算结果与第1次的运算结果相等，即为62， 故， 故选：A． 12．定义新运算：规定下图中每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和相等， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 13．下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 14．定义新运算：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”．已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴ ， 故选：D． 15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…；（2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2022 D．2023 【答案】D 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴； 故选D． 16．将100按“加15，减12，加3，加15，减12，加3，．．．”的顺序不断重复运算，运算26步后，得到的结果是 （1步指每“加”或“减”一个数） 【答案】151 【详解】解：每一个计算周期运算3步，增加：， 则， 所以， ， 答：得到的结果是151． 故答案为：151． 题型4 数字类规律探索——等式问题 17．观察等式：，，，若，用含的式子表示，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∵ ∴ ． 故选：D． 18．观察下列等式： 第 1 层： 第 2 层： 第 3 层： 第 4 层： … 按照上述规律，第层左边第一个数是（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第 1 层左边第一个数是， 第 2 层左边第一个数是， 第 3 层左边第一个数是， … ∴第层左边第一个数是． 故选：A． 19．观察下列等式：，，，，……，按以上规律写出了，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据式子的变化规律得， ， 故选：D． 20．已知等式：，，，…，（，均为正整数），则 ． 【答案】109 【详解】解：观察已知等式： ，当时，的分母为； ，当时，的分母为； ，当时，的分母为；； ∴分母为， 等式可表示为：， 代入， ∴，， ∴． 故答案为：109． 21．观察 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 发现仿照以上规律，请你写出： (1)第6个等式：___________； (2)第13个等式：___________． (3)概括写出你猜想的第个等式：___________（用含的等式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第6个等式：； 故答案为：； （2）第13个等式：； 故答案为：； （3）猜想的第个等式：， 左边右边， 故等式成立． 故答案为：． 题型5 图形类规律探索 22．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、13不是正方形数，不合题意； B、9和16不是三角形数，不合题意； C、， 两个三角形的数分别是：；； 故C符合题意； D、18和31不是三角形数，不合题意； 故选：C． 23．如图，用同样规格的黑白正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为 块，当白色瓷砖为（n为正整数）块时，黑色瓷砖为 块． 【答案】 16 或 【详解】解：观察图形可知，黑色瓷砖围绕在白色瓷砖组成的正方形四周．设当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖组成的正方形的边长为n． 此时黑色瓷砖的数量可表示为， 已知黑色瓷砖为20块，列方程得： ． 解得：， 因为白色瓷砖组成的是边长为的正方形， 所以白色瓷砖数量为块． 当白色瓷砖为块时，白色瓷砖组成的正方形的边长为． 此时整个大正方形的边长为，那么大正方形瓷砖的总数为块． 黑色瓷砖的数量等于大正方形瓷砖总数减去白色瓷砖数量，即． 展开： ， 综上，当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为16块；当白色瓷砖为（为正整数）块时，黑色瓷砖为或块． 故答案为：16，或． 24．如图是用棋子摆成的“”字形，第1个图中有5枚棋子，第2个图中有8枚棋子，第3个图中有枚棋子，按照这样的规律继续摆放，第5个图中有( )枚棋子，第个图中有( )枚棋子． 【答案】 【详解】解：由题可得： 第1个图中，有5枚棋子， 第2个图中，有8枚棋子， 第3个图中，有枚棋子， 第个图中，有枚棋子， ∴第5个图中有枚棋子，第个图中，有枚棋子． 故答案为：，． 25．用边长分别为1、2、3、5的正方形拼成如下图的长方形，按下面的规律依次记作长方形①、长方形②、长方形③、长方形④．若继续选取适当的正方形拼成长方形，那么按此规律，长方形⑧的周长应该为 ． 【答案】178 【详解】解：观察可知，长方形①的周长为； 长方形②的周长为； 长方形③的周长为； 长方形④的周长为； 故第个长方形的宽为第个长方形的长，第个长方形的长为第个长方形的长和宽的和； 故长方形⑤的周长为； 故长方形⑥的周长为； 故长方形⑦的周长为； 故长方形⑧的周长为； 故答案为：178． 26．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①，② 【详解】解：（1）由图片知： 第1个图案所代表的算式为： ， 第 2 个图案所代表的算式为： ； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； 依此类推：第5个图案所代表的算式为： 故答案为：． （2）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； 当 、4 时分别为： 、； 故当 ， 即 时， （3）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； （4）①； ② 27．如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 … (2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 【答案】(1)13，17, (2)不能，理由见详解 【详解】（1）解：根据题干分析可得：第1次划分，得出个正方形； 第2次划分，根据图形得出共有个正方形； 第3次划分，根据图形得出共有个正方形； 第4次划分，根据图形得出共有个正方形， …… 以此类推：写成第n次划分，得出共有个正方形； 即填表如下： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 13 17 … （2）解：不能得到103个正方形，理由如下： 由（1）得第n次划分，得出共有个正方形； ∴令，则不是整数，故舍去； ∴不能得到个正方形． 28．每年春节前夕，重庆市中山古镇老街居民都将在千米长街上大摆百家宴，吸引众多游客慕名前来，共享团圆宴．百家宴用的桌子都是一样的，一张桌子可坐6人，有如图所示两种摆放方式． (1)若有8张这样的桌子，两种摆放方式各能坐多少人？ (2)当有张这样的桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？ (3)若有若干名游客预约了今年除夕这天的午餐，由于人数较多，古镇老街百家宴组委会决定分批接待这些游客，现已备好480张这样的餐桌，若一批想要同时接待2000位游客共同就餐，组委会备好的这些餐桌够用吗？如果够用，请说明理由；如果不够用，请计算说明至少还需要准备多少张这样的餐桌？ 【答案】(1)第一种人，第二种20人 (2)第一种人，第二种人 (3)不够用，至少还需要准备这样的餐桌20张． 【详解】（1）解：第一种摆放方式可坐人数为：（人）； 第二种摆放方式可坐人数为：（人）； （2）解：第一种摆放方式可坐人数为：（人）； 第二种摆放方式可坐人数为：（人）； （3）解：当时， 第一种摆放方式可坐人数为（人）； 第二种摆放方式可坐人数为：（人）； 因为， 所以无论选用哪一种摆放方式，餐桌都不够用． ． 答：至少还需要准备这样的餐桌20张． $