专题05 期中真题百练通关（111题13大压轴题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题05 期中真题百练压轴题通关（111题13大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 实数综合之被整除类题型 题型9 乘法公式在最值中的应用 题型2 整式的乘除之杨辉三角 题型10 全等三角形的判定综合压轴题 题型3 乘法公式在几何中的应用 题型11 全等三角形中动点问题解答题轴题 题型4 整式的乘除中新定义类问题 题型12 全等三角形中探究类问题 题型5 全等三角形中多结论问题 题型13全等三角形中实践类问题 题型6 全等三角形中最值问题 题型7 全等三角形中双空类问题 题型8 全等三角形中动点问题 题型一 实数综合之被整除类题型（共8小题） 1．(24-25八上·重庆第十八中学·期中)若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，，则称这个四位数为“海纳百川数”，例如：四位数9527，因为，所以9527不是“海纳百川数”；又如：四位数4326，因为，，所以4326是“海纳百川数”．若是最小的“海纳百川数”，则这个数为 ，若是“海纳百川数”，将的千位去掉，再将百位与十位数字对调后，得到一个三位数记为，记，，若能被3整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 2135 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用． 根据“海纳百川数”的定义可得，，即，，再根据确定的最小值及d的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“海纳百川数”的定义，得出，再由能被3整除可知能被3整除，理一步计算即可得到的最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是最小的“海纳百川数”， ∴，， ∵且四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴的最小值为3，则， ∴最小的“海纳百川数”为2135； 由题意得，， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整除， ∵一定能被3整除， ∴能被3整除，即能被3整除， ∴或6或9， 即的值为2或5或8， 当时，，组合为，或，， ∴或； 当时，， 组合为，或，或，或，， ∴或或或； 当时，， 组合为，或，或，或，， ∴或或或； 综上，满足条件的的最大值为，且， 故答案为：2135；． 2．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则 ；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据题意可得四位数A的千位数字为，十位数字为，当时，四位数的百位数字为，此时不是“长久数”，则，进而可得，解得，则四位数即为，；分当时，B的千位数字为a，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当时， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，两种情况求出对应的、，，进而表示出，再根据是整数，且能被10整除推出b与c的关系式，据此讨论求解即可． 【详解】解： ，，， 四位数的千位数字为，十位数字为， 当时，四位数的百位数字与十位数字均为， 不是“长久数”， ， 四位数的百位数字为， ， ， 四位数即为， ； 当时， ，且， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， 此时，，不符合题意； 当时，则， 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， ，， ， ， 此时为； 当时， ，(不符合题意，舍去）； 当时， 可得：，， ， ， 为； 当时， 可得：，(不符合题意，舍去)； 当时， ，且，，，， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ∵ ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， ，不符合题意； 当时，则 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， 要满足最大，则首先要满足最大， 当时，， ， ， 此时为； 当或或时，此时的值一定小于， 综上所述，的最大值即为， 故答案为：；． 3．24-25八上·重庆巴川中学校·期中)如果一个四位数M满足各个数位的数字互不相同且均不为0，千位数字与百位数字之和为5，十位数字与个位数字之差为1，那么称这个四位数M为“五一数”．将“五一数”M的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为N，记．例如：四位数1265，∵，1265不是“五一数”；又如：四位数1465，∵，，1465是“五一数”，．若M是最小的“五一数”，则 ；对于“五一数”，若能被11整除，记，则符合条件的的值为 ． 【答案】 1432 / 【分析】本题主要考查了代数式求值，定义新运算，根据“五一数”确定最小值即可；再表示出，然后逐个讨论得出符合题意的结果，最后根据解答即可． 【详解】解：根据“五一数”的定义可知最小的“五一数”是1432； ∵“五一数”， ∴， 则 ， 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，符合题意. 可知符合题意的是， 所以. 故答案为：1432，． 4．(24-25八上·重庆沙坪坝区重庆南开中学校·期中)一个四位自然数（各数位上的数字均不为），若个位数字与十位数字的平方和等于它千位数字与百位数字顺次组成的两位数，则称这个四位  数为“美丽平方和数”．比如：，满足，则为“美丽平方和数”；比如：，由于，则不是“美丽平方和数”．如果一个“美丽平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均为整数时，满足条件的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，由题意得，即得，得到是的整数倍，又由是整数，得是的整数倍，当取最小值时，取最小值，再分别对取值解答即可求解，理解题意的解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵是整数， ∴是的整数倍， ∵是整数， ∴是的整数倍， 当取最小值时，取最小值， 当时，或， ∴或， 当，时，，，符合题意， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为：． 5．(24-25八上·重庆松树桥中学校·期中)对于一个各数位数字均不为零的四位自然数，若千位与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，则称为“一致数”，设一个“一致数”，满足且，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记为，一个两位数，将的各数位数字之和记为，当（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”中，满足为偶数时，的值为 ，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，整式的加减，平方数，设一个“一致数”满足且，求出和，代入，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：设一个“一致数”满足且， ∴，，， 所以， ∵一个两位数，将N的各个数位数字之和记为， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，得到， 当时，，得到， ∵满足为偶数时， ∴当时a为奇数，当时a为偶数， 当时a为偶数，， ∴是3的 倍数，也是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴或， 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，，． 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，故舍去； 当时a为奇数，，由是3的 倍数可得是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴，此时，当时只有当时，则是平方数，此时，故舍去； 综上所述，． 故答案为：；． 6．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则 ，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 4 90 【分析】本题属于实数的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键． （1）根据定义，能被13整除即可，确定的范围，列举即可； （2）根据定义得到，确定，再分类讨论，一一列举即可． 【详解】解：①， 由题意得， ∴， ∴ ∵为整数， ∴能被13整除， ∴使得能被13整除，则需要能被13整除， ∵， ∴， ∴ ∴可取 ∴可取， 显然不是8的整数倍，故舍， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴可求， 即， ∴可取， 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 则，不符合题意，舍； 当，则， 则，符合题意； 当，则， 此时无符合题意的整数解，舍； 当，则， 则，不满足，舍， ∴或， ∵， ∴时，则，则， 时，则，则， ∴， 故答案为：4，90． 7．(24-25八上·重庆第十八中学·期中)若一个四位数的千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大3，则称这个四位数为“霜降数”．若其千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大5，则称这个四位数为“寒露数”，如4241是“霜降数”，6361是“寒露数”，最小的“寒露数”是 ，若M、N分别是“霜降数”、“寒露数”，且它们的个位数字均为1，M、N各数位上的数字之和分别记为和，若能被11整除，则当取得最小值时M的值是 ． 【答案】 3050 2041 【分析】本题考查了对题干“霜降数”与“寒露数”概念的理解，以及用代数式表示数字，根据未知数的范围推算最小值，根据题意即可得出最小的“寒露数”；设，且，再结合a，b取值范围和能被11整除，即可得出a，b取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即可解题． 【详解】解：根据题意可得：最小的“寒露数”千位数字要最小， ∵“寒露数”千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大5，百位和个位最小为0， ∴千位最小为3，十位最小为5， ∴最小的“寒露数”为3050； ∵M、N分别是“霜降数”、“寒露数”，且它们的个位数字均为1， ∴可设，且， ∴，， 则 ， ∵能被11整除， ∴为整数， ∵， ∴为整数， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 当取得最小值时，应最小，即， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴此时， ∴此时． 故答案为：3050，2041． 8．(24-25八上·重庆长寿中学校·期中)如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数3268， ， 3268是“和百数”；又如四位数4367， ，4367不是“和百数”．若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除，则满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的数字运算，二元一次方程的应用．理解题意是解题的关键．由是“和百数”，可得，由题意知，是整数，即是整数，可求当时，时，为满足条件的数的最小，当时，时，为满足条件的数的最大，结合“和百数”概念推出、，得到最大“和百数”与最小“和百数”即可解题． 【详解】解： 是“和百数”， ， “和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除， 是整数， 即是整数， 各数位上的数字均不为0， ， ， 当时，时，， ， 即，时，“和百数”最小为； 当时，时，， ， 即，时，“和百数”最大为； 满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是． 故答案为：． 题型二 整式的乘除之杨辉三角（共8小题） 1．(24-25八上·河南平顶山郏县·期中)我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解． 【详解】解： ，其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天是星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 故选：B． 2．(2025·山东省聊城市·一模)我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 【答案】D 【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可 【详解】解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021， ∴第一项为：x2021， 第二项为： 故选：D 【点睛】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键 3．(24-25八上·四川成都成华区·期中)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法运算、杨辉三角，规律探究等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：展开式中含项的系数， 由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是， 故答案为：． 4．(24-25八上·安徽蚌埠局属初中·)我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 ． 【答案】20a3b3 【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和．②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大．依据此规律，可得出最后答案． 【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和， ∴（a+b）5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1， ∴（a+b）6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1， 又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大， ∴（a+b）6展开式左起第四项是20a3b3， 故答案为：20a3b3． 【点睛】本题属于规律探索型问题，考查观察以及归纳总结能力，找到蕴含的规律是解题的关键． 5．(24-25八上·浙江杭州文澜中学·期中)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 6．(24-25八上·贵州铜仁第六中学·期中)我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】210 【分析】本题考查图形变化的规律，根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知，含的项是展开式中的第三项，观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第19个数为：， 所以展开式中含项的系数是210． 故答案为：210． 7．(24-25八上·广西桂林全州县·期中)我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．                                                                                                                                           2                                    3       3                         4      6       4            …                                                                              … 请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了多项式乘多项式，规律探索问题，分别计算出前面若干计算结果中各项系数的和，得到规律即可求解． 【详解】解：对于的展开式各项系数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； …… 则当，展开式中各项系数和为； 故答案为：64． 8．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期中)杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数，的展开式中的各项系数直观地体现出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示： 根据上述材料，的展开式中项的系数应为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可得的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，那么把把看做一个整体，可得的展开式中从左往右第三项的系数，据此可得答案． 【详解】解：观察可知的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数， ∴把看做一个整体，的展开式中从左往右第二项的系数为4，第三项的系数为6， ∴的展开式中从左往右第三项的系数为，即第三项为， ∴的展开式中项的系数应为20， 故答案为：20． 题型三 乘法公式在几何中的应用（共7小题） 1．(24-25八上·浙江杭州保俶塔申花实验学校·期中)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，由题意得、，则可求出，再根据图1中阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个三角形面积列式求解即可． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵图2的阴影部分面积， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积， 故选：C． 2．(24-25八上·浙江温州实验中学·期中)如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各图形面积间的关系，用含，的代数式表示出，，是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据各图形的放置方式，可用含，的代数式表示出，，，结合，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ，，． ， ， ， ∴ ． 故选：B． 3．(24-25八上·安徽马鞍山东方实验学校·期中)如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 4．(24-25八上·江苏无锡长泾片区·期中)有两类正方形、，其边长分别为、（ ），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为， ， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 5．(24-25八上·江苏镇江句容·期中)如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，在正方形中，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若长方形纸片的面积与周长分别是和，则值的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握长方形面积公式是解题的关键． 根据长方形纸片的面积与周长求出和的值，设正方形的边长为，再根据面积求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意可得： 解得：， ∴，， ∴， 故选：B． 6．(24-25八上·浙江宁波余姚城区初中·期中)用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．50 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解二元一次方程组，通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为，宽为， 由图图得出的值，再根据图，求出 的值， 即求出的值即可，将公式进行适当的变形，是得出答案的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 由图得，， 即：； 由图得，， 即：； 则， 解得：， 由图得， 即阴影部分的面积为， 故选：B． 7．(24-25八上·浙江宁波奉化区·期末)如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，    则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 题型四 整式的乘除中新定义类问题（共9小题） 1．(24-25八上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)若一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位上的数字与百位上的数字之和为9，记M的前两位数字所组成的两位数为A，后两位数字所组成的两位数为B，令，若为整数，则称M为“九九数”．例如：，∵，为整数，∴是“九九数”，则最大的“九九数”是 ；若是“九九数”，被7除余3，且满足，则满足条件N的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，分解因式的应用，理解新定义和整除的意义是解题的关键．先找出的各个数上的数字，再分别求出和，再根据为整数求出，然后根据，求出a和c的值，验证求解． 【详解】解：∵千位上的数字与百位上的数字之和为9， ∴千位最大为，百位为， 又∵是整数， ∴后两位数字所组成的两位数能被整除， 即最大为， ∴最大的“九九数”是； ∵，千位上的数字与百位上的数字之和为9， ∴， ∴，， ∴， ∵是整数， ∴是9的倍数， 又∵，， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴，即， ∴或或或， 解得：或或或， 即的值为或或或， 又∵被7除余3， ∴， ∴，，即N的值为， 故答案为：；． 2．(24-25八下·重庆育才中学·期中)若一个四位自然数能被表示为（是整数且），则称为阶数，例如，因为，所以是阶数．若是阶数，则的值为 ；若是阶数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，数的特征，熟练掌握枚举法和数的特征是解题的关键．利用定义得出，再进行一一枚举即可求解；利用定义得出，即，因式分解得，得出是两个连续整数的乘积，且这两个连续整数的乘积是的倍数，且是四位数，先利用是的倍数得出或或或，再利用是必有因数，，，，分别讨论即可． 【详解】解：∵是阶数， ∴， 当和时，是三位数，不合题意； 当时，，，十位与个位数分别对应相同，符合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，，十位数不对应相等，不合题意； 当时，，是五位数，不合题意； 综上，； ∵是阶数， ∴， 即， ∴， ∴， 由题意可得，，，是整数， ∴是两个连续整数的乘积，且这两个连续整数的乘积是的倍数，且是四位数， ∴，两个连续整数个位数的积为的倍数， ∴或，或，或，， ∵是的倍数， ∴必有因数，，，， ①当时，中，不含因数，，，，不能含全部的因数，，，， 则不符合题意； ②当时，中，不含因数，，，，不能含全部的因数，，，， 则不符合题意； ③当时，中，不含因数，，不含因数，， 则要使符合题意需含因数，，含因数，， 则或或， 当时， 则，含因数，， 则是三位数， 则不符合题意； 当时，个位数不对应相等， 则不符合题意； 当时， 则，不能含全部的因数，， 则不符合题意； ④当时，中，不含因数，，不含因数，， 则要使符合题意需含因数，，含因数，， 则或或， 当时， 则，不含全部因数，， 则不符合题意； 当时，个位数不对应相等， 则不符合题意； 当时， 则，含因数，， 则， 则符合题意； 综上所述，， 故答案为；． 3．(24-25八上·重庆徐悲鸿中学·期中)一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双对称数”．将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双对称数”，并规定，则 ；若已知数m为“双对称数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为 ． 【答案】 81 7117 【分析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方式，熟练掌握上述知识点和理解题目中的新定义是解题的关键． （1）根据定义可得； （2）设为，则为，根据定义可得的值，再根据题意推理即可． 【详解】解：（1）根据定义得：， 故答案为：81； （2）设为，则为， 根据题意： 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，且均不为0， ， 或或， ∴的最小值为：7117， 故答案为：7117． 4．(24-25八上·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则 ；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 486 4114 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方数的概念，新定义的实数运算，根据代入代数式计算即可；设，则，由题意得．由是一个完全平方数，结合，的取值范围，可得，从而得到的最小值，充分理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时，． 设，则， ， ， ． 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，， ， ，即， 当时，有最小值4， 此时的最小值为4114． 故答案为：486，4114． 5．24-25八上·重庆第八中学·期中)对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的 ；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，整式的加减运算的应用，新定义运算，理解新定义是解题的关键．根据新定义运算直接判断，再根据新定义的含义列式计算即可；根据新定义先分别计算，，再根据与，k能被13整除，进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴是和对称数， ∵， ∴不是和对称数， ∵是和对称数， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵最小， ∴，，取最大， ∴ ， ∴能够被整除，而，取最大， ∴，，经检验符合题意； 故答案为：；； 6．(24-25八上·重庆开州区初中教育集团试题·期中)若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M称为“和差数”． ①“和差数”M的最小值是 ； ②令M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且，当，均为整数时，M的最大值为 ． 【答案】 1156 6318 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及整除、新定义等知识，理解新定义，并用含c，d的代数式表示出M是解题的关键． ①由和差数的定义可得，令，，可得答案； ②结合可得，进而可得，设（k为整数且），根据，均为整数，可得，再分或两种情况，分别计算即可． 【详解】解：①令“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， 则， 要使“和差数”M取最小值，令，，则， 没有满足条件的c，d，不合题意； 令，，则， 当，时，等式成立，符合条件， 因此“和差数”M的最小值是1156； ②由①知， ， ， 是整数， 是整数， 是整数， ， 设（k为整数且）， ， ， 或， 当时， 若，则，此时，不合题意； 若，则，此时，； 若，则，此时，； 若，则，此时，； 若，则，不合题意； 当时， 若，则，此时，； 若，则，不合题意； 综上可知，符合条件的M有1224，2736，4848，6318，其中最大值为6318． 故答案为：①1156；②6318． 7．(24-25八上·重庆沙坪坝区·期末)如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 【答案】 8354 6213 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 8．(24-25八上·重庆彭水苗族土家族自治县·期末)如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数 “优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 是 【分析】此题主要考查了新定义，分解因数，整除问题；先将分解因数，再判断即可得出答案；设两位数的个位数字为，十位数字为，则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数，得出，，进而得出，，进而得出，再判断出或或，最后分三种情况利用能被整除，求出的值，即可求出答案． 【详解】解：， 是优数； 设两位数的个位数字为，十位数字为， 则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数， 则，， ， ， 令，则， ， 即且为整数， ， ， ，且为整数， 或或， ①当时，，此数的个位数字必为， ， ， 能被整除， 或， 或， ②当时，，此数的个位数字为或， ， ， 能被整除， 能被整除， ， ， ③当时，， ， ， 能被整除， 能被整除， 而的个位数字为， 或或， 或不符合要求或不符合要求， 要最大，则最大， 而两位数，的十位数字是， 所以最大， 当，时，，， ； 当，时，，， ， 故答案为：是；． 9．(24-25八上·重庆九龙坡区育才中学校·期中)若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：，∵，∴3278是“双十数”；又如：，∵ ，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当是整数时，的最大值为 ，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，M的值为 ． 【答案】 6 2684 【分析】根据的定义可得的值，进而得出的最大值，根据进而求值即可． 【详解】∵是整数，， ∴为能被4整除的数， ∴或8或12或16， ∴的最大值为6， ∵、均为整数，， ∴， ∴， 当取得最大值，且时， 此时，，的最大值为11， ∴， ∴M的值为2684， 故答案为：6，2684． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及整除，新定义等知识，准确理解新定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型五 全等三角形中多结论问题（共10小题） 1．(24-25八上·北京朝阳外国语学校·期中)如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（    ） ①若，则；②；③；④． A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求出，可判断①；如图，延长，交于点，证明，得，由等腰三角形的性质及三角形内角和可推出，可判断②；如图，在上截取，连接，证明，得，证明，得，可判断③；过点作于，于，由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，得的值，可判断④，即可得解． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②如图，延长，交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 假设， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立，即， ∴， 故结论②错误； ③如图，在上截取，连接， ∵平分，平分，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确； ④如图，过点作于，于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论④正确； ∴正确的结论有①③④． 故选：B． 2．(24-25八上·广东江门新会区三江镇初级中学·期中)如图，与都是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点．连接、．给出下列个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟悉等边三角形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．利用证明，即可判定①；通过,则判断，则可判定②；根据三角形的内角和定理、对顶角性质可得出,即可判定③；利用证明，即可证明为等边三角形，即可判定④；过点作、，利用证明，即可判定⑤． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴,,, ∴，即 ∴ ，故①正确； ∴， ∴，故②错误； ∴ ∵， ， ∴，故③正确； ∵，，， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形, ∴，故④正确； 如图，过点作、， ∴， ∵，， ∴ ∴, ∴点在的角平分线上， ∴平分，故⑤正确． 综上，正确的有①、③、④、⑤，个结论． 故选． 3．(24-25八上·广东江门新会区尚雅学校·期中)如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故③错误， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 4．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，点为上一点，连接、、，过点作交的延长线于点，若，则下列说法：①若，则；②；③；④；⑤其中正确的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】由角平分线的定义结合内角和可得，故②符合题意；证明，故①符合题意；如图，过作于，交的延长线于，证明，可得，故③符合题意；如图，过作，，连接，而，证明，，可得，故④不符合题意； 如图，过分别作的垂线，垂足分别为，过作于，连接，证明，可得，同理可得：，再结合三角形的面积公式可得：，故⑤符合题意，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴平分， ∴，， ∴，故②符合题意； ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； 如图，过作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴根据平行线间的距离处处相等可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 如图，过作，，连接，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④不符合题意； 如图，过分别作的垂线，垂足分别为，过作于，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 同理可得： ∴，故⑤符合题意， 故选：B 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 5．(24-25八上·江苏连云港新海实验中学·期中)如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵和的平分线，相交于， ∴，， ∴ ，则结论①正确； ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵和的平分线，相交于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵和的平分线，相交于，， ∴，，， 假设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即结论③错误； 如图，过点作于点，作于点，连接， ∵，，，， ∴， 由上已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：D． 6．(24-25八上·天津滨海新区南开中学滨海生态城学校·期中)已知：如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，，过作为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，再根据角平分线的性质可求得，即，于是得到结论． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②为的角平分线， ， ，， ，， ， ， ， ，故②正确； ③，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ∵， ∴，故③错误； ④过作于点，   是上的点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 7．(24-25八上·北京中国人民大学附属中学朝阳学校·期中)如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上，则结论①正确； 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：， ∴， ∴的周长为 ，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：B． 8．(24-25八上·湖南永州柳子中学·期中)如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 9．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的有（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④． 【详解】解：①是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ②如图，作交的延长线于，作于， ， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 由①知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 是等边三角形， ，故②正确，符合题意； ③由②知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故③错误，不符合题意； ④，， ， 即， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 10．(24-25八上·广东中山三鑫学校·期中)如图，在中，，，是的中点，连接，点在上，点在上，且．给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）图中全等的三角形有2对，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，由等腰直角三角形的性质知，推出，结合即可证得，根据全等三角形的性质得出，，即可判断（1）（2）（3）；图中全等三角形有3对可判断（4）． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故（1）正确； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形；故（2）正确； ∵， ∴和的面积相等， ∵D为中点， ∴的面积的面积， ∴ ；故（3）正确， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴中，，，即图中全等的三角形有3对；故（4）错误； 即正确的个数是3个， 故选：B． 题型六 全等三角形中最值问题（共8小题） 1．(24-25八下·辽宁锦州实验学校·期中)如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，根据题意得出是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可得当最大时，的值最大，观察图形可得当旋转角时，三点共线时，取得最大值为，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点为， ，， 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，此时最大且， 面积的最大值是 故选：D． 2．(24-25八下·安徽宿州泗县·期中)如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 3．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，证明，，那么，当点共线时，取得最小值，记交于点，可证明，则此时，可得为等边三角形，则，由关于对称，得到，那么由，即可求解． 【详解】解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： 记交于点， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将进行转化． 4．(24-25八上·湖北武汉华宜寄宿学校·期中)如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠的性质和等边三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 5．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 6．(24-25八上·北京东城区·期末)如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于， ∴，，， ∴， 此时取得最小值， ∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ，， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【点睛】本题是轴对称—最短路线问题，考查了轴对称的性质，等边对等角，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短．正确作出辅助线，在等腰中确定是解题的关键． 7．(24-25八上·福建福建厦门第一中学·期中)如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度/ 【分析】连接，先证明 ，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小， 过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 8．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型七 全等三角形中双空类问题（共5小题） 1．(24-25八上·四川自贡富顺县代寺学区·月考)如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，绝对值的意义等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 2．(24-25八上·河北邢台襄都区邢台英华教育集团·期中)如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为 ，的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可求得，根据角平分线定义可求得，根据三角形内角和定理可得，根据，可求得，根据计算即可得到，根据计算可得； （2）如图，在上截取，连接，可证，，得到，，计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）如图，在上截取，连接， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．(24-25八上·四川成都石室天府中学多校联考·期中)如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则 ，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则 ． 【答案】 1 / 【分析】过点作于点，过点作于点， ，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．(24-25八上·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．      （1）当最短时，测量 ；（精确到） （2）若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的外角，两点之间线段最短问题． （1）作点Q关于直线的对称点，连接，交于点N， 根据“两点之间线段最短”可知，此时最短，测量出即可； （2）连接，根据题意证明，结合点Q关于直线的对称点，证明，因此，进而证明是等边三角形，根据“两点之间线段最短”可知，要使最短，则、、三点共线，此时，又因为，即最小，过点A作于点P，此时最小，由，是等边三角形，得，再结合，，即可求出答案． 【详解】解：（1）作点Q关于直线的对称点，连接，交于点N，此时最短， 则测量； （2）连接， 在等边中，， ， ， 点Q关于直线的对称点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 要使最短，则、、三点共线，此时， ， 即最小， 过点A作于点P，此时最小， 为等边三角形， ， ， 此时P、Q重合， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 最短时，， 故答案为：1． 5．(23-24八上·北京西城区·期末)如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 解得； 如下图，延长交于点，      ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 题型八 全等三角形中动点问题（共8小题） 1．(23-24八上·河北廊坊安次区廊坊第十中学·期中)如图，，于点，于点，且，，点是线段上一动点．    （1）当 时，； （2）点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 【答案】 或/8或6 4 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；使用合适的方法解题是关键； （1）根据等腰直角三角形与全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论可得答案； （2）分两种情况讨论：与，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：（1）如图，∵，，，当时， 则，，    ∵，， ∴，， ∴， ∴，此时符合题意； 如图，当，，，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：或， （2）①如图所示，，，，，点每分钟走2个单位长度，点每分钟走个单位长度，    当时，， 则， ∴点的运动时间是（分钟）， 点的运动时间是（分钟）， ②如图所示，，，，，点每分钟走2个单位长度，点每分钟走个单位长度，    当时，，则， ∴点的运动时间是（分钟），点的运动时间是（分钟）， ∵，两点同时出发， ∴不能成立． 综上，运动分钟后，与全等． 故答案为：4 2．(24-25八上·江西赣州·期末)如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 【答案】或6或8 【分析】先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 当，点在上，点在上，如图所示： 此时 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 和重合，和重合 （符合题意） 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或 故答案为：或6或8 . 【点睛】本题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的判定定理、方程思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 3．(24-25八上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， ； ④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得． ，符合题意； ⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或或12． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 4．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)如图，中，，，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 【答案】或秒 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：当点在上，点在上，当点在上，点在上，点与重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（）当点在上，点在上，如图， 则，，，， ∵， ∴，即， 解得：，即运动秒； （）当点在上，点在上，如图， 则，， ∵， ∴，即，解得此时不符合题意； （）点与重合在上，如图， 则，， ∴，即，解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 5．(23-24八上·山西临汾明德中学·期中)如图，在中，，，点Q是射线上的动点，且，点Р从点A出发以的速度向点C运动，在运动过程中，始终有，当点Р经过 s时，与全等．    【答案】或 【分析】根据题意得与全等时，始终有，再分情况进行分析，①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴P点运动时间为： （秒）； ②当时，， ∴P点运动时间为 （秒）； 综上所述，P点运动时间为秒或秒， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 6．(23-24八上·河南洛阳偃师新前程美语学校·期中)如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查三角形全等的判定． 设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值． 【详解】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 7．(24-25八上·广东揭西县宝塔实验学校·期末)中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 【答案】2或3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 8．(24-25八上·河北唐山滦州·期中)题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 题型九 乘法公式在最值中的应用（共3小题） 1．(24-25八上·福建晋江第一中学六校·期中)若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 2．(24-25八上·四川乐山实验中学·期中)我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)，，16 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∴，即； （4）解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，多项式有最小值为16． 3．(24-25八上·四川内江第一中学·期中)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）原式常数项35化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可； （3）分别对用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质确定的值即可求出结果． 【详解】（1）解： ． （2） ， 当时，有最小值． （3）， ， 即， ， ， ， 的周长为12． 【点睛】本题考查了整数的混合运算、非负数的性质、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． 题型十 全等三角形的判定综合压轴题（共10小题） 1．如图，是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，见解析 (3)或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质及判定，分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形； （2）根据全等可得，继而得到，即可求解； （3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，进而得到的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形． （2）解：是直角三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ，， ， ． 是直角三角形． （3）解：是等边三角形， ． ，， ， ， ． ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨·期中)已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积、角平分线的性质等知识，解题的关键是根据已知条件，找出并证明相关的三角形全等． （1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得； ②过F作于K，由，可得，，而，故，即得，根据，可求． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． （2）①在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ②如图3，过点A分别作于H，于M，交的延长线于点N，过点F作于K． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八上·四川内江第一中学·期中)在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 【答案】(1) (2)当时，．理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得．得．由三角形内角和定理得．由 计算即得； （2）同（1）得 ，由，得，得； （3）由，可得周长为，即得． 【详解】（1）解：∵分别是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：当时，． 理由如下： 如图，由(1)，得． ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴时，． （3）解：周长． ∵， ∴的 周长． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，角与线段的和差计算，是解题的关键． 4．(24-25八上·重庆六校联考·期中)如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【详解】（1）解：； （2）证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)如图，在中， 在外部取一点，连接，且平分， (1)如图，求证：； (2)如图，当时，将沿翻折，点落在点处，连接，若，试探究线段与线段的数量关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）过作于，于，于，设与相交于点，可证，得到，，，即得，再证明，得到，由等腰三角形的性质可得，即得到，进而由余角性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求证； （）先证明是等边三角形，得到，，在上截取，连接，作交于，连接，设与相交于点，可证是等边三角形，得到，可证明，得到，，进而证明，得到，再证明，得到，即得，即得到，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过作于，于，于，设与相交于点， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， 在上截取，连接，作交于，连接，设与相交于点， ∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 由（）可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 6．(24-25八上·四川眉山·期中)如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质等． （1）由，分别平分和，求出，，进而得出，由，得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点，使，连接，证明，再证明，，代入计算即可求得结果； （3）在上截取，连接，先证明，均为等边三角形，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：平分， ， 同理，， ， ， ， ； （2）如图1，在上取一点，使，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图2，   ，， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 7．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）作交的延长线于，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线， ∴． （3）解：仍成立，证明如下： 作交的延长线于，连接，如图． ∴． 在与中， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线，． 8．(24-25八上·福建莆田莆田第二中学·期中)已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 【答案】(1)①，见解析；②时， (2)当点F在A点右边时，；当点F在A点左边时， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形，分类讨论是解题的关键． （1）①先证明，得出，再得出，在 中，，即可的得出结论； ②在上截取，使，证明，得出，根据，得出时，即时，； （2）分两种情况，当点F在A点右边时，过点D作，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；同理，当点F在A点左边时，通过证明三角形全等即可得出结论． 【详解】（1）①解：，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又 ∵， ∴ ， 在 中，， ∴； ②在射线上截取，使，如图所示， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，即时，， ∴； （2）如图，当点F在A点右边时，过点D作，如图， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点F在A点左边时，过点D作所在直线的垂线，交于点M，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图1，在中，，，直线经过点，过作 ，垂足为，过作 ，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 10．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知，是等边三角形，点为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至． (1)如图1，当点在的延长线上时，过点作交边于点，求证：； (2)如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求的长； (3)当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，试探究的值（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质以及等边三角形的性质得出，进一步利用三角形外角的定义和性质进一步得出，根据证明即可得结论； （2）过点E作交边的延长线于点F，证明和，可得，可得结论； （3）设，则，分两种情况：点F在边上和在的延长线上，如图3和图4，过点作．交射线于F，证明和，即可解答 【详解】（1）证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）证明：过点E作交边的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∵， ∴， （3）解：∵， 设，则， 如图3，过点E作，交射线于F， 同理得：， ∴， ， 同理得：， ∴， ∴． 如图4，过点E作，交于F， 同理得： ， ∴，， 同理得：， ∴， ∴． 故答案为：或 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 题型十一 全等三角形中动点问题解答题轴题（共10小题） 1．(24-25八上·辽宁海城·期中)如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒 ． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求t为何值时，与的面积相等； (3)求t为何值时，与全等； (4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：． 2．(24-25八上·黑龙江牡丹江·期中)如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点 从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()． (1)点、从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，求a的值； (3)如图②，当点、开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M，N，P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 (3)2.5或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据时间＝路程除以速度计算即可； （2）当时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：点的运动时间(秒， 故答案为：； （2）①当点、的移动速度相同时， ； ②当点、的移动速度不同时， ， 当，时，两个三角形全等， ∴ 运动时间， ，满足题意． 综上所述：a的值为或； （3）解：若点、的移动速度不同， 则时，两个三角形有可能全等， 此时； 若点、的移动速度相同，则，， 又∵， 或， 解得(舍弃)或， 综上所述，满足条件的的值为或． 3．(24-25八上·福建漳州东山县·期中)（1）在中，，、、三点共线，． ①如图①，若则线段、与三者之间的数量关系： ； ②如图②，判断并证明线段、与三者之间的数量关系； （2）如图③，已知，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，两点中只要有一点先到达终点，则所有运动停止，它们运动的时间用表示．问：运动过程中是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①②，证明见解析（2），或， 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，推出，证明，得，，通过可得答案； ②由①同理可得，得，，通过可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】解：（1）①，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为：； ②，证明如下： ， ， ， 又， ， ，， ； （2）解：点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动，， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ， ①当时，， ， ， 当，，满足， 故，符合题意 ② 当时，，， ，， ， 此时满足， 故，符合题意； 综上，，或，． 4．(24-25八上·河北唐山路北区·期中)已知，如图，在梯形中，直线，直线，垂足分别为D，E，点C在直线上，， (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若，求梯形的面积； (3)如图2，设梯形的周长为m，边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点同时停止移动． ①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____；（填“”“”或“”） ②移动过程中，点P与点Q能否相遇，如果能，直接写出两点相遇的位置． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3)；能，点处 【分析】（1）利用可证得，进而可得，于是结论得证； （2）由（1）可得，于是可得，进而可得，然后根据即可计算出梯形的面积； （3）两点同时停止移动时，点移动的路程，点移动的路程，点移动的路程与点移动的路程之差，由题意可知，由此即可判断；设点的运动速度为，则点的运动速度为，设相遇时运动时间为，则相遇时，点的运动路程点的运动路程，因而可得，由于，，，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： 直线，直线， ， ， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：由（1）可得：， ， 又， ， 梯形的面积； （3）解：两点同时停止移动时， 点移动的路程， 点移动的路程， 点移动的路程与点移动的路程之差， ， 点移动的路程与点移动的路程之差， 故答案为：； 移动过程中点与点能相遇，两点相遇的位置在点处， 理由如下： 设点的运动速度为，则点的运动速度为，设相遇时运动时间为， 相遇时：点的运动路程点的运动路程， ， 点为边中点， ， 由（1）可得：， ， 又， 相遇时点、点在点处． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，不等式的性质，等式的性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 5．(24-25八上·四川宜宾第二中学校·期中)如图，在中，，，分别过两点作过点的直线的垂线，垂足为； (1)如图，当两点在直线的同侧时，猜想，、、三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图，当两点在直线的两侧时，且直线被截成的线段、、的长度分别是，，，又，，求的值（用含有a，b，c的代数式表示） (3)如图，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以每秒和个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过和作于，于．问：点运动多少秒时与全等？ 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)当点运动秒或秒时，与全等． 【分析】（）先证明，即可证明，可得，即可； （）先证明，即可证明，可得，，再求除，的长度，可以分别计算的值即可求解； （）分当点在上，点在上，当点在上，点在上，当都在上时，并且重合，即可解题； 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质， 熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：同（1）可得， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：当点在上，点在上，如图 则，，，， ∵与全等， ∴，即，解得：， 即运动秒时，与全等； 当点在上，点在上，如图， 则，， ∵与全等， ∴，即，解得（舍去）； 当都在上时，并且重合，可得：，解得，符合题意， 综上所述：当点运动秒或秒时，与全等． 6．(24-25八上·海南儋州第一中学·期中)在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 (4)点的速度为或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 7．(24-25八上·四川内江威远县界牌镇中心学校·期中)如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等； (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇． 【答案】(1)①全等，理由见解析；② (2)经过点与点第一次在的边上相遇 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据“路程速度时间”，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长，然后进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①全等，理由如下： 当时， ， ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②∵点的运动速度与点的运动速度不相等， ∴， 若，， 则，， ∴点、点运动时间为， ∴点的运动速度为． （2）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得， ∴点P共运动了， 若是运动了三圈，即：， ∵的长度， ∴点与点第一次在的边上相遇， ∴经过点与点第一次在的边上相遇． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，线段中点，追及问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及追及相遇的问题中的路程关系是解题的关键． 8．(23-24八上·吉林长春南关区东北师大附中·期中)如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为或 (4)10 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1），当时，，当时，； （2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证； （3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故； （4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，，即可得，，可得，，从而． 【详解】（1）解：由已知得，， 当时，， 当时，； ； （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：当时，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 当时，如图： ， ， ，重合， ， ， 综上所述，的值为或； （4）解：如图： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 关于点的对称点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10． 9．(24-25八上·吉林长春榆树慧望初级中学·期中)如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒． (1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______． (2)当的面积等于面积的一半时，求的值． (3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值． 【答案】(1) (2)5或 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求得到，求出，由点运动到边中点，得到点Q运动的路程为，由此列出方程求解即可． （2）分点P在上和点P在上两种情况讨论，根据三角形面积公式即可解答； （3）取中点，过点H作交于点，连接，证明，得到，由可得以为顶点的三角形与全等时，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 解得：， 点运动到边中点， 点Q运动的路程为， ， ， ； （2）解：当点P在上时， ， ， ， ； 当点P在上时， 设中边上的高为h， ， ， ， ， ， ； 综上，当的面积等于面积的一半时，的值为5或； （3）解：如图，取中点，过点H作交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以为顶点的三角形与全等时，或， 当，时， ①点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； ②点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； 当，时， ③点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即 ④点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； 综上，以为顶点的三角形与全等时，的值为或或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的面积，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 10．(24-25八上·江苏扬州邗江区维扬中学·月考)（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当的值为4时，； ②当点在边上时，    此时不可能为等边三角形； 当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时，   ， 为等腰三角形， 当时，，    ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时，   上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ②    由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． 题型十二 全等三角形中探究类问题（共8小题） 1．(24-25八上·河南郑州经济技术开发区第四中学·期中)【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 【答案】（1）3或5；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】（1）锦宝同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则__________°； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图2），再将纸片展开铺平（如图4）．此时锦宝说，就是的平行线．锦宝的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【深入探究】（2）如图4，若纸片为正方形，已知，，请你连接，并猜想与之间的关系，说明其理由； 【拓展延伸】（3）在（2）条件下，连接，若，的面积为30，请连接，，求的面积． 【答案】（1）①；②正确，证明见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据折叠的性质求解即可； ②同①理可得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （2）证明，即可得证； （3）连接，，，根据题意证明四个三角形全等，则这四个三角形的面积相等，设，，根据题意可得,，根据题意得出，进而求得，根据的面积为正方形减去4个三角形的面积，再除以2，即可求解． 【详解】解：（1）①由题意可知，点共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 故答案为：90； ②锦宝的说法正确，证明如下： 由①得：， 同①理可得，， ， ； （2），理由如下， ∵纸片为正方形， ∴，， 又∵， ∴,， 又∵ ， ∴ 在中， ∴ ∴， （3）如图，连接，，， 由（2）可得， ∴， ∴ ∴，即， 又 ∴ 又∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四个三角形全等，则这四个三角形的面积相等， 设， ∵，， ∴, ∵的面积为30， ∴，即， ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的性质与判定，完全平方公式变形求值，找出角度之间的数量关系是解题关键． 3．(23-24八上·山西吕梁交城县·期中)问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 4．(24-25八上·黑龙江绥化北林区绥化第六中学校·期中)问题背景：（1）如图①，已知中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易证：___________． （2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线上，并且有，请求出三条线段的数量关系，并证明． （3）实际应用：如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）（2），见解析（3） 【分析】（1）根据AAS，利用全等的性质证明即可； （2）根据AAS证明即可得证． （3）过B作轴于点D，过B作轴于点E，证明，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形性质，点的坐标与线段的转化关系，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：三条线段的数量关系．理由如下： 如图2： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． （3）解：过B作轴于点D，过B作轴于点E， ∵，，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，故点． 5．(24-25八下·福建漳州诏安县·期中)综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？ 探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①或；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 6．(24-25七下·山东济南历下区·期中)【模型探究】 已知是等腰直角三角形，，．过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． （1）如图1，已知，，连接，则的面积为______； （2）如图2，已知，，连接，则的面积为______． 【方法迁移】 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，．又以为斜边构造，其中，求的面积； 【思路拓广】 （4）如图4，在中，，，．请以为边在左侧构造等腰直角三角形，连接构造，则的面积为_____． 【答案】（1）（2）（3）（4）或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，并能构建全等三角形是解题的关键． （1）由可判定，由全等三角形的性质得，求出，由三角形的面积，即可求解； （2）由（1）同理可证，同理可求； （3）过作交于，同理可证，由全等三角形的性质得，即可求解； （4）①如，，过作于，作交的延长线于，由可判定，由全等三角形的性质得，求出 ，即可求解； ②，，过作交延长线于，同理可求，即可求解；③如，，过作于，作交的延长线于，同理可求． 【详解】解：（1） ，， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）由（1）同理可证：， ， ； 故答案为：； （3）过作交于， ， ， ， ， ， ， （）， ， ； 故答案为：； （4）①如图，，，过作于，作交的延长线于， ， ， ，， ， ， 同理可证：， ，， ， ， ， ， （）， ， ，， ， ， 解得：， ， ； ②如图，，，过作交延长线于， ， ， ， ， （）， ， ； ③如图，，，过作于，作交的延长线于， 同理可求：， ； 综上所述：的面积为或或； 故答案为：或或． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． (4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 【答案】(1)； (2)； (3) (4)5或 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点N，，再利用第 3 小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 【详解】（1）， 理由如下：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （2）如图所示： 证明：∵， ， 即， 又 ∵和都是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （3）如图： ∵和都是等腰三角形， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 故答案为：； （4）如图所示： 连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，则 连接，作于点，在上截取， ， ， ， ， 由（3）可得：， ， ， 同理可得：， 故答案为：5或． 8．(24-25八上·河南郑州外国语中学、枫杨外国语、朗悦慧外国语等联考·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 题型十三 全等三角形中实践类问题（共8小题） 1．(24-25八上·江苏无锡江南中学·期中)【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求 探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可； 探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求； 由平行线的性质可得，由题意得； 探究2：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或； 探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时， 由题意得， ∴，， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， 由题意得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图3-3所示，当射线和重合时，则， 解得； 如图3-4所示，当时， 同理可得， ∴， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 2．(24-25八上·河北邯郸武安贺进镇沙洺中学·期中)【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 3．【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为 【分析】（1）由，可得，，由F是的中点，可得，进而可证，由全等的性质即可得证； （2）由和E为边的中点，可证，再由等腰三角形性质和判定，即可得证； （3）由，，得，再由点E是的中点，可证，由全等三角形的性质可得，由平分，结合等腰三角形的判定，可证，由等腰三角形三线合一可得，由，，可得，进而可证，最后可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴，，， ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键． 4．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）（2）成立，见解析（3）210海里 【分析】（1）延长到点G，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可． （2）延长到点H，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）根据题意，得，，且 ，满足了探索延伸的基本条件，得到结论，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，方向角，四边形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，方向角是解题的关键． 【详解】（1）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴； ∵, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：结论成立．理由如下： 延长到点H，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长，，两线交于点C，连接，设与y轴交于点N， 根据题意，得，，，，， 根据题意，得，，且，满足了探索延伸的基本条件，故， ∵（海里），（海里）， ∴（海里）， 故此时两舰艇之间的距离为210海里． 5．(24-25八上·山西大同天镇县·期中)阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证明和全等得，由三角形三边之间关系得，进而得，再根据得，则，由此得中线的取值范围； （2）延长交的延长线于，证明△和△全等得，，则，再证明为线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得的长； （3）延长到，使，连接，则，证明和全等得，，则，从而得，根据得，由此可证明和全等得，，由此得和的数量关系；然后根据得，则，由此得和的位置关系． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； （3）解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系及等腰三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质并作出合理的辅助线是解决问题的关键． 6．(24-25八上·山东临沂罗庄区·期中)【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论，见解析；（3）4 【分析】（1）利用证明即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； 选择①为条件，②为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （3）延长交的延长线于点，先证明，可得，再由平分得出，再证明，从而可以解答． 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴， ∴； （2）选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图，延长交的延长线于点， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 平分 又 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 7．(24-25八上·广西南宁第二中学·期中)综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？    【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点落在边上的点，折线交于点，连接，发现，……，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点、紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，在中，，，，分别是边，上的动点、当四边形为“筝形”时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或． 【分析】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形“三线合一”的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理，理解“筝形”的定义是解题关键． （1）做出自己猜想即可； （2）由折叠可得出，再根据三角形外角性质即可解答； （3）易证，得出为的平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质得出，从而可证； （4）由题意可求出，再分类讨论：①当，时和②当，时，结合全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）在三角形中长边对应大角，猜想； （2）由折叠可知， ∵， ∴， 即； （3）在和中，， ∴， ∴，即为的平分线． ∵， ∴． ∵为铅锤线， ∴是水平的，即门框是水平的； （4）∵，， ∴． 分类讨论：①当，时，如图，    ∵四边形为“筝形”， ∴， ∴， ∴； ②当，时，如图，    ∵四边形为“筝形”， ∴， ∴， ∴． 综上可知或． 1．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：和都是等腰三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 中，， 中，, ， ，故②正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又， ，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤得，，， ，， 即， 中，， 中，， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③错误． 综上，正确结论有①②④⑤． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 2．如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：作于交于，连接，根据等边三角形的判定与性质可得，点C关于的对称点为点B，从而得出当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为即可解答． 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴点C关于的对称点为点B， ， ， ∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6． 故选：B． 3．对于问题：“如图，，且，过点作直线，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点运动，点到达点时停止运动，点继续向点运动，直至到达点时，运动结束．在运动过程中，过点作于点于点，设点的运动时间为秒，当与全等时，求的值”．甲答：2．乙答：6．丙答：16． 对于以上解答，说法正确的是（    ） A．甲和乙的答案合在一起才正确 B．乙和丙的答案合在一起才正确 C．甲、乙、丙三人的答案合在一起才正确 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起也不正确 【答案】C 【分析】分为：当时，点在上，点在上；当，时点P在上，点Q在上；当时，点P在上，点Q在上，由全等求解即可， 【详解】如图，当时，点在上，点在上， 若，则， 即， 解得； 当时，点在上，点在上， 若，此时两三角形重合，则， 即， 解得； 当时，点在上，点在上， 若，则， 即， 解得； 故选：C． 【点睛】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和动点问题，分类求解是解题的关键． 4．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为 ． 【答案】19 【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b， 根据题意可得：， ， ， ， 是得中点， ， ，， ． 故答案为：19． 【点睛】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键． 5．一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为，则称这个数为“吉祥数”．例如：，满足，则是“吉祥数”，则最小的吉祥数为： ；若一个四位数（其中，，，，且，，，均为整数）为“吉祥数”，记，且是完全平方数，则满足条件的所有“吉祥数”的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，因式分解，整数的特征，熟练根据题意正确列式并掌握整数的特征是解题的关键．设（其中，，，，且，，，均为整数），由题意可得，化为，则是的整数倍，可得，则，要求最小的吉祥数，则要尽量小，则，，要尽量小，结合，则，，即可求出最小的吉祥数；通过整式加减和因式分解化简，由于是完全平方数，结合，范围得出，再求解即可． 【详解】解：设（其中，，，，且，，，均为整数）， 由题意可得， ∴， ∴， ∴是的整数倍， ∵，，，，且，，，均为整数，且各个数位上数字互不相同， ∴， ∴， ∴， 得， 要求最小的吉祥数， 则要尽量小， 结合， 则，， 要尽量小，结合， 当，时，不合题意，舍； 则，， 则最小的吉祥数为； ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵，且，均为整数，且各个数位上数字互不相同， ∴， ∵是完全平方数， ∴， ∴， ∴或或或， 当时，，（，舍）； 当时，，，； 当时，，（，舍）； 当时，，，； 满足条件的所有“吉祥数”的和是， 故答案为：；． 6．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 7．如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂线段最短，一元一次方程的应用，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）分三种情况讨论，根据线段和差以及速度路程的关系建立方程求解即可； （2）设，当时，则，由三角形内角和定理表示出，则，由邻补角可得，再分三种情况讨论，当点在上时，不存在；当点在上时，证明，则，则，即可求解； （3）设点的速度为，分四种情况讨论，根据全等三角形的性质建立方程求解，注意点Q的速度小于点P的速度． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当点在上时， 根据垂线段最短可得， ∴点在上时不成立； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当或秒时，， 故答案为：或． （2）解：存在，理由如下： 设， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ①当点在上时，， ∵， ∴， 故不成立， ∴不存在； 当点在上时，如图： ∵，， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，显然不成立， ∴综上，存在，． （3）解：设点的速度为， 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：（舍）； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：（舍）， 综上所述：线段分割所形成的三角形恰好与全等，点Q的运动速度为或． 故答案为：或． 8．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 1 / 222 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练压轴题通关（111题13大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 实数综合之被整除类题型 题型9 乘法公式在最值中的应用 题型2 整式的乘除之杨辉三角 题型10 全等三角形的判定综合压轴题 题型3 乘法公式在几何中的应用 题型11 全等三角形中动点问题解答题轴题 题型4 整式的乘除中新定义类问题 题型12 全等三角形中探究类问题 题型5 全等三角形中多结论问题 题型13全等三角形中实践类问题 题型6 全等三角形中最值问题 题型7 全等三角形中双空类问题 题型8 全等三角形中动点问题 题型一 实数综合之被整除类题型（共8小题） 1．(24-25八上·重庆第十八中学·期中)若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，，则称这个四位数为“海纳百川数”，例如：四位数9527，因为，所以9527不是“海纳百川数”；又如：四位数4326，因为，，所以4326是“海纳百川数”．若是最小的“海纳百川数”，则这个数为 ，若是“海纳百川数”，将的千位去掉，再将百位与十位数字对调后，得到一个三位数记为，记，，若能被3整除，则满足条件的的最大值为 ． 2．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则 ；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为 3．24-25八上·重庆巴川中学校·期中)如果一个四位数M满足各个数位的数字互不相同且均不为0，千位数字与百位数字之和为5，十位数字与个位数字之差为1，那么称这个四位数M为“五一数”．将“五一数”M的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为N，记．例如：四位数1265，∵，1265不是“五一数”；又如：四位数1465，∵，，1465是“五一数”，．若M是最小的“五一数”，则 ；对于“五一数”，若能被11整除，记，则符合条件的的值为 ． 4．(24-25八上·重庆沙坪坝区重庆南开中学校·期中)一个四位自然数（各数位上的数字均不为），若个位数字与十位数字的平方和等于它千位数字与百位数字顺次组成的两位数，则称这个四位  数为“美丽平方和数”．比如：，满足，则为“美丽平方和数”；比如：，由于，则不是“美丽平方和数”．如果一个“美丽平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均为整数时，满足条件的的最小值是 ． 5．(24-25八上·重庆松树桥中学校·期中)对于一个各数位数字均不为零的四位自然数，若千位与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，则称为“一致数”，设一个“一致数”，满足且，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记为，一个两位数，将的各数位数字之和记为，当（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”中，满足为偶数时，的值为 ，的值为 ． 6．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)我们规定：如果一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称为“六六大顺数”，若、均为“六六大顺数”，其中，（，，且，，，，，均为整数），将的前三位数字组成的三位数记为，的后三位数字组成的三位数记为，若能被13整除，则 ，在此条件下，将的前两位数字组成的两位数记为，将的后两位数字组成的两位数记为，若（为整数），则满足条件的的最大值与最小值的差为 ． 7．(24-25八上·重庆第十八中学·期中)若一个四位数的千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大3，则称这个四位数为“霜降数”．若其千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大5，则称这个四位数为“寒露数”，如4241是“霜降数”，6361是“寒露数”，最小的“寒露数”是 ，若M、N分别是“霜降数”、“寒露数”，且它们的个位数字均为1，M、N各数位上的数字之和分别记为和，若能被11整除，则当取得最小值时M的值是 ． 8．(24-25八上·重庆长寿中学校·期中)如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数3268， ， 3268是“和百数”；又如四位数4367， ，4367不是“和百数”．若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除，则满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是 ． 题型二 整式的乘除之杨辉三角（共8小题） 1．(24-25八上·河南平顶山郏县·期中)我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 2．(2025·山东省聊城市·一模)我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 3．(24-25八上·四川成都成华区·期中)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ． 4．(24-25八上·安徽蚌埠局属初中·)我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 ． 5．(24-25八上·浙江杭州文澜中学·期中)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 6．(24-25八上·贵州铜仁第六中学·期中)我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 7．(24-25八上·广西桂林全州县·期中)我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和．                                                                                                                                           2                                    3       3                         4      6       4            …                                                                              … 请据上述规律，写出的计算结果中各项系数之和为 ． 8．(24-25八上·辽宁沈阳浑南区·期中)杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数，的展开式中的各项系数直观地体现出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示： 根据上述材料，的展开式中项的系数应为 ． 题型三 乘法公式在几何中的应用（共7小题） 1．(24-25八上·浙江杭州保俶塔申花实验学校·期中)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 2．(24-25八上·浙江温州实验中学·期中)如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·安徽马鞍山东方实验学校·期中)如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 4．(24-25八上·江苏无锡长泾片区·期中)有两类正方形、，其边长分别为、（ ），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 5．(24-25八上·江苏镇江句容·期中)如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，在正方形中，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若长方形纸片的面积与周长分别是和，则值的是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．(24-25八上·浙江宁波余姚城区初中·期中)用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．50 7．(24-25八上·浙江宁波奉化区·期末)如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 题型四 整式的乘除中新定义类问题（共9小题） 1．(24-25八上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)若一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位上的数字与百位上的数字之和为9，记M的前两位数字所组成的两位数为A，后两位数字所组成的两位数为B，令，若为整数，则称M为“九九数”．例如：，∵，为整数，∴是“九九数”，则最大的“九九数”是 ；若是“九九数”，被7除余3，且满足，则满足条件N的值为 2．(24-25八下·重庆育才中学·期中)若一个四位自然数能被表示为（是整数且），则称为阶数，例如，因为，所以是阶数．若是阶数，则的值为 ；若是阶数，则的值为 ． 3．(24-25八上·重庆徐悲鸿中学·期中)一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双对称数”．将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双对称数”，并规定，则 ；若已知数m为“双对称数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为 ． 4．(24-25八上·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则 ；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 ． 5．24-25八上·重庆第八中学·期中)对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的 ；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时， ． 6．(24-25八上·重庆开州区初中教育集团试题·期中)若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M称为“和差数”． ①“和差数”M的最小值是 ； ②令M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且，当，均为整数时，M的最大值为 ． 7．(24-25八上·重庆沙坪坝区·期末)如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 8．(24-25八上·重庆彭水苗族土家族自治县·期末)如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数 “优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是 ． 9．(24-25八上·重庆九龙坡区育才中学校·期中)若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：，∵，∴3278是“双十数”；又如：，∵ ，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当是整数时，的最大值为 ，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，M的值为 ． 题型五 全等三角形中多结论问题（共10小题） 1．(24-25八上·北京朝阳外国语学校·期中)如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（    ） ①若，则；②；③；④． A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③ 2．(24-25八上·广东江门新会区三江镇初级中学·期中)如图，与都是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点．连接、．给出下列个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．(24-25八上·广东江门新会区尚雅学校·期中)如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，点为上一点，连接、、，过点作交的延长线于点，若，则下列说法：①若，则；②；③；④；⑤其中正确的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．(24-25八上·江苏连云港新海实验中学·期中)如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 6．(24-25八上·天津滨海新区南开中学滨海生态城学校·期中)已知：如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，，过作为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 7．(24-25八上·北京中国人民大学附属中学朝阳学校·期中)如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．(24-25八上·湖南永州柳子中学·期中)如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 9．(24-25八上·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中)如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的有（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 10．(24-25八上·广东中山三鑫学校·期中)如图，在中，，，是的中点，连接，点在上，点在上，且．给出以下四个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）图中全等的三角形有2对，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型六 全等三角形中最值问题（共8小题） 1．(24-25八下·辽宁锦州实验学校·期中)如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．(24-25八下·安徽宿州泗县·期中)如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·重庆第一中学校·期中)如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖北武汉华宜寄宿学校·期中)如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 5．(24-25八上·湖北武汉青山区·期中)如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 6．(24-25八上·北京东城区·期末)如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．(24-25八上·福建福建厦门第一中学·期中)如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 8．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 题型七 全等三角形中双空类问题（共5小题） 1．(24-25八上·四川自贡富顺县代寺学区·月考)如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 2．(24-25八上·河北邢台襄都区邢台英华教育集团·期中)如图，在中，、的平分线交于点，延长交于点，点、分别在、上，连接，，其中，． （1）若，则的度数为 ，的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 3．(24-25八上·四川成都石室天府中学多校联考·期中)如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则 ，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则 ． 4．(24-25八上·北京师范大学附属实验中学·期中)如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．      （1）当最短时，测量 ；（精确到） （2）若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 5．(23-24八上·北京西城区·期末)如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    题型八 全等三角形中动点问题（共8小题） 1．(23-24八上·河北廊坊安次区廊坊第十中学·期中)如图，，于点，于点，且，，点是线段上一动点．    （1）当 时，； （2）点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，点从点以每分钟2个单位长度的速度向点运动，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 2．(24-25八上·江西赣州·期末)如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 3．(24-25八上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 4．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)如图，中，，，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 5．(23-24八上·山西临汾明德中学·期中)如图，在中，，，点Q是射线上的动点，且，点Р从点A出发以的速度向点C运动，在运动过程中，始终有，当点Р经过 s时，与全等．    6．(23-24八上·河南洛阳偃师新前程美语学校·期中)如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 7．(24-25八上·广东揭西县宝塔实验学校·期末)中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 8．(24-25八上·河北唐山滦州·期中)题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 题型九 乘法公式在最值中的应用（共3小题） 1．(24-25八上·福建晋江第一中学六校·期中)若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 2．(24-25八上·四川乐山实验中学·期中)我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 3．(24-25八上·四川内江第一中学·期中)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：． 原式． 例2 若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 题型十 全等三角形的判定综合压轴题（共10小题） 1．如图，是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨·期中)已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 3．(24-25八上·四川内江第一中学·期中)在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 4．(24-25八上·重庆六校联考·期中)如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)如图，在中， 在外部取一点，连接，且平分， (1)如图，求证：； (2)如图，当时，将沿翻折，点落在点处，连接，若，试探究线段与线段的数量关系，说明理由． 6．(24-25八上·四川眉山·期中)如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 7．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 8．(24-25八上·福建莆田莆田第二中学·期中)已知中，，过点A作直线，点F为直线l上任意一点， (1)点E为线段上的任意一点，点F位于A点的右边，连接交于点H． ①如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； ②如图2，若，当与满足什么关系时，； (2)如图3，若，连接，过点C作，并使，连接交射线于点G，若，，求线段的长度．（用m，n表示） 9．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图1，在中，，，直线经过点，过作 ，垂足为，过作 ，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 10．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知，是等边三角形，点为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转至． (1)如图1，当点在的延长线上时，过点作交边于点，求证：； (2)如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求的长； (3)当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，试探究的值（用含的代数式表示） 题型十一 全等三角形中动点问题解答题轴题（共10小题） 1．(24-25八上·辽宁海城·期中)如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒 ． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求t为何值时，与的面积相等； (3)求t为何值时，与全等； (4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 2．(24-25八上·黑龙江牡丹江·期中)如图①，在中，，，过点作射线．点从点出发，以的速度沿匀速移动；点 从点出发，以的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为()． (1)点、从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，求a的值； (3)如图②，当点、开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M，N，P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由． 3．(24-25八上·福建漳州东山县·期中)（1）在中，，、、三点共线，． ①如图①，若则线段、与三者之间的数量关系： ； ②如图②，判断并证明线段、与三者之间的数量关系； （2）如图③，已知，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，两点中只要有一点先到达终点，则所有运动停止，它们运动的时间用表示．问：运动过程中是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的和的值；若不存在，请说明理由． 4．(24-25八上·河北唐山路北区·期中)已知，如图，在梯形中，直线，直线，垂足分别为D，E，点C在直线上，， (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若，求梯形的面积； (3)如图2，设梯形的周长为m，边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点同时停止移动． ①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____；（填“”“”或“”） ②移动过程中，点P与点Q能否相遇，如果能，直接写出两点相遇的位置． 5．(24-25八上·四川宜宾第二中学校·期中)如图，在中，，，分别过两点作过点的直线的垂线，垂足为； (1)如图，当两点在直线的同侧时，猜想，、、三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图，当两点在直线的两侧时，且直线被截成的线段、、的长度分别是，，，又，，求的值（用含有a，b，c的代数式表示） (3)如图，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以每秒和个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过和作于，于．问：点运动多少秒时与全等？ 6．(24-25八上·海南儋州第一中学·期中)在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 7．(24-25八上·四川内江威远县界牌镇中心学校·期中)如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等； (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇． 8．(23-24八上·吉林长春南关区东北师大附中·期中)如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 9．(24-25八上·吉林长春榆树慧望初级中学·期中)如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒． (1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______． (2)当的面积等于面积的一半时，求的值． (3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值． 10．(24-25八上·江苏扬州邗江区维扬中学·月考)（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    题型十二 全等三角形中探究类问题（共8小题） 1．(24-25八上·河南郑州经济技术开发区第四中学·期中)【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 2．(24-25八上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)综合与实践：折纸中的数学 【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】（1）锦宝同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则__________°； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图2），再将纸片展开铺平（如图4）．此时锦宝说，就是的平行线．锦宝的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【深入探究】（2）如图4，若纸片为正方形，已知，，请你连接，并猜想与之间的关系，说明其理由； 【拓展延伸】（3）在（2）条件下，连接，若，的面积为30，请连接，，求的面积． 3．(23-24八上·山西吕梁交城县·期中)问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 4．(24-25八上·黑龙江绥化北林区绥化第六中学校·期中)问题背景：（1）如图①，已知中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易证：___________． （2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线上，并且有，请求出三条线段的数量关系，并证明． （3）实际应用：如图③，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，请直接写出点的坐标． 5．(24-25八下·福建漳州诏安县·期中)综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？ 探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 6．(24-25七下·山东济南历下区·期中)【模型探究】 已知是等腰直角三角形，，．过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． （1）如图1，已知，，连接，则的面积为______； （2）如图2，已知，，连接，则的面积为______． 【方法迁移】 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，．又以为斜边构造，其中，求的面积； 【思路拓广】 （4）如图4，在中，，，．请以为边在左侧构造等腰直角三角形，连接构造，则的面积为_____． 7．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． (4)实践应用：正方形中，若平面内存在点满足，则的面积为___________． 8．(24-25八上·河南郑州外国语中学、枫杨外国语、朗悦慧外国语等联考·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 题型十三 全等三角形中实践类问题（共8小题） 1．(24-25八上·江苏无锡江南中学·期中)【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 2．(24-25八上·河北邯郸武安贺进镇沙洺中学·期中)【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 3．【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 4．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 5．(24-25八上·山西大同天镇县·期中)阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 6．(24-25八上·山东临沂罗庄区·期中)【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求的值． 7．(24-25八上·广西南宁第二中学·期中)综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？    【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点落在边上的点，折线交于点，连接，发现，……，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点、紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，在中，，，，分别是边，上的动点、当四边形为“筝形”时，请直接写出的度数． 1．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①②④⑤ 2．如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）． A．5 B．6 C．8 D．9 3．对于问题：“如图，，且，过点作直线，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点运动，点到达点时停止运动，点继续向点运动，直至到达点时，运动结束．在运动过程中，过点作于点于点，设点的运动时间为秒，当与全等时，求的值”．甲答：2．乙答：6．丙答：16． 对于以上解答，说法正确的是（    ） A．甲和乙的答案合在一起才正确 B．乙和丙的答案合在一起才正确 C．甲、乙、丙三人的答案合在一起才正确 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起也不正确 4．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为 ． 5．一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为，则称这个数为“吉祥数”．例如：，满足，则是“吉祥数”，则最小的吉祥数为： ；若一个四位数（其中，，，，且，，，均为整数）为“吉祥数”，记，且是完全平方数，则满足条件的所有“吉祥数”的和是 ． 6．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 7．如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 8．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 1 / 222 学科网（北京）股份有限公司 $