21.3 第3课时 几何面积问题与一元二次方程（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何面积问题与一元二次方程 教学内容 第3课时 几何面积问题与一元二次方程 课时 1 核心素养目标 1. 会用数学的眼光观察世界：挖掘几何问题中的代数信息，把握问题本质，发展学生数形结合思维与空间想象力. 2. 会用数学的思维思考问题：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，培养学生推理意识. 3. 会用数学的语言表达思想：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题，发展应用能力. 知识目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 教学重点 运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 教学难点 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、新课导入 引例： 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 师生活动：教师播放PPT，学生先独立思考，再小组讨论. 二、探究新知 知识点1：几何图形与一元二次方程 合作探究 请尝试分析一下此题的解题思路 并回答下述五个问题. 师生活动：教师引导学生分析题意 ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是 27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推： 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ②设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： 列出的方程为整数式，方便计算. ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 教师追问：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价与指导，预测可得答案： ⑤请尝试换一种设未知数的方法，更简单的解决上 述问题. 教师追问：学生小组讨论，小组代表展示，教师适当评价与完善板书： 方法总结： 在几何图形的面积问题中： 规则图形：面积公式. 不规则图形：割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 例题精析 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表上台板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 教师追问：还有其他列法吗？ 若有学生还有其他方法，教师都应予以肯定，若没有，教师补充讲解如下方法： 方法总结： 解决有关图形面积问题： 链接中考 1. (襄阳) 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？ 师生活动：学生先独立解答，然后请学生板书，教师与其余学生评价与完善板书. 三、当堂练习 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 2.(黄冈月考)某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场. 鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2 米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为30米. (1) 若墙长为 8米，要围成的鸡场面积是120平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2) 围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由. 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s 的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为 9 cm²？ 设计意图：引入实际问题，使学生发现几何问题中的代数信息，养成用数学的眼光看问题的习惯. 设计意图：将问题细分为5个小问题，帮助学生逐步分析，克服畏难心理，理清解决问题的思路，强化学生推理能力. 设计意图：通过简单的问题帮助学生明晰矩形的长宽的数量关系，引导学生设未知数. 设计意图：提示学生简便计算，复习解一元二次方程的方法，锻炼学生的计算能力. 设计意图：提醒学生解决实际问题要考虑实际情况取舍. 设计意图：一题多种方法解答，活跃学生思路，激发学生思考的兴趣，提高学生的解题技巧. 设计意图：方法总结锻炼学生归纳能力. 设计意图：一题多种方法解答，活跃学生思路，激发学生思考的兴趣，提高学生的解题技巧，发展学生数形结合思维与空间想象力. 设计意图：讲解平移转化法，发展学生空间想象力. 设计意图：通过真题训练，培养学生举一反三和自主学习意识，提高学习的迁移水平. 设计意图：巩固列一元二次方程解决几何面积问题的能力. 设计意图：巩固用一元二次方程解决几何面积问题的能力. 设计意图：练习动点问题中一元二次方程的应用，提高应用能力. 板书设计 几何面积问题与一元二次方程 规则图形：面积公式 不规则图形：割补法 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。 教学反思 本节课将代数与几何面积结合在一起，需要学生充分发挥几何想象力，教师可以借助多媒体或其他教具展示平移转换，辅助学生理解此方法，帮助学生感受动态变化中的不变的量，体会数学的巧妙之处. 学科网（北京）股份有限公司 $