第1章 有理数 思维能力提升训练卷-2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

有理数思维能力提升训练卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，那么的取值可能是（     ） A． B．1 C．或3 D．1或 2．定义新运算：对任意非零实数，有，则（ ） A． B．1 C． D． 3．今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（    ） A． B． C． D． 4．在多项式中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有项，并把绝对值符号内最右边项的“”改为“”，称此为“添加操作”，最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为T．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得，此时．再将“”改为“”，可得．于是同一种“添加操作”得到的T有2种可能的情况：或．下列说法：①若，，则；②共有3种“添加操作”，可能得到；③有且仅有一个k值，使T中可能有2个“”，其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列说法①观察下列等式：则的末位数字是9②三个有理数a，b，c满足，的值为或③n是一个有理数，则的最小值是9④如果，，那么，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　 　） A． B． C． D． 8．在黑板上写下一列不同的自然数，允许擦去任意两个数，再写上它们两个数的和或差（前数－后数），并放在这列数的最后面，重复这样的操作，直至在黑板上仅留下一个数为止，下列说法中正确的个数为（    ） ①写了2、3、4，按此操作，最后留下的那个数可能是5； ②写了1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能有16种不同的结果； ③写了1、2、3…19、20，按此操作，最后留下的那个数可能是． A．0 B．1 C．2 D．3 9．下列说法中：①1.804(精确到0.01)取近似数是1.80；②若a+b+c=0则可能的值为0或1或2；③两个三次多项式的和一定是三次多项式；④若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a+b=-13；正确的个数有(     ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．观察下面三行数： －2、4、－8、16、－32、64、……① 0、6、－6、18、－30、66、……② －1、2、－4、8、－16、32、……③ 设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x－y－2z的值为（    ） A． B．0 C．－2 D．2 二、填空题 11．小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 12．时任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年Lothar Collatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢?这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数n，变换次数m，当时，n的所有可能值有 个，其中最小值为 ． 13．已知为任意有理数，则的最小值为 ． 14．计算： ． 15．阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝ ． 16．观察下列等式：；；；… 探究规律后填空： （1） ．（用含的代数式表示） （2）计算 ． 17．有若干个数的和为m，绝对值的和为n，若m＋300＝n，则这些数中所有负数的和等于 ． 18．同学们都知道： 表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理，可以表示数轴上有理数所对应的点到-2和3所对应的点的距离之和，则 的最小值为 ． 19．【阅读】计算的值. 令S＝，则3S＝，因此3S－S＝， 所以S＝，即S＝＝. 依照以上推理，计算：＝ . 20．定义一种新的运算：，如：，则 . 三、解答题 21．定义：点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．若点、点分别在原点的两侧，，点对应的数是． (1)则点对应的数为______，的长为______； (2)动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向点运动，运动到点停止，点同时从点出发，以6个单位长度/秒的速度向点运动，到点后立即返回直至运动到点停止，运动时间为秒． ①当______秒时，点运动到点； ②当秒时，______； ③当______秒时，； ④当______秒时，． 22．我们知道：表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探索吧！ 实验与操作： （1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格． a 2 －3 4 －1 … b 6 0 －1 5 … A，B两点之间的距离 4 3 … 观察与猜想： （2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为 （用a、b的代数式表示）． 理解与应用： （3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位．已知动点A、B的速度之比是（速度单位：1个单位长度/秒）． ①求两个动点运动的速度； ②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； ③若A、B两动点分别从②中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 23．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 24．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是____________________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 25．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝　　，④＝　　； （2）关于除方，下列说法错误的是　　 A．任何非零数的圈2次方都等于1；              B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③      D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　　； （4）算一算：  ④×③－⑧÷． 26．如图已知数轴上点、分别表示、，且与互为相反数，为原点. （1）______，______； （2）将数轴沿某个点折叠，使得点与表示－10的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为______； （3）若点、分别从点、同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，到点后立刻原速返回，设运动时间为秒. ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②求为何值时，； ③求为何值时，点与相距3个单位长度. 27．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题. 【提出问题】三个有理数a，b，c，满足abc>0，求的值. 【解决问题】 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当a，b，c，都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则= =1+1+1=3； ②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则= =1−1−1=−1； 所以的值为3或−1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求的值； (2)已知=9，=4，且a<b，求a−2b的值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【详解】解：当，时，原式； 当，时，原式； ，时，原式； 当，时，原式． 综上所述，的值是3或． 故选：． 2．D （）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 3．B 【详解】解：从早晨时分，到上午时分共经历了个小时，即个“半小时”，因此进行次人员的进出，由进出人数的规律可得， 上午时分公园内的人数为： ， 故选：B． 4．D 【详解】依据题意，分别分析如下： ①, 即 又的绝对值是， ∴. ∴. ∴①正确. ②时, ，则可能，这是一种绝对操作 ，则可能，这是第二种绝对操作； 时,, 则可能.这是第三种绝对操作， ∴共有三种绝对操作故②正确； ③时只有1个“”, 时, 有个或个“”, 时, 有个或个“”. ∴③正确. 故选:D. 5．B 【详解】解：， ∴可知这一列数得到运算结果的末位数字是3，9，7，1，循环出现，且每个循环内，末位数字的和为 ∵， ∴的末位数字之和为， ∴的末位数字是2，故①错误； ∵， ∴a、b、c中有三个负数和两个正数一个负数， 当a、b、c都为负数时， ； 当a、b、c中两个正数一个负数时，不妨设，则； 综上所述，的值为或，故②错误； ③表示数轴上表示点n的数到表示的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和都有最小值，即此时最小，最小值为，故③正确； ④设， ，， ∴， ∵， ， ， ， ，故④正确， 故选B． 6．B 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 7．D 【详解】解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 8．B 【详解】①2、3、4，去掉2、4，加入新数（），此时为3、；； 即最后留下的那个数可能是5，故①正确； ②每轮操作减少一个数，共需要三轮才剩下一个数， 4个数中选出2个数共有6种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 3个数中选出2个数共有3种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 2个数中选出2个数共有1种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 每一轮都直接影响下一轮， 即总的可能情况有：（种）， 但是出现的数的可能结果会有重复的情况， 通过计算得知最后留下的那个数可能为：，共14种情况， 即最后留下的那个数可能有14种不同的结果，故②错误； ③除1之外，后面19个数的和为：， 操作：每次去掉两个最大的数，新加入的数为这两个数的和，依次类推， 最后得到的两个数为：1和， 最后去掉1和，新加入的数为， 即可知：是经过操作之后可能出现的最小的数， 故最后结果不可能是， 故③错误， 即正确的只有1个，为①， 故选：B． 9．D 【详解】说法①，正确； 说法②，若a+b+c=0，则a、b、c三个数一定是两正一负或者两负一正，若是两正一负，则，，若是两负一正，则，，故若a+b+c=0则始终只能为0，所以该说法错误； 说法③，错误；两个三次多项式的和有可能为0； 说法④，错误；． 10．C 【详解】第①行的数是以2为底数，指数从1开始的连续自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210，； 第②行的数比第①行对应数大2，第10个数为210+2，； 第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正，第10个数为210÷2，； 故选C 11．20 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是21前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第20个运算符号写错了， 故答案为：20． 12． 4 6 【详解】结合运算程序，先尽量找到具有下列特点的数： ，，，，，，，，，，， 由输出结果是1，倒推得到： 1→2→4→8→16→5→10→20→40， 1→2→4→8→16→5→10→3→6， 1→2→4→8→16→32→64→128→256， 1→2→4→8→16→32→64→21→42， ∴则x的可能值有4个，最小值为6， 故答案为：4，6． 13． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 故答案为： 14． 【详解】解：， ， ， ， =． 15．﹣2017 【详解】解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝a⊕b﹣2c＝n﹣2c， ∵1⊕1＝2， ∴（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021． 又∵2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017， ∴2020⊕2020＝﹣2017． 故答案为：﹣2017． 16． 64355 【详解】根据题意得：． 故答案为： （2）根据题意得：， ， 则． 故答案为：64355 17．-150 【详解】设、、……，共有k个数，设其中、……为负数，这里 由题意得： ∴ ∵ ∴ 即 ∴ 故所有的负数的和等于：-150 故答案为-150 18．5 【详解】解：由题意可得表示数轴上有理数所对应的点到-3和2所对应的点的距离之和， ∵两点之间线段最短 ∴数轴上表示x的点位于-3和2之间的时候，x到-3的点的距离与x到2的点的距离之和就是表示-3的点与表示2的点之间的距离， ∴的最小值为5. 故答案为5 19． 【详解】解：设S=， 则5S= 因此S+5S=1       6S=1 6S=1    6S=1 ∴S= 即 20． 【详解】利用题中的新定义： 故答案为 21．(1)，；(2)①；②；③；④或或或 【详解】（1）解：点对应的数是， ， 点、点分别在原点的两侧，， ， 故点对应的数为，的长为． （2）(2) ①点P运动到点B所需时间为 (秒)； 故答案为∶ ； ② 时，表示的数为表示的数为， 故答案为∶ ； ③表示的数为， 解得：， 故答案为∶ ； ④当从到时，表示的数为， ， 解得：或； 从B到A需要 (秒)， 当从A返回时， 表示的数为 ， 解得∶或； 综上所述， 当或或或 时， ； 故答案为：或或或． 22．（1）5，6；（2）或；（3）①动点A的运动速度是3个单位长度/秒，动点B的运动速度是2个单位长度/秒；②数轴见解析；③2秒或4秒或10秒或20秒． 【详解】（1）解：，， 故答案依次为：5，6． （2）解：A、B两点之间的距离可以表示为或， 故答案为：或， （3）①解：设动点A、B的速度是、， 可得：， 解得：， 所以，，， 答：动点A的运动速度3个单位长度/秒，动点B的运动速度2个单位长度/秒. ②解：因为动点A的运动速度3个单位长度/秒，动点B的运动速度2个单位长度/秒，所以点A为，点B为6，如图， ③解：设经过t秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 显然，动点A、B同时按原运动方向运动或同时向左运动不符合题意． 所以，i)当动点 A、B同时向右运动时，动点A、B对应的数分别是、， 根据题意得：，解得：或， ii)当动点 A向右运动、动点B向左运动时，动点A、B对应的数分别是、， 根据题意得：，解得：或， 答：经过2秒或4秒或10秒或20秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 23．(1)，，；(2)或；(3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【详解】（1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 24．(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或；(2)，，，0,1；(3)，7；(4)实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【详解】（1）解：由题意可知， 式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为： 或， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或， （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0,1 故答案为：，，，0,1 （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离为7； 故答案为：，7； （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x， 使总运输和包装成本最低；即最小， x在1时，最小； x在1与3之间的线段上最小 所以x在1时最小，最小值为 所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 25．（1），4；（2）C；（3）；（4） 【详解】（1）2③=2÷2÷2=， ④===4 故答案为，4； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；  所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确； C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=则  3④≠4③； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 故选C； （3）aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷an﹣2=． （4）由（3）得：④=，③=，= 故，原式=． 26．（1）9，-6；（2）5；（3）①9-t；②t=6或t=18；③t=4、6或12 【详解】（1）∵与互为相反数， ∴+=0， ∴b+6=0，a-9=0， ∴b=-6，a=9， 故答案为：9，-6； （2）∵点A表示的数是9， ∴当折叠，使得点与表示－10的点重合时的折叠点是-0.5， ∴此时与点重合的点所表示的数为-0.5+（-0.5+6）=5， 故答案为：5； （3）①点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是9-t， 故答案为：9-t； ②∵， ∴当点M在OA之间时，即2（9-t）=t，解得t=6； 当点M在点O左侧时，2（t-9）=t，解得t=18； ∴当t=6或t=18时，， ③由题意知，AM=t，BN=2t， 当点N未到达点A，且与点M未相遇时，t+2t+3=15，得t=4； 当点N未到达点A，且与点M相遇后，t+2t-3=15，得t=6； 当点N到达点A后,t-（2t-15）=3，得t=12， 2t-15-t=3，得t=18(舍) 综上，当t=4、6或12时，点M与N相距3个单位长度. 27．(1)-3或1；(2)−17或−1. 【详解】(1)∵abc<0， ∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c都是负数，即a<0，b<0，c<0时，则原式=−1−1−1=−3； ②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，不妨设a<0，b>0，c>0，则原式=−1+1+1=1； (2) ∵ =9，=4 ∴a=9，b=±4 ∵a<b， ∴当a=-9，b=4时，a−2b=−9−2×4=-17， 当a=-9，b=-4时，a−2b=−9−2×(-4)=-1， 学科网（北京）股份有限公司 $