上册 第三章 2 用频率估计概率-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级上册（北师大版） 用频率估计概率 自主导学Q典例精析 卡多参 例题在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形 状、大小、质地完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定 在5%和15%，则口袋中的白色球的个数很可能是个. 【分析】因为当试验次数足够多时，试验频率稳定在事件理论概率附近，因此我们可以 用多次试验的频率来估计概率.本题中，小李通过多次试验发现其中摸到红色、黑色球的频 率稳定在5%和15%，则摸到白色球的频率稳定在80%，因此口袋中的白色球的个数可能是 20x80%=16(个). 【解答】16 【点拨】解此类题型的关键是根据试验频率估计理论概率，从而得到相应的等量关系。 基础巩固达标闯关 卡多多 1.在七年级下册，我们曾做过掷一枚质地均匀硬币的试验.当试验次数很大时，正面朝 上的频率将逐步稳定在 左右，所以我们可以通过多次试验中事件发生的 去 估计这一事件发生的 2.在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为扩大城市绿化面积，进行了大量的 树木移栽.下表记录的是在相同条件下移栽某种幼树的棵数与成活的棵数： 移栽棵数/棵 100 1000 10000 成活棵数棵 89 910 9008 据此估计幼树成活的概率是 (结果用小数表示，精确到0.1). 3.在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝 上的概率是}”小李做了下列三个模拟试验来验证：①取一枚新颈币，在 桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀 的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针 落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面 第3题图 上，纸板正中间放一个圆锥（如右图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上 的米粒数与纸板上总米粒数的比值.上面的试验中，不科学的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 64 概率的进一步认识 第三章 4.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如 图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是() A.布袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄频率 球，从中随机摸出一个球是红球 0.34 0.33 B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是 0.32 偶数 0.31 C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 100200 5008001000次数 D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上 第4题图 的面的点数之和是7或超过9 5.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物30元以上就能获得一次 转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进 行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 可乐 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 铅笔 落在“铅笔”的频率m 第5题图 (1)计算并完成表格， (2)请估计，当n很大时，频率将会接近多少？（精确到0.1） (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ (4)在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1） 65 数学 九年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 6.一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字 3,4,5,x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机地试摸出1个球，并计算摸出的这2个小球 上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.试验数据如下表： 摸球总次数/次 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为8”出现的频率 0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率 附近，估计出现“和为8”的概率是 (结果用分数表示). (2)请用列表或画树状图的方法以及（1)中估计“和为8”的概率结果，确定小球上 数字x所有可能的值. 66 概率的进一步认识 第三章 7.甲、乙两名同学在操场做游戏，他们先在地上画出边长为2和3m的正方形（如 图1，小正方形含在大正方形内)，然后蒙上眼睛在一定距离外向方格内掷小石子（掷到各 点的可能性相等)，掷中阴影部分甲同学获胜，否则乙同学获胜（未掷入方格内不计）. 图1 图2 图3 第7题图 (1)如果你是裁判，你认为这个游戏公平吗？为什么？ (2)游戏结束后，甲同学对乙同学说，我可以用这种方法来估算不规则图形（如图2） 的面积，具体方法如下：①先将不规则的图形放在一个边长为α的正方形中（如图3）； ②向正方形中随意掷小石子，掷在正方形外不计；③记录并统计小石子落在正方形内的次 数，当所掷次数较多时，设掷入正方形内m次，其中n次掷到不规则图形中.于是我就可以 估计出这个不规则图形的面积了. 你认为甲同学的这种方法正确吗？如果正确，请你帮助甲同学计算出不规则图形的面 积，并说明他根据什么规律；如果不正确，请说明理由 ⑦ 口数学 九年级上册（北师大版） 中考链接©真题演练 :多 8.(2024·准安)一个不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相 同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中.通过大量重复摸球试验后发 现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个 9.（2024.宁夏)为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如 下表所示： 移植总数n 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数m 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率m 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 n 估计这种幼苗移植成活的概率是 (结果精确到0.1)： 10.(2024·贵州)小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为 0.4,下列说法正确的是() A.小星定点投篮1次，不一定能投中 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 C.小星定点投篮10次，一定投中4次D.小星定点投篮4次，一定投中1次 11.(2021·长沙)长沙市入选2021年五一假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客， 设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每 个球除颜色外，其他都相同)的不透明纸箱中随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个 景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费 发放了景点吉祥物15000个. (1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率. (2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少 68)数学 九年级上册（北师大版） 2用频率估计概率 1.0.5频率概率2.0.93.A4.D 5.解：(1)0.680.740.680.690.7050.701(2)当n很大时，频率将会接近0.7.(3)获得铅笔 的概率约是或07.。(4表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是252 6.解：)专 (2)用表格列出甲、乙两人摸出的球的数字和的可能性结果如下： 和 欧 3 3 7 8 3+x 4 7 4+x 5 8 9 5+x 3+x 4+x 5+x 由表格知，共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同.若3+=8，则x=5,此时甲、乙两人摸 出的球的数字和为8的结果有4种，P(和为8)告了若4+：=8，则x=4,此时甲、乙两人摸出的球的数字和 为8的结果有4种，：P(和为8)-竞了：若5+8，则3，此时甲、乙两人摸出的球的数字和为8的结果有4 种，代和为8)告背x的值可能为3或4或5. 7.解：（山不公平.代阴)号-号，即甲同学获鞋的概率为；.乙同学获胜的概率为号音>号游 戏对双方不公平.(2)方法正确.设不规则图形的面积为S,掷人不规则图形内的频率=卫≈P(掷入不规则图形 内)产，“不规则的图形面积S=产当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率（或频率与概率的关系）》 8.129.0.910.A 11.解：(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为5000=0.25.(2)由(1)估计从纸箱中随机摸 60000 出一个球是红球的度*为子设纸箱巾白球的数址为，从纸箱中随机摸出一个球是红球的感率为品。由品。 4 12+x =},解得x=36,经检验x36是分式方程的解且符合实际，估计纸箱中白球的数量接近36， 第四章图形的相似 1成比例线段（第1课时）】 1.③⑤①②④⑥2.5：33.94.45.5：26.D7.B8.B9.(1)4:1(2)1:3(3)3:4 10.V3:211.直角三角形.12.BD=2.1cm,DC=3.5cm.13.114.215.A 1成比例线段（第2课时） 1号2分32或-14号5B6A7D8B9-子 10解：0品-瓷，104品-瓷小0-%24 BD EC 1.解：品批1C-04C1C-4-能 BC ME ME 12.解：由题意，得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+b)m,又：a=b,c=d,c=2a,.AB=(1.2+c+d)m=(1.2+4a)m, AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a)m.AB与AD的比是16：10，.(1.2+4a):(0.8+2a)=16:10..a=0.1.b=0.1,c=d=0.2. 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m,0.1m,0.2m,0.2m. 2平行线分线段成比例 1.2cm2.33.1.54.3:25.B6.B7.D 7