上册 第二章 4 用因式分解法求解一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

数学 九年级上册（北师大版） 7.解：设这个百分数是x,则400+400(1+x)+400(1+x)2=1900.整理得(1+x)2+(x+1)-3.75=0.解得x=0.5= 50%,2=-3.5(舍去).答：这个百分数为50%. 8.解：(1)(n+3)(n+2)(2)由题意，得(n+3)(n+2)=506,即n245m-500=0,解得n=20,n2=-25(舍 去).(3)白瓷砖块数是n(n+1)=20×21=420,黑瓷砖块数是506-420=86，共需86×4+420×3=1604（元）. (4)n(n+1)=(n+3)(n+2)-n(n+1).化简，得m-3n-6=0.解得m=3+y33,=3-y3<0(舍去).n不为正 2 2、 整数，.不存在黑、白瓷砖数量相等的情形. 9.C110.C11.C12.D13.C14.D 3用公式法求解一元二次方程（第2课时） 1.解：设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.根据题意，得(x-2)·(2x-4)=288.解这个方程，得x=-10(不 合题意，舍去)，=14.∴.=14,2=2×14=28.答：矩形温室的长为28m、宽为14m. 2.解：设这种长方体箱子底部宽为xm,则长为(x+2)m.依题意，有x(x+2)×1=15.整理得x2+2x-15=0.解 得=3，x2=-5(舍去)，∴.这种长方体箱子底部长为5m,宽为3m.由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮的面 积为(5+2)×(3+2)=35(m2),.购回这张矩形铁皮共花35×20=700（元）. 3.解：设剪去的正方形的边长为xcm,则底面矩形的长为(10-2x)cm,宽为2(12-2x)=(6-x)cm,依题 意，得(10-2x)(6-x)=24.整理，x2-11x+18=0.解得=2，x2=9.当=9时，6-=-3，不符合题意，舍去.答：剪去 的正方形的边长为2cm. 4.解：（1)方案如图： ① ③ (⑤ 第4题答图 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性，从美学的角度方案③最出色，方案③④⑤都具有对称性. (2)方案①可列出方程32×20-(32x+20x-x2)=540;方案②可列出方程(32-x)(20-x)=540;方案③可列出方程 42j(2-540,方案④可列出方程2(20-)2-540：方案⑤可列出方程232-)(2-540，x 的值都等于2m. 5.A6.解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为xm,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.根据题意，得x(72-2x)》 =640.整理方程，得x2-36x+320=0.解得x=16,x=20.当x=16时，72-2x=72-32=40(m),当=20时，72-2x=72- 40=32(m).答：当羊圈的长为40m、宽为16m或长为32m、宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈. (2)答：不能.理由：由题意，得x(72-2x)=650.整理方程，得x2-36x+325=0.4=(-36)2-4×325=-4<0,∴.一 元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m2. 4用因式分解法求解一元二次方程 1=子，72分33l,=-74C5A6D 7)=7,=号(2)==子（(3)=号，=各(4)=子，=号 (5)x=-1-2V7, =-1+2V7(6)x=3,=-15 8.解：(1)24(2).x2-3x-4=0,x2+(-4+1)x+(-4)×1=0,∴.(x-4)(x+1)=0.则x+1=0或x-4=0.解得x1=-1, x=4. 9解：设大正方形的边长为xcm,则小正方形的边长为宁+4)cm,则2行*4尸-32=，整理得之-16= 0,解得x16,0(含去).子×16+42(cm), 10.解：设该村年投入资金的增长率为x,则2(1+x)2-2.88..(1+x)21.44=0,.(1+x+1.2)(1+x-1.2)=0.解 得x=0.2,2=-2.2(舍去)，2.88×(1+20%)=3.456（万元).答：该村在2025年投人资金3.456万元. 11.解：设较小的数为x,则x2+(+1)2-2x=51.整理得x2-25=0.解得x=5,x=-5(不合题意，舍去).这两个数是5 218 参考答案与提示 和6. 12.解：依题意，(1-30%)(1-m%)2=143.3%,整理得(1-m%)2-0.81,m=10,m2=190(不合题意，舍去). .m=10. 13.B 14.解：(1)）利用公式法：2+2x-1-0.a=1,b=2,c=-1,4=2-4x1x-1)=4+4=8.x=-2生Y8=-2±2V2 2 2 =-1±V2.∴x=-1+V2,2=-1-V2.(2)利用因式分解法：x2-3x=0..x(x-3)=0.∴x=0,x2=3.(3)利用配 方法：2-4=4.两边都加上4，得x2-4x+4=8.∴.(x-2)2=8.∵x-2=±2V2.∴x=2+2V2,2=2-2V2.(4)利用 因式分解法：x2-4=0..(x+2)(x-2)=0.x1=-2,x=2. 5一元二次方程的根与系数的关系 1-12.号-73D4C5.3w-10-06-37)-6V22)-4 8解：由根与系数的关系，得+。-，=4-3，由题意，知4-3-解这个方程，得-1，k子 原方程有两个实数根，4--44-3=12-15当=-1时，42-15-3<0：当=号时，42-15诏> 0,= 9.(1)证明：4=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0,∴.无论m取何值时，方程都有两个不相等 的实数根.(2)解：该方程的两个实数根为a,b,∴.a+b=2m+1,ab=m2+m.(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2= 2(d2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ab,.2(a+b)2+ab=20,.2(2m+1)2+m2+m=20.整理得m2+m-2-0,解得m1=-2,m2=1,∴m 的值为-2或1. 6应用一元二次方程（第1课时） 1.解：设阔（宽）为x步，则长为(60-x)步，则x(60-x)=864.x=24,x=36.则阔（宽）为24步，长为36步. 2.解：设P,Q两块绿地周周的硬化路面的宽都为xm,根据题意，得(60-3)x(40-2x)-60x40x},解得x= 10,2=30.经检验，2=30不符合题意，舍去.∴.两块绿地周围的硬化路面的宽都为10m. 3.解：(1)由题意，矩形窗户AEFD的长EF=2x,宽AE=x,.矩形窗户AEFD的面积为22.又所有线段 总长为10.5m,矩形窗户AEm边框的周长为7x,矩形窗户BCE的边BC长为2，BE=号(105-9x)-35-3x, .矩形窗户BCFE的面积为2x(3.5-3x)=7x-62.(2)由题意，得22+7x-6x2=2.5,x=0.5,2=1.25.当x=125时， BE=3.5-3x=-0.25,不符合题意，舍去；当x=0.5时，BE=3.5-3x=2..BE的长为2m. 4解：设机器人在(，0)处与小球相遇.由题意，得4科(x-4片[2(17-x),整理得3+2x-1610.解得 =7,号（不合题意，含去），机器人最快在点(，0)处截住小球 5.解：如图，设侦察船需th能侦察到军舰.在Rt△AA'B'中，AB2+AA2=BA2, 北 即(20P4(90-30)50整理得1354+560.解得2，答，放能债察到军银. A -A 且最早要经过2h. 东 6.解：(1)在Rt△ABC中，AC=V2.5-0.7严=2.4.设梯子的顶端沿墙垂直下滑 B 0.4m后，梯子的位置为AB,梯足外移xm,则AC=2.4-0.4=2.在Rt△AB,C中， B (0.7+xP+22=2.5子.化简方程，得x2+1.4-1.76=0.解得x1=-2.2（舍去)，=0.8.(2)y< x理由如下：由题意知AC-c,∠Ac90,AB25,4C-6C-5Y至YZ-月： 第5题答图 ，4 |5Yy-29,则45Y2-0x0.0.则40.y<0.即yx (3)有，梯子下滑的距 离为1.7.理由如下：设AA=BB=x,则AC=2.4-x,BC=0.7+x,则2.5=(2.4-x)2+(0.7+x)2,化简，得2x2-3.4x=0.解 得x=1.7,2=0（舍去)，∴x=1.7.(4)设AA=BB=0.4,AC=x,BC=y,则2.52=y2+(x+0.4)2,2.52=(y+0.4)2+x2. 则x=y.在Rt△ABC中，2.52=y2+(y+0.4)2,即2y240.8y-6.09=0,则y≈1.6.口数学 九年级上册（北师大版） 用因式分解法求解一元二次方程 自主导学Q典例精析 例题解一元二次方程：3(x-5)2=2(x-5). 【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可. 【解答】方程变形，得3(x-5)2-2(x-5)=0. 分解因式，得(x-5)[3(x-5)-2]=0,即x-5=0或3x-17=0. 解得5，} 【点拔】此题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解本题的关键 基础巩固飞U达标闯关 卡多s 1.方程(5x+3)(x-7)=0的解是 2.方程3(2x-1)-x(2x-1)=0的解是 3.方程(x+3)2-16=0的解是 4.若x+2x的值等于零，则x的值为（) A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或2 5.已知x2-6xy+9y2=0,则x的值为（) A.3 B.-3 c D.-3 6.方程(x2-4)+3(x+2)=0的解是(）) A.x=2 B.x=-2 C.x1=-2,x2=1 D.x=-2,x=-1 7.用因式分解法解下列方程： (1)4(x-2)2-25=0: (2)16x2-24x+9=0: (3)(2x+3)2-16x(2x+3)=0: (4)(x+3)2=9(x-2)2; (5)(x+1)2-28=0: (6)3x2-27=2(x-3)2 一元二次方程 第二章 能力提升睡综合拓展 8.由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到“十字 相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2x3=(x+2)(x+3). (1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+)(x+） (2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0. 9.现有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4c,大正方形的面 积比小正方形的面积的2倍少32c,求大、小两个正方形的边长. 10.某村逐年增加村垃圾处理的投入，已知2022年投人资金2万元，2024年投人资金 2.88万元.假定每年投入资金的增长率相同，求该村在2025年投入资金多少万元. 43 口数学 九年级上册（北师大版） 11.两个相邻自然数的平方和比这两个数中较小者的2倍大51，求这两个数. 12.某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县人民的共同愿望.到2021年 底，全县沙漠的绿化率已达30%.此后政府每年都将当年年初未被绿化的沙漠面积的m%栽 上树进行绿化，因此到2023年底，全县沙漠的绿化率已达43.3%.求m的值. 中考链接©真题演练 13.(2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是（) A.x1=3,x2=1 B.x1=2,2=0C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 14.(2022·贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配 方法、公式法和因式分解法，请你选择恰当的方法解下列方程. (1)x2+2x-1=0: (2)x2-3x=0; (3)x2-4x=4: (4)x2-4=0. 西