上册 第二章 3 用公式法求解一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级上册（北师大版） 用公式法求解一元二次方程（第1课时) 自主导学Q典例精析 例题1关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围. 【分析】根据方程的意义及根的判别式即可得到m的取值范围. 【解答】关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，∴.m-2≠0且22-4×(m-2)× 1≥0.解得m≤3..m的取值范围是m≤3且m≠2. 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b2-4ac.当△>0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根. 根的判别式的优势是不用解方程，就可以直接判断方程是否有实数根， 例题2用公式法解方程：(x+2)(2x-5)=-9. 【分析】先将方程化为一般式，然后再利用求根公式解方程. 【解答】方程整理，得2x2-x-1=0. 这里a=2,b=-1,c=-1,b2-4ac=(-1)2-4x2×(-1)=9>0, 9,即=l,分 2x2 【点拨】本题考查用公式法解一元二次方程.用公式法解方程关键要把握两点：一是要将 方程化为一般形式，二是要牢记求根公式： 基础巩固)达标闯关 ·e多参参多 1.方程3x2-4x+2=0中，a= ，b= C= 其中b2-4ac= 2.已知一元二次方程m2+nx+(n-m)=0(m≠0)，则判别式△= 该 方程根的情沉况是 3.不解方程，判别下列方程根的情况 (1)2x2+4x+35=0;(2)）4y(y-1)-7=0: (3)0.223 =5; (4)3t2=2V6t-2. 36 一元二次方程 第二章 4.下面解方程3x2-7x=2的过程是否正确？如果错误，请改正. 解：a=3,b=7,c=2,bP-4c=72-4x3x2=25,x=-7生V25=-7±5 2×3 6 3,-2 5.解下列方程： (1)x2-4x-12=0: (2)4y2-12y+9=0: (3)2x2+x-6=0; (4)6x2-13x-5=0: (5)x2-2V2x+2=0; (6)3x2-4x-21=0. 能力提升坤综合拓展 -卡● 6.已知两个数的差等于6，积等于16，求这两个数. 7.从社会效益和经济效益出发，某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以 此来带动本地旅游业的发展.本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内 (本年度为第一年)每年旅游业的收入比上年增长相同的百分数，则这三年内旅游业的总收 入恰好等于投资总额，求这个百分数， ⑦ 口数学 九年级上册（北师大版） 8.如图，用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有 关问题： (1)在第n个图形中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖。 (均用含有n的代数式表示) (2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值， (3)如果黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买 瓷砖？ (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖数量相等的情形？请通过计算说明， n-2 n=3 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2024·云南)若一元二次方程x2-2x+C=0无实数根，则实数C的取值范围为 10.(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2-4x+C=0有两个相等的实数根，则实数C 的值为() A.-16 B.-4 C.4 D.16 11.(2024河北)淇淇在计算正数A的平方时，误算成A与2的积，求得的答案比正确 答案小1，则A=() A.1 B.V2-1 C.V2+1 D.1或V2+1 12.(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是() A.x2-6x=0 B.x2_9=0 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0 13.(2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程x2-mx-n+mn+1=0,其中m,n满足m-2n= 3,关于该方程根的情况，下列判断正确的是（) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 14.(2024宿迁)规定：对于任意实数A，,B,C,有[A,B]★C=AC+B,其中等式右面 是通常的乘法和加法运算，如[2,3]★1=2×1+3=5.若关于x的方程[，x+1]★(mx)=0有 两个不相等的实数根，则m的取值范围为() A.m B.m> 1 4 Cm>}且m≠0 D.m<4且m0 38 一元二次方程 第二章 用公式法求解一元二次方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题小李同学准备进行如下操作试验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段 首尾相连各围成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm,小李应该怎么剪这根铁丝？ (2)小李认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm?,你认为他的说法正确吗？请 说明理由. 【分析】(1)设较短的这段为xcm,较长的一段为(40-x)cm,根据两个正方形的面积 之和等于58cm建立方程求解即可.(2)根据两个正方形的面积之和等于48cm建立方程， 如果方程无解就说明小李的说法正确 【解答】(1)设剪成的较短的这段为xcm,则较长的一段为(40-x)cm, 由题意，得子+0-58整理方程，得40+36-0.解得12,28 当x=12时，较长的为40-12=28(cm);当x=28时，较长的为40-28=12<28（舍去）. 答：小李应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段. (2)小李的说法正确.理由如下：设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40- m)cm,由题意，得朵40m=48.整理方程，得m㎡-40m+416=0, .4=(-40)2-4×416=-64<0,.原方程无实数根.∴.小李的说法正确 【点拨】本题考查列一元二次方程解决实际问题.解题的关键是找到等量关系建立方程和 运用根的判别式.本例是图形等积变形问题，这类问题通常利用体积、面积、周长、直角三 角形三边关系建立等量关系， 基础巩固)达标闯关 1.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1.在温室内，沿前侧 内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少 时，蔬菜种植区域的面积是288m? 侧空地 蔬菜种植区域 第1题图 39 口数学 九年级上册（北师大版） 2.如图，张叔叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长 为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方 体箱子的底面长比宽多2m,现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张叔叔购回这块矩 形铁皮共花了多少元. 第2题图 能力提升坤综合拓展 :e多多每多 3.如图是一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等 的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm的有盖的长方体铁盒.求剪去的正方 形的边长 底面 cm ←-10cm 第3题图 40 一元二次方程 第二章 4.育光中学为美化校园，准备在东西长32m、南北宽20m的长方形土地上，修筑分别 为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面 积为540m2. (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）. (2)如果设道路的宽为xm,列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值 中考链接©真题演练 5.(2024·西宁)如图，小区物业规划在一个长60m、宽 -60 22m的矩形场地ABCD上修建一个小型停车场，阴影部分为 22 停车位所在区域，两侧是宽为xm的道路，中间是宽为2xm 的道路.如果阴影部分的总面积是600m,那么x满足的方程 是() 第5题图 A.x2-41x+180=0 B.x2-41x+225=0 C.x2-41x+30=0 D.x2-41x-270=0 6.(2023·东营)如图，老李想用长为70的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长） 围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2宽的门（建在EF处，另用其他材料）. (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由， 第6题图参考答案与提示 12.200(1+x)2-40113.A 1认识一元二次方程（第2课时） 1.42-13-84C5A6B 7.解：x++1+x+2+x+3=x(x+3),整理得x2-x-6-0.可利用列表方法估算出x=3,则四个数为3,4,5,6. 8.解：由题意知，商品的单价为(50+x)元，则每个的利润是[(50+x)-40]元，销售量是(500-10x)个， 由题意，可得方程[(50+x)-40](500-10x)=8000.整理得x2-40x+300=0.利用列表法估算出=10. 9.310.-411.B 2用配方法求解一元二次方程（第1课时）】 1)422)93(3)3664)空号5)6子(6)号号2.A3.B4D 5解：(0-14，-1，=3(2)+211，=-24Vm,2-V(3)+32华，=1， =-4(4)(x-6)2=64,x=14,x2=-2(5)(x-V3)2=2,x=V3+V2,x2=V3-V2(6)2-5x+1=0 2头，=2T5T 2 2 6.B7.D8.C 9.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3.∴.最小整数解为-2.将a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0,得x2 4x-1=0.配方，得(x-2)2=5.两边开平方，得x-2=±V5.解得x=2+V5,x2=2-V5. 2用配方法求解一元二次方程（第2课时）】 1.D 2解：)k片智，52)2月子，Y,3-Y(3)0月 想，=-号，1（④）方程变形，得2-3-1-0，配方后得子尸号+子尺则=圣±Y平，即 49 ￥亚.=￥平5)+号-，y2.=5五6V5+V月则 3 x=V3±2y6,即=3V52V6,=3V32V6 3 3.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另外两个数分别为(x-1),(+1).依题意，得x(x-1)+x(x+1)+ (x+1)(x-1)=431.化简方程得，3x2-432.解得x=12,=-12.三个连续整数为11,12,13或-13，-12，-11. 4.解：设这两年平均每年的生产总值的增长率为x,得5800x(1+x)2-6500.解这个方程得x≈0.059，x=-2.059. 今年的生产总值大于前年的生产总值，∴=-2.059<0不合题意，舍去.∴≈0.059=5.9%. 5.(1)x=1或x=4.(2)x=-1或x=6. 6.解：（1)1-2提示：原式=x2-2x+1-1-1=(x-1)2-2.(x-1)2≥0，.x2-2x-1≥-2..当x=1时，代数式 x2-2x-1有最小值，最小值是-2.(2)原式=2(x244x)+12=2(x2+4x+4-4)+12=2[(x+2)2-4]+12=2(x+2)2-8+12=2(x+ 2)2+4.(x+2)2≥0,2x2+8x+12≥4.∴.当x=-2时，代数式22+8x+12有最小值，最小值是4.(3)原式=(4x2 4xy+y2)+(x2+6x+9)+16=(2x-y)2+(x+3)2+16.(2x-y)2≥0，(x+3)2≥0,5x2-4xy+y2+6x+25≥16..当x=-3,y=-6 时，代数式5x2-4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16.(4)S>S2.理由如下：S=(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10, S2=5a(a+5)=5a+25a,..S1-S2=-6a+10=(a-3)2+1>0.∴.S>S2. 3用公式法求解一元二次方程（第1课时）】 1.3-42-82.n2-4mn+4m2[或(n-2m)2]有两个实数根3.(1)原方程没有实数根.(2)原方程有 两个不相等实数根.(3)原方程有两个不相等实数根.(4)原方程有两个相等实数根. 4.解：不正确，b=-7,c=-2,=7+V7万，=7-V乃 6 6 5.（)6,-22)号（3)=-2，号4）月，6=号（5)=V2(6)x= 24y位，x=2-Y6面 3 3 6.2.8或-2，-8 21 数学 九年级上册（北师大版） 7.解：设这个百分数是x,则400+400(1+x)+400(1+x)2=1900.整理得(1+x)2+(x+1)-3.75=0.解得x=0.5= 50%,2=-3.5(舍去).答：这个百分数为50%. 8.解：(1)(n+3)(n+2)(2)由题意，得(n+3)(n+2)=506,即n245m-500=0,解得n=20,n2=-25(舍 去).(3)白瓷砖块数是n(n+1)=20×21=420,黑瓷砖块数是506-420=86，共需86×4+420×3=1604（元）. (4)n(n+1)=(n+3)(n+2)-n(n+1).化简，得m-3n-6=0.解得m=3+y33,=3-y3<0(舍去).n不为正 2 2、 整数，.不存在黑、白瓷砖数量相等的情形. 9.C110.C11.C12.D13.C14.D 3用公式法求解一元二次方程（第2课时） 1.解：设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.根据题意，得(x-2)·(2x-4)=288.解这个方程，得x=-10(不 合题意，舍去)，=14.∴.=14,2=2×14=28.答：矩形温室的长为28m、宽为14m. 2.解：设这种长方体箱子底部宽为xm,则长为(x+2)m.依题意，有x(x+2)×1=15.整理得x2+2x-15=0.解 得=3，x2=-5(舍去)，∴.这种长方体箱子底部长为5m,宽为3m.由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮的面 积为(5+2)×(3+2)=35(m2),.购回这张矩形铁皮共花35×20=700（元）. 3.解：设剪去的正方形的边长为xcm,则底面矩形的长为(10-2x)cm,宽为2(12-2x)=(6-x)cm,依题 意，得(10-2x)(6-x)=24.整理，x2-11x+18=0.解得=2，x2=9.当=9时，6-=-3，不符合题意，舍去.答：剪去 的正方形的边长为2cm. 4.解：（1)方案如图： ① ③ (⑤ 第4题答图 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性，从美学的角度方案③最出色，方案③④⑤都具有对称性. (2)方案①可列出方程32×20-(32x+20x-x2)=540;方案②可列出方程(32-x)(20-x)=540;方案③可列出方程 42j(2-540,方案④可列出方程2(20-)2-540：方案⑤可列出方程232-)(2-540，x 的值都等于2m. 5.A6.解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为xm,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.根据题意，得x(72-2x)》 =640.整理方程，得x2-36x+320=0.解得x=16,x=20.当x=16时，72-2x=72-32=40(m),当=20时，72-2x=72- 40=32(m).答：当羊圈的长为40m、宽为16m或长为32m、宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈. (2)答：不能.理由：由题意，得x(72-2x)=650.整理方程，得x2-36x+325=0.4=(-36)2-4×325=-4<0,∴.一 元二次方程没有实数根..羊圈的面积不能达到650m2. 4用因式分解法求解一元二次方程 1=子，72分33l,=-74C5A6D 7)=7,=号(2)==子（(3)=号，=各(4)=子，=号 (5)x=-1-2V7, =-1+2V7(6)x=3,=-15 8.解：(1)24(2).x2-3x-4=0,x2+(-4+1)x+(-4)×1=0,∴.(x-4)(x+1)=0.则x+1=0或x-4=0.解得x1=-1, x=4. 9解：设大正方形的边长为xcm,则小正方形的边长为宁+4)cm,则2行*4尸-32=，整理得之-16= 0,解得x16,0(含去).子×16+42(cm), 10.解：设该村年投入资金的增长率为x,则2(1+x)2-2.88..(1+x)21.44=0,.(1+x+1.2)(1+x-1.2)=0.解 得x=0.2,2=-2.2(舍去)，2.88×(1+20%)=3.456（万元).答：该村在2025年投人资金3.456万元. 11.解：设较小的数为x,则x2+(+1)2-2x=51.整理得x2-25=0.解得x=5,x=-5(不合题意，舍去).这两个数是5 218