上册 第一章 特殊平行四边形 自我检测-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 设AH=LAC-0,∠ACH=18mLAC-品.CC产03在R△CBh 中，∠BMG-0.∠CH-3P,A59mtm∠E0H=器.GHm4-8器 08芳解得714=71m4=B=71+20-271=27(m）.答：点A到地 面的距离AB的长约为27m. 1L.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E,∠DAB=90°，∠DAC=30°，∠EAB=M B 60°，∠EBA=30°.AE=1AB=1km,BE=V了AE=V3km.:C在B的北偏西15方向， 第10题答图 ∠EBC=90°-30°-15°=45°，∴.∠ECB=90°-∠EBC=45°.∴.∠EBC=∠ECB.∴.CE=BE= 北 V万m在R△aGE中，∠EBc-45,C--V7xV万-V625 6①2C 西 F------ 南 (km).答：BC的长度约为2.5km. (2)如图，过点C作CF⊥AD于点F,由(1)知AE=1km,CE=V3km, AG1ECE=I+V3)km在R△ACF中，ZDAC=30,CFC1+5km 30 2 m∠C-.4F50=V了CR3YmD在G的北偏西60方的 B 2 第11题答图 ∠DcF=0,在R△DGF巾，am∠DcF2.DF-Can∠D0r-Yx+5-5-km)CD-2Dr 3 2 3+yY5km.:4D+AB=AF+DF4AB=3+y了+3+Y5+2=2+2Y5≈5.15(km）.CD+BC=34y百+V6≈4.03 3 2 3 3 (km).·4.03<5.15,.CD+BC<AD+AB..甲选择的路线比较近. 上册 第一章自我检测 1.C2.B3.C4.D5.A6.B7.28.909.610.16V311.1512.60°或70°13.5 14.证明：四边形ABCD是菱形，AB∥CD,OD-OB,∠COD=90°.DH⊥AB,.∠DHB=90°.OH是Rt△DHB 斜边AB的中线，OH=)BD=OB∴∠0HB=∠0BH.又：AB∥CD,∠0BH=∠ODC∴∠OHB=∠0DC.∠0DC+ ∠DCO=90°，∠DHO+∠OHB=90°，∴.∠DHO=∠DC0. 15.证明：四边形AEFC是菱形，AC∥BF,AC=FC.又：四边形ABCD是正方形，AC⊥BD,AC=BD BD=FC又：EHLAC于点H,EH=B0.:B0=2BD=FC,EH=)FC D 16.证明：如图，连接CE..0为AC的中点，EFLAC,AE=EC..∠OAE=∠OCE..OG 为Rt△AOE斜边AE的中线，∴AG=OG=GE.'∠AOG=30°，.∠OAE=∠OCE=30°.∴.0E= AG=EG.:四边形ABCD是矩形，∠B=90°.∴.∠ACB=60°..∠ECB=30°..CE是∠ACB的 平分线..'.OE=BE..EB=GE=AG=OG,.·DC=AB=EB+GE+AG=3OG. 第16题答图 17.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，AO=C0.又：△ACE是等边三角形，：E0⊥AC,即DB1 AC.四边形ABCD是菱形.(2)△ACE是等边三角形，LAEC=60°.A0=C0,∠AED=∠AEC=30, 2 ∠AED=2∠EAD,∴.∠EAD=15°..∠ADO=∠EAD+∠AED=45.由(1)知，四边形ABCD是菱形，∴.∠ADC=2∠ADO= 90°..四边形ABCD是正方形. 18.四边形PQMN为菱形.证明：如图，连接AC,BD.P,Q分别为AB,BC的 中点，P0为△ABC的中位线.P0/AC,P四=AC同理MW/AC,MN=AC M ∴MW∥PQ,MN=PQ..四边形PQMW为平行四边形.在△AEC和△DEB中，：AE=DE, EC=EB,∠AED=∠CEB=6O°，∴.∠AED+∠CED=∠CEB+∠CED,即∠AEC=∠DEB. △AEC≌△DEB.-AC=-BDP心子AC=BDP,N分别为AB,AD的中点，PN-A 第18题答图 P0=m四边形POMN为菱形. 243 数学 九年级上册（北师大版） 19.证明：(1)△DEC是由Rt△ABC绕C点顺时针旋转60°得到的，.∠CED=∠ABC=90°，AC=DC, ∠ACB=∠ACD=60°..△ACD是等边三角形.∴AD=DC=AC.又∠ABF-∠ABC=90°，BC=BF,∴AF=AC.∴.△AFC是 等边三角形.AF=FC=AC.AD=CD=FC=AF.四边形AFCD是菱形.(2)四边形ABCG是矩形.由(1)可知： △ACD是等边三角形，∠CED=90°，即DE⊥AC..AE=EC.:四边形AFCD是菱形，.AD∥FC.∠EAG=∠ECB, ∠AGE=∠EBC.∴.△AEG≌△CEB..GE=BE..四边形ABCG是平行四边形.又∠ABC=90°，.四边形ABCG是矩形. 20.解：(1)四边形BQDP是平行四边形.理由：四边形ABCD是矩形，AD=BC,AD∥BC.点P从点A 出发，以1cms的速度沿AD向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以1cms的速度沿CB向终点B运动， AP=CQ=1xt=t.AD-AP=BC-CQ,即PD=BQ..四边形BQDP是平行四边形.(2)BQ=6-t,∴Sw边希w=BQ: AB=(6-t)×4=24-4t.(3)四边形BQDP可能为菱形.当BP=PD时，口BQDP为菱形.在Rt△ABP中，AP=t, AB=4,BP2=AP2+AB2=+4=+16.又PD=6-t,BP2=PD2,即F+16=(6-t)只.解得t= 3 21.解：(1)猜想：PA=PE.(2)成立.证明：如 H- 图1，过点P作PF⊥AD交DA的延长线于点F,交BE 于点G,∴.∠AFP=∠AFG=90°.·四边形ABCD是正方 形，∴.∠BAD=∠ABC=90°..四边形ABGF是矩形. .BG=AF..∠PBG=45°，..∠BPG=45°..PG=BG=AF. ∠APE=90°，∴.∠APF+∠EPG=90°.又.∠APF+∠PAF= 90°，..∠EPG=∠PAF.又.'∠PFA=∠PGE-90°，.△APF≌ 图1 图2 第21题答图 △PEG.∴PA=PE.(3)成立.证明：如图2，过点P作 PF⊥AD交DA的延长线于点F,交BE于点G,∴.∠AFP=90°.：四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC= ∠BAF=∠ABG=90°..四边形ABGF为矩形..∠BGF=90°，BG=AF.:∠DBC=45°，.∠PBG=45°..∠BPG= 45°.PG=BG=AF.∠APE=90°，∴.∠APF+∠EPG=90°.又∠APF+∠PAF=90°，∴.∠EPG=∠PAF又∠PFA= ∠PGE=90°，∴.△APF≌△PEG(ASA,.∴.PA=PE. 第二章自我检测 1.A2.D3.D4.C5.B6.B7.A8.C9.x2+x-5=011-510.211.(x+1)2=812.=0, 313.5,x=1425m15.560+560(1+x)+560(1+e1850 16.(1)=-3,女=-42)号，=4(3)-1上V5(4)=0,1(5)n=7,-3 6)-8,k号（门)x=4y68)=生y9 5 6 17.解：设三、四月份平均每月增长的百分案为x,则60(1-10%)1+P-96,解得=3，子（舍去），x= 33.3%. 18.解：设商品售价提高x元，则(10-8+x)20-05×10)-640.整理得2-8+12=0.解得x6,x2.则每件 商品定价12元或16元 19.解：（)00(90-4).(2)由题意，10+0(80-A)=25.解得A=30,A=50.由四月份用电楷况知A≥ 45,故A=50, 20.解：设这批服装的利润率是x,则[2000(1+)-1000](1+x)1320.解得-0.1=10%，（舍去）. 21.解：(1)这两条道路的面积分别为2am2与2bm2.(2)设b=xm,a=2xm,由题意，得x·2x-(2x+4x- 4)=312,整理得，x2-3x-154=0,解得=14，x-11（舍去)，则b=14,2=28.(3)符合设计方案的草图如图： GH 第21题答图 244第一章自我检测 数学九年级上册（北师大版） 上册 第一章自我检测 (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.两个全等的直角三角形不能肯定拼成的图形是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰三角形 2.下列说法错误的是（) A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.邻边相等的四边形是正方形 C.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D.四个角都相等的四边形是矩形 3.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60° 的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为() A.15°或30° B.30°或45° C.30°或60° D.45°或60° 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边BC,AB,CA上，且DE∥CA,DF∥ BA.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形 AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC=90°， AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是正方形.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D',则它 们的公共部分的面积等于() A.V3 3 B.1-V3 3 C.1-V3 4 D 6.如图，四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中 点E处，折痕为AF若CD=6,则AF等于() A.3V3 B.4V3 c.4V2 D.8 173 数学 九年级上册（北师大版） 二、填空题（每小题3分，共21分） 7.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为2，那 么点O到BC的距离等于 8如图，CD是△ABC的中线，且CD=AB,则∠ACB= 度 B 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在□ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F,若AB=9 CE=4,AE=8,则DF= 10.如图，矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=4,则矩 形的面积等于 11.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED= 度 12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在边BC上，∠BAE=25°.把线段AE 绕点A逆时针旋转角，使点E落在边DC上，则旋转角α的度数为 第11题图 第12题图 第13题图 13.如图，直线1是矩形ABCD的一条对称轴，点P是直线1上一点，且使得△PAB 和△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个 三、解答题（第14一-16题各7分，第17一21题各8分，共61分）》 14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H.连接 OH.求证：∠DHO=∠DCO. 第14题图 15.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相交于点O,四边形AEFC是菱 形，EH LAC,.垂足为点H.求证：EH=2FC 第15题图 第一章自我检测 16.如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作EF⊥AC,分别与AB,DC交 于点E,F,点G为AE的中点，若∠AOG=30°，求证：DC=3OG. 第16题图 17.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且 △ACE是等边三角形 (I)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD是正方形. 第17题图 18.如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形， 点P,Q,M,N分别为AB,BC,CD,DA的中点，试判断四边形PQMN为怎样的四边 形，并证明你的结论 第18题图 19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转60°得到 △DEC,点E在AC上，延长CB到点F,使BF=BC,连接AF,AD, (1)求证：四边形AFCD是菱形. (2)连接BE并延长交AD于点G,连接CG,试判断四边形ABCG是什么特殊四边 形，并证明你的结论。 B 第19题图 宠 数学 九年级上册（北师大版） 20.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=6cm,点P从点A出发，以1cm/s的速 度沿AD向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以1cms的速度沿CB向终点B运 动，设运动时间为t(s) (1)当0<t<6时，判断四边形BQDP的形状，并说明理由. (2)当0<t<6时，求四边形BQDP的面积S(cm)与运动时间t(s)的函数关系， (3)四边形BQDP可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由. B 第20题图 21.如图1，将一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动， 并使其中一条直角边始终过点A,另一条直角边与BC相交于点E. (1)猜想PA与PE的数量关系（不必证明）， (2)如图2，当直角顶点P运动到BD的延长线上时，(1)中猜想的结论还成立吗？ 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 (3)如图3，当直角顶点P运动到DB的延长线上时，(1)中猜想的结论还成立吗？ 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 图 图2 图3 第21题图