上册 第一章 2 矩形的性质与判定-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

数学 九年级上册（北师大版） 矩形的性质与判定（第1课时) 自主导学Q典例精析 例题如图，矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD, BC上，顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上. (1)求证：BG=DE. (2)若E为AD的中点，FH=2,求菱形ABCD的周长。 例题图 【分析】(I)只需证△BGF≌△DEH.由矩形和菱形的性质，得EH=FG,EH∥FG,AD∥ BC,由此得∠GFH=∠EHF,∠BFG=∠DHE,∠GBF=∠EDH,则两三角形全等得证. (2)连接EG,只需证明四边形ABGE是平行四边形即可，进而得AB=EG=HF,于是菱 形ABCD的周长可求. 【解答】(1)四边形EFGH是矩形，∴.EH=FG,EH∥FG..∠GFH=∠EHF .∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,∴.∠BFG=∠DHE. .四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC.∴.∠GBF=∠EDH. ∴.△BGF≌△DEH(AAS).∴BG=DE. (2)连接EG,.·四边形ABCD是菱形，.AD=BC,AD∥BC: .E为AD的中点，AE=ED.由(1)知BG=DE,.AE=BG 例题答图 又AE∥BG,.四边形ABGE是平行四边形..AB=EG .·四边形EFGH是矩形，∴.AB=EG=FH=2.∴.菱形ABCD的周长=4AB=8. 基础巩固达标闯关 1.矩形一条长边的中点与另一条长边两端点连线互相垂直，若矩形周 长为36，则它的长和宽各是 B 2.直角三角形一条直角边长为8cm,它所对的角为30°，则斜边上的 中线长为 3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=7,BC=8,将其纸片沿EF折叠， 第3题图 则图中①②③④四个三角形的周长之和为 4.如图，在矩形ABCD中，AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等 腰三角形的个数为() 第4题图 A.8 B.6 C.4 D.2 5.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 特殊平行四边形 第一章 6.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC 上，且AM=号AD,BN=号BC,E为直线BC上一动点，连接DE,将 3 △DCE沿DE所在直线对折得到△DC'E,当点C'恰好落在直线MN上时， B CE的长为() 第6题图 A多 B.3 C3或3 D.3或10 7.如图，在矩形ABCD中，P为矩形内一点，若PA=PD,求证：PB=PC. 第7题图 8.如图，在矩形ABCD中，过点C作CE∥DB,交AB的延长线于点E.求证：△ACE 是等腰三角形， B 第8题图 9.如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF分别与AB,AC,DC交于点E,O, F,连接CE,AF.求证：四边形AECF是菱形. 第9题图 能力提升螂综合拓展 IO.在矩形ABCD中，E,F分别是边BC,AB上的点，且EF=ED,EF⊥ED.求证：AE 平分∠BAD. 第10题图 0 口数学 九年级上册（北师大版） 11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CD∥OE,直线CE是线段OD的 垂直平分线，CE分别交OD,AD于点F,G,连接DE. (1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由. (2)当CD=4时，求EG的长. 第11题图 中考链接©真题演练 卡多多 12.(2024青岛)如图，菱形ABCD中，BC=10,面积为60，对角线AC与BD相交于点 O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则EO= 13.(2024·牡丹江)矩形ABCD的面积是90，对角线AC,BD交于点O,点E是BC边 的三等分点，连接DE,点P是DE的中点，OP=3,连接CP,则PC+PE的值为 0 EC 第12题图 第14题图 第15题图 14.(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时， ∠AEB的度数为() A.30 B.45° C.60° D.120° 15.(2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一 定正确的是() A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 16.(2024·陕西)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF 求证：AF=DE. 第16题图 特殊平行四边形 第一章 矩形的性质与判定（第2课时) 自主导学Q典例精析 例题如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E,使 DE=AD,连接EB,EC,DB.若再添加①AB=BE,②DE⊥DC,③∠ADB= 90°其中的一个条件，能否判定四边形DBCE为矩形？请说明理由. 【分析】将题设的条件分别加上三个条件中的一个，看能否证明四 例题图 边形DBCE是矩形， 【解答】.四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC,AD=BC. 又AD=DE,.DE∥BC,DE=BC .四边形BCED为平行四边形 添加条件①：AB=BE,DE=AD,.BD⊥AE..☐DBCE为矩形 故添加①能判定四边形DBCE为矩形. 添加条件②：.DE⊥DC,∴.∠EDB=90+∠CDB>90°， :.四边形DBCE不能为矩形. 故添加条件②不能判定四边形DBCE为矩形 添加条件③：·.∠ADB=90°，.∠EDB=90°.∴.☐DBCE为矩形. 故添加条件③能判定四边形DBCE为矩形 综上，添加①或③能判定四边形DBCE为矩形，添加②不能判定四边形DBCE为矩形. 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形DBCE为 平行四边形是解题的关键， 基础巩固飞达标闯关 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC, ∠BAD=∠DCB,要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加的一个条件是 第1题图 2.如果顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH是矩形，那 H 么四边形ABCD的对角线AC和BD的关系是 3.下列命题错误的是（) A.平行四边形的对边相等 第2题图 B.一个角是直角的平行四边形是矩形 C.矩形的对角线相等 D.对角线相等的四边形是矩形 13 口数学 九年级上册（北师大版） 4.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,OA=2,若要使 □ABCD为矩形，则OB的长应该为() A.4 B.3 C.2 D.1 第4题图 5.如图，已知MN∥PQ,同旁内角的平分线AB,CB和AD,CD分别相交于点B,D. 求证：四边形ABCD是矩形 第5题图 6.如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O,P是□ABCD外一点，且∠APC=∠BPD= 90°.求证：四边形ABCD是矩形 第6题图 能力提升睡综合拓展 一：多多 7.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,△BOC兰△CEB. (1)求证：四边形OBEC是矩形 (2)若∠ABC=120°，AB=6,求矩形OBEC的周长. B 第7题图 内 特殊平行四边形 第一章 8.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中 点，延长AE至点G,使EG=AE,连接CG (1)求证：△ABE≌△CDF (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由， 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2024·长春)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，∠AOD= ∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形 第9题图 10.(2023·新疆)如图，AD与BC相交于点0，∠AB0=∠DC0=90°，OB=OC,点E,F 分别是A0,D0的中点. (1)求证：OE=0F (2)当∠A=30时，求证：四边形BECF是矩形 第10题图 6 口数学 九年级上册（北师大版） 矩形的性质与判定（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E,F,G,H分别是 OA,OB,OC,OD上的点，且AE=BF=CG=DH. (1)求证：四边形EFGH是矩形， (2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，且DG⊥AC, 例题图 OF=2cm,求矩形ABCD的面积. 【分析】(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG.(2)根据已知 证得DG是OC的垂直平分线，再求出矩形的边长CD和BC,最后根据矩形面积公式求得. 【解答】(1)：四边形ABCD是矩形，∴.OA=OB=OC=OD.AE=BF=CG=DH,∴.AO-AE= OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,且HF=EG..四边形EFGH是矩形 (2)G是OC的中点，.G0=GC .DG⊥AC,.DG是OC的垂直平分线 ∴.CD=OD..F是B0的中点，OF=2cm..B0=4cm. .四边形ABCD是矩形，.DO=BO=4cm. ∴.CD=4cm,DB=8cm.∴.CB=VDB2-CD=4V3cm. .矩形ABCD的面积=4x4V3=16V3(cm). 【点拨】本题考查矩形的判定，解题关键是灵活运用矩形的判定定理.此外，矩形的一条 对角线将其分为两个直角三角形，两条对角线将其分为四个等腰三角形，因此，在思考和解 决问题时要注意它们之间的内在联系 基础巩固飞达标闯关 1.如图，在矩形ABCD中，若AB=3,BD=5,BC=4DE,则线段CE 的长为 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5,AB=3.若P为边BC上 第1题图 一动点（且点P不与点B,C重合），PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M 为EF的中点，则AM的最小值为 3.已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴：②两条 对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的四边形是矩形；④两条 第2题图 对角线相等且互相平分的四边形是矩形.其中正确的命题有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 特殊平行四边形 第一章 4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F, BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°，DF=2,AF=BF,则四边形 BCDE的周长为() A.4V3 B.8 C.4+4V3 D.8+4V3 第4题图 5.如图，已知四边形ABCD和四边形AEFC都是矩形，点B在EF边 上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2,那么S1与S2的大小 关系是() A.SI>S2 B.S=S2 第5题图 C.S<S2 D.3S1=2S2 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D,E,F分别是BC,AC,AB边上的点，且DF∥ AC,DE∥AB. (1)猜测并说明四边形AEDF是哪一种特殊的四边形. (2)判断线段AD与EF的数量关系，并说明理由. 第6题图 能力提升螂综合拓展 7.如图，在矩形ABCD中，AB=V2,BC=2,对角线AC,BD相交于点O,过点O作 OE⊥AC交AD于点E.求AE和OE的长. 第7题图 8.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在AB 上，EF⊥AB,OG∥EF. (1)求证：四边形OEFG是矩形 (2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长. 第8题图 口数学 九年级上册（北师大版） 9.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点（点P不与点B, C重合)，连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,连接CM,请探索点M在什么位置时， CM有最小值，并求出CM的最小值. 第9题图 10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2V3cm,过点D作BC的垂线，交BC 的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2cs的速度向点D匀速运动，同时，点E 从点H出发沿HD方向以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点E,F的运动时间为t(s),且 O<t<3,过点F作FG⊥BC于点G,连接EF (1)求证：四边形EFGH是矩形. (2)连接FC,EC,点F,E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求 出此时t的值：若不能，请说明理由 G 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，CE∥AD,AE⊥AD, EF⊥AC (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若BC=4,CE=3,求EF的长。 D 第11题图 ⑧数学 九年级上册（北师大版） 菱形 12.D 13.(1)证明：：AD∥BC,.∠ADO=∠CB0.在△AD0和△CB0中，∠ADO=∠CB0,∠AOD=∠COB,OA= OC,.△ADO≌△CB0(AAS)..OD=OB..四边形ABCD是平行四边形.AB=BC..四边形ABCD是菱形. (2)解：与线段CE相等的线段有AE,DE,AG,CF由(1)知，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD, AC⊥BD,AO=CO..AE=CE.AB=AC,∴AB=BC=CD=AD=AC.∴.△ABC和△ADC为等边三角形.CH⊥AD,AH= DH,即CH为AD的垂直平分线.AE=DE.AE=DE=EC.:△ADC为等边三角形，CH⊥AD,.∠ACH=∠ACD= 30°.∠FEC=75°，∴.∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°.∴.∠EFC=∠FEC..CF=CE.△ABC和△ADC为等边三角形， ∠BAC=∠CAD=60°.CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°..∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∠AEC=180°-∠EAC- ∠ECA=120°.∴.∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°.∴.△AGE为等腰直角三角形.∴AG=AE..∴EC=AG=AE=CF=DE. 1菱形的性质与判定（第3课时）】 1.52.54cm3.3V34.D5.B6.A 7.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=∠ADC..AE⊥BC,AF⊥CD, ∠AEB=LAFD=90°：BE=DF,∴.△AEB≌△AFD.AB=AD.∴.□ABCD是菱形.(2)解：如 图，连接BD交AC于点0.：四边形ABCD是菱形，AC-6,AC1BD.A0=-0CAC=分×6 BL E 3.AB=5,A0=3,B0=VAB-A0=V53=4BD=2B0=-8,Sm7AC-BD=24 第7题答图 8.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC..∠2=∠ACB.又∠1=∠2，.∠1=∠ACB.AB= BC..∴.四边形ABCD是菱形.(2).AD∥BC,.∴.∠AFE=∠EBC.又.AF=AE,.∠AFE=∠AEF=∠BEC.. LEBC-LBEC.:BC-CE.AC-20A-AE+CE.20A-AF+BC.OA-](AF+BC).AB-BC,AO=(AF+AB). 9.(1)证明：·.OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD为平行四边形.AB∥CD.∠ABD=∠CDB.:∠BOE= ∠DOF,OB=OD,∴.△BOE≌△DOF(ASA).BE=DFBE∥DF,四边形DEBF是平行四边形.EF⊥BD,.四 边形DEBF是菱形.(2)解：如图，过点F作FG⊥AB于点G.,AD∥EF,EF⊥ BD,∴.∠ADB=∠BOE=90°.∴.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD+BD=AB2. AD+AB=12,BD=4V3,.ADP+(4V3)2=(12-AD)2解得AD=4,AB=8.四边 形DEBF是菱形，DE∥BF,DE=BE=BF=DE:BE∥DF,AD∥EF,.四边形AEFD E G 是平行四边形.DF=AE=BE=BF=AB=4.AE=DE=AD=4.△AED是等边三角形. 第9题答图 ∴∠AED=60°.DE∥BF,∠ABF=∠AED=60°，∴.△EBF是等边三角形.FG⊥BE,.EG=BG=2.在Rt△BGF中， BF=4,BG=2,由勾股定理，得FG=V4-2=2V3.在Rt△AGF中，AG=6,由勾股定理，得AF=VAG+FG= V6+(2V3)2=4V3. 10.8V311.D 12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.∠BAD=∠BCD,AD∥BC.AE,CF分别是∠BAD,∠BCD 的平分线，∠BAE=∠DAE=∠BMD,∠BCF=-∠DCF-∠BCD∠D1E=∠RGE AD/BC,∠DAE=LAEB ∴∠BCF=∠AEB.∴AE∥FC..四边形AECF是平行四边形.AE=AF,∴.四边形AECF是 菱形.(2)解：如图，连接AC,由(1)得∠DAE=∠AEB,又AE平分∠BAD, ∠BAE=∠DAE=∠AEB.∴AB=EB.∠ABC=60°，.△ABE是等边三角形.∴.∠BAE= ∠AEB=∠ABE=60:△ABE的面积等于4V3,:Y5AB-4V万.AB=4AE=EB= E 第12题答图 AB=4.由(1)知，四边形AECF是菱形，.AE=CE=4.∠EAC=∠ECA.·∠AEB是 △AEC的一个外角，.∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°.∴∠EAC=∠ECA=30°.∴.∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AC⊥ AB.由勾股定理，得AC=VBC-AB严=V(4+4)-4=4V3..平行线AB与DC间的距离是4V3. 2矩形的性质与判定（第1课时） 1.12,62.8cm3.304.C5.C6.D 7.证明：四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠BAD=∠ADC=90°.PA=PD,.∠PAD=∠PDA.∠PAB= 212 参考答案与提示 ∠PDC..△PAB≌△PDC(SAS)..∴.PB=PC 8.证明：四边形ABCD是矩形，AC=BD,AB∥DC.BE∥DC.CE∥DB,.四边形BDCE是平行四边形. ∵BD=CE.∴AC=CE.∴△ACE是等腰三角形. 9.证明：四边形ABCD是矩形，AB∥DC.∴.∠BAC=∠DCA,∠AEO=∠CFO.EF垂直平分AC,.AO=CO. .△AEO≌△CFO.EO=FO..四边形AECF是平行四边形.·AC⊥EF,.四边形AECF是菱形. 10.证明：四边形ABCD为矩形，.BC∥AD,AB=DC,∠B=∠C=90°.又：EF⊥ED,∴∠BEF+∠CED=90°， ∠BEF+∠BFE=90°.∴∠BFE=∠CED.EF=ED.∴.△BEF≌△CDE.∴BE=CD..AB=BE.∴∠BAE=∠BEA.BC∥AD, ∴∠DAE=∠BEA.∴∠DAE=∠BAE,∴AE平分∠BAD. 11.解：(1)四边形OCDE是菱形.理由：CD∥OE,.∠FDC=∠FOE.CE是线段OD的垂直平分线， .FD=F0,ED=OE,CD=CO..∠DFC=∠OFE,△FDC≌△FOE(ASA)..CD=OE..ED=OE=CD=CO..四边形 OCDE是菱形.(2)四边形ABCD为矩形，LBCD=∠CDA=90,AC=BD,A0=C0=2AC,D0=-B0=)BD .DO=C0.CE是线段OD的垂直平分线，.CD=C0..CD=C0=D0.△ODC为等边三角形..D0=CD=4,∠ODC 60DFD0=2.在R△CDF中，CD-4,DF-2,由勾股定理，得CF=VDC-DF=V④2-2V3.由（I)可 知，四边形OCDE是菱形，.EF=CF=2V3.在Rt△GDF中，，∠GDF=∠CDA-∠ODC=30°，.GD=2GF.GD2=GFP+ DF4GF-CF42.:.CF-2Y3-.EG-EF-GF-4Y3- 3 3 12.V1013.V109或1314.C15.C 16.证明：四边形ABCD为矩形，AB=CD,∠B=∠C=90°.BE=CF,BE+EF=CF+EF,即BF=CE. △ABF≌△DCE(SAS).AF=DE. 2矩形的性质与判定（第2课时）】 1.∠BAD=90°或AC=BD2.AC⊥BD3.D4.C 5.证明：MN∥PQ,LMC=∠AC0.AB,CD分别平分∠MAC,∠ACQ,∠BAC=方∠MC,∠ACD= 之∠ACQ.∴∠BAC=∠ACD.:AB/∥CD.同理BC∥AD.四边形ABCD是平行四边形.又∠BCA=7∠PCA, ∠BCM+∠ACD=)(∠PC1+∠ACQ)=×80P-90.四边形ABCD是矩形， 6.证明：如图，连接OP.:四边形ABCD是平行四边形，AO=CO,B0=D0. ∠APC=LBPn=90,△AP℃和△BPD是直角三角形.P0=号AC,0=BD.MG=BD .·.四边形ABCD是矩形. 7.(1)证明：△BOC≌△CEB,∴.OB=EC,OC=EB..四边形OBEC是平行四边形. 四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BOC=90°.∴.四边形OBEC是矩形.(2)解：四 第6题答图 边形ABCD是菱形，AB=6,AC1BD,BC=AB=6.∠ABC=120°，.∠DBC=号∠ABC=60°.：∠B0C=90°， 2 ∠0CB=30.0B=号BC-3.0C=VBC-0B=V-3-3V3.矩形0BEC的周长=-2×(3V3+3)-6V5+6 8.(I)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC.∴.∠ABE=∠CDF:点E, F分别为OB,OD的中点，BE=2OB,DF=)0D.BE=DR.△ABE≌△CDF(SAS).(2)解：当AC=2AB 时，四边形EGCF是矩形.理由如下：AC=2OA,AC=2AB,AB=OA.E是OB的中点，∴AG⊥OB.∴∠OEG=90° 同理CF⊥OD.EG∥CFEG=AE,OA=OC,∴.OE是△ACG的中位线..OE∥CG,即EF∥CG.∴四边形EGCF是 平行四边形.：∠OEG=90°，.四边形EGCF是矩形. 9.证明：·.O是边AB的中点，.OA=OB.在△AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC,OA=OB,∠A=∠B,. △AOD≌△BOC(ASA)·:AD=BC.∠A=∠B=90°，，∠A+∠B=180°.AD∥BC..四边形ABCD是平行四边形 又∠A=90°，.四边形ABCD是矩形. 10.证明：(1)：∠AB0=∠DC0=90°，AB∥CD.∴.∠A=∠D.0B=0C,∴.△A0B≌△D0C(AAS)·A0= D0.点E,F分别是A0D0的中点，0E=01,0F=之0D,0E=0R(2)0B=0C,0E=0F,四边形 213 )数学 九年级上册（北师大版） BECP是平行四边形.∠A=30,∠AB0=90,0B=201=0E.:0E=0P,0B=0R∠0EB=∠0BE,∠0FB= ∠OBF∴.∠EBF=∠OBE+∠OBF=90°.∴.四边形BECF是矩形. 2矩形的性质与判定（第3课时） 1.V而2号3B4D5B 6.解：(1)四边形AEDF是矩形.理由：DF∥AC,DE∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边形.：∠BAC=90°， ∴.四边形AEDF是矩形.(2)AD=EF理由：四边形AEDF是矩形，AD=EF 7.解：如图，连接CE.四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，A0=C0=AC,AD= BC,AB=CD.又OE⊥AC,.AE=CE.在Rt△ABC中，AB=V2,BC=2,.AC=VAB+BC= V(V2)2+2=V6.在Rt△CDE中，CE=CD+DE,设AE=CE=x,则x2=(V2)2+(2-x)只. 解得=}，即AE=在R△10E中，ABEA00E,0E=VAE10-√号-Y 第7题答图 =Y3.:AE和OB的长分别为？和Y3 8.(1)证明：四边形ABCD是菱形，BD⊥AC,AB=AD..∠A0D=90°，∠DAO=∠BAO.E是AD的中点， 0E=AD=AE.∠EA0=∠A0E∠A0E=∠BA0:0E/PG.OG/E,四边形0EPG是平行四边形.EFL AB,∴.∠EFG=90°..四边形OEFG是矩形.(2)解：四边形ABCD是菱形，BD⊥AC,AB=AD=10.∴.∠AOD= 90.E是AD的中点，0E=AE=号AD=5.由(1)知，四边形0EFG是矩形，FG=0E=5.AE=5,EF=4,AF 2 VAE2-EF2=3...BG=AB-AF-FG=10-3-5=2. 9.解：如图，连接AM,AC.点B和点M关于AP对称，AM=AB=3.四边形ABCD 是矩形，.∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,AC=VAB+BC=V3+4=5.AC AM<MC<AC+AM,∴.当点M在AC上时，CM有最小值，此时CM=5-3=2. 10.(1)证明：DH⊥BC,FG⊥BC,EH∥FG,∠FGH=90°.由题意知BF=2tcm,EH= B P tcm.:四边形ABCD是菱形，∴BC=CD,AB∥CD,BD⊥AC..∠CBD=∠BDC,∠ABC+ 第9题答图 ∠BCD=I80P.LABC=60,∠BCD=120P.∴ZCBD=∠BDC=30.:FG=号Bf1cmEH=FG=1cm四边形EFGH 是平行四边形.又：∠FGH=90°，∴.四边形EFGH是矩形.(2)解：△BFC与△DCE能够全等.理由：：四边形 ABCD是菱形，AB=2V3cm,∴.BC=CD=AB=2V3cm,AB∥CD.∴.∠DCH=∠ABC=60°.DH⊥BC,.∠CHD= 90°..∠CDH=90°-∠DCH=30°.由(1)得∠CBD=30°，∠CDE=∠CBF故只可能有△BFC≌△DEC..BF=DE.在 Rt△CDH中，LCHD-90,∠CDH=30,CH-)CD-V3.由勾股定理，得DH-VCD-CF-V(2V3P-(V3P= 3.BF=2tcm,EH=tcm.∴DE=(3-t)cm..当BF=DE时，即2t=3-t..t=l.∴.当t=1时，△BFC≌△DCE. 11.(1)证明：：AB=AC,D是BC的中点，∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.CE∥AD,.∠ECD=∠ADB= 90°.AE⊥AD,∠EAD=90°.∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴.四边形ADCE是矩形.(2)解：AB=AC,D是 BC的中点，BC-4,BD-CDBC=2由()知，四边形ADCE是矩形，4E=CD=2,∠ABC=90.在Rt△AEC 中，AE-2,CE=3.由勾股定理，得AC-VAFICE-V23-V下.EF1AC、Sm=4C~EF=号4E~CE .EF-AE.CE=2x3_6V13 AC V13 13 3正方形的性质与判定（第1课时）】 1.8cm2.Y343.V24.B5.A 6.证明：.四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠C=90°..BE=CF,.△ABE≌△BCF.AE=BF.∠BAE= ∠CBF..'∠BAE+∠BEA=90°，.∴.∠CBF+∠BEA=90°..∴.∠BGE=90°..AE⊥BF 7.解：(1)答案不唯一，选①或选②或选③.(2)选①的证明过程如下：四边形ABCD是正方形， 214