第一章 问题解决策略：反思-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级上册（北师大版） 问题解决策略：反思 自主导学Q典例精析 例题我国古代有这样一个数学问题：枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何。题意是： 如图所示，把枯木看作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为二十尺， 底面周长为三尺，有葛藤自点A处而上，绕五周后其末端恰好到达点B处。 求问题中葛藤的最短长度是多少尺。 例题图 【分析】这是立体图形求最短路径的问题。观察图形特征，葛藤恰好将枯木缠绕五周， 相当于将高为20尺、周长为15尺的圆柱绕一周，则求葛藤的最短长度问题就转化为求圆柱 的侧面展开图（长方形）的对角线长的问题，而求长方形对角线长实质就是求直角三角形 的斜边长。 【解答】如图，由题意知，葛藤的最短长度即为Rt△ABC的斜边长。因为 BC=20,AC=5x3=15,由勾股定理得AB2=AC+BC2,即AB2=152+202=252,所以 AB=25。因此，葛藤的最短长度是25尺。 【点拨】本例“葛藤缠树”需最短长度问题的本质就是“蚂蚁爬行”问题， 例题答图 即“蚂蚁”在立体图形的表面爬行的最短路径问题。它涉及空间想象能力和几 何图形性质的综合运用。解决这类问题的关键思路是将立体图形按照一定方式展开为平面图 形，把蚂蚁的爬行路径转化为求平面图形上的线段，即“化曲为直”，再依据“两点之间线 段最短”或“两边之和大于第三边”，准确找出最短路径，然后利用勾股定理计算最短路径 的长度。在立体图形中，要考虑多种平面展开方式，并比较不同展开方式下得到的路径长 度，从而确定最短路径。 能力提升睡综合拓展 1.一只螳螂在粗细均匀的树干A处，发现它的正上方点B处有一只虫子，螳螂想捕到 这只虫子但又怕被虫子发现，于是就绕到虫子后面吃掉它。已知树干的半径为10c,AB 两点的距离为45cm,那么螳螂爬行的最短路程是多少？（π取3）》 第1题图 而 勾股定理 第一章 2.如图是一个高为3dm,底面是边长为1dm的正方形的长方体包装盒。如果用一根麻 绳从点A开始经过4个侧面绕一圈到达点B,请计算所用麻绳的最短长度。 3 dm y 1 dm 1 dm 第2题图 3.如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,点A和点B分 别是台阶两个相对的端点。点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁爬行 的最短路程。 20 第3题图 4.如图，这是一个高为10cm、底面圆周长为32cm、没有上盖的圆柱形食品盒。一只 蚂蚁在盒外表面距下底面3cm的点C处，想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁 需要爬行的最短路程是多少？ C 第4题图 5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5。一只蚂蚁要沿 着长方体的表面从点A爬行到点B,问蚂蚁爬行的路线有多少种？请通过计算说明哪一种路 线最短。 B 5 D 20 10 15 第5题图参考答案与提示 参考答案与提示 第一章勾股定理 +SAm=36cm。6.解：.BC=12,AD为BC边上的中 1探索勾股定理（第1课时） 线，BD=DC=}BC=6。在△ABD中，BD4AD2-6+82 2 1.(1)15(2)12(3)62.4.83.x2+(x- 100=AB,.△ABD为直角三角形。.∠ADB=90°。 6.8)2=1004.175.206.C7.D8.解：由题意 ∠ADC=∠ADB=90°。又.BD=DC,AD=AD,.∴.△ABD 可知∠A0B=90°，OA=32m,OB=24m。由勾股定理 可得AB=0A2+0B2=1600。.AB=40m。9.解：由已 兰△ACD。:AC=AB=I0。Sac=ADDC=号AC, 知得BD+AD=BC+AC,BC=10m,AC=20m。设BD= xm,则AD=(30-x)m,CD=(10+x)m。在Rt△ACD DE,即8x6-×I0DE,DE=48.7解：∠PHB+ 中，CD2+AC-=AD2,即(10+x)2420=(30-x)2,解得x=5。 ∠PBA=45°。如图，延长AP交格点于点D,连接BD, .10+=15,即这棵树的高度为15m。10.B 则PD=BD=12+22=5,PB=12+32=10。PD=BD,PD2+ 1探索勾股定理（第2课时）】 DB=PB。∠PDB=90°。.∠DPB=45°。.∠APB=180°- 1.682.5或133.494.B5.C6.解：设 ∠DPB=135°。∴.∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135° AE=xkm,则x2+15子=102+(25-x)2,解得x=10km,即 =45°。8.m9.C E站应建在离A点10km处。 7.解：如图，作AF⊥B0于 0 点F,CG⊥B0于点G,AD⊥ DB,OB⊥DE,·.∠ADB= ∠DB0=∠OBE=90°。.AD∥ OB。.∠AF0=∠DAF=90°。 --F 第5题答图 第7题答图 ∠ADB=∠DBF=∠AFB= B 3勾股定理的应用 ∠DAF=90°。.四边形ADBF 第7题答图 1.172.53.B4.解：(1)A01B0, 为长方形。同理，四边形BECG为长方形。：∠AOC= ∠AOB=90°。.△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中 ∠A0F+∠COG=90°，∠A0F+∠OAF=90°，.∠C0G= 由勾股定理，可得AB2=A02+B0=2.42+0.72=6.25。.·AB= ∠OAF。:∠CG0=∠AF0=90°，AO=C0,∴.△AOF≌ 2.5m。.梯子AB的长度为2.5m。 C △OCG(AAS)。.0G=AF=BD=4m。设A0=xm,在 (2)如图，由题意可知，AE=0.9m。 Rt△AF0中，A+0F=A0,即42+(-1)2=x2,解得x= .A0=2.4m,..E0=A0-AE=1.5(m), 8.5。则CE=GB=0B-0G=8.5-4=4.5(m)。8.解： ED=AB=2.5m。在Rt△DOE中，由 (1)S=S2+S3。理由：设Rt△ABC的三边BC,AC,AB 勾股定理，可得OD=ED-E02= 0 的长分别为a,b,c,由勾股定理得c2=+b2。又S= 2.52-1.52=4。∴.0D=2。.BD=0D- BD c2,S2=,S=b2,S=S+S。(2)S1=S2+S。理由： 0B=2-0.7=1.3(m)。答：梯子的底 第4题答图 ,ss子s=4,+s+子b号d 端向外移动的距离为1.3m。5.解：BC=6,D是 BC的中点，：CD=)BC=3。在Rt△ACD中，AD= +b=子c2=S。9.解：R△ACD≌R△CAB, 2 ACP+CD=42+32=25。AD=5。将△CDE沿DE翻折， ..CA'=AC=c,AD'=CB=b,C'D'=AB=a,AC'D'= 点C落在AD上的点F处，DF=CD=3,EF=CE, ∠CAB。∠AC'D'+∠DAC=90°，.∠BAC+∠D'AC= ∠EFD=∠ECD=90°。：AF=AD-DF=2,∠AFE=90°。设 90°。∴.∠CAC=180°-90°=90°。∴.△CAC是一个等腰直 CE=x,则EF=x,AE=AC-CE=4-x。在Rt△AFE中，由 角三角形，它的面积等于子，又：四边形BCC)是 勾股定理，可得(4-=42，解得x=号。CE15。 个直角梯形，小分(a+b)-2xb+分c,46-c。 6.x2+22=(x+0.5)2 ★问题解决策略：反思 10.4811.D12.C 1.解：如图，将圆柱侧面沿AB展开成长方形， 2一定是直角三角形吗 则螳螂爬行的最短路程就是长方形对角线AB的长。 1.C2.直角三角形3.B4.C5.解：如图， AA=2m×10=20m≈60(cm),BA1=45cm,根据勾股 连接BD,由勾股定理得BD=5cm。又BC=l3cm, 定理，可得AB2=AA2+BA2=602+452-5625=752。故AB= CD=12cm,BD2+CD2=25+144=169=132=BC,由勾股 75cm。答：螳螂爬行的最短距离为75cm。 定理逆定理得△BCD是直角三角形，S四边形AB-S△m 数学 八年级上册（北师大版） 20 侧面时，蚂蚁爬行的路程最短，最短路程为25。 第二章实数 1认识实数（第1课时） 1.不是不是不是2.D3.D4.解：AB= 32+42=25,.AB=5;BC=32+32=18,CD2=22+32=13 第1题答图 第2题答图 第3题答图 AD=2+4=20;AC=7,BD=5。AB,AC,BD的长度 是有理数，BC,CD,AD的长度不是有理数。5. 2.解：如图，将长方体包装盒侧面沿棱AB展开， (1)105。(2)b2=105,不是。(3)10.2，验证 得到如图所示的长方形AABB,连接AB,由两点之 略。6.解：(1)BC的长不是整数，BC边的长的整 间线段最短，AB:长就是所用麻绳的最短长度。在 数部分是2。理由：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3, Rt△AAB,中，AA=4×1=4(dm),AB=3dm。由勾股 AC=4,由勾股定理，可得BC=AC2-AB=16-9=7.4< 定理，得AB2=AA2+AB2=42+32=25。AB=5dm。答： BC<9,∴2<BC<3。.BC的长不是整数，BC边的长的 所用麻绳的最短长度为5dm。3.解：如图，三级台 整数部分是2。(2)用无限逼近的方法可得BC≈ 阶平面展开图为长方形，则BC=20dm,AC=(2+3)x3= 2.64575。(无限逼近的过程略)7.解：(1)是有 l5(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B处的最短路程 理数。设绣布的长为4cm,宽为3xcm,根据题意， 是该长方形对角线AB的长。在Rt△ACB中，由勾股 得4x3x=588,即12x2=588。∴.x2=49。x>0,∴x=7。 定理，得AB2=AC+BC=20+152=252。AB=25dm。 4x=28,3x=21。∴.绣布的长为28cm,宽为21cm。 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路程是25dm。 这块绣布的长和宽都是有理数。.2×(28+21)=98(cm)。 4.解：·.·圆柱形食品盒高10cm、底面圆周长为 答：这块绣布的周长为98cm。(2)能够裁出来完整 32cm,且蚂蚁从盒外表面距下底面3cm的C处，爬 的圆形绣布。理由：设完整的圆形绣布的半径为rcm, 行到盒内表面对侧中点B处，相当于蚂蚁从一个高为 根据题意，得m=340.2340≈108.225.100<< (7+5)cm、底面圆周长为32cm的圆柱形食品盒的下 底面上的点C处，爬行到对侧上底面上的点B处。将 121,10<11.108.16<2<110.25,10.4<10.5。 转化得到的圆柱体侧面展开，得到一个长为32cm、 2r<21,能够裁出来完整的圆形绣布。T是无限不 宽为12cm的长方形，则这长方形一半，即长为 循环小数，2-340÷T=108.22536…一定是无限不循环 16cm、宽为12cm的长方形的对角线就是蚂蚁吃到食 小数。了不是分数，也不是整数，r不是有理数。 物需要爬行的最短路程。由勾股定理，得16+122= 8.2(答案不唯一)9.B 400=20?,:.蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为20cm。 1认识实数（第2课时） 5.解：蚂蚁爬行的路线有3种。①当蚂蚁爬行经过 -T, 长方体的右侧表面与前面 1.2.22,-号314，器 这两个侧面时，我们将这 0.1010010001…(两个1之间依次加一个0)2.A 两个侧面展开所得到的平 3.C4C5解：)有理数集合：(b03, 面图形如图1所示。：长 方体的宽为10，高为20， 0,-5,0.728,3.14…}(2)无理数集合：{T, 10 点B离点C的距离是5， 0.3030030003…(每相邻两个3之间0的个数逐次 图1 ·BD=CD+BC=10+5=15 0 增加1)…} (3)负实数集合：，-5… AD=20。在Rt△ABD中 10 由勾股定理，可得AB2=BD2+ (4)实数由小到大排列：-5，-吕，0,0.3， AD2=152+202=625。②当蚂 20 0.3030030003…(每相邻两个3之间0的个数逐次 蚁爬行经过长方体的右侧 图2 表面与上底面这两个侧面 增加1)，0.728,3.14，…6略。7.解：①-} 2 时，我们将这两个侧面展 开所得到的平面图形如图 ②】③3④2.02402400024…（每相邻两个24 2所示，则BE=CE+BC=20+ 20 D 10 之间0的个数逐次增加1)⑤-7⑥π8.略。 5=25,AE=10。在Rt△ABE 图3 2平方根与立方根（第1课时）》 中，由勾股定理，可得 第5题答图 AB2=B必+AE2=252+102=725。③当蚂蚁爬行经过长方体 1.D2D3C4D5.I)(2)50 的上表面与后面这两个侧面时，我们将这两个侧面展 (3)0(4)0.5 开所得到的平面图形如图3所示，则BC=5,AC=CD+ (5)吕(6)名 6.(1)11 AD=20+10=30。在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 (2)10 (3)20 ④青 (5)6(6)97.解： AB2=BC+AC2=52+302=925。.625<725<925,AB>0,. 妈蚁爬行的路线经过长方体的右侧表面与前面这两个 :直角三角形①②③④⑤的斜边依次为V2,V2,