第一章 勾股定理 自我检测-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

数学 八年级上册（北师大版） 是10，.可设3x+2=26b+10(b为正整数)，∴.2=26b+ 10-3x1=266-26。当b=1时，x2=266-26=26-26=0;当 b=2时，2=26b-26=26×2-26=26。·.0≤0≤25,2为正 整数，2=0.3x+除以26的余数是3，.可设 3x1+x3=26c+3,.3=26c+3-3x1=26c-33。当c=1时，3= 26c-33=26-33=-7:当c=2时，=26c-33=52-33=19; 当c=3时，x=26c-33=78-33=45。.0≤x≤25，x为正 整数，心=19.2+24被26整除的商为2,2x+ 24=26×2,即3+x4=26。x4=7。x1=12,2=0,3=19, 4=7。,2,,x4对应的字母分别为m,a,t,h, 这个英文单词是math。 3.解：：姓唐的首拼声母对应的英文字母为T, 排在26个字母中的第20位，所以x=20。数列{a}的 前20项为2,3,4,6,8,32,10,12,14,16,18， 20,22,24,26,3,28,30,32,34.3,32,3 共3项，2,4,6,8,10，…，34共17项，N=3+ 34342446+434=345。架-028085。六密码为 289855。 4.解：(1)明文YUAN,由表格知字母Y,U, A,N分别对应数字67，山，25。号2,7+ 17=20,1+1+8=12,25+2+17=26,.明文YUAN对 3 3 应的密文数字为2,20,12,26，对应的密文是WZSM。 (2)第1次加密结果是12，第2次加密结果为4，第 3次加密结果为19，第4次加密结果为24，第5次加 密结果为8，第6次加密结果为11，第7次加密的结 果又是12，即按11→12→4→19→24→8→11→12…的 规则加密。故加密结果6次一个循环。100=6x16+4, .第100次加密结果为24，即明文A经过100次加密 的密文是B。(3)存在。理由：我们逆向思考，哪些 字母经100次加密不能得到本身呢？显然第(2)问中 的6个字母对应的数字都不行：11,12,4,19,24， 8。第(2)问得到的经验还有：多次加密数据是循环 的。因此，这26个数是分布在几个不同的循环里。通 过分析数字126，按加密规则可分为5类：第一类： 1→18→6→2→9→3→1；第二类：4→19→248→ 11→12→4：第三类：7→20→15→5→10→21→7；第 四类：17→14→13→22→25→26→17；第五类：16→ 23一→16。故字母H和V加密100次，得到的密文仍然 是本身。 第一章自我检测 1.D2.C3.A4.B5.B6.B7.B8.C 9.A10.C11.1512.9.613.1614.515.40 或36016.14417.7618.419.解：AD+BD2= 122+52=169=AB,.△ABD为直角三角形，且∠ADC= 90°。由勾股定理得DC=9,BC=14,∴.S△4c=84。 20.解：由折叠知，Rt△ADE≌Rt△AFE,.∴AF=AD= 10cm,EF=DE。设CE=xcm,则DE=EF=CD-CE=8-x. 在Rt△ABF中由勾股定理得AB+BF=AF2,即82+BF= 102,∴.BF=6cm,∴.CF=BC-BF=10-6=4(cm)。在 Rt△ECF中由勾股定理可得EF=EC2+CF2,即(8-x)2=x2+ 1 42,∴.64-16+x2416,.∴.3。∴.EF-5cm。21.解：设绳 索长为x尺，根据题意，得2-(-3)=8。解得=73。 69 答：绳索长为72尺。22.解：(1)AC1BD,· 6 ∠AOB=∠COB=∠AOD=∠COD=90°。.∴.△ABO △COB,△COD,△AOD都是直角三角形。.AB= A0+B02,BC=B0+C0,CD2=C0+D02,AD2=A0P+ D0。.AO=2,B0=3,C0=4,D0=5,.∴AB2=13,BC2= 25,CD2=41,AD2=29。(2)由(1)得，BC+AD= (BO2+CO)+(AO+DO)=AB+CD2,BC2+ADP=AB2+ CD。AB=6,CD=10,.BC+AD=6+10=136。(3) 结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等。 23.解：将水塔抽象为一个圆柱，其平面 展开图如图所示。由题意，知从水塔底 部沿水塔侧面绕行一周半到达水塔顶部. 其登塔的最短路径为AB+CD。由勾股定 理，得AB=号×18+5-169，cD= 第23题答图 号×18+25-4225，AB=13,CD=-65。AB+CD 13+6.5=19.5(m)。答：登梯长至少为19.5m。24. 解：由题意，可知∠ABE=∠DBE=90°，DE=150m, BE=120m。在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE= BD+BE,即1502=BD+120。.BD2=8100。BD>0, BD=90。∴AB=AD-BD=250-90=160(m）。在 Rt△ABE中，AE=AB+BE,即AE=160+1202。∴AE= 40000。AE>0,.AE=200(m)。∴AE+DE=200+150= 350(m)。答：两人所走的路程和为350m。(2)在 △ADE中，DE+A㎡=150+200=62500，AD=250= 62500,DE+AE=AD。.△ADE是直角三角形。 ∠AED=90°，即DE⊥AC于点E。∴.面馆D到公路AC 的距离为DE的长。答：面馆D到公路AC的距离为 150mo 第二章自我检测 1.D2.B3.B4.D5.A6.C7.B8.C 9.D10.D11.V3,2-π，1-V212.3 4071B5-24.<15.-2160或17.21+ 9V318.(1)1(2)1(3)1(4)1(5) V+Vn)Vam-V)Hl19分数架合- -1732.0512512,-√6+，号.… 负数集合 圣，-1732,8，-√6+，…无理数集合 V5,V4,号，2V2,0.1040040004…(相邻 两个4之间0的个数逐次加1)，…20.(1)0.6 (2)-13(3)15(4)-2+2V2(5)5(6) -子2L解：-5号<4k-3<-V2006< 1.414<V2<m<422.(1)-5(2)2V3+2(3)第一章自我检测 数学八年级上册（北师大版） 第一章自我检测 (时间：60分钟总分：100分) 一、选择题（每题3分，共30分） 1.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边比斜边短1cm,则斜边 长为() A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm 2.一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙脚0.7m,如果梯子的 顶端沿墙下滑0.4m,那么梯脚移动的距离是() A.1.5m B.0.9m C.0.8m D.0.5m 3.若等腰三角形腰长为10cm,底边长为16cm,那么它的面积为( A.48 cm2 B.36 cm2 C.24 cm2 D.12 cm2 4.观察下列几组数据：①8,15,17；②7,12,15；③12,15,20：④7,24,25。其 中能作为直角三角形三边长的有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5,如果△DAB的面 积为10，那么DC的长是() A.4 B.3 C.5 D.4.5 城路 8300m 北 D 400m 南京路 书店 .400m D 街 曙光路西安路 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm。现将直角边AC沿 直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于() A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 7.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直，如果小明 站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为() A.600m B.500m C.400m D.300m 8.在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（) A.42 B.32 C.42或32 D.37或33 9.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为() 141 数学 八年级上册（北师大版） A.30 cm B.80 cm C.90 cm D.120 cm 10.如图，每个小正方形的边长为1，A,B,C是小正方形的顶点， 则∠ABC的度数为() A.90° B.60° C.45° D.30° 二、填空题（每题3分，共24分） 第10题图 11.在锐角△ABC中，AD⊥BC,AD=12,AC=13,BC=14,则AB= 12.若一个三角形的边长分别是12,16和20，则这个三角形最长边上的高是 13.小张和小李的跑步速度分别是6m/s和8s,他们同时从同一地点分别向东、南 练习跑步，当两人相距160m时，他们出发的时间是 So 14.小王的身高为1.70m,现想摘取高5.70m处的一个椰子，为了安全需要，使梯子 底端离椰树根部3m,那么梯子较合适的长度是 mo 15.已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积 为 16.在四边形ABCD中，已知AD⊥DC,AD=8,DC=6,CB=24,AB=26,则四边形 ABCD的面积为 17.如图1，这是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三 角形围成的。若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一 倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 图1 图2 第17题图 第18题图 18.在直线1上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分 别是1,2,3，正放置的四个正方形的面积依次是S,S2,S3,S4,则S+S+S+S4= 三、解答题（每题7分，共28分） 19.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AB=13,AD=12,AC=15,BD=5。求 △ABC的面积。 D 第19题图 142 第一章自我检测 20.一张长方形纸片宽AB=8cm,长BC=l0cm。现将纸片折叠，使顶点D落在BC边 上的点F处（折痕为AE),求EF的长。 D 第20题图 21.《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺 而索尽，问索长几何。译文：今有一竖直立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从 木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触） 退行8尺后绳索拉直，此时绳索用尽，问绳索长是多少。 22.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线AC,BD交于点O。 (1)若AO=2,B0=3,C0=4,DO=5,请求出AB2,BC2,CD2,DA2的值。 (2)若AB=6,CD=10,求BC2+AD2的值。 (3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论。 第22题图 43 数学 八年级上册（北师大版） 四、探究题（每题9分，共18分) 23.如图，一个高为18m、底面周长为5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯， 为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长。 第23题图 24.如图为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B,D分别为便利店和面馆， E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向， 已知A,D之间的距离为250m,且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到便利店B的 距离BE长为120m,到面馆的距离DE长为150m。 (1)若小华和小丽分别从公交站牌E处走到A处和面馆D处，求两人走的路程之和。 (2)求面馆D到公路AC的距离。 北 →东 公路 B便利店 E公交站牌 D面馆 第24题图 ④