第一章 1 探索勾股定理-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

勾股定理 第一章 第一章 勾股定理 知识网络 勾股定理 直角三角形边 长的数量关系 探究与证明 实际问题 与问题解决 互逆定理 物 直角三角形的判定 勾股定理的逆定理 勾股数组 探索勾股定理（第1课时） 自主导学Q、典例精析 例题 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都在格点上， 求线段AB的长度。 【分析】以AB为斜边构造格点直角三角形，利用勾股 定理求出AB的长度即可。 【解答】如图，在网格中取格点C,连接AC,BC,则 B △ABC为直角三角形。 例题图 例题答图 因为AB2=AC+BC?,即AB2-42+32=25,所以AB=5。 【点拨】本题主要考查勾股定理，解题的关键是在网格中构造以AB为斜边的直角三角形。 基础巩固（达标闯关 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。(1)若BC=9,AC=12,则AB= (2)若 AB=13,AC=5,则BC=;(3)若AC:AB=3:5,BC=8,则AC= 2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,则AB边上的高等于 3.《九章算术》一书中有如下问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户 高、广各几何。其大意为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈。问 门高和宽各是多少。(1丈=10尺，1尺=10寸)设门高为x尺，根据题意，可列方程为 数学 八年级上册（北师大版） 4.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64cm?,则x的长为 cm。 15 cm ■丁 第4题图 第5题图 第6题图 5.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD,对角线AC,BD交于点O。若AD=2,BC=4,则AB+CD= 、0 6.如图，在3×3的正方形网格中，A,B,C,D,E是格点，则下列线段长度最长的是 () A.AB B.AD C.AC D.AE 7.若直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方为( A.25 B.14 C.7 D.7或25 8.如图，在水塔0的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一 建筑工地B,在A,B间建一条直水管，那么水管AB的长度是多少？ 北 第8题图 能力提升睡综合拓展 一卡多 9.在一棵树的10m高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处， 另一只猴子爬到树顶D后直接跃到A处，距离以线段的长计算，如果两只猴子所经过的距 离相等，那么这棵树的高度是多少米？ 0 B 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2024·南通)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理。如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个 大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n)。若小正方形面积 第10题图 为5，(m+n)2=21,则大正方形面积为（) A.12 B.13 C.14 D.15 ② 勾股定理 第一章 探索勾股定理（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上取一点 E,连接BE,将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处， 求CE的长。 【分析】根据折叠得出BF=BC=5,EF=CE。在Rt△ABF中，利用勾股 例题图 定理求出AF的长，进而求出DF的长。设CE=x,在Rt△DEF中，利用勾股定理列出关于x 的方程即可求解。 【解答】设CE=x,由四边形ABCD是长方形可知，AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90°。 由折叠可知：BF=BC=5,EF=CE=x,则DE=CD-CE=3-x。 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF2=BF2-AB2=52-32=16,所以AF=4,DF=5-4=1。 在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF2=DE+DF2,即x2=(3-x)2+12。 解得x=?。所以CB的长为？ 【点拨】本题考查综合运用勾股定理和折叠的性质，解题的关键是将已知线段和所求的 线段转化到一个直角三角形中，从而应用勾股定理建立方程模型。像本例这类折叠问题，一 般可设一条线段的长为未知数，然后借助折叠中对应线段相等及线段之间的和差关系，用已 知线段长和未知数表示其他线段的长，最后用勾股定理建立关于这个未知数的方程，从而求 解。此外，对于图形的折叠问题，还应注意挖掘折叠中隐含的对应角相等和对称轴垂直平分 对应点之间的连线等条件，以便为后续解题提供帮助。 基础巩固达标闯关 1.一个长方形的长为24cm,对角线长为26cm,则该长方形的周长为 cm 2.分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形P,Q,K,若S 4,S0=9,则Sx= A 3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 7 cm cm2。 第3题图 4.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB= 感应器TA 2.1m,当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一名身 高1.6m的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2m的地方时(BC=1.2m), 感应门自动打开，则该学生的头顶离感应器的距离AD等于（) A.1.2m B.1.3m C.1.5m D.2 m 第4题图 口数学 八年级上册（北师大版） 5.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼 接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别 为S1,S2,S3。若S+S2+S,=60,则S2的值是() A.12 B.15 C.20 D.30 6.如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA⊥AB于 第5题图 点A,CBLAB于点B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收 购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，那么E站应建在离A点多远处？ B 第6题图 7.如图是高空秋千的示意图，小李从起始位置点A处绕着点O经过最低点B,最终荡 到最高点C处。若∠AOC=90°，点A与点B的高度差AD=1m,水平距离BD=4m。求点C 与点B的高度差CE。 B 第7题图 能力提升睡综合拓展 -卡多 8.如图1，分别以Rt△ABC的三条边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S,S2,S 表示，则S=S2+S3 (1)如图2，分别以Rt△ABC的三条边为边长向外作三个正方形，其面积分别用S, S2,S3表示，那么S1,S2,S之间有什么关系？请说明理由。 (2)如图3，分别以Rt△ABC的三条边为边长向外作三个等腰直角三角形，其面积分别 用S1,S2,S3表示，那么S1,S2,S3之间有什么关系？请说明理由。 图1 图2 图3 第8题图 勾股定理 第一章 9.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法。如 图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C'D'的位置，连接CC',设AB=a,BC=b,AC=C, 请利用四边形BCC'D'的面积验证勾股定理：a2+b2=c2。 A 第9题图 中考链接©真题演练 -卡 10.(2024大庆)如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一 个正方形。执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形， 再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图2是1次操作后的图形，图3是 重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图1中的直角三角 形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 图1 图2 图3 第10题图 11.(2024眉山)如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家 赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成。若图1中大正方形的面积为24，小正方 形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为() A.24 B.36 C.40 D.44 S 图1 图2 第11题图 第12题图 12.(2023·日照)已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三 个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面 积为S,均重叠部分的面积为S2,则() A.S1>S2 B.Si<S2 C.S=S2 D.S,S2大小无法确定 5参考答案与提示 参考答案与提示 第一章勾股定理 +SAm=36cm。6.解：.BC=12,AD为BC边上的中 1探索勾股定理（第1课时） 线，BD=DC=}BC=6。在△ABD中，BD4AD2-6+82 2 1.(1)15(2)12(3)62.4.83.x2+(x- 100=AB,.△ABD为直角三角形。.∠ADB=90°。 6.8)2=1004.175.206.C7.D8.解：由题意 ∠ADC=∠ADB=90°。又.BD=DC,AD=AD,.∴.△ABD 可知∠A0B=90°，OA=32m,OB=24m。由勾股定理 可得AB=0A2+0B2=1600。.AB=40m。9.解：由已 兰△ACD。:AC=AB=I0。Sac=ADDC=号AC, 知得BD+AD=BC+AC,BC=10m,AC=20m。设BD= xm,则AD=(30-x)m,CD=(10+x)m。在Rt△ACD DE,即8x6-×I0DE,DE=48.7解：∠PHB+ 中，CD2+AC-=AD2,即(10+x)2420=(30-x)2,解得x=5。 ∠PBA=45°。如图，延长AP交格点于点D,连接BD, .10+=15,即这棵树的高度为15m。10.B 则PD=BD=12+22=5,PB=12+32=10。PD=BD,PD2+ 1探索勾股定理（第2课时）】 DB=PB。∠PDB=90°。.∠DPB=45°。.∠APB=180°- 1.682.5或133.494.B5.C6.解：设 ∠DPB=135°。∴.∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135° AE=xkm,则x2+15子=102+(25-x)2,解得x=10km,即 =45°。8.m9.C E站应建在离A点10km处。 7.解：如图，作AF⊥B0于 0 点F,CG⊥B0于点G,AD⊥ DB,OB⊥DE,·.∠ADB= ∠DB0=∠OBE=90°。.AD∥ OB。.∠AF0=∠DAF=90°。 --F 第5题答图 第7题答图 ∠ADB=∠DBF=∠AFB= B 3勾股定理的应用 ∠DAF=90°。.四边形ADBF 第7题答图 1.172.53.B4.解：(1)A01B0, 为长方形。同理，四边形BECG为长方形。：∠AOC= ∠AOB=90°。.△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中 ∠A0F+∠COG=90°，∠A0F+∠OAF=90°，.∠C0G= 由勾股定理，可得AB2=A02+B0=2.42+0.72=6.25。.·AB= ∠OAF。:∠CG0=∠AF0=90°，AO=C0,∴.△AOF≌ 2.5m。.梯子AB的长度为2.5m。 C △OCG(AAS)。.0G=AF=BD=4m。设A0=xm,在 (2)如图，由题意可知，AE=0.9m。 Rt△AF0中，A+0F=A0,即42+(-1)2=x2,解得x= .A0=2.4m,..E0=A0-AE=1.5(m), 8.5。则CE=GB=0B-0G=8.5-4=4.5(m)。8.解： ED=AB=2.5m。在Rt△DOE中，由 (1)S=S2+S3。理由：设Rt△ABC的三边BC,AC,AB 勾股定理，可得OD=ED-E02= 0 的长分别为a,b,c,由勾股定理得c2=+b2。又S= 2.52-1.52=4。∴.0D=2。.BD=0D- BD c2,S2=,S=b2,S=S+S。(2)S1=S2+S。理由： 0B=2-0.7=1.3(m)。答：梯子的底 第4题答图 ,ss子s=4,+s+子b号d 端向外移动的距离为1.3m。5.解：BC=6,D是 BC的中点，：CD=)BC=3。在Rt△ACD中，AD= +b=子c2=S。9.解：R△ACD≌R△CAB, 2 ACP+CD=42+32=25。AD=5。将△CDE沿DE翻折， ..CA'=AC=c,AD'=CB=b,C'D'=AB=a,AC'D'= 点C落在AD上的点F处，DF=CD=3,EF=CE, ∠CAB。∠AC'D'+∠DAC=90°，.∠BAC+∠D'AC= ∠EFD=∠ECD=90°。：AF=AD-DF=2,∠AFE=90°。设 90°。∴.∠CAC=180°-90°=90°。∴.△CAC是一个等腰直 CE=x,则EF=x,AE=AC-CE=4-x。在Rt△AFE中，由 角三角形，它的面积等于子，又：四边形BCC)是 勾股定理，可得(4-=42，解得x=号。CE15。 个直角梯形，小分(a+b)-2xb+分c,46-c。 6.x2+22=(x+0.5)2 ★问题解决策略：反思 10.4811.D12.C 1.解：如图，将圆柱侧面沿AB展开成长方形， 2一定是直角三角形吗 则螳螂爬行的最短路程就是长方形对角线AB的长。 1.C2.直角三角形3.B4.C5.解：如图， AA=2m×10=20m≈60(cm),BA1=45cm,根据勾股 连接BD,由勾股定理得BD=5cm。又BC=l3cm, 定理，可得AB2=AA2+BA2=602+452-5625=752。故AB= CD=12cm,BD2+CD2=25+144=169=132=BC,由勾股 75cm。答：螳螂爬行的最短距离为75cm。 定理逆定理得△BCD是直角三角形，S四边形AB-S△m