第四章 3 一次函数的图象-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

一次函数 第四章 一次函数的图象（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 已知函数y=x,y=-2,y= 2*,y=3x (1)在同一平面直角坐标系内画出上述函数的图象。 y=kx (2)观察这些函数的图象，随着k的增大，函数图象与y轴正 半轴的位置关系有何变化？ (3)正比例函数y=代，y2=k2x在同一平面直角坐标系中的图象 例题图 如图所示，根据图象判断k,与2的大小关系。 =-2x Ay v=3x 【分析】(1)由四个正比例函数的表达式可知其图象均过原 点，再分别令x=1,求出y的值，描出相应的点，根据两点确定一 条直线画出函数图象；(2)观察各图象与y轴正半轴的夹角，夹 角越小，k越大；(3)由(2)分析的规律即可判断。 【解答】(1)如图所示。 (2)随着的增大，函数图象与y轴正半轴所夹的锐角逐渐减小。 例题答图 (3)由(2)中发现的规律可知，kl<k。k1<0,k2<0,∴k1>k2。 【点拨】对于正比例函数，k决定其图象与y轴正半轴所夹的锐角的大小，随着k的逐 渐增大，其图象与y轴正半轴所夹的锐角越来越小，即越来越靠近y轴。 基础巩固达标闯关 1.若正比例函数y=kx的图象经过点(-1，-2)，则这个函数的图象经过第 象限。 2.如果正比例函数y=(k-1)x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 3.已知点(x,1),(,y2)在函数y=-6x的图象上，若x<2,则y1 y20 4已知=了，若)的取值范围是-2≤)≤1，则x的最小值为 5.下列正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小的是() A.y=0.5x B C.y=2x D.y=-2x 6.若一个正比例函数的图象经过点(2，-3)，则这个图象一定也经过点() A.(-3,2) B.3,-1 c(号，-l D.3,1 7.若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,2),当x1<x时，yy2, 53 数学 八年级上册（北师大版） 则m的取值范围是() A.m>0 B.m= 2 C.m<I D.m>1 2 8.如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①y=x,②y= bx,③y=cx,下列表示a,b,c的不等关系正确的是（) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<e<b 9.已知正比例函数图象上一个点A到x轴的距离为4，点A的横坐 第8题图 标为-2，请回答下列问题： (1)求这个正比例函数，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象。 (2)这个正比例函数y的值随着x值的增大是如何变化的？ 3-201234 -I -2 -3 第9题图 能力提升睡综合拓展 10.已知y-2与3x-4成正比例关系，且当x=2时，y=3。 (1)写出y与x之间的关系式。 (2)若y的取值范围为-1≤y≤2，求x的取值范围。 中考链接⊙真题演练 11.(2024·天津)若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第一、三象限，则 k值可能是 (写出一个即可)。 12.(2024山西)已知点A(x1,y),B(x2,y2)都在正比例函数y=3x的图象上，若x< 2,则y1与2的大小关系是() A.yi>y2 B.y<y2 C.yI=Y2 D.y1≥y2 13.(2024内江)如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴， 4 垂足为点B,将△ABO绕点A逆时针旋转到△ABO1的位置， 04 使点B的对应点B,落在直线)=子x上，再将△AB0,绕点B B3 逆时针旋转到△ABO2的位置，使点O1的对应点O2也落在直 线=子上，如此下去，，若点B的坐标为0,3》，则点 第13题图 B37的坐标为() A.(180,135)B.(180,133) C.(-180,135)D.(-180,133) 54 一 次函数 第四章 一次函数的图象（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题已知函数y=(m-1)x+m-3。 (1)若函数图象经过原点，求m的值。 (2)若函数图象与y轴交点的纵坐标为-1，求m的值。 (3)若函数的图象平行于直线y=3x-3,求m的值。 (4)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围。 【分析】(1)根据函数图象经过原点可得m-3=0,且m-1≠0，即可求解；(2)根据题 意可得m-3=-1,解方程即可；(3)根据两函数图象平行，k值相等，可得m-1=3;(4) 根据一次函数的性质可得m-1<0,由此可求出m的取值范围。 【解答】(1)因为函数图象经过原点，所以m-3=0且m-1≠0。解得m=3。 (2)因为函数图象与y轴交点的纵坐标为-1，所以m-3=-1且m-1≠0，解得m=2。 (3)因为函数的图象平行于直线y=3x-3,所以m-1=3,解得m=4。 (4)因为y随着x的增大而减小，所以m-1<0。解得m<1。 【点拨】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是掌握以下相关的性质：(1)图象 与y轴交点的纵坐标就是函数表达式y=kx+b中b的值。(2)x轴、y轴上点的坐标的特点。 (3)一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升； 当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降。 基础巩固气)达标闯关 1.在一次函数y=-3x+1中，y的值随着x值的增大而 2.已知一次函数y=(m+2)x+1中，函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 3.已知点(-4，，(2，)都在直线)=+2上，则 (填“>”“=”或 “<”)y3。 4.下列一次函数中，y的值随着x值的减小而增大的是() A.y=3x B.y=3x-2 C.y=2x+3 D.y=-3x-2 5.关于函数y=5x-m(m≠0)，下列结论正确的是( A.函数图象一定经过点(0,0) B.函数图象一定经过第一、三象限 C.y随x的增大而减小 D.不论x取何值，总有y>0 55 口数学 八年级上册（北师大版） 6.一次函数y=kx+b和y2=bx-k在同一坐标系内的图象大致是() A 7.已知a心0，b>0,且a≠b,则直线y=ax+b和直线y=bx+a相交于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.对于一次函数y=(3-a)x+3。 (1)若y的值随着x值的增大而增大，则a的取值范围是什么？ (2)若y的值随着x值的增大而减小，则α的取值范围是什么？ 9.一次函数y=(a+2)x-(3-b)中，当a,b为何值时： (1)y的值随x值的增大而增大？ (2)图象经过第二、三、四象限？ (3)图象与y轴的交点在x轴的上方？ 10.在同一平面直角坐标系中分别画出（1)y=-2x,（2)y=-2x+3,(3)y=-2x-3, (4)=子，（5)+1，(6)=1的图象，并观察这六条直线有怎样的位置关系。 你发现了什么规律？ 5® 一次函数 第四章 ”1.对于平面直角坐标系中的任意一点Px,),给出如下定义：如果分-2， 号+1，那么点M(a,b)就是点P的“关联点°。例如，点P(6,2)的关联点”是点 M(1,2) (1)求点A(2,1)的“关联点”的坐标。 (2)将点C(m,n)向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到点C'(m+2, n-3),如果点C与点C的“关联点”互相重合，求点C的坐标。 (3)设点D(t,-2)的“关联点”为点D',连接DD',若线段DD'与y轴有一个公共点， 求出t的取值范围。 中考链接©真题演练 12.(2024·镇江)点A(1,y1),B(2,y2)在一次函数y=3x+1的图象上，则y (填“<”“=”或“>”)y20 13.(2024·包头)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请 写出一个符合该条件的一次函数的表达式： 14.(2024·长春)已知直线y=kx+b(k,b是常数)经过点(1,1)，且y的值随x值的 增大而减小，则b的值可以是 (写出一个即可)。 15.(2024·长沙)对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是() A.它的图象与y轴交于点(0，-1) B.y的值随x值的增大而减小 C.当o2时，0 D.它的图象经过第一、二、三象限 16.(2024·临夏)一次函数y=kx-1(k≠0)的函数值y随x值的增大而减小，则它的图 象不经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 17.(2024·通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+ b1与y=k2x+b2(其中kk2≠0，k1,k2,b1,b2为常数)的图象分别为直线1， 2。下列结论正确的是（) A.b1+b2>0 B.bib2O C.k1+h2<0 D.kik2<0 第17题图 5(-5,1)。(2)△ABC为等 腰直角三角形。理由：如图， 设直线l与BC交于点E, △ABC关于直线1对称， .BE=CE,AB=AC,BC⊥ AD。.∠AEB=∠AEC=90°。： 点C的坐标为(-2，-2)， 点E的坐标为(-2,1)。 第9题答图 .BE=AE=CE=3。.∴.∠CAE= ∠C=45°，∠BAE=∠B=45°。∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE= 90°。∴.△ABC为等腰直角三角形。10.解：(1)一 次反射点为(-1,3)，二次反射点为(3，-1)。(2) 当点A在第三象限时，一次反射点在第四象限，二次 反射点在第二象限。点M(-4,1),N(3,-1), Q(-1,-5)关于直线1的反射点分别为M(1,-4), N(-1,3),Q(-5,-1),而M,N,Q关于y轴的 对称点分别为(-1，-4)，(1,3)，(5，-1)， M(-4,1)是点A的二次反射点。点A的坐标为 (-1,-4)。(3)点B在第二象限，点B1在第一 象限。连接BB1,BB2,BB,交y轴正半轴于点D, BB2交直线1于点E。∠BOD=30°，∴∠B,OD=∠BOD= 30°。∴.∠B,0E=∠B,0E=∠D0E-∠B,0D=45°-30°= 15°。..∠B0B2=2∠B0E=2×15°=∠30°。11.(-5，- 1)12.113.C 第四章一次函数 1函数 1.①②2.B3.C4.解：(1)铅球行进的高 度y(m)与距小周的水平距离x(m)之间的关系。 (2)y是x的函数，因为由图象可看出当任意取一个x 值时，都有唯一的γ值与它对应。自变量x的取值范 围是0≤x≤10。(3)铅球行进的最高点距地面3m, 小周同学投掷铅球的距离是10m。5.解：(1)反 映总袋数m与每袋装的颗数n两个变量之间的关系， 其中每袋装的颗数n是自变量。(2)这批水果糖共有 10x360=3600(颗)。总袋数随着每袋装的颗数的增多 而减少。(3)n=3600,m=3600。 6.解： (1)根据图象可知，高度h是时间t的函数，h的取值 范围是0.5≤h≤1.5。(2)①当t=0.7s时，h的值是 0.5m,它的实际意义是摆动时间为0.7s时，秋千离 地面的高度是05m。②由图象可知，5.4-2.8=2.6 (s)。答：秋千摆动第二个来回需要的时间为2.6s。 7.解：(1)行驶里程剩余电量(2)当x=0时 y=80,.该型号电动汽车的电池容量为80kWh。 (3)由表格可知，行驶里程每增加10km,剩余电量 减少2kWh,.行驶里程每增加1km,剩余电量减 少0.2kWh。当x=0时，y=80,则y=80-0.2x。∴y与x 之间的关系式为y=80-0.2x。(4)80×25%=20,将y= 20代人y=80-0.2x,得80-0.2x=20。解得x=300。∴.剩 余电量为25%时，电动汽车的行驶里程为300km。 8.x≥-29.D 2认识一次函数（第1课时） 1.y=x+20x≥02.(1)5.4+1.8=7.29+1.8= 1 参考答案与提示 10.8(2)根据数据的变化规律，小伟跑步时间每增 加10min,跑步的路程均增加1.8km,∴.小伟跑步时 间每增加1min,跑步的路程增加0.l8km。 2认识一次函数（第2课时）】 1.=2t一正比例2.-13.B4.C5.(1) h=20-5t。(2)7.5cm。(3)4h。6.解：(1)由 表格得，该公交车的乘车人数每增加50人，利润增加 100元，.乘车人数每增加10人，利润增加20元。 (2)由(1)知，该公交车每增加一位乘客，利润增加 2元。又公交车每天的支出费用为600元，y=2x- 600,其中k=2表示每位乘客的乘车票价，b=-600表 示公交车每天支出的费用。(3)当x=800时，y=2x- 600=2×800-600=1000。∴.该公交车当天的利润是1000 元。7.798.2.59.B 2认识一次函数（第3课时）】 1.y=4x+15(x>15)2.解：(1)当0≤x≤20 时，y=25.x;当x>20时，y=10(x-20)+20×25=10x+300 (其中x是整数)。(2)当x=54时，y=10x+300=840 (元)。答：购买门票共需花840元。3.解：(1)由 题意，得7a=21。解得a=3.9x3+(12-9)b=39,解得 b=4。(2)当0≤x≤9时，y=3x;当9<x≤15时，y= 3x9+4(x-9)=4x-9;当x>15时，y=3×9+4×(15-9)+5(x 15)=5x-24。(3)当x=15时，y=51.51<66,∴.小张 家8月的用水量大于15m3。当x>15时，y=5x-24, 5x-24=66。解得x=18。答：小张家8月的用水量为 18m3.4.解：(1)当0≤x≤4000时，y=(x-800)× 20%×(1-30%)=14%(x-800),即y=0.14x-112;当x> 4000时，y=x·(1-20%)×20%×(1-30%)=11.2%x= 0.112x。(2).x=3000<4000,.y=0.14x-112=0.14× 3000-112=308(元)。x=20000>4000,.∴y=0.112x= 0.112×20000=2240(元)。.∴.308+2240=2548（元）。 答：张红两次共纳个人所得税2548元。 3一次函数的图象（第1课时） 1.一、三2.k<13.>4.-65.D6.C 7.C8.B9.解：(1)正比例函数图象上一个点 A到x轴的距离为4，这个点A的横坐标为-2，∴A(-2, 4)或(-2，-4)。设正比例函数表达式为y=kx,则 4=-2h或-4=-2h。解得k=-2或k=2。故正比例函数表 达式为y=2x或y=-2x。所画函数图象略。(2)当y= 2x时，正比例函数y的值随着x值的增大而增大；当 y=-2x时，正比例函数y的值随着x值的增大而减小。 10.解：(1)设y-2=k(3x-4),将x=2,y=3代入y- 26(3x4)中，得2k=1。解得=7。-2号3-4， 即y=号。(2)当y=1时，=子：当)-2时，多 2,解得x号。心号≤≤号。12（答案不唯一） 12B13.C提示：将)3代人)=子x,得=-4 .∴.点A(-4,3)。.∴.OB=3,AB=4,由勾股定理，得OA= 5。.C△mB=3+4+5=12。由旋转方式知，点B21在直线 =x上。0B=549,0B=9412,0B=9+2x12,, 数学 八年级上册（北师大版） .0B1=9+12(n-1)=12n-3。令2n-1=37,解得n=19。 .12n-3=12×19-3=225,即0B7=225。令点B7 m,-m(m<0,m+子m-2。解得m 3 -180。m=135。点B,的坐标为(-180,135) 3一次函数的图象（第2课时） 1.减小2.m>-23.>4.D5.B6.C7.A 8.解：(1)根据一次函数y的值随着x值的增大而 增大，可得3-a>0,即a<3。(2)根据一次函数y的 值随着x值的增大而减小，得3-a<0,即a心3.9.解： (1)当a+2>0,3-b为任意数时，即a心-2，b为任意实 数。(2)图象经过第二、三、四象限，∴a+2<0, -(3-b)<0,即a<-2,b<3。(3)当a+2≠0，-(3-b)>0 时，即a≠-2，b>3.10.解：图象略。(1)(2) (3)的图象互相平行，(4)(5)(6)的图象互相平 行；(1)(2)(3)的图象分别与(4)(5)(6)的图 象互相垂直。规律：①当两个一次函数的k值相等时， 它们的图象互相平行，当两个一次函数的k值互为负 倒数时，它们的图象互相垂直；②直线y=-2x+3和 y=-2x-3可分别由直线y=-2x向上平移3个单位长度 和向下平移3个单位长度得到：③直线y=+1和 之-1可分别由直线)产分向上平移1个单位长度和 向下平移1个单位长度得到。11.解：(1)：点 A2,1),点A的“关联点”是分×2-2，×1+1， 即-1，号。(2)C(m+2,-3),点C的“关联 点”是2(m+2)-2,-3)+1。点C与点C的 “关联点”互相重合，小7(m+2)-2=m,n-3)+1= 解得m=-2,n=-1。∴.点C的坐标为(-2，-1)。(3) 设点D(t,-2),点D(t,-2)的“关联点”为 D2-2,0。线段DD与y轴有一个公共点，D, D在y轴两侧，即点D,D两个点的横坐标1，子-2 为异号。∴.当点D在y轴右侧时，即横坐标>0，只有 当4时，-2<0成立，即点D在y轴左侧，0K 4;当点D在y轴左侧时，即<0，此时号-2<0恒成 立，.点D,D'均在y轴左侧，此时线段DD与y轴 没有公共点。t的取值范围是0<t<4.12.<13.y= x+1(答案不唯一)14.2（答案不唯一）15.A 16.A17.A 4一次函数的应用（第1课时) 1.y=-2x+205c<102.y=3.y7.6+76 0≤x≤204.C5.解：(1)由于点P(1,2)在直线 y=kx上，可得这个正比例函数表达式为y=2x。(2) 由题意知P(1,-2),0'(0,-4)。设函数表达式为y= 1 2x+b,则b=-4,.表达式为y=2x-4.6.解：(1) 将(1,0)，(0,2)代人y=kx+b,得b=2,k+b=0, 解得k=-2,b=2,∴.这个函数的表达式为y=-2x+2。把 x=-2代人y=-2x+2,得y=6;把x=3代入y=-2x+2,得 y=-4。∴y的取值范围是-4≤y<6。(2)点P(m,n) 在该函数的图象上，：∴n=-2m+2。:m-n=4,m-(-2m+ 2)=4。解得m=2,n=-2。∴.点P的坐标为(2，-2)。 7.解：(1)根据题图可知，时间每增加10s,油的 温度就升高20℃，则锅中油温y与加热的时间t之间 可能是一次函数关系。设y关于t的函数表达式为y= t+b(k≠0)。将x=0,y=10,x=10,y=30分别代人表 达式，得b=10,10k+b=30,.k=2。y=2t+10。表 格中其他组t与y的对应值均满足该表达式，∴y关于t 的函数表达式为y=2t+10。(2)当t=110时，y=2× 110+10=230,.这种食用油的沸点是230℃。8.解： (1)设y与x之间的关系式为y=kx+b。由一次函数的 性质，当自变量x每增加1时，函数值的变化量“均 匀”地增加k。又胸径为0.2m时，树高为20m;胸 径为0.6m时，树高为30m,∴k=(30-20)÷(0.6-0.2)= 25。y=25x+b。将x=0.2,y=20代人，得25×0.2+b= 20,b=15。.树高y与其胸径x之间的关系式为y= 25x+15。(2)当x=0.5时，y=25×0.5+15=27.5。∴.树高 为27.5m。(3)依题意，得y=25(x+0.28)+15=25x+ 15+7,则y1-y=25x+15+7-(25x+15)=7。∴.当这种树的 胸径增长0.28m时，其树高增长7m。9.解： (1)由题意，知1000x0.9=900(元)。答：购买一张 加油卡实际花了900元。(2)由题意知，y=0.9·(x- 0.3)=0.9x0.27,∴y关于x的函数表达式为y=0.9x- 0.27。(3)当x=7.3时，y=0.9×7.3-0.27=6.3.7.3- 6.3=1。∴.优惠后每升油的价格比原价便宜1元。 10.y=2x+311.912.450013.解：(1)设y与x 之间的关系式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)，由 一次函数的性质，当自变量x每增加1，函数值y的 变化量“均匀”地增加k。.·蟋蟀在温度为16℃时， 1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均 鸣叫155次，.k=(155-92)÷(23-16)=9。y=9x+b。将 x=16,y=92代入y=9x+b,得b=-52。∴y与x之间的关 系式为y=9x-52。(2)将y=128代人y=9x-52,得9x 52=128。解得x=20。答：该地当时的温度约是20℃。 4一次函数的应用（第2课时) 1.y<-22.13.204.解：(1)根据题意，得 b=1000,0=5k+b。把b=1000代入0=5k+b,解得k= -200。∴.所求一次函数的表达式为y=-200x+1000,自 变量x的取值范围是0≤x≤5。(2)当y=400时，得 -200x+1000=400。解得x=3。答：手机充满电使用3 天后，手机会发出提示音。5.解：(1)由图象可 知，甲、乙两组合作挖掘了30天，甲组单独挖掘了 30天，即甲组比乙组多挖掘了30天。(2)当x≤30 时，设y=kx,210=30k1。∵k=7。y=7x。当30<x≤ 60,即乙组停工后，设=k式+b,由题意，得甲组单独 挖掘的效率为(300-210)÷(60-30)=3(m/天)，.k=3。 =3+b。将x=60,=300代人y=3x+b,得300=3x60+ b。∴b=120。∴y=3x+120。(3)由(2)知，甲组单独