第三章 3 轴对称与坐标变化-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级上册（北师大版） 轴对称与坐标变化 自主导学Q典例精析 例题 如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为 “基本图形”，其各点的坐标分别为A(4,4),B(1,3),C(3,3), D(3,1)。 (1)画出“基本图形”关于x轴对称的四边形ABCD,并 43102345 写出A1,B1,C,D1的坐标。 (2)画出四边形AB1CD1关于y轴对称的四边形AB,CD2, =5 并写出A2,B2,C2,D2的坐标。 例题图 【分析】根据关于x轴、y轴对称的两个点的坐标特征即可解答。 【解答】(1)所画四边形ABCD,如图所示，根据坐标系中的点关于x轴对称的坐标特 点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出A1(4,-4),B1(1,-3),C1(3,-3),D1(3,-1)。 (2)所画四边形AB2C2D2如图所示，根据坐标系中的点关于y 轴对称的坐标特点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，得出A2(-4, -4),B2(-1,-3),C2(-3,-3),D2(-3,-1)0 【点拨】此题主要考查了图形对称与坐标的关系，实际上就是 坐标系中的轴对称的问题，解题的关键是掌握关于x轴、y轴对称 的两个点坐标的特点，即关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标 相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐 例题答图 标相同，横坐标互为相反数。 基础巩固飞)达标闯关 1.点P(-3,1)关于x轴对称的点的坐标为 2.已知A(2,5),B(-2,5)两点，那么这两点的位置关系是 3.已知点A(3,6)和点B(3,-5),则线段AB与y轴的位置关系是 4.已知在平面直角坐标系中，点A(a,-5)与点B(1,b)关于x轴对称，则a= b= 5.在平面直角坐标系中，A,B是关于x轴对称的两个点，且AB=2,点A到y轴的距离 是3，若点A在第一象限，则点A的坐标是 6.在平面直角坐标系中，将点A(1,2)的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A',则 点A与A'的关系是() A.关于x轴对称B.关于y轴对称 C.关于原点对称D.无法确定 位置与坐标 第三章 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-1,0), C(-4,3)。 (1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△ABC,并写出各顶点坐标。 (2)A,B,C三点坐标与对应点A1,B1,C,的坐标有什么关系？ (3)求出△ABC的面积。 第7题图 8.如图，△ABC和△DEF是关于y轴对称的两个三角形，且点D的纵坐标是5。 (1)建立平面直角坐标系，写出△ABC各顶点的坐标。 (2)将△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标变成相反数，再将所得的各个点用线段依次 连接起来，画出图形，观察所得的图形与原图形相比有什么变化。 r--「-D (3)求出△ABC中AC边上的高。 第8题图 能力提升缈综合拓展 一卡多多 9.如图，在平面直角坐标系中，直线1过点A且平行于x轴，交y轴于点D(0,1),已 知AD=5,△ABC关于直线l对称。 (1)求点A的坐标。 (2)若点C的坐标为(-2，-2)，判断△ABC的形状，并说明理由。 0 第9题图 43 口数学 八年级上册（北师大版） *10.在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称 为P的一次反射点，记作P；点P,关于直线1的对称点称为点P的二次反射点，记作P2。 例如：如图，点P(-2,5)的一次反射点为P(2,5),二次反射点为P2(5,2)。根据定 义，回答下列问题： (1)分别写出点(1,3)的一次反射点和二次反射点的坐标。 (2)已知点A在第三象限，在点M(-4,1),N(3,-1),Q(-1,-5)中，有一个点是点 A的二次反射点，请你确定是哪一点，并写出点A的坐标。 (3)点B在第二象限，射线OB与y轴正半轴所夹锐角的度数为30°，点B,B2分别是 点B的一次、二次反射点，求∠BOB2的度数。 2012345 -5 第10题图 中考链接©真题演练 - 11.(2023·成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(5,-1)关于y轴对称的点的坐标是 12.(2023·湘西)在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称， 则a+b= 13.(2024·通辽)剪纸是我国民间艺术之一，如图所示的剪纸作品 的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A(-4,2)关于y轴 对称的点的坐标为() A.(-4,-2) B.(4,-2) C.(4,2) D.(-2,-4)》 第13题图 44数学 八年级上册（北师大版） 3 二次根式（第3课时） .△OAC是等腰直角三角形。由勾股定理，得2OA2 1.-V3 gV2.3V了-14W7313- AC,即0A=0C=2V2。.A(2V2,0),C(0,2V2)。 .·∠OCA=45°，∠ACB=90°，.∠BCD=45°。.△BCD是 2V42=(V7-V6)24.D5.A6.B7.(1) 等腰直角三角形。.CD=BD。BC=2,∴.由勾股定理， 10V2-2V10(2)3(3)5V2(4)15-2V3 得CD=BD=V2..BE=OD=CO+CD=3V2。.点B (5)V7-V6(6)3-2V58.解：三角形 (V2,3V2)。8.A9.C10.D 的面积=2(V3+1)(V3-1)=2[(V31=1(cm): 2平面直角坐标系（第2课时） 1.(0,5)或(0，-5)2.正方形3.C4.B 直角三角形的斜边长=2V2cm,三角形的周长= 5.C6.(1)A,B,C三点的坐标分别为(2,4)， 2(V3+V2)cm。答：直角三角形的面积是1cm2, (5,2),(3,-1)。(2)D(0,1)。7.(1)(2, 周长是2(V3+V2)cm。9.解：都成立。规律：当 0)(4,0)(6,0)(2)当n=1时，A4(2,0); 带分数的整数部分与分数部分的分子相等，且分母为 当n=2时，As(4,0)；当n=3时，An(6,0),∴A的 分子的平方减1时，这个带分数的算术平方根等于带 坐标为(2n,0)。(3)动点从点A1m到点Ao的移动 分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算术平方 方向是向上。100÷4=25，Am在x轴上，.到A 根的积，用代数式表示其基本规律是：对于一般的被 的移动方向是向上。8.四9.(7,0)10.D 开方数为高≥2)的二次根式可推出：V行 2平面直角坐标系（第3课时） 1.(1)A(-4,3)B(-4,0),C(0,-2),D(5, V石a≥2。如，若取5，有V5-5V。 0),E(5,3),F(0,5)(2)相等(3)点B与点 D的纵坐标都是0，点C与点F的横坐标都是0(4) 10.(1)5(2)55(3)555(4)5555(5) 平行2.C3.解：(1)略。(2)以AB为腰的等 555…5511.解：(1)V5,2+V3(2)原式= 腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的 2025个5 V20s-145-144.3)V-Vn-Vm+Wn 坐标分别为C(-6,0),C2(4,0),C3(7,0)。4. 解：坐标为(9,0)。理由：用表格列出质点的运动规律： VntVT Vui>Vn-T.. Vn-Vn-T=-1 运动时间/s 3=22-1 8=32-115=42-124=-52-1… 所在位置坐标 (1,0)(0,2) (3,0)(0,4)… Vn+I-Vn<Vn-Vn-I。12.-2V313.D14. B15.C16.V3。 由表格可知，当运动时间为(n2-1)s时，若n为 第三章位置与坐标 偶数，则位于点(n-1,0)；若n为奇数，则位于点 1确定位置 (0,n-1)。·.99=102-1,第99s时质点所在位置的坐 1.(2,1)F2.B3.D4.D5.C6.C 标是(9,0)。 7.解：(1)球、明、国、活。(2)我爱数学。中 5.解：(1)①.点A(-3,1)到x,y轴的距离 国的明天更好。(3)B4,A3,C1,A1,A2。 中的最大值为3，与点A是“等距点”的点是E, (4)略。8.解：(1)黑棋3记为(G,3),黑棋⑤ F。②点B到x,y轴的距离中至少有一个为3的点有 记为(H,4),黑棋⑨记为(D,6)。(2)白棋⑧， (3,9),(-3,3),(-9,-3),这些点中与是点A 黑棋⑦，白棋⑥。9.解：B(6,2),C(5,3),D(7, 的“等距点”的是(-3,3)。(2)T(-1,-k-3), 5),E(2,4)；用方位角+距离的方法表示：图中点B T2(4,4k-3)两点为“等距点”，则分下列两种情况： 在点A的正东方向的2cm处；图中点C在点A的东 ①若14-3引≤4时，则4=-k-3或-4=-k-3,解得k=1 北方向（或北偏东45°方向）的V2cm处；图中点D 或k=-7(舍去)；②若4-3>4时，则4k-3引=-k-31, 解得k=2或k=0(舍去)。综上所述，k的值是1或2。 在点A的东北方向（或北偏东45°方向）的3V2cm 6.(1,3) 处；图中点E在点A的西北方向（或北偏西45°方向） 3轴对称与坐标变化 的2V2cm处。10.(3,30) 1.(-3,-1)2.关于y轴对称3.平行4.1 2平面直角坐标系（第1课时） 55.(3,1)6.B7.解：(1)图形略，A(1,5), 1.(0,2)(4,2)(4,0) B(1,0),C(4,3)。(2)横坐标互为相反数，纵坐 2.13.-四xy4.D 5.A6.0(0,0),A(3,3V3), 标相等。(3)艺。8解：()图形略，A(25), B(6,0)。7.解：如图，过点B B(2,3),C(4,1)。(2)图形略，关于x轴对称。 作BE⊥x轴于点E,作BD⊥y轴 于点D,则BE=OD,BD=OE。 (3)2.9解：(0：直线1过点4且平行于 :∠C0A=90°，0A=0C,AC=4, 第7题答图 x轴，交Y轴于点D(0,1),AD=5,.点A的坐标为 参考答案与提示 (-5,1)。(2)△ABC为等 10.8(2)根据数据的变化规律，小伟跑步时间每增 腰直角三角形。理由：如图， 加l0min,跑步的路程均增加1.8km,∴.小伟跑步时 设直线1与BC交于点E, 间每增加1min,跑步的路程增加0.l8km。 △ABC关于直线1对称， 2认识一次函数（第2课时） 'BE=CE,AB=AC,BC⊥ 1.=2t一正比例2.-13.B4.C5.(1) AD。..∠AEB=∠AEC90°。. h=20-5t。(2)7.5cm。(3)4h。6.解：(1)由 点C的坐标为(-2，-2)，… 表格得，该公交车的乘车人数每增加50人，利润增加 点E的坐标为(-2,1)。 第9题答图 100元，∴.乘车人数每增加10人，利润增加20元。 .BE=AE=CE=3。∴.∠CAE= (2)由(1)知，该公交车每增加一位乘客，利润增加 ∠C=45°，∠BAE=∠B=45°。∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE= 2元。又公交车每天的支出费用为600元，∴y=2x- 90°。∴.△ABC为等腰直角三角形。10.解：(1)一 600,其中k=2表示每位乘客的乘车票价，b=-600表 次反射点为(-1,3)，二次反射点为(3，-1)。(2) 示公交车每天支出的费用。(3)当x=800时，y=2x- 当点A在第三象限时，一次反射点在第四象限，二次 600=2×800-600=1000。∴.该公交车当天的利润是1000 反射点在第二象限。点M(-4,1),N(3,-1), 元。7.798.2.59.B Q(-1,-5)关于直线1的反射点分别为M1(1,-4), 2认识一次函数（第3课时）】 N1(-1,3),Q(-5,-1),而M,N1,Q1关于y轴的 1.y=4x+15(x>15)2.解：(1)当0≤x≤20 对称点分别为(-1，-4)，(1,3)，(5，-1)， M(-4,1)是点A的二次反射点。点A的坐标为 时，y=25x;当x>20时，y=10(x-20)+20x25=10x+300 (其中x是整数)。(2)当x=54时，y=10x+300=840 (-1,-4)。(3)点B在第二象限，点B1在第一 (元)。答：购买门票共需花840元。3.解：(1)由 象限。连接BB,BB2,BB,交y轴正半轴于点D, 题意，得7a=21。解得a=3.9×3+(12-9)b=39,解得 BB2交直线1于点E。∠BOD=30°，∴.∠BOD=∠BOD= b=4。(2)当0≤x≤9时，y=3x;当9<x≤15时，y= 30°。∴.∠B,0E=∠B,0E=∠D0E-∠B,0D=45°-30°= 15°。.∠B0B2=2∠B10E=2×15=∠30°。11.(-5，- 3x9+4(x-9)=4x-9;当x>15时，y=3x9+4×(15-9)+5(x 15)=5x-24。(3)当x=15时，y=51.51<66,∴.小张 1)12.113.C 家8月的用水量大于15m3。当x>15时，y=5x-24, 第四章一次函数 .5x-24=66。解得x=18。答：小张家8月的用水量为 1函数 18m3.4.解：(1)当0≤x≤4000时，y=(-800)× 1.①②2.B3.C4.解：(1)铅球行进的高 20%×(1-30%)=14%(x-800),即y=0.14x-112;当x> 度y(m)与距小周的水平距离x(m)之间的关系。 4000时，y=x·(1-20%)×20%×(1-30%)=11.2%x= (2)y是x的函数，因为由图象可看出当任意取一个x 0.112x。(2)x=3000<4000,.y=0.14x-112=0.14× 值时，都有唯一的γ值与它对应。自变量x的取值范 3000-112=308(元)。x=20000>4000,.y=0.112x= 围是0≤x≤10。(3)铅球行进的最高点距地面3m, 0.112×20000=2240(元)。.308+2240=2548（元）。 小周同学投掷铅球的距离是10m。5.解：(1)反 答：张红两次共纳个人所得税2548元。 映总袋数m与每袋装的颗数n两个变量之间的关系， 3一次函数的图象（第1课时）】 其中每袋装的颗数n是自变量。(2)这批水果糖共有 1.一、三2.k<13.>4.-65.D6.C 10x360=3600(颗)。总袋数随着每袋装的颗数的增多 7.C8.B9.解：(1)正比例函数图象上一个点 而减少。(3)mm=3600,m=3600 。 6.解： A到x轴的距离为4，这个点A的横坐标为-2，∴A(-2, 4)或(-2，-4)。设正比例函数表达式为y=kx,则 (1)根据图象可知，高度h是时间t的函数，h的取值 4=-2h或-4=-2弘。解得k=-2或k=2。故正比例函数表 范围是0.5≤h≤1.5。(2)①当t=0.7s时，h的值是 达式为y=2x或y=-2x。所画函数图象略。(2)当y= 0.5m,它的实际意义是摆动时间为0.7s时，秋千离 2x时，正比例函数y的值随着x值的增大而增大；当 地面的高度是0.5m。②由图象可知，5.4-2.8=2.6 y=-2x时，正比例函数y的值随着x值的增大而减小。 (s)。答：秋千摆动第二个来回需要的时间为2.6s。 10.解：(1)设y-2=k(3x-4),将x=2,y=3代入y- 7.解：(1)行驶里程剩余电量(2)当x=0时， y=80,.该型号电动汽车的电池容量为80kWh。 2-6(34)中，得21。解得=7。-2（3x4, (3)由表格可知，行驶里程每增加10km,剩余电量 减少2kWh,.行驶里程每增加1km,剩余电量减 即y=号。(2)当y1时，=子：当y2时，多 少0.2kWh。当x=0时，y=80,则y=80-0.2x。y与x 之间的关系式为y=80-0.2x。(4)80x25%=20,将y= 2,解得x专。号≤≤号。山.2（答案不唯一） 20代人y=80-0.2x,得80-0.2x=20。解得x=300。∴.剩 12.B13.C提示：将y3代入=-子x,得=-4。 余电量为25%时，电动汽车的行驶里程为300km。 8.x≥-29.D 点A(-4,3)。.0B=3,AB=4,由勾股定理，得OA= 2认识一次函数（第1课时） 5。.C4=3+4+5=12。由旋转方式知，点B2在直线 1.y=x+20x≥02.(1)5.4+1.8=7.2 9+1.8= y=- x上。0B=549,0B=9412,0B=-9+2x12.