第二章 3 二次根式-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

实 数 第二章 二次根式（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题计算： ()子V24x-号v6: (2)V0xV号÷V5。 【分析】利用二次根式的乘除运算法则进行运算，乘除是同级运算。 【解答】(1)-7V24×-号V6=-子)×-号V24x6=号×12=6。 2)V60xVgV5-V60x号V5=Ya0-V四-V8=2V2. V5-V5 【点拔】此题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键。二次根 式乘除运算时，根号外面的系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除。特别要注意的 是有理数的运算律在实数的乘法运算或二次根式的乘法运算中完全适用。 基础巩固飞)达标闯关 1.计算：V0.4×V10= ;V2×V12.5= 2.计算：V7×V3= ;V48×V3= 3.计算：V2 1V60 V3 v2 4v0V—Vv5 5.计算：V27+V6 :V32+V72 V3 V8 6:V8V5×W写 ：V2xv8-V} 7.下列计算结果正确的是() A.V48=16 B.V48=3 V3 V12 cV保x灯号- D.-V75-5 V5 8.计算V5×V15×V12的结果是() A.30 B.25 C.20 D.15 9.下列计算结果不正确的是() A.2V2x×V18=12 B.V14×V3=V42 25 口数学 八年级上册（北师大版） C.3V5×V5=15V5 D.V6(V6+V5)=6+V30 10.计算3V45÷V。的结果是( A子 B.4 c D.36 11.化简： (v2xx:(2)V3xV8xV2I:(3)V6(VIBV) V56 V3 能力提升坤综合拓展 12.计算： (1)(2-V5)2; (2)(2V3+V11)(2V3-V11); (3)(V48+V6-V12)÷V3; (4)(V52-V13-V2)xV13。 中考链接©真题演练 -多 13.(2024.贵州)计算√2×V3的结果是 14.(2024·天津)计算(V11+1)(V11-1)的结果是 15.(2024·湖南)计算V2×V7的结果是() A.7V2 B.2V7 C.14 D.V14 16.(2024,南通)计算V27xV写 的结果是() A.9 B.3 C.3V3 D.V3 26 实 数 第二章 二次根式（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 判衡断下列=次根式V3,V8,V -,V2.4中，哪些是最简二次根式，哪些 不是最简二次根式。如果不是最简二次根式，请将它化为最简二次根式。 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是判断二次根式的被开方数 是否满足定义的两个条件。 【解答】√3的被开方数不含分母也不含能开得尽方的因数或因式，所以它是最简二次 根式；V8的被开方数8含有能开得尽方的因数4，即V8=V4x2=2V2,所以它不是最 简二次根式，化为最简二次根式为2V2:1√的被开方数含分母，它不是最简二次根式， 化为最简二次根式为V2;V2.4的被开方数是小数，它不是最简二次根式，化为最简二次 根式为2V15 5 【点拔】本题考查最简二次根式的概念，判断一个二次根式是否为最简二次根式要满足 两个条件：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 基础巩固达标闯关 1.化简：V63= V50= 2.化简：V52-1= ;V3+(V3)2= 3.化简：V4x36= :V4g= 4.化简：V0.16x10000x3= 5.化简： 99 100 6.下列各式成立的是() A.V(-4)×(-6)=V-4×V-6 C.V125=V25×V5 D.V52-32=V3+5.V3-5 7.化简1V4 的正确结果是( 2 口数学 八年级上册（北师大版） A2号 B.2V10 C.6V10 D.2V10 9 3 8.下列式子中是最简二次根式的是() A图 B.2 C.V26 D.V0.1 V2 9.判断下列根式哪些是最简二次根式，哪些不是。请将不是最简二次根式的式子化为最 简二次根式。 V-7,V28,Vo.0s,V+I,V5,V22,V2。 10.化简下列各式： (1)V8x112; (2)V36+482: (3)V(-9)×(-8)×50; 4V1g-号。 能力提升坤综合拓展 11.如图，在四边形ACBD中，AC=6,BC=8,AD=2V5,BD=4V5,DE是△ABD的 边AB上的高，且DE=4,求△ABC的边AB上的高。 第11题图 28 实 数第二章 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=16,点P从点B出发沿射线BC方 向以每秒2个单位长度的速度向右运动。设点P的运动时间为t,连接AP。 (1)当t=3s时，求AP的长度（结果保留根号）。 (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值。 第12题图 13.请仔细阅读下面两个小组“比较V5+V6与V11的大小”的思考过程，并完成相 应解答任务。 “善思小组”的思路：将V5+V6,V11两个式子分别平方后，再进行比较。 “智慧小组”的思路：以V5,V6,V1I为三边构造一个△ABC,再利用三角形的三 边关系进行比较。 解答任务： (1)计算：(V5+V6)2。 (2)①判断△ABC的形状，并说明理由；②直接判断V5+V6与V11的大小。 (3)延伸拓展：判断2V3+V6与3V3的大小。 中考链接©真题演练 卡多 14.(2024·淄博)计算：V27-2V3= 15.(2024·济宁)下列运算正确的是() A.V2+V3=V5 B.V2xV5=V10 C.2÷V2=1 D.V(-5)2=-5 16.(2024内蒙古)实数a,b在数轴上的对应位置如图所示， 32i012 则V(a-b)2-(b-a-2)的化简结果是() 第16题图 A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2 29 口数学 八年级上册（北师大版） 二次根式（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题计算：(V2+V3)2V24。 【分析】这是一个二次根式的混合运算，先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为 最简二次根式，最后合并同类二次根式。 【解答】原式=2+2V6+3-2V6=5。 【点拨】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算法则和运算 顺序是解题的关键。先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后运算是 解答此题的关键。 基础巩固飞U达标闯关 1.计算：12-V27= ;-V0.6+5V60= 2.计算：9V3+7V12-4V75= ;5V2+V8-7V18= 3.观察下列等式：①3-2V2=(V2-1)2,②5-2V6=(V3-V2)2,③7-2V12= (V4-V3)2,…,请你根据以上规律，写出第6个等式： 4.下列各式计算正确的是() A.V5+V3=V8 B.2+3V3=5V3 C.V5 a-V3 a=V2 a D.VVV 5.下列各式：①V2+V8=V10,②V2+V8=3V2,③5V2-2V2=3, ④3V5+号V5-子V5,其中运算不正确的有( A.①③ B.③④ C.①②③ D.①②④ 6.下列计算不正确的是（) A.(2V3+3V3)xV2=5V6 B.3V3x(2V3+V5)=6V3+3V15 C.2V3×3V2=6V6 D.(V5-V3)xV5=5-V15 7.化简下列各式： (1)(V10-V2)x2V5; (2)V2=V3; V 30 实 数第二章 3)3V8+5V50-4V；④)(3V25-V0)xVF: (5)(V7-V6)2x(V7+V6):(6)V32-V18-V40V2。 能力提升螂综合拓展 8.一个直角三角形的两条直角边长分别是(V3+1)cm和(V3-1)cm,求这个直角 三角形的面积和周长。 9.判断下列各式是香成立：V2号-2V?,V3g=3Vg,V4告-41告。你能 否由此归纳出什么结论？你还能找到其他类似的例子吗？ 10.借助计算器求下列二次根式的值。 (1)V32+4= (2)V332+442= (3)V3332+444= (4)V33332+44442= (5)仔细观察上面各式的计算结果，试猜想V333…332+444…44的值为多少。 2025个3 2025个4 ① 口数学 八年级上册（北师大版） *11.两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个 代数式互为有理化因式。例如：V2×V2=2,(V3+1)×(V3-1)=2,我们称V2和V2 互为有理化因式，V3+1和V3-1互为有理化因式。如果一个代数式的分母中含有二次根 式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有 理化。如2=V2,,2，=V3+1。与分母有理化类似，如果一个代数式的分子中含 V2 V3-1 有二次根式，通常可将分子、分母同乘分子的有理化因式，使分子中不含根号，这种变形叫 作分子有理化。如V3-V2=1 V3+V2 (1)分别写出V5,2-V3的有理化因式。（写出一个即可） (2)利用分母有理化化简： 1 十…十 V2+1 V3+V2 V4+V3 V2025+V2024 (3)利用分子有理化比较Vn+1-Vn和Vn-Vn-1(n≥2)的大小。 中考链接©真题演练 12.(2024威海)计算：V12-V8×V6= 13.(2024.甘南州)已知x,y为实数，若满足y=Vx-3+V3-x+2,则x的值为() A.5 B.6 C.8 D.9 14.(2024·重庆)已知m=V27-V3,则实数m的范围是() A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 15.(2024德阳)将一组数V2,2,V6,2V2,V10,第-行 V2 第二行 2V6 2V3,…,V2n,…,按如图所示方式进行排列，则第八行左 第三行 2V2V102V3 起第1个数是（) A.7V2 B.8V2 第15题图 C.V58 D.4V7 16.(2024兰州)计算：V27-V号xV8。 2参考答案与提示 V2,V2,V2,∴.第n个等腰直角三角形的斜边 又·.6300<V40x10<6350,且结果精确到100m, 长为V√2.8.解：(1)设大正方形的边长为acm, V40x10的整数部分为6300。∴.x≈6300m。(2) :小正方形的面积为450cm2,∴拼成的大正方形的面 设正方形的边长为ym,则)y2=8700。解得y=V8700。 积a2=2×450=900(cm2)。a>0,∴.a=V900=30。∴.大 又93<V8700<94,93.1<V8700<93.5,且结果精 正方形的边长是30cm。(2)设裁出的长方形的长为 确到1m,V8700≈93。要建设的体育馆的边长约 3xcm,宽为2xcm,根据题意，得6x2-600。∴x2=100。 为93m。10.>11.2或312.>13.3214.D x>0,.x=10。∴3×10=30(cm),2×10=20(cm)。: 这个长方形的长与宽都没有超过30cm,.能裁出一个 3二次根式（第1课时） 面积为600cm2,长与宽之比为3：2的长方形。 9.4 1.252V2232V3046 10.111.C 2平方根与立方根（第2课时） 5.3+V256.V24-V37.C8.A9.C 1.00或12.13.D4.C5.(1)±25 10.D11.(1)5(2)3(3)812.(1)9-4V5 (2)±号(3)±13(4)±V7(5)60(6) (2)1(3)2+V2(4)13-2613.V6 14.1015.D16.B 0.076.()±7(2)子或号7m=7,n3, 3二次根式（第2课时） Vm+2n=V13.8.解：-1<a<0.5,0.5<b<1, 1.3V75V2652.2V6 3 5 原式=-a-b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b。9.(1)①V25 5②V10010(2)Vn2-2xnx1+下=V(n-17=n- 2V3312石440V35.3T；6.c 10 3 1(3)原式=0-1+2-3+4-5+…+2024-2025=(0-1)+ 7.D8.C9.解：最简二次根式有Vx+I,V5I, (2-3)+(4-5)+…+(2024-2025)=-1+(-1)+(-1)+…+ 其余都不是最简二次根式。V(-7)=7,V28=2V7, (-1)=-1013.10.111.D 2平方根与立方根（第3课时） v.V嘉答，V厚-V 2 1.0或±12.A3.A4.C5.(1)0.6 (2) 10.(1)22V2(2)V12×(32+4)=60(3)60 -02(3)05(4号6)10(2)-2 (4)号V了11.解：DE是AB边上的高， (3)-子(4)87)=3(2)=-1(3) ∠AED=∠BED=9O°。在Rt△ADE中，由勾股定理，得 14,y21000 号8解：将已知等式变形，得亡”， AE=V(2V5)2-4=2。同理，在Rt△BDE中，BE= 27 V(4V5)2-4=8。AB=AE+BE=10。在△ABC中 又w0.0,y0.7y=9。=4, AB=10,AC=6,BC=8,∴AB2=AC+BC。∴.△ABC是 =。9解：由题意，得2a-3+5-a0,解得4 直角三角形。设△ABC的边AB上的高为h,则)ABx -2,则b=49。.10a-b+5=-64。V64=-4,.10a-b+ h号A0xBC,即10h=6x8。h=48。△ABC的边AB 5的立方根为-4.10.解：(1)设立方体的棱长为 上的高为4.8.12.解：(1)根据题意，得BP-2t, a,则根据题意，得d=343.7=343,.a=/343=7 P℃=16-2t。当t=3时，16-2×3=10。在Rt△AP℃中， (cm)。答：这个铁块的棱长为7cm。(2)设另一个 AC=8,PC=10,∴由勾股定理，得AP=VAC+PC= 小立方体铁块的棱长为bcm,则b-343-218=125.5= V164=2V4I。.AP的长为2V4I。(2)在Rt△ABC 125,b=5。答：另一个小立方体铁块的棱长为5cm。 中，AC=8,BC=16,由勾股定理，得AB=V64+256= 11.-212.B V320-8V5。若BA=BP,则2-8V5,解得t4V5; 2平方根与立方根（第4课时） 若AB=AP,则BP=2BC=32,.2t=32,解得t=16;若 1.(1)7.5(2)4.6(3)62.(1)>(2) PA=PB,则（2)2=(16-2t)2+82,解得t=5。答：当 <3.-m<-V3<-V24.785.D6.B △ABP为等腰三角形时，t的值为4V5或16或5。 7.0.4454.4544.5445规律：被开方数的小数点 每向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数点 13.解：(1)(V5+V6)2=5+2xV5×V6+6=11+ 就相应地向左（或向右）移动一位8.解：由题意，： 2V30。(2)①△4BC是直角三角形。理由：：(V5+ 得x2=28。又x>0,∴x=V28。.这个正方形客厅的边 (V6)2=(V11)2,∴.△ABC是直角三角形。②.三角 长x是无理数。5<V28<6,5.2<V28<5.3,5.29< 形任意两边之和大于第三边，V5+V6>V。 V28<5.30。x≈5.3。∴.这个正方形客厅的边长x约 (3).(2V3+V6)2=18+12V2,(3V3)2=27, 为5.3m。9.解：(1)设开发区占地的宽为xm, V2>1,18+12V2>30.2V3+V6>3V3。 则长为3xm,32=12x10,x2=4x10。解得x=V40x10。 14.V315.B16.A 数学 八年级上册（北师大版） 3 二次根式（第3课时） .△OAC是等腰直角三角形。由勾股定理，得2OA2 1.-V3 gV2.3V了-14W7313- AC,即0A=0C=2V2。.A(2V2,0),C(0,2V2)。 .·∠OCA=45°，∠ACB=90°，.∠BCD=45°。.△BCD是 2V42=(V7-V6)24.D5.A6.B7.(1) 等腰直角三角形。.CD=BD。BC=2,∴.由勾股定理， 10V2-2V10(2)3(3)5V2(4)15-2V3 得CD=BD=V2..BE=OD=CO+CD=3V2。.点B (5)V7-V6(6)3-2V58.解：三角形 (V2,3V2)。8.A9.C10.D 的面积=2(V3+1)(V3-1)=2[(V31=1(cm): 2平面直角坐标系（第2课时） 1.(0,5)或(0，-5)2.正方形3.C4.B 直角三角形的斜边长=2V2cm,三角形的周长= 5.C6.(1)A,B,C三点的坐标分别为(2,4)， 2(V3+V2)cm。答：直角三角形的面积是1cm2, (5,2),(3,-1)。(2)D(0,1)。7.(1)(2, 周长是2(V3+V2)cm。9.解：都成立。规律：当 0)(4,0)(6,0)(2)当n=1时，A4(2,0); 带分数的整数部分与分数部分的分子相等，且分母为 当n=2时，As(4,0)；当n=3时，An(6,0),∴A的 分子的平方减1时，这个带分数的算术平方根等于带 坐标为(2n,0)。(3)动点从点A1m到点Ao的移动 分数的整数部分与这个带分数的分数部分的算术平方 方向是向上。100÷4=25，Am在x轴上，.到A 根的积，用代数式表示其基本规律是：对于一般的被 的移动方向是向上。8.四9.(7,0)10.D 开方数为高≥2)的二次根式可推出：V行 2平面直角坐标系（第3课时） 1.(1)A(-4,3)B(-4,0),C(0,-2),D(5, V石a≥2。如，若取5，有V5-5V。 0),E(5,3),F(0,5)(2)相等(3)点B与点 D的纵坐标都是0，点C与点F的横坐标都是0(4) 10.(1)5(2)55(3)555(4)5555(5) 平行2.C3.解：(1)略。(2)以AB为腰的等 555…5511.解：(1)V5,2+V3(2)原式= 腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的 2025个5 V20s-145-144.3)V-Vn-Vm+Wn 坐标分别为C(-6,0),C2(4,0),C3(7,0)。4. 解：坐标为(9,0)。理由：用表格列出质点的运动规律： VntVT Vui>Vn-T.. Vn-Vn-T=-1 运动时间/s 3=22-1 8=32-115=42-124=-52-1… 所在位置坐标 (1,0)(0,2) (3,0)(0,4)… Vn+I-Vn<Vn-Vn-I。12.-2V313.D14. B15.C16.V3。 由表格可知，当运动时间为(n2-1)s时，若n为 第三章位置与坐标 偶数，则位于点(n-1,0)；若n为奇数，则位于点 1确定位置 (0,n-1)。·.99=102-1,第99s时质点所在位置的坐 1.(2,1)F2.B3.D4.D5.C6.C 标是(9,0)。 7.解：(1)球、明、国、活。(2)我爱数学。中 5.解：(1)①.点A(-3,1)到x,y轴的距离 国的明天更好。(3)B4,A3,C1,A1,A2。 中的最大值为3，与点A是“等距点”的点是E, (4)略。8.解：(1)黑棋3记为(G,3),黑棋⑤ F。②点B到x,y轴的距离中至少有一个为3的点有 记为(H,4),黑棋⑨记为(D,6)。(2)白棋⑧， (3,9),(-3,3),(-9,-3),这些点中与是点A 黑棋⑦，白棋⑥。9.解：B(6,2),C(5,3),D(7, 的“等距点”的是(-3,3)。(2)T(-1,-k-3), 5),E(2,4)；用方位角+距离的方法表示：图中点B T2(4,4k-3)两点为“等距点”，则分下列两种情况： 在点A的正东方向的2cm处；图中点C在点A的东 ①若14-3引≤4时，则4=-k-3或-4=-k-3,解得k=1 北方向（或北偏东45°方向）的V2cm处；图中点D 或k=-7(舍去)；②若4-3>4时，则4k-3引=-k-31, 解得k=2或k=0(舍去)。综上所述，k的值是1或2。 在点A的东北方向（或北偏东45°方向）的3V2cm 6.(1,3) 处；图中点E在点A的西北方向（或北偏西45°方向） 3轴对称与坐标变化 的2V2cm处。10.(3,30) 1.(-3,-1)2.关于y轴对称3.平行4.1 2平面直角坐标系（第1课时） 55.(3,1)6.B7.解：(1)图形略，A(1,5), 1.(0,2)(4,2)(4,0) B(1,0),C(4,3)。(2)横坐标互为相反数，纵坐 2.13.-四xy4.D 5.A6.0(0,0),A(3,3V3), 标相等。(3)艺。8解：()图形略，A(25), B(6,0)。7.解：如图，过点B B(2,3),C(4,1)。(2)图形略，关于x轴对称。 作BE⊥x轴于点E,作BD⊥y轴 于点D,则BE=OD,BD=OE。 (3)2.9解：(0：直线1过点4且平行于 :∠C0A=90°，0A=0C,AC=4, 第7题答图 x轴，交Y轴于点D(0,1),AD=5,.点A的坐标为