2.6 应用一元二次方程同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.6 应用一元二次方程 命题1：传播问题………………………………………………………1 命题2：增长率问题……………………………………………………2 命题3：营销问题………………………………………………………3 命题4：握手、循环赛问题……………………………………………4 命题5：数字问题………………………………………………………5 命题6：行程问题………………………………………………………6 命题7：与图形有关的问题……………………………………………8 命题8：工程问题………………………………………………………10 命题9：图表信息问题…………………………………………………11 命题10：动态几何问题………………………………………………12 针 对 训 练……………………………………………………………15 命题1： 传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 6．有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程为 ． 7．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 8．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 命题2：增长率问题 9．某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为，那么可列方程是（    ） A． B． C． D． 12．从“若前方无路，我便踏出一条路”的呐喊到“扭转乾坤”的豪情，哪吒用热血点燃银幕，用倔强征服世界．《哪吒之魔童闹海》动画电影杀入全球影史票房榜前5名，4月7日票房为155.91亿元，4月9日票房突破到156.05亿元再次刷新中国影史记录．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ． 13．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程 ． 14．传承闽都文脉，汇聚城市艺文，三坊七巷已成为福州的烫金名片，漫步坊巷，体验古老和新生并存的福州城．三坊七巷景区在2019年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年国庆长假期间，将接待游客达28.8万人次．求三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率． 15．某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰好是销售收入的25%．如果第一天的销售收入5万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.8万元， （1）求第三天的销售收入是多少万元？ （2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？ 16．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 命题3：营销问题 17．由于换季，某童装专柜决定降价销售减少库存．已知某款童装平均每天可售出件，每件盈利元．如果每件每降价元，那么平均每天可多售出件．若要使该款童装每天的销售利润为元，设每件降价元，则应满足（　　） A． B． C． D． 18．商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（  ） A． B． C． D． 19．某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（ ） A．8元 B．10元 C．30元 D．10元或30元 20．某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 21．某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出件，商店计划要盈利500元，则可列方程为 ． 22．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，在江北区一烟花爆竹销售点了解到，某种品牌的烟花除夕每箱进价元，售价元，销售量箱．而年除夕当天和去年当天相比，该店的销售量下降了（a为正整数），每箱售价提高了，成本增加了，其销售利润仅为去年当天利润的．则的值为 ． 23．一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 24．某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； (1)2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； (2)若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 命题4：握手、循环赛问题 25．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 26．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 27．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排6场比赛．问：共有多少个队伍参加比赛？设共有个队参赛，则可列方程（   ） A． B． C． D． 28．北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为： ． 29．在某次运动会上足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），如果所有队伍总共比赛15场，那么共有 个球队参赛． 30．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 31．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 32．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 命题5：数字问题 33．已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 34．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 35．两个连续整数的平方和为113，则这两个连续整数为 ． 36．如果一个数的相反数等于这个数的平方，这个数是 . 37．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 38．【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 命题6：行程问题 39．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 40．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 41．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 42．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 43．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 44．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 45．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 命题7：与图形有关的问题 46．如图，一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（　　） A． B． C． D． 47．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 48．如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 49．公元世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为的正方形，再分别以，为一条边作邻边长为的矩形和矩形，最后得到面积为的正方形．则能列出关于的一元二次方程是 ．（化为一般形式） 50．若长方形的面积为，并且长比宽多，则长方形的长为 ，宽为 ． 51．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是 ． 52．如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 53．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段（最长可用），用总长为的篱笆（靠墙一面不用篱笆）围成一个矩形菜园．当长度为多少时，矩形菜园的面积为？ 54．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 命题8：工程问题 55．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 56．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 57．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 58．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 命题9：图表信息问题 59．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 60．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 61．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 62．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 命题10：动态几何问题 63．如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒 64．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48 65．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.      66．如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm． 67．如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．当 时，四边形的面积为面积的．    68．如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，三角点阵前n行的点数之和用n表示是：1+2+3+…+n＝n（n+1），三角点阵的前n行之和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 69．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 70．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 针对训练： 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 5．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 6．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 7．目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到4.34万户．设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为 ． 8．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为 9．2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程 ． 10．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量 持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 ． 11．目前人工智能技术涵盖基础学习类、语言处理类、视觉处理类和其他技术类等几大领域．某高校开设了人工智能相关选修课程，2022年和2024年报名学生人数分别为100，169．若报名人数年平均增长率相同，则年平均增长率是 ． 12．研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 13．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同． (1)求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率． (2)若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预测2020年该企业将投入科研经费多少万元． 14．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 15．八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 16．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 17．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 18．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 19．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 20．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，甲、乙两人分别从矩形广场的顶点C、B两点同时出发，甲由点C向点D运动，乙由点B向点C运动，若一人到达目的地停止，另一人也随之停止，已知甲的速度为1米/秒，乙的速度为2米/秒，矩形广场的边米，米．    (1)几秒钟后两人相距米？ (2)的面积能否等于700平方米，说明理由． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.6 应用一元二次方程 命题1：传播问题………………………………………………………1 命题2：增长率问题……………………………………………………4 命题3：营销问题………………………………………………………7 命题4：握手、循环赛问题……………………………………………11 命题5：数字问题………………………………………………………14 命题6：行程问题………………………………………………………16 命题7：与图形有关的问题……………………………………………21 命题8：工程问题………………………………………………………27 命题9：图表信息问题…………………………………………………30 命题10：动态几何问题…………………………………………………34 针 对 训 练………………………………………………………………39 命题1： 传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 2．初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，题意得每个人要送出张照片，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：每个人要送出张照片， ∵全班有名同学， ∴可列方程为， 故选：A． 3．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总票张数作为等量关系列方程求解． 设有个站点，根据每两个站点之间有来往两种车票，共要设计132中往返票，可列出方程． 【详解】解：设有个站点，则 ． 故选：B． 4．冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得： ， 故选：C． 5．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 6．有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中等量关系是解答关键． 设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 整理得． 故答案为：． 7．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算． 【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人， 列方程得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染巾平均一个人传染了个人． 8．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【答案】每人每周能够号召10人加入“志愿服务团” 【分析】设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据每人每周能够号召相同人数加入列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得： ， 即， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 命题2：增长率问题 9．某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意列出方程是解题的关键．设教育经费的年平均增长率为x，则2023年投入亿元，2024年投入亿元，由此得到方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 10．《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 11．4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为，那么可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2022年人均纸质图书阅读量年均增长率年人均纸质图书阅读量列出方程即可． 本题考查平均增长率问题，需根据连续两年的增长率建立方程． 【详解】解：设每年增长率为，可列方程为， 故选：B． 12．从“若前方无路，我便踏出一条路”的呐喊到“扭转乾坤”的豪情，哪吒用热血点燃银幕，用倔强征服世界．《哪吒之魔童闹海》动画电影杀入全球影史票房榜前5名，4月7日票房为155.91亿元，4月9日票房突破到156.05亿元再次刷新中国影史记录．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用4月9日的票房金额4月7日的票房金额（1平均每天票房的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，据此列出方程即可． 【详解】∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 可得：． 故答案为：． 14．传承闽都文脉，汇聚城市艺文，三坊七巷已成为福州的烫金名片，漫步坊巷，体验古老和新生并存的福州城．三坊七巷景区在2019年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年国庆长假期间，将接待游客达28.8万人次．求三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键． 设平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义做出有取舍即可． 【详解】解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍去） 答：三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率是． 15．某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰好是销售收入的25%．如果第一天的销售收入5万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.8万元， （1）求第三天的销售收入是多少万元？ （2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？ 【答案】（1） 7.2万元；（2） 20%． 【分析】（1）利用第三天的销售收入＝第三天的利润÷销售利润占销售收入的比例，即可求出结论； （2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是x，根据第一天及第三天的销售收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）1.8÷25%＝7.2(万元)． 答：第三天的销售收入是7.2万元． （2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是x， 依题意，得：5(1+x)2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 命题3：营销问题 17．由于换季，某童装专柜决定降价销售减少库存．已知某款童装平均每天可售出件，每件盈利元．如果每件每降价元，那么平均每天可多售出件．若要使该款童装每天的销售利润为元，设每件降价元，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每件降价元，可得每件盈利元，每天可售出件，根据利润的计算方法列式即可求解． 【详解】若每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 18．商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别计算出每件商品降价元后，销售的数量（件），每件盈利的数量（元），根据销售数量与每件盈利数量的积即为该商品日盈利额，由此列式即可求解． 【详解】解：每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元， ∴销售件数为：件， ∵每件盈利元，每件商品降价元， ∴降价后的每件的盈利为元， 若商场销售该商品日盈利要达到元， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售，利润的问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握运用一元二次方程解决销售、盈利问题的方法是解题的关键． 19．某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（ ） A．8元 B．10元 C．30元 D．10元或30元 【答案】C 【分析】商场平均每天盈利数＝每件的盈利×售出件数；每件的盈利＝原来每件的盈利－降价数．设每件工艺品应降价元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设每件工艺品降价元，依题意，得： ， 解得：，， 经检验：为了尽快减少库存不符合题意，应取． ∴每件工艺品应降价元． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键． 20．某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设该小家电每个定价是元，根据“每个利润销量总利润”可得，解方程即可求出的值，再结合“定价不得超过55元”，即可得出答案． 【详解】解：设该小家电每个定价是元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 定价不得超过55元， ， 即：该小家电每个定价是元， 故答案为：． 21．某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出件，商店计划要盈利500元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出代数式是解题的关键，根据“总利润单件利润销量”列出方程即可． 【详解】解：因为每件商品售价a元，所以每件盈利元，可卖出件， 根据题意可列方程为：， 故答案为：． 22．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，在江北区一烟花爆竹销售点了解到，某种品牌的烟花除夕每箱进价元，售价元，销售量箱．而年除夕当天和去年当天相比，该店的销售量下降了（a为正整数），每箱售价提高了，成本增加了，其销售利润仅为去年当天利润的．则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出关系式，即可得出的值，不符合题意的舍去． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 即， 解得：（舍去）或， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，，找出题中的等量关系是解答本题的关键． 23．一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元 【分析】设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每顶头盔的售价为x元，则， 整理得：， 解得：， ∴每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价； (1)2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率； (2)若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？ 【答案】(1)20% (2)当该商品每个销售定价为75元时，进货250个 【分析】（1）设该小家电出厂平均每年下调的百分率为，则2020年该小家电出厂价是每台，则2021年该小家电出厂价是每台，根据到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元可列方程为，解方程即可； （2）根据利润售价进价，进而求出即可． 【详解】（1）设平均每年下调的百分率为，根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：平均每年下调的百分率为20%； （2）设每个商品的定价是元， 由题意可得： 解得：，， 当时，进货个，不符合题意，舍去； 当时，进货个，符合题意． 答：当该商品每个销售定价为75元时，进货250个． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． 命题4：握手、循环赛问题 25．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 26．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 27．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排6场比赛．问：共有多少个队伍参加比赛？设共有个队参赛，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 28．北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设有x支队伍，根据题意，得即可． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得， 故答案为：． 29．在某次运动会上足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），如果所有队伍总共比赛15场，那么共有 个球队参赛． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设有个球队参赛，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设有个球队参赛， 根据题意，可列方程为：， 解得：或（舍去）， 答：参赛的球队数为6． 故答案为：6． 30．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 31．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 32．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 命题5：数字问题 33．已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 34．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据连续奇数的关系用x表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可． 【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2 ∴ 故选B． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键． 35．两个连续整数的平方和为113，则这两个连续整数为 ． 【答案】7，8或-8，-7 【分析】设较小的一个数为x，则另外一个数为（x+1），根据两个数的平方和是313，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设较小的一个数为x，则另外一个数为（x+1）， 依题意，得：x2+（x+1）2=113， 整理，得：x2+x-56=0， 解得：x1=7，x2=-8， ∴x+1=8或x+1=-7． 故答案为：7，8或-8，-7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．如果一个数的相反数等于这个数的平方，这个数是 . 【答案】0或-1． 【分析】根据题意得等量关系为：一个数的相反数=这个数的平方，列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为x， -x = x2 x（x+1）=0， 解得x1=0，x2=-1， 故答案为：0或-1． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 37．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 38．【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 命题6：行程问题 39．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 40．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 41．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 42．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 43．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 44．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 45．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【答案】（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步． 【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案； （3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长． 【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）； 故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）； （2）根据题意得， 解得（舍去），. 则的值为0.1. （3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000， 500÷（24000−23000）＝0.5（m）． 答：王老师这500米的平均步长为0.5米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键． 命题7：与图形有关的问题 46．如图，一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．设所围的羊舍与墙平行的边长为，列出长方形的宽，根据长方形的面积公式可得方程． 【详解】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为，则长方形的宽为， 根据题意可得方程为：， 故选：D． 47．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出圆的面积是解题关键. 首先需要确定圆的半径，已知正方的步长为，从水池边到圆周每边相距步，则圆的半径为正方形边长的一半加上步，即圆的半径 ，利用圆的面积（）减去正方形面积（）进而得出答案. 【详解】解:∵可耕地的面积是平方步，且可耕地的面积=圆的面积−正方形的面积， ∴可列方程为：. 故答案为:B． 48．如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解图示，运用平移的方法得到种植地的长和宽是解题的关键． 根据题意，种植地的长为，宽为，根据种植面积为，列式即可求解． 【详解】解：如图所示，运用平移的方法得到种植地的长为，宽为， ∴， 故选：C ． 49．公元世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为的正方形，再分别以，为一条边作邻边长为的矩形和矩形，最后得到面积为的正方形．则能列出关于的一元二次方程是 ．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程和列方程，能根据题意列出方程是解此题的关键．根据正方形的面积得出方程，再整理即可． 【详解】解：∵四边形是面积为的正方形， ∴， 整理得：， 故答案为：． 50．若长方形的面积为，并且长比宽多，则长方形的长为 ，宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长方形的长为，则宽为， 依题意，列式为，据此即可求解； 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 依题意，列式为， 解得（舍去）. ∴， 故答案为：①② 51．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，四块试验田可以拼为长为，宽为的矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意，得， 故答案为：． 52．如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可． 【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得 整理得， 解得：（舍去）， 答∶道路的宽为2米． 53．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段（最长可用），用总长为的篱笆（靠墙一面不用篱笆）围成一个矩形菜园．当长度为多少时，矩形菜园的面积为？ 【答案】 【分析】根据题意，设长度为，则，矩形菜园的面积为，由此可列出一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】解：设当长度为时，矩形菜园的面积为， 根据题意得：， 解得：，， ∵当时，，即，不符合题意， ∴舍去， ∴当长度为时，矩形菜园的面积为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际中的运用，掌握题目中的数量关系，列出方程是解题的关键． 54．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）AB=-2x+44；（2）6；32 【分析】（1）根据题意，可知AD+BC-2+AB-2=40且有AD=BC=x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子； （2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可． 【详解】解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44； （2）由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞（舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 命题8：工程问题 55．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 56．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 57．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 58．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 命题9：图表信息问题 59．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 60．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 61．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 62．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 命题10：动态几何问题 63．如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 64．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48 【答案】D 【详解】设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x, 由题意知(10－2x)(8－x)＝24, (10－2x)(8－x)＝48,选D. 65．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.      【答案】10 【分析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可. 【详解】设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得： (2x)2+(25-x)2=252， 4x2-50x+x2=0， 5x(x-10)=0， x1=0 (舍去), x2=10 (秒). ∴10秒后P、Q两点相距25cm. 故答案为10. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 66．如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm． 【答案】2或 【分析】设当，两点从出发秒时，点和点的距离时cm，此时cm，cm，利用勾股定理即可列出关于的一元二次方程，解之即可得到结论. 【详解】解：设当两点出发时，点和点的距离是10cm， 此时． 根据题意，得，即， 解得． 故当两点出发2s或时，点和点的距离是10cm． 故答案为或. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于的一元二次方程是解题的关键. 67．如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．当 时，四边形的面积为面积的．    【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设运动时间，得到，，进一步求得，，，依据题意列方程求解即可． 【详解】解：设t秒后，，， 则，，， 根据题意得，解得，（舍去）． 故答案为：3． 68．如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，三角点阵前n行的点数之和用n表示是：1+2+3+…+n＝n（n+1），三角点阵的前n行之和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】不存在n使得三角点阵的前n行之和能是600，理由见解析 【分析】根据题意列出方程求出n的值，再根据n为正整数判断是否可行. 【详解】由题意可知： 解得： 因为n是正整数，而求出的n的值非整数 故不存在n使得三角点阵的前n行之和能是600. 【点睛】本题考查了一元二方程的实际应用，依题意建立方程求解是解题关键. 69．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 70．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 针对训练： 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 2．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程． 【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为 ∴， 即， 故选：A． 3．太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 4．某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为，根据题意列方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设人行通道的宽度为， 根据题意得，， 故选：． 5．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 6．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 7．目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底全市用户数达到4.34万户．设全市用户数年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，理解题意是解题关键．根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设全市用户数年平均增长率为x， 由题意可得，， 故答案为：． 8．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为 【答案】/ 【分析】本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可． 【详解】解：由得， ∵阴影部分的面积为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 9．2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2025年的名录（名册）数量2005年的名录（名册）数量（1每10年的增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 10．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量 持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是根据增长率的等量关系列出方程并求解． 设第二、三天销售量的平均增长率为第一天销售了个，那么第二天的销售量为个，第三天的销售量为个；根据第三天销售量达到个，可列方程求解方程得到（即或（舍去）． 【详解】解：设第二、三天销售量的平均增长率为x． 根据题意，第一天销售量为个，则第三天销售量为个． 可列方程： 方程两边同时除以，得： 两边开平方，得： 解得：,（增长率不能为负，舍去） 故答案为：． 11．目前人工智能技术涵盖基础学习类、语言处理类、视觉处理类和其他技术类等几大领域．某高校开设了人工智能相关选修课程，2022年和2024年报名学生人数分别为100，169．若报名人数年平均增长率相同，则年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，本题的关键是根据增长率模型列出一元二次方程． 设年平均增长率是，结合题意找出初始量、最终量和增长年数，正确列出方程求解即可． 【详解】解：设年平均增长率是．根据题意得 ，即， 解得（不合题意，舍去）． 故答案为：． 12．研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)11个 (2)1728人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人． 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了11个人． （2）解：（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1728人患病． 13．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同． (1)求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率． (2)若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预测2020年该企业将投入科研经费多少万元． 【答案】(1) (2)10368 万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据2020年投入科研经费年投入科研经费增长率，列式计算． （1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为，根据 2016 年及 2018 年投入科研经费，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据2020年投入科研经费年投入科研经费，即可求出结论． 【详解】（1）解：设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：． 答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为． （2）解：（万元）． 答：2020年该企业投入科研经费10368万元． 14．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 15．八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 16．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 17．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 18．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米． (1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米； (2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了代数式，一元二次方程的应用，掌握长方体的体积公式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式可得，求出，再结合图形求解即可． （2）根据图中阴影部分的面积为平方米，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米， ， ， 长方形纸板的长为米，长方形纸板的宽为米， 故答案为：，； （2）图中阴影部分的面积为平方米， ，即， 解得， 纸盒的容积为立方米． 19．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 20．如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 21．如图，甲、乙两人分别从矩形广场的顶点C、B两点同时出发，甲由点C向点D运动，乙由点B向点C运动，若一人到达目的地停止，另一人也随之停止，已知甲的速度为1米/秒，乙的速度为2米/秒，矩形广场的边米，米．    (1)几秒钟后两人相距米？ (2)的面积能否等于700平方米，说明理由． 【答案】(1)20秒钟后两人相距米； (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设x秒钟后两人相距米，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）利用三角形的面积公式，列式得到．利用一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：设x秒钟后两人相距米，则， 根据勾股定理得：， 解得：． 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意，舍去． 答：20秒钟后两人相距米； （2）解：的面积不能等于700平方米，理由如下： 设t秒钟后的面积等于700平方米，根据题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴的面积不能等于700平方米． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $