2.5.1直线与圆的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5直线与圆的位置关系 题型1 直线与圆的位置关系 4 考点1 直线与圆的位置关系的判定 4 考点2 由直线与圆的位置关系确定参数 5 题型2 直线与圆相交问题 6 考点1 弦长及中点弦问题 6 考点2 已知弦长求参数或直线方程 6 题型3 直线与圆相切问题 7 考点1 求圆的切线方程 7 考点2 求圆的切线长 8 考点3 圆的切点弦问题 8 题型4 直线与半圆的相交问题 9 题型5 与圆有关的最值问题 10 题型6 直线圆的方程定点定值问题 11 知识点一 直线与圆的位置关系及判断 1．直线与圆的三种位置关系 (1)直线与圆相交,有两个公共点； (2)直线与圆相切,只有一个公共点； (3)直线与圆相离,没有公共点. 2．直线与圆的位置关系的判断方法 (1)代数法：在平面直角坐标系中,要判断直线与圆的位置关系,可以联立它们的方程,通过判定方程组的解的个数,得出直线与圆的公共点的个数,进而判断直线与圆的位置关系.具体方法是：消去(或),得关于(或)的一元二次方程,且其根的判别式为. ①当方程组有两组实数解,即时,直线与圆有两个公共点,它们相交； ②当方程组只有一组实数解,即时,直线与圆有一个公共点,它们相切； ③当方程组没有实数解,即时,直线与圆没有公共点,它们相离. (2)几何法(坐标法)：判断直线与圆的位置关系时,我们也可根据圆心到直线的距离与的大小关系进行判断. ①当时,直线与圆有两个公共点,它们相交； ②当时,直线与圆有一个公共点,它们相切； ③当时,直线与圆没有公共点,它们相离. 注：(1)代数法是从方程角度考虑,运算量较大；几何法是从几何角度考虑,通常运算量较小,是判断直线与圆的位置关系的主要方法.解题过程中,具体用哪种方法,应视条件而定. (2)应用几何法还可求出当圆上有个点到直线的距离为某一定值时某些参数的值或取值范围. (3)采用几何法判断直线与圆的位置关系时,必须准确计算出圆心坐标、圆的半径. (4)利用代数法判断直线与圆的位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入圆的方程,并消去一个未知数,得到一个关于(或)的一元二次方程,由与的大小关系确定方程组解的个数,进一步判断两者的位置关系. 知识点二 圆的切线问题 1．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线. 2．切线方程的几个重要结论 (1)经过圆上一点的切线方程为 (2)经过圆上一点的切线方程为 (3)经过圆上一点.的切线方程为 (4)已知圆的切线的斜率为,则圆的切线方程为 (5)斜率为且与圆相切的切线方程的求法 ①几何法：先设切线方程为,然后化为一般式,利用圆心到切线的距离等于半径,列出方程求. ②代数法：设切线方程为,与圆的方程联立,化为关于的一元二次方程,再利用判别式为,求出. (6)过圆外一点与圆相切的切线方程的求法 ①先假设切线的斜率存在且为,有下列两种求的方法： 几何法：设切线方程为化为一般式因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,由此解出; 代数法：设切线方程为与圆的方程联立,化为关于的一元二次方程,再利用判别式为,求出. ②若通过上述方法只求出一个斜率,则说明另一条切线的斜率一定不存在,此时另一条切线方程为 3．切线长公式 (1)如图所示,在和中,切线长 (2)过圆外一点.引圆的两条切线,则切线长为 4．切点弦方程 过圆外一点引圆的两条切线,切点分别为,,则过,两点的直线方程为 知识点三 圆的弦长问题 设直线的方程为,圆的方程为,求弦长的方法有以下几种： 1．几何法 如图所示,半径长、圆心到直线的距离、弦长三者具有关系式：. 2．代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组,设交点坐标分别为, (1)若交点坐标简单易求,则直接利用两点间的距离公式进行求解. (2)若交点坐标无法简单求出,则将方程组消元后得一元二次方程,由一元二次方程中根与系数的关系可得,或,的关系式,则有： , 或. 通常把或叫做弦长公式. 题型1 直线与圆的位置关系 考点1 直线与圆的位置关系的判定 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 4．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 5．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 考点2 由直线与圆的位置关系确定参数 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 9．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数 . 题型2 直线与圆相交问题 考点1 弦长及中点弦问题 11．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 12．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 13．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 14．已知圆内一点，求以A为中点的弦所在直线的方程． 考点2 已知弦长求参数或直线方程 15．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 16．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 18．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 题型3 直线与圆相切问题 考点1 求圆的切线方程 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）过点作圆的切线，则直线的方程为 . 20．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 考点2 求圆的切线长 23．（2025高三·全国·专题练习）一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长 ． 24．已知直线及圆，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 26．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上�四川成都�期中）若圆C：关于直线对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 考点3 圆的切点弦问题 28．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 29．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 30．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 31．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 题型4 直线与半圆的相交问题 32．（24-25高二上·重庆秀山·阶段练习）若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是 . 33．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 34．（24-25高一下·上海·期末）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 35．（2025·云南·模拟预测）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 36．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5 与圆有关的最值问题 37．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 38．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 39．（多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 40．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 43．（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 直线圆的方程定点定值问题 44．（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点. 45．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，，，圆Q过A，B，D三个点. (1)求圆Q的方程； (2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 46．（24-25高二上·四川南充·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点． (1)求A点的轨迹曲线的方程； (2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 47．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 48．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1直线与圆的位置关系 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 2．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（25-26高三上�安徽�开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 5．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下�河南周口�阶段练习）已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2021�新高考全国Ⅱ卷�高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 11．（24-25高二上�安徽宣城�期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 三、填空题 12．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 13．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若是圆上的动点，则到直线的最小距离是 . 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 四、解答题 15．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 16．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 17．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 18．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 19．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 能力提升 1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设点是函数图象上任意一点，点的坐标，当取得最小值时圆：上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 . 3．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C．当最小时， D．当最大时， 4．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 5．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5直线与圆的位置关系 题型1 直线与圆的位置关系 4 考点1 直线与圆的位置关系的判定 4 考点2 由直线与圆的位置关系确定参数 7 题型2 直线与圆相交问题 9 考点1 弦长及中点弦问题 9 考点2 已知弦长求参数或直线方程 11 题型3 直线与圆相切问题 14 考点1 求圆的切线方程 14 考点2 求圆的切线长 16 考点3 圆的切点弦问题 19 题型4 直线与半圆的相交问题 23 题型5 与圆有关的最值问题 28 题型6 直线圆的方程定点定值问题 34 知识点一 直线与圆的位置关系及判断 1．直线与圆的三种位置关系 (1)直线与圆相交,有两个公共点； (2)直线与圆相切,只有一个公共点； (3)直线与圆相离,没有公共点. 2．直线与圆的位置关系的判断方法 (1)代数法：在平面直角坐标系中,要判断直线与圆的位置关系,可以联立它们的方程,通过判定方程组的解的个数,得出直线与圆的公共点的个数,进而判断直线与圆的位置关系.具体方法是：消去(或),得关于(或)的一元二次方程,且其根的判别式为. ①当方程组有两组实数解,即时,直线与圆有两个公共点,它们相交； ②当方程组只有一组实数解,即时,直线与圆有一个公共点,它们相切； ③当方程组没有实数解,即时,直线与圆没有公共点,它们相离. (2)几何法(坐标法)：判断直线与圆的位置关系时,我们也可根据圆心到直线的距离与的大小关系进行判断. ①当时,直线与圆有两个公共点,它们相交； ②当时,直线与圆有一个公共点,它们相切； ③当时,直线与圆没有公共点,它们相离. 注：(1)代数法是从方程角度考虑,运算量较大；几何法是从几何角度考虑,通常运算量较小,是判断直线与圆的位置关系的主要方法.解题过程中,具体用哪种方法,应视条件而定. (2)应用几何法还可求出当圆上有个点到直线的距离为某一定值时某些参数的值或取值范围. (3)采用几何法判断直线与圆的位置关系时,必须准确计算出圆心坐标、圆的半径. (4)利用代数法判断直线与圆的位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入圆的方程,并消去一个未知数,得到一个关于(或)的一元二次方程,由与的大小关系确定方程组解的个数,进一步判断两者的位置关系. 知识点二 圆的切线问题 1．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线. 2．切线方程的几个重要结论 (1)经过圆上一点的切线方程为 (2)经过圆上一点的切线方程为 (3)经过圆上一点.的切线方程为 (4)已知圆的切线的斜率为,则圆的切线方程为 (5)斜率为且与圆相切的切线方程的求法 ①几何法：先设切线方程为,然后化为一般式,利用圆心到切线的距离等于半径,列出方程求. ②代数法：设切线方程为,与圆的方程联立,化为关于的一元二次方程,再利用判别式为,求出. (6)过圆外一点与圆相切的切线方程的求法 ①先假设切线的斜率存在且为,有下列两种求的方法： 几何法：设切线方程为化为一般式因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,由此解出; 代数法：设切线方程为与圆的方程联立,化为关于的一元二次方程,再利用判别式为,求出. ②若通过上述方法只求出一个斜率,则说明另一条切线的斜率一定不存在,此时另一条切线方程为 3．切线长公式 (1)如图所示,在和中,切线长 (2)过圆外一点.引圆的两条切线,则切线长为 4．切点弦方程 过圆外一点引圆的两条切线,切点分别为,,则过,两点的直线方程为 知识点三 圆的弦长问题 设直线的方程为,圆的方程为,求弦长的方法有以下几种： 1．几何法 如图所示,半径长、圆心到直线的距离、弦长三者具有关系式：. 2．代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组,设交点坐标分别为, (1)若交点坐标简单易求,则直接利用两点间的距离公式进行求解. (2)若交点坐标无法简单求出,则将方程组消元后得一元二次方程,由一元二次方程中根与系数的关系可得,或,的关系式,则有： , 或. 通常把或叫做弦长公式. 题型1 直线与圆的位置关系 考点1 直线与圆的位置关系的判定 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 2．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 4．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 5．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 考点2 由直线与圆的位置关系确定参数 6．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 7．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意可得圆心到直线的距离应小于等于，列出不等式即可求解, 【详解】由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 故选：A 8．（多选）（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【答案】CD 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得； 综上所述，直线的斜率为或者不存在. 故选：CD 9．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 10．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数 . 【答案】或 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据平移得平移后的直线方程，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】向左平移个单位得到， 圆化为，圆心为，半径为， 因为相切，所以解得或， 故答案为：或 题型2 直线与圆相交问题 考点1 弦长及中点弦问题 11．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 12．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 13．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 14．已知圆内一点，求以A为中点的弦所在直线的方程． 【答案】． 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】法一：讨论直线的斜率存在、不存在，并设直线方程及交点坐标，联立圆的方程，并应用韦达定理及中点坐标求直线斜率，写出直线方程即可；法二：设交点，由其中点坐标可得，代入圆的方程即可求直线斜率，即可写出直线方程；法三：由圆心与A的连线与所求直线垂直，应用两点式求连线的斜率，进而写出直线方程. 【详解】解法一：当斜率存在时，设直线的斜率为k，则过点A的直线方程为， 代入圆的方程，得． 又，可设两个交点的坐标分别为， ∴，解得．故所求直线的方程为． 当斜率不存在时，直线不能满足题设要求． 综上，所求直线的方程为． 解法二：设两个交点的坐标分别为，则． 把B，C两点的坐标代入圆的方程，得 整理得，即，解得． 故所求直线的方程为． 解法三：设圆心为M，由几何性质知，圆心M与A的连线与弦所在的直线垂直，由此可得弦所在直线的斜率． 由圆心为，则，故A为中点的弦所在直线的斜率． ∴所求直线的方程为． 考点2 已知弦长求参数或直线方程 15．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】首先根据弦长和圆的半径求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列出关于参数的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 故选：D. 16．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 18．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 题型3 直线与圆相切问题 考点1 求圆的切线方程 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）过点作圆的切线，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 21．（多选）（2025·河北邯郸·一模）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 22．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 【答案】A 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点， 而圆：的圆心，半径1， 显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，得，所以. 故选：A 考点2 求圆的切线长 23．（2025高三·全国·专题练习）一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长 ． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、切线长 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为求，最后利用切线长公式计算即可. 【详解】如图，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 圆心，半径， 则． 故答案为： 24．已知直线及圆，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】根据题意，由切线长公式可得 ，据此可得当取得最小值时， 取得最小值，又由的最小值即点C到直线l的距离，计算可得答案. 【详解】根据题意，圆的圆心C(-1，-2)，半径r= 2， 过直线上任意一点P向圆引切线PA，切点为A 则 ， 当取得最小值时， 取得最小值， 又由的最小值即点C到直线l的距离， 取得最小值为. 故选：A 25．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】切线长 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 26．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 27．（24-25高二上�四川成都�期中）若圆C：关于直线对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】切线长 【分析】由题可得圆心在直线上，得出，由勾股定理表示出切线长，即可求出最值. 【详解】由圆C：关于直线对称， 所以可知圆心在直线上，即，所以， 点到圆心的距离为 由点向圆C所作的切线长为 ， 所以当时，切线长最短为. 故选：C 考点3 圆的切点弦问题 28．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 【答案】/ 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出. 【详解】，即，故圆心为，半径为． 如图，连接，因为，所以， 故切线长． 连接，由（等面积法）， 解得． 故答案为：. 29．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】切点弦及其方程 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 30．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】切线长、圆的弦长与中点弦 【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 31．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 题型4 直线与半圆的相交问题 32．（24-25高二上·重庆秀山·阶段练习）若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】利用数形结合思想来判断交点情况，就可以得到斜率的取值范围. 【详解】由曲线平方得：， 可得上述方程曲线表示半圆， 再由直线变形得：，从而可知：直线过定点， 如图    当直线与圆相切时有一个交点，此时由圆心到直线的距离等于半径可得： ，解得：或（由图可知，舍去）， 当直线过点时，可得，解得， 当直线过点时，可得，解得， 由直线可知，表示直线的斜率，结合图形要有一个交点， 则斜率满足或， 故答案为：. 33．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】由题可知直线过定点，曲线表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，因为有两个交点，所以先求出当直线与圆相切时切线的斜率，再根据图像可得斜率的取值范围. 【详解】直线可化为所以直线过定点A. 曲线可变形整理为由下图所示： 设直线与圆相切时的斜率为直线过点且与圆有两个交点时的斜率为由图可知，当直线与曲线由两个不同交点时，斜率满足 由圆心到直线的距离为解得 所以 故答案为：. 34．（24-25高一下·上海·期末）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】直线与曲线有两个公共点，作出图形，求出当直线与曲线相切时实数的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】若关于的方程有且只有两个不同的实数根， 则函数的图象与的图象有且只有两个交点， 由得， 所以是以为圆心，2为半径的圆在轴及轴上方的部分， 又因为的图象恒过定点， 故在同一坐标系中作出函数的图象与的图象，    当直线与半圆相切时，可得，解得， 当过点时，可得，解得， 又函数的图象与的图象有且只有两个交点， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 35．（2025·云南·模拟预测）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】分和，将方程转化为两个半圆，画出其图象，再根据直线恒过，利用数形结合法求解. 【详解】当时，，即； 当时，，即. 如图：    直线恒过，记， 则，， 当与相切时，，解得， 当与相切时，，解得， 结合图象可知，实数的取值范围是. 故答案为： 36．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线关于直线对称问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将题设转化为的图象和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解. 【详解】关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点． 令等价于， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以k的取值范围是. 故选：A． 题型5 与圆有关的最值问题 37．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 38．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、已知切线求参数 【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则，故， 所以， 设内切圆的圆心为，半径为， 则，解得， 又由可知轴，故，则， 由可知轴，故，则， 所以内切圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解. 39．（多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 【答案】ABC 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 40．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】因为，由分析的最大值，结合选项做出判断. 【详解】因为，， 当时，取得最小值，最大，所以也最大. 此时，，解得， 所以最大值为， 所以C，D错误；A，B正确． 故选：AB. 41．（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设，将问题转化为直线与圆的公共点问题求解. 【详解】设，依题意，直线与圆有公共点， 而圆的圆心为，半径为，则，解得， 所以的取值范围为. 故选：A 42．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解. 【详解】由动点到点距离的平方和为10，得， 则点的轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为： 43．（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】斜率公式的应用、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1），由几何意义得表示圆弧上的点到距离的平方减1，利用图象求最值即可求解； （2）令，易得与圆弧边界相交时取得最小值，相切时取得最大值，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； （3）由得几何意义，表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象求解即可； （4）由，而表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象得到的范围即可求解. 【详解】（1）根据题意，表示以为圆心，半径为1的圆弧， ，表示圆弧上的点到距离的平方减1， 又，， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围为. （2）令， 当直线与圆弧交于点时取得最小值； 当直线与圆弧相切，即圆心到直线距离， 解得或（舍），此时， 所以的取值范围为. （3）表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小为，最大为， 所以的取值范围为. （4）， 而表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小值为， 当直线与圆弧相切时取得最大值，设， 圆心到直线的距离，解得或（舍）， 所以的取值范围为. 题型6 直线圆的方程定点定值问题 44．（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点. 【答案】证明见解析 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程 【分析】设点，根据题意得到和的关系式，并推导出四点共圆，求出该圆的方程，与所在的另一个圆的方程联立，即可得到所在直线的方程，最后求解定点即可. 【详解】设点，则，， 由过点作圆的切线，切点为可知，， 可得四点共圆，为该圆直径， 该圆圆心为中点，半径长为， 因此四点确定的圆的方程为， 即，， 又因为也在圆上，联立可得， 从而圆的切点弦所在直线的方程为， 变形得，得，即， 联立方程，解得， 故直线过定点，定点坐标为. 45．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，，，圆Q过A，B，D三个点. (1)求圆Q的方程； (2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【详解】（1）由题意可得，圆心Q为直线的垂直平分线和直线垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即，又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为. （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交，又， 则，解得.    （3）设直线的方程为， 由得， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．    46．（24-25高二上·四川南充·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点． (1)求A点的轨迹曲线的方程； (2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为5 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，利用韦达定理及可求出斜率的取值范围，利用斜率公式及韦达定理可求出. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 则，可得， 整理得曲线的方程为. （2）由题意可知：曲线是以为圆心，半径的圆，且直线的斜率存在，    设直线的方程为，，， 联立方程：，消去得：， 因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 则，解得， 又因为， 代入韦达得：， 所以是定值5. 47．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【知识点】圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 48．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设、，根据平面向量的坐标运算得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程； （2）设，则，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出为定值. 【详解】（1）根据题意，、， 设、，则，， 由于，所以， 则，得，故， 又为圆上，所以，化简得， 故点的轨迹方程为. （2）设，则， 直线方程是，代入，得，即， 不等于0时，直线方程是，代入，得，即 时，即，所以， 所以 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1直线与圆的位置关系 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 2．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先利用变换得出新的直线方程，再利用计算即可. 【详解】直线按向量平移后得，即， 化简为， 则点到直线的距离， 解得或. 故选：C 4．（25-26高三上�安徽�开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正切公式、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】求出圆心和半径，得到点到圆心的距离为，从而得到，由正切二倍角公式进行求解即可. 【详解】变形为， 故圆心为，半径为2，所以点到圆心的距离为， 则切线长为，所以，则. 故选：D． 5．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【详解】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 6．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】分析可知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 7．（24-25高二下�河南周口�阶段练习）已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的一般方程与标准方程之间的互化、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，由圆的几何性质得点的轨迹是以为直径的圆，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】 圆的标准方程为，则圆心为，半径， 直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴， 又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，. 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D. 8．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 二、多选题 9．（2021�新高考全国Ⅱ卷�高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【知识点】点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，    对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 11．（24-25高二上�安徽宣城�期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、切线长、切点弦及其方程 【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 三、填空题 12．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若是圆上的动点，则到直线的最小距离是 . 【答案】5 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，进而确定圆上点到直线距离的最小值. 【详解】圆的方程化为标准方程得，圆心为，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴，则到直线的最小距离为5. 故答案为：5 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】画出曲线的图象，数形结合判断直线与曲线的交点个数. 【详解】曲线即，表示以为圆心，以1为半径的一个半圆， 直线表示斜率为1的一组平行线，当直线过时，， 当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去）， 要使曲线与直线有两个相异的交点，则b满足， 故答案为：.    四、解答题 15．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可； （2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可. 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 16．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. （2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 17．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆． (1)求圆C关于直线的对称圆的标准方程； (2)若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）求出圆心关于直线的对称点，进而求出圆的标准方程. （2）由给定条件求出直线l将圆C分成劣弧所对圆心角，再求出圆心到直线距离，进而分情况求出直线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 设点关于直线对称点，则， 解得，而圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为， 圆心到直线的距离， 直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 18．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 19．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求参数、切点弦及其方程 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意和直线与圆相切求出方程； （2）根据题意，可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，与直线方程联立可求点的坐标． 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，           因为圆经过点，所以，   因为圆与直线相切，所以，    联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，    又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 能力提升 1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 2．设点是函数图象上任意一点，点的坐标，当取得最小值时圆：上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由点的坐标，可得在直线上，方程为：，由，两边平方可得轨迹为半圆，经过圆心与垂直的直线为：，把圆心坐标代入可得，即可得出此直线的方程，进而得出取得最小值时的坐标，解得，表示出圆心到直线的距离，根据已知，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为点的坐标， 可得在直线上，：， 由， 两边平方得， 可得轨迹为半圆，圆心， 经过圆心与垂直的直线为：， 把代入可得， 则此直线方程为：， 联立，解得， 所以当取得最小值时，， 所以，解得， 所以圆为， 圆心到直线的距离为： ， 由圆上恰有个点到直线的距离为， 则实数的取值范围为，即. 故答案为： 3．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误；    在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确；    如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C错误，D正确； 故选：BD 4．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【详解】（1）设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． （2）曲线的圆心到直线的距离， 所以． （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 5．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)13 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $