2.4 圆的方程 讲义+巩固提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4圆的方程 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上�广东湛江�阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】待定系数法求圆的标准方程即可. 【详解】由题意，设圆心坐标为，半径， 可设圆的标准方程为：， 由圆过可得，解得， 则所求圆的标准方程为. 故选：C. 2．若的斜边的两端点A,B的坐标分别为和，则直角顶点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】由直角关系可知点轨迹是以中点为圆心，长为半径的圆，且不包括两点；利用中点坐标公式求得圆心坐标，直角三角形性质得到半径，进而得到轨迹方程. 【详解】，    中点为 为斜边两端点，则 点轨迹是以为圆心，为半径的圆，且与不重合 点轨迹方程为： 故选： 【点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直角关系确定点的轨迹为圆；易错点是忽略轨迹中不包括两点的情况，从而造成范围缺失. 3．（24-25高二上�山东菏泽�阶段练习）已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】首先方程需要满足才是圆的方程，由点与圆的位置关系可知，当点在圆外时，点到圆心距离大于半径，即带点到圆的方程坐标，结果会大于0 【详解】由题意可知，解得或. 故选：C 4．（24-25高二上�江苏南通�期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等都为2， 所以对称圆的方程为. 故选：B. 5．（24-25高二上�海南�阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 6． “”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 7．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 8．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、点与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3．    ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10．（24-25高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、求平面两点间的距离、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 11．设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（    ） A．该圆的圆心为 B．该圆过原点 C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为 【答案】BC 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、求直线与圆交点的坐标 【分析】根据圆的标准方程的性质逐一判断即可. 【详解】由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为，半径为，所以选项A、D不正确； 因为，所以该圆过原点，因此选项B正确； 在圆的方程中，令，有 ，或，因为， 所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确， 故选：BC 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、曲线与方程的概念 【分析】设出曲线上任意一点，由此点坐标表示出其对称点的坐标，再根据其对称点在所给曲线上，代入即可求出最终结果. 【详解】设曲线上任意一点为，该点关于直线的对称点为， 则，解得：， 所以点关于直线的对称点为， 因为点关于直线的对称点在曲线上， 则曲线的方程为， 即， 故答案为：. 13．（23-24高二上�安徽合肥�期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【知识点】求圆的一般方程、点与圆的位置关系求参数 【分析】设出圆的一般方程，带入，，坐标，求出圆的方程，再带入点求出答案. 【详解】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 14．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、轨迹问题——圆 【分析】利用圆的性质得，进而可求得点的轨迹方程，联立圆的方程，求得两圆交点，再求出圆心角，即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 则，又是的中点，则，不妨设， 又，则，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，且在圆内的部分，如图所示（劣弧）， 由，消得，解得，代入，解得， 所以，连接，易知， 又，则，所以，由圆的对称性知， 则，所以点的轨迹长度为，    故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 【答案】(1); (2). 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线的点斜式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据垂直求得边上高的斜率，再利用点斜式方程即可写出边上高所在的直线方程； （2）先判断出是直角三角形，故外接圆是以斜边为直径的圆，求出线段的中点与长度，即可写出外接圆方程. 【详解】（1）由题直线的斜率为,故边上高的斜率为，又边上的高过点，由点斜式方程得：，即； （2）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. 由可得外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 16．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆过定点问题 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 17．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 18．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 19．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）由，几何意义为：到的距离，几何意义为：到的距离，即可求解； （2）即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解； 【详解】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设， 则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离， 其最小值为圆心到的距离减去半径，即：， 所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为， 由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：， 平方化简可得：， 解得：或，即， 所以直线方程为：或. 能力提升 1．（24-25高二上�江苏南通�期中）如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令，解方程排除B. 【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误； 对于B：令，可得，解得或，不合题意； 故选：A. 2．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜率公式的应用、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将化为，作出图形，根据的几何意义，结合图形和斜率公式可求出结果. 【详解】因为，所以 所以 如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,    的几何意义是点与点连线的斜率 如图，， ， 所以的取值范围为 故选：D 3．（24-25高二上�山东枣庄�期中）已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】取点，计算出，，数形结合得到的最小值为，从而得到的最小值. 【详解】设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故选：C 4．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 5．（多选）（24-25高二上�福建福州�期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、求平面轨迹方程 【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点，然后根据条件列出，然后整理得到阿氏圆的方程， 选项C:易知最大值为.选项D：分析可知当且仅当为线段与圆的交点时取最小值. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 6．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、轨迹问题——圆 【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值. 【详解】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    故选：C 7．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（ ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有4条对称轴 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图象如图所示： 由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故B正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D正确； 故选：C 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知曲线，则下列结论正确的个数是（   ） （1）若为曲线上两点，则的最大值为 （2）曲线围成的图形的面积是 （3）若为曲线上一点，则的最小值为4 （4）曲线围成区域内(含曲线)格点(横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、由方程研究曲线的性质 【分析】根据曲线的方程，分象限讨论其图象，然后作出草图，并得每部分所在的圆，，，等大，且都过坐标原点，即可判断选项A，结合图形直接求面积判断选项B，设点在曲线上，记圆过原点的直径为，直线与直线的夹角为，根据的范围即可判断选项C，根据图形即可判断选项D. 【详解】当，时，由曲线的方程，得， 曲线在第一象限内的部分是圆心为，半径为的圆弧. 同理，曲线在第二、三、四象限内的部分都是圆弧， 当时，；当时，. 曲线在坐标系中如图， 曲线关于坐标原点、轴、轴、直线、直线均对称. 记曲线在第一象限及轴正半轴、轴正半轴上的部分为曲线， 曲线所在的圆为圆， 曲线及圆关于轴对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆， 关于坐标原点对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆， 关于轴对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆. 由题意可知，圆，，，等大，且都过坐标原点. 因为点在曲线上，所以， 当且仅当为曲线与直线或的交点时，等号成立， 所以的最大值是，故①正确； 曲线围成的图形的面积为，故②正确； 由曲线的对称性，不妨设点在曲线上. 因为， 所以当的值最小时，的值也最小. 因为点在圆上，记圆过原点的直径为，直线与直线的夹角为， 由题意可知，，则， 所以当时，取得最小值，所以的最小值为，故③正确； 由图可知，曲线围成的区域内格点的个数为，故④错误. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4圆的方程 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上�广东湛江�阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．若的斜边的两端点A,B的坐标分别为和，则直角顶点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上�江苏南通�期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上�海南�阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 6． “”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 10．（24-25高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 11．设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（    ） A．该圆的圆心为 B．该圆过原点 C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 13．（23-24高二上�安徽合肥�期中）已知点，，，四点共圆，则 . 14．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 16．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 17．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 18．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 19．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 能力提升 1．（24-25高二上�江苏南通�期中）如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．   3．（24-25高二上�山东枣庄�期中）已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上�福建福州�期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 6．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（ ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有4条对称轴 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知曲线，则下列结论正确的个数是（   ） （1）若为曲线上两点，则的最大值为 （2）曲线围成的图形的面积是 （3）若为曲线上一点，则的最小值为4 （4）曲线围成区域内(含曲线)格点(横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为20 A．1 B．2 C．3 D．4 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4圆的方程 题型1 二元二次方程表示圆的问题 5 考点1 判断二元二次方程是否表示圆 5 考点2 由确定圆的条件求参数的取值范围 7 题型2 点与圆的位置关系的应用 9 题型3 求圆的方程 11 题型4 与圆有关的对称问题 14 考点1 圆的对称性 14 考点2 圆关于点对称 16 考点3 圆关于直线对称 17 题型5 求与圆有关的轨迹问题 18 题型6 与圆有关的最值问题 22 知识点一 圆的标准方程 1．圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长就是半径长. 2．圆的标准方程的定义 我们把方程称为圆心为,半径为的圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即时,圆的标准方程为 注：(1)所谓标准方程,是指能显示图形特征的方程.圆的标准方程的优点在于从其结构形式上可清楚地体现圆心和半径. (2)圆的标准方程的右端 (3)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即为半径). 3．圆的标准方程的推导 在平面直角坐标系中,确定圆的基本条件为圆心坐标和半径.如图,的圆心的坐标为,半径为,其中,,都是常数,,为圆上任意一点,就是集合.根据两点间的距离公式,点的坐标满足的条件可以表示为将上式两边平方,得(x- 4．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 圆与x轴相切 圆与y轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点二 圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 (1)圆的一般方程 方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程表示的圆的圆心为,半径长为 (3)圆的一般方程体现的圆的方程形式上的特点 的系数相等且不为；②没有项. 2．对方程的说明 方程 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心, 以为半径的圆 知识点三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 如图所示,点与的位置关系分别是：点在圆外、点在圆上、点在圆内.设点到圆心的距离为,圆的半径为,则点在圆外⇔；点在圆上；点在圆内 2．点与圆的位置关系的判断方法 (为圆心坐标,为半径) 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 点在圆上 点在圆上⇔ 或 点在圆内 ⇔点在圆内 点在圆内⇔ 或 点在圆外 ⇔点在圆外 点在圆外⇔ 或 知识点四 与圆有关的对称问题 1．圆的对称性：圆关于直径所在的直线轴对称；圆关于圆心中心对称. 2．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置. (2)两圆关于点对称,则此点为两圆圆心连线的中点. 3．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置. (2)两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 4．常用结论 (1)点关于点的对称 点关于点的对称点为 (2)点关于直线的对称 点关于直线的对称点为,,的值由以下方程组解得： 知识点五 待定系数法求圆的一般方程 同圆的标准方程(一样,圆的一般方程中也有三个待定的系数,因此必须具备三个独立条件,才能确定一个圆. 1．用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意,设出圆的一般方程 (2)根据条件列出关于的方程组. (3)解出,代入圆的一般方程. 2．对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程的形式如下： 条件 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 题型1 二元二次方程表示圆的问题 考点1 判断二元二次方程是否表示圆 1．下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)（）． (5)； 【答案】(1)方程不表示圆 (2)方程不表示圆 (3)方程表示圆，圆心坐标为，半径 (4)方程不表示圆 (5)答案见解析 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个题进行逐一判断． 【详解】（1）中与的系数不相同，故原方程不表示圆. （2）中含有项，故原方程不表示圆. （3）方法一 ：因为，所以方程表示圆， 所以圆心坐标为，即，半径； 方法二：方程可化为， 所以方程表示以为圆心，为半径的圆． （4）因为，，，则， 所以方程不表示圆． （5）方程可变形为． 当时，方程表示点； 当时，方程表示圆心坐标是，半径是的圆． 2．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 3．若，则方程表示的圆的个数为(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】圆的标准方程为（x﹣）2+（y+a）2=1﹣a﹣a2 ，把a的值逐一代入检验，可得结论． 【详解】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0 即方程（x﹣）2+（y+a）2=1﹣a﹣a2 ， 可以表示以（，﹣a）为圆心、半径为的圆． 当a=﹣2时，圆心（1，2）、半径为0，不表示圆． 当a=0时，圆心（0，0）、半径为1，表示一个圆． 当a=1时，圆心（，﹣1）、1﹣a﹣a2＜0，不表示圆． 当a=时，圆心（，﹣）、1﹣a﹣a2=0，不表示圆． 综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1， 故选B． 【点睛】本题考查圆的一般方程表示圆的条件，属于基础题. 考点2 由确定圆的条件求参数的取值范围 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 5．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 7．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据必要不充分条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由题意先根据圆的一般方程求出“”表示圆时m的取值范围，再根据必要不充分条件得出两个范围的包含关系，从而得出t的取值范围. 【详解】因为表示圆， 所以根据圆的一般方程，， 又因为是表示圆的必要不充分条件， 所以能推出，而推不出， 即是的真子集， 所以， 故选: B. 8．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【详解】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 题型2 点与圆的位置关系的应用 9．已知点､与圆:,则 A．点与点都在圆外 B．点在圆外,点在圆内 C．点在圆内,点在圆外 D．点与点都在圆内 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【解析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解. 【详解】因为点､ 将的坐标代入圆的方程,可得,所以点A在圆内 将的坐标代入圆的方程,可得,所以点在圆外 故选:C 【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法,属于基础题. 10．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是 A．(1,1) B．(0,1) C． D． 【答案】A 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】根据点在圆的内部对应点到圆心距离小于半径，则点到圆心距离的平方小于半径平方，据此计算出的取值范围即可. 【详解】因为点在圆的内部，则，解得.故选A. 【点睛】本题考查根据点与圆的位置关系求解参数范围，难度较易.点与圆的位置关系可通过点到圆心的距离来表示：点在圆外，则点到圆心距离大于半径；点在圆上，则点到圆心的距离等于半径；点在圆内，则点到圆心的距离小于半径. 11．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】要利用圆的一般方程必须满足，再结合点在圆外可得不等式，即可求解. 【详解】由圆方程必须满足： ，解得：， 由点在圆的外部得: , 解得：或， 综上可得的取值范围是， 故选：B. 12．（24-25高二上·山西阳泉·期末）过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据给定条件，可得点在圆外，由此列出不等式求出范围. 【详解】依题意，得点在圆外，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 题型3 求圆的方程 13．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程． 【详解】由题意，圆C的圆心为， 则半径为， 所以圆C的标准方程是. 故答案为：. 14．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 15．（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线垂直求方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段的垂直平分线的斜率，即可写出方程； （2）求出线段的垂直平分线的方程，再将线段、的中垂线方程联立，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程. 【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即. （2）设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 得线段的垂直平分线的方程为,即， 由（1）线段的垂直平分线方程为， 由，解得：， 即圆心为，圆的半径为：， 故圆的方程为：. 16．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是 【答案】 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 17．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求圆的一般方程 【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 题型4 与圆有关的对称问题 考点1 圆的对称性 18．（24-25高二上�广东东莞�期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【知识点】圆的对称性的应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，解得. 故选:A. 19．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆的方程化为标准方程为， 所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心. 故选：A. 20．点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的半径为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的对称性的应用 【解析】根据点,在圆上且关于直线对称,可知直线经过圆心.即可求得参数的值,配成圆的标准方程即可求得半径. 【详解】点,在圆上,且点,关于直线对称 可知直线经过圆心 圆心坐标为 代入直线方程可得 解得 所以圆的方程为 化成标准方程为 所以圆的半径为 故选:B 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,圆的一般方程与标准方程的转化,属于基础题. 考点2 圆关于点对称 21．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的对称性的应用 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 22．求圆关于点对称的圆的方程为 . 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出关于点对称的点，即可写出对称圆的方程. 【详解】圆化为标准方程为：.所以，半径. 故圆关于点对称的圆的半径5，圆心设为D. 由中点坐标公式求得: , 所以对称圆的方程为：. 故答案为： 考点3 圆关于直线对称 23．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程 ． 【答案】 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程. 【详解】解：圆，圆心为，半径 圆，经整理为，其圆心为，半径； 故中点为， ， 由对称性知， ，整理得直线l的方程为. 故答案为： 24．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据题意先求出圆心关于直线对称的坐标，结合半径，代入圆的标准方程得解. 【详解】由题意得，圆，化简得， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心关于直线的对称点的坐标为 得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 25．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先得到曲线上任意点关于直线的对称点为，然后将代入，并化简即可得解. 【详解】注意到（设该点不在直线上）与的中点坐标，满足， 且与的连线斜率为，满足， 所求曲线上任意点关于直线的对称点为，则有， 所以． 故答案为：. 题型5 求与圆有关的轨迹问题 26．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可. 【详解】设点的坐标为，因为，，， 所以，化简得， 即. 故答案为：. 27．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 28．已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】（1）设出的坐标，利用代入法求得的轨迹方程. （2）设的中点为，连接，利用勾股定理列方程，化简求得线段中点的轨迹方程. 【详解】（1）设点， ，整理得， 点在圆上， ， 整理得点的轨迹方程为. （2）设的中点为，在中，， 设为坐标原点，连接，则， ， . 故线段中点的轨迹方程为.    29．已知圆O的方程为，求经过点的弦的中点P的轨迹． 【答案】点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 【知识点】向量垂直的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】欲求弦的中点P的轨迹，需先求出点P的轨迹方程，画出图形，结合弦的中点的性质，由弦和弦中点与圆心的连线垂直建立关系求解． 【详解】由题意可知：圆O：的圆心为，半径， 设点P的坐标为，则， 如图，由圆的性质可知：，则， 整理得， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．      30．已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点． (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆的一般方程、求平面轨迹方程 【分析】(1) 设圆C的方程的一般式，代入三点求系数得圆的方程. (2) 设，表示出点的坐标，将的坐标代入圆的方程即得到点M的轨迹方程. 【详解】（1）设圆C的方程为 则有，解之得， 则圆C的方程为． （2）设，， 则有，，． 由，可得，解之得 由点A在圆C上，得 即， 故点M的轨迹方程为 题型6 与圆有关的最值问题 31．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可. 【详解】因为， 所以. 所以表示圆上的点到与到的距离和. 如图：    所以（当为线段与圆的交点时取等号）. 故答案为： 32．（多选）（23-24高二上�江苏无锡�阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作曲线的切线，则切线方程为 D．的最小值是 【答案】BC 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由表示圆上的点到定点距离的平方可得其最大值为可判断A项，由表示圆上的点与点的连线的斜率，设，由圆心到直线的距离求出k的范围即可判断B项，由斜截式方程设出切线方程，结合圆心到切线距离即可判断C项，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，结合圆上任意一点到直线的距离的最小值为（为圆心C到直线的距离），进而可判断D项. 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示，    所以的最大值为，故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示，    设，即， 由圆心到直线的距离， 即，解得， 所以的最大值为，故B项正确； 对于C项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故C项正确； 对于D项，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图所示，    又圆心C到直线的距离， 所以圆上任意一点到直线的距离的最小值为， 所以的最小值为，故D项错误. 故选：BC. 33．（24-25高二下�浙江�期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】将军饮马问题求最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】作出点关于轴的对称点为，由圆的几何性质可得出，即可得解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 34．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】分析易得在延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 35．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设点，求得，其中，结合和，即可求解. 【详解】设点，由圆，点和点， 可得， 其中，点在圆外，点在圆内， 如图所示，可得， 当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号， 所以的最大值为； 又由， 当且仅当为与圆的交点 时，取得等号， 所以的最小值为. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4圆的方程 题型1 二元二次方程表示圆的问题 5 考点1 判断二元二次方程是否表示圆 5 考点2 由确定圆的条件求参数的取值范围 5 题型2 点与圆的位置关系的应用 6 题型3 求圆的方程 7 题型4 与圆有关的对称问题 8 考点1 圆的对称性 8 考点2 圆关于点对称 8 考点3 圆关于直线对称 9 题型5 求与圆有关的轨迹问题 9 题型6 与圆有关的最值问题 10 知识点一 圆的标准方程 1．圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长就是半径长. 2．圆的标准方程的定义 我们把方程称为圆心为,半径为的圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即时,圆的标准方程为 注：(1)所谓标准方程,是指能显示图形特征的方程.圆的标准方程的优点在于从其结构形式上可清楚地体现圆心和半径. (2)圆的标准方程的右端 (3)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即为半径). 3．圆的标准方程的推导 在平面直角坐标系中,确定圆的基本条件为圆心坐标和半径.如图,的圆心的坐标为,半径为,其中,,都是常数,,为圆上任意一点,就是集合.根据两点间的距离公式,点的坐标满足的条件可以表示为将上式两边平方,得(x- 4．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 圆与x轴相切 圆与y轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点二 圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 (1)圆的一般方程 方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程表示的圆的圆心为,半径长为 (3)圆的一般方程体现的圆的方程形式上的特点 的系数相等且不为；②没有项. 2．对方程的说明 方程 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心, 以为半径的圆 知识点三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 如图所示,点与的位置关系分别是：点在圆外、点在圆上、点在圆内.设点到圆心的距离为,圆的半径为,则点在圆外⇔；点在圆上；点在圆内 2．点与圆的位置关系的判断方法 (为圆心坐标,为半径) 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 点在圆上 点在圆上⇔ 或 点在圆内 ⇔点在圆内 点在圆内⇔ 或 点在圆外 ⇔点在圆外 点在圆外⇔ 或 知识点四 与圆有关的对称问题 1．圆的对称性：圆关于直径所在的直线轴对称；圆关于圆心中心对称. 2．圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置. (2)两圆关于点对称,则此点为两圆圆心连线的中点. 3．圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置. (2)两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 4．常用结论 (1)点关于点的对称 点关于点的对称点为 (2)点关于直线的对称 点关于直线的对称点为,,的值由以下方程组解得： 知识点五 待定系数法求圆的一般方程 同圆的标准方程(一样,圆的一般方程中也有三个待定的系数,因此必须具备三个独立条件,才能确定一个圆. 1．用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意,设出圆的一般方程 (2)根据条件列出关于的方程组. (3)解出,代入圆的一般方程. 2．对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程的形式如下： 条件 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 题型1 二元二次方程表示圆的问题 考点1 判断二元二次方程是否表示圆 1．下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)（）． (5)； 2．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 3．若，则方程表示的圆的个数为(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 考点2 由确定圆的条件求参数的取值范围 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 5．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2 点与圆的位置关系的应用 9．已知点､与圆:,则 A．点与点都在圆外 B．点在圆外,点在圆内 C．点在圆内,点在圆外 D．点与点都在圆内 10．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是 A．(1,1) B．(0,1) C． D． 11．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 12．（24-25高二上·山西阳泉·期末）过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3 求圆的方程 13．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 . 14．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 16．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是 17．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型4 与圆有关的对称问题 考点1 圆的对称性 18．（24-25高二上�广东东莞�期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 19．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 20．点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的半径为（    ） A． B． C．1 D． 考点2 圆关于点对称 21．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 22．求圆关于点对称的圆的方程为 . 考点3 圆关于直线对称 23．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程 ． 24．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 25．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 题型5 求与圆有关的轨迹问题 26．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 27．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 28．已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 29．已知圆O的方程为，求经过点的弦的中点P的轨迹． 30．已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点． (1)求圆C的方程； (2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程． 题型6 与圆有关的最值问题 31．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 32．（多选）（23-24高二上�江苏无锡�阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作曲线的切线，则切线方程为 D．的最小值是 33．（24-25高二下�浙江�期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 34．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 35．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $