2.1直线倾斜角与斜率、2.2直线方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1-2.2直线倾斜角与斜率、直线方程 思维导图 直 线 倾斜角与斜率的对应关系：k=tana 角 求斜率的4种思路 与斜 直 线 点斜式 斜截式 4种特殊方程 直 两点式 直线的 直线过定点 线方 载距式 与坐标轴围成 用 的三角形面积 程 过定点 般方程 般式下的平行与垂直 2 知识梳理 一、 直线的倾斜角 1、定义：以x轴称为基准，x轴的正向与向上的方向之间所产生的角o叫做直线的倾斜角。 2、倾斜角的范围：0°≤0<180°。 当0=0°时，表示直线与x轴平行或与x轴重合 当=90°时，表示直线与x轴垂直 二、直线的斜率 1、斜率的定义： 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tano 【注意】(1)当直线1与x轴平行或重合时，a=0°，k=tan0°=0； 第1页 (2)直线1与x轴垂直时，=90°，k不存在 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在 2、直线的倾斜角0与斜率K之间的关系 (1)直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系， 图示 4y 倾斜角（范围）】 04=0 0°<a<90 a=909 90°<a<180 斜率（范围） k=0 k>0 不存在 k<0 直线与x轴平行或 倾斜角增 直线是存在的， 倾斜角0α增大， 重合 大，斜率k值增 直线与x轴垂直 斜率k值增大， 大 (2)倾斜角与斜率的图象对应关系： 当0°<a<90°时（锐角），a↑，k1 当90°<a<180时（钝角），a↑，k↑ (3)常用倾斜角与斜率值 倾斜角 00 30° 45° 60° 120° 135 150° 斜率k 0 3)3 3 -3 -1 -3)3 3、斜率公式（已知两点求斜率） 已知点(x,)、(x2,y2),且B与x轴不垂直， 过两点R(,)、乃(：)的直线的斜率公式k=占占.(：≠x,) X2-X1 第2页 y2-y1 X2-X1C k=tana=y2-y1 X2-X1 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的一个方向向量的坐标为(x,y),则直线斜率k=上 若直线的斜率为k,则它的一个方向向量的坐标为1，k) 典例剖析 【考点一直线倾斜角与斜率】 【题型一求直线斜率、倾斜角】 【归纳总结】求直线斜率的4种方法 1. 倾斜角与斜率的对应关系：k=tana 两点斜率公式： 直线的方向向量： 直线方程求斜率： (倾斜角、斜率的概念辨析) 1.对于下列命题：①若0是直线1的倾斜角，则0°≤0<180°；②若直线倾斜角为，则它斜率 k=tan;③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 (根据倾斜角与斜率对应关系求斜率) 2.已知直线1的倾斜角1=15°，直线1与Z的交点为A,直线乙和Z向上的方向所成的角为120°，如 图，则直线的斜率为 第3页 【变式】直线4：x-1=0与直线l,:x-V3y+2=0的夹角为() A B c. D. (两点斜率公式) 3.已知直线1经过A-1,4),B(1,2)两点，则直线1的倾斜角为() B. c D.3 (由直线方向向量求直线斜率) 4.若直线1的一个方向向量为-1,3，则它的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 【变式】经过A(3,),B(-1,2)两点的直线的方向向量为1，k),则实数k=() A. C.-2 D.1 第4页 （由直线方程确定直线斜率) 5.若直线(k+1)x-y+2=0的倾斜角为135°，则k= 【变式】直线3x-4y+3=0的一个方向向量是」 【题型二斜率与倾斜角的范围】 6.(多选)如图，直线l1121的斜率分别为k1k2k3,倾斜角分别为1C23,则下列选项一定 正确的是() A.k1<k3<k2 B.3<C2<1 C.cosa1<cosa2<cosa3 D.sinas<sina2<sina 7.已知直线1的倾斜角满足60°<《≤135°，则1的斜率k的取值范围是() A.[-1,3 B.[-3,1] c.（-∞-1]U(W3,+∞ D.(-m,-V3]U(-1,+∞) 第5页 【变式】若经过点P1-a,)和(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是 8,直线I的斜率为，且5 则直线1的倾斜角的取值范围是 【变式】直线1-a2）x+y+1=0的倾斜角的取值范围是() A.[ c贤.（经 第6页 【题型三直线与线段相交问题】 9.(1)直线1过点M(-1,2),且与以P(-4,-1)、Q(3,0)为端点的线段相交，则直线1的斜率的取值范 围是 (2)已知A(2,-3)、B(2,1),若直线1经过点P(0,-1),且与线段AB有交点，则1的斜率的 取值范围为() A.(-0,-2]U[2,+∞)B.[-2,2]C.(-∞-1]U[1,+∞) D.[-1,1] 10.已知点A(-2,-1),B3,0),若点M(x,)在线段AB上，则y-2的取值范围() x+1 A〔a)B.[] C.（-0,-1U[3,+∞）D.[-1,3] 第7页 【变式】已知曲线y=-2x2+7x+31≤x≤3)，则y的取值范围是 知识梳理 三、直线方程的5种形式 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用情况 注意（易错点） 点斜式 y一y1=k一x) 知：①斜率存在 P(xoyo) ②过任意一点 0 注意讨论斜率是否存在 斜截式 y=kx+b 知：①斜率存在 ②y轴上的纵截距（与y 轴交点) 两点式 y-出=x-x P 知：两点坐标，且两点的 不能表示与x轴、 y2-y x2-x 横、纵坐标不相等 y轴垂直的直线 O P →两点的横坐标或是纵坐 标不能相等 截距式 x y 不能表示与x轴垂直、与y 一十 =1 ①横、纵截距存在目≠0 a b ②涉及与坐标轴围成的 轴垂直、过原点的直线 a 三角形面积 →当截距相等时，要讨论截 距是否为0 般式 Ax+By+C-0(A2A、B、C为系数 通用 A、B不同时为0 +B240) 第8页 四、直线的一般方程 1、定义： 关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A、B不同时为O)叫做直线的一般方程。 【注意】A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线 当B0时，方程可变形为y=音合它表示过点Q》斜率为的直线 B 当B=0,A≠0时，方程可变形为Ax+C=0,即x=-C,它表示一条与x轴垂直的直线 A 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线 2.直线的一般式方程与其它形试方程的互化 点斜式 斜截式 y-yo=k(x-xo) y=kx+b 一般式 B≠0 Ax+By+C-0. A,B不同时为0 两点式 截距式 y-y1_-x1 y2-y1-x2-x1 a+方=l(ab≠0) (y1≠y2,x1≠x2) (1)直线的一般式、斜截式、截距式对应关系： 一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=O(A,B不同时为O) y=- C(B+0) +=4,BC杯为叭 B (2)一般式系数与点斜式、斜截式的对应关系 斜率： 纵截距： 横截距： 典例剖析 【考点二直线方程的5种形式】 【题型一求直线方程(4种特殊形式)】 11.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： 第9页 (1)倾斜角为60°，且经过点A5,3): (2)斜率为4，在y轴上的截距为-2： (3)经过A-1,5),B(2,-1)两点； (4)在x轴、V轴上的截距分别为一3，一1. (⑤)已知直线1的一个方向向量为(2，-3)，且经过点(3,1) 12.(多选)过点A(3,4),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是() A.4x-3y=0B.x-y+1=0C.x+y-1=0D.x+y-7=0 第10页 2.1-2.2 直线倾斜角与斜率、直线方程 知识梳理 一、直线的倾斜角 1、定义：以轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 2、倾斜角的范围：。 当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合. 当时，表示直线与x轴垂直 二、直线的斜率 1、斜率的定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 （1）直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一 一对应关系， 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 直线与x轴平行或重合 倾斜角增大，斜率k值增大， 直线是存在的，直线与x轴垂直 倾斜角增大，斜率k值增大， （2）倾斜角与斜率的图象对应关系： 当0°<α<90°时（锐角），α↑ ，k↑ 当90°<α<180°时（钝角），α↑ ，k↑ （3）常用倾斜角与斜率值 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 3、斜率公式（已知两点求斜率） 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. （） 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的一个方向向量的坐标为，则直线斜率． 若直线的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为 典例剖析 【考点一 直线的倾斜角与斜率】 【题型一 求直线斜率、倾斜角】 【归纳总结】求直线斜率的4种方法 1. 倾斜角与斜率的对应关系： 2. 两点斜率公式： 3. 直线的方向向量：直线的方向向量为（a,b），则k= (a≠0） 4. 直线方程求斜率：已知直线的方程，可求斜率 （倾斜角、斜率的概念辨析） 1． 对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误. 【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确； 对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误； 对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误； 其中正确说法的个数为2. 故选：B. （根据倾斜角与斜率对应关系求斜率） 2．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的斜率为________．    【答案】-1 【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为， 所以，，故． 所以，斜率为-1 故答案为：-1 【变式】直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. （两点斜率公式） 3．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. （由直线方向向量求直线斜率） 4．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 【变式】经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由已知得. 故选：A. （由直线方程确定直线斜率） 5．若直线的倾斜角为，则 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系列方程求解即得. 【详解】由直线的倾斜角为可得，， 解得，， 故答案为：． 【变式】直线的一个方向向量是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由直线方向向量的定义求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是. 故答案为：（答案不唯一） 【题型二 直线斜率与倾斜角的范围】 6．（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得． 【详解】由图可得， ， ，且， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC． 7．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式】（2024·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 【答案】， 【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】因为直线的倾斜角是钝角， 所以斜率，解得． 所以的取值范围是，． 故答案为：，． 8．直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________． 【答案】 【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可. 【详解】如图：    当直线l的斜率， 直线l的倾斜角的取值范围为：. 故答案为：. 【变式】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 【题型三 直线与线段相交问题】 9．（1）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为， 且，， 当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角， 此时，； 当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. （2）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围. 【解答过程】过点作，垂足为点，如图所示： 设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，， 当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大， 此时； 当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 10．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果. 【详解】设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 【变式】已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 知识梳理 三、直线方程的5种形式 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用情况 注意（易错点） 点斜式 y―y1=k(x―x1) 知：①斜率存在 ②过任意一点 注意讨论斜率是否存在 斜截式 y=kx+b 知：①斜率存在 ②y轴上的纵截距（与y轴交点） 两点式 知：两点坐标，且两点的横、纵坐标不相等 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 →两点的横坐标或是纵坐标不能相等 截距式 ①横、纵截距存在且≠0 ②涉及与坐标轴围成的三角形面积 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 →当截距相等时，要讨论截距是否为0 一般式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0） A、B、C为系数 通用 A、B不同时为0 四、直线的一般方程 1、定义： 关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 【注意】A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2. 直线的一般式方程与其它形式方程的互化 （1）直线的一般式、斜截式、截距式对应关系： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） （2）一般式系数与点斜式、斜截式的对应关系 斜率： 纵截距： 横截距： 典例剖析 【考点二 直线方程的5种形式】 【题型一 求直线方程（4种特殊形式）】 11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)倾斜角为，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 【解题思路】（1）由点斜式方程进行求解即可； （2）由斜截式方程求解即可； （3）由两点式方程求解即可； （4）由截距式方程求解即可. 【解答过程】（1）由点斜式，得直线方程为， 即. （2）由斜截式，得直线方程为， 即. （3）由两点式，得直线方程为， 即. （4）由截距式，得直线方程为， 即. （5）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由方向向量得斜率，由点斜式化为一般式即可. 【解答过程】由题意得直线的一个方向向量为，所以其斜率为， 又它经过点，所以直线的方程为，即. 故选：B. 12．（多选）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，则 或.分类讨论，代点计算即可. 【详解】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，即，则或. 当 时，则直线设为，将代入，解得， 此时直线方程为：，即.故A正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故B正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故D正确； 故选：ABD． 【变式】直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，截距之差为6的直线方程为 ； 【答案】(1) 【分析】（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出； 【详解】(1) 由已知得直线不过原点，设直线方程为， 则可得，解得或， 又截距之差为6，所以，． 则直线方程为，整理可得； 13．已知三角形的三个顶点. (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的高所在直线方程； (3)求BC边的中垂线所在直线方程. (4)求∠ABC的角平分线所在直线方程 【来源】1.3 两条直线的平行与垂直 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接利用直线两点式方程求解即可； （2）先求，根据直线垂直可得BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （3）先求中点为，再利用点斜式求解即可. 【详解】(1) 利用点斜式可得直线方程为， 整理可得； (2) 由， 所以BC边上的高所在直线的斜率， 所以BC边上的高所在直线方程为， 整理可得； (3) 由中点为， 由（2）知BC边的垂直平分线的斜率， 所以BC边的垂直平分线为， 整理可得. (4) 【题型二 直线的一般方程】 14．（多选）已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（       ） A．若，则直线l不过原点 B．若，则直线l必过第四象限 C．若直线l不过第四象限，则一定有 D．若且，则直线l不过第四象限 【答案】ABD 【分析】根据直线一般式的特点依次判断即可. 【详解】对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确； 对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确； 对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误； 对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确. 故选：ABD. 15．对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 【解题思路】 由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D. 【解答过程】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误； 在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误； 在中，令，解得，即直线过两点， ，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 画出直线的图象如图所示， 所以直线不经过第二象限，故D错误. 故选：C. 【变式】直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由直线在y轴上截距为知，只需直线斜率不小于0即可. 【详解】不过第二象限, ，解得， 故答案为： 五、一般方程下的直线的平行与垂直知识梳理 1．由一般式判断直线的平行与垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 推导： （1） 若，当斜率存在时，； 当斜率不存在时，且． 即，且或． （2） 若，当斜率存在时，； 当斜率不存在时，或． 即． 2. 平行和垂直的直线的设法 （1）平行：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为 典例剖析 【考点三 一般式下的平行与垂直】 【题型一 一般式下，直线平行、垂直的判断及求参】 16．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线过点 B．直线与直线平行 C．直线在轴上的截距为2 D．直线与直线垂直 【答案】ABD 【分析】根据截距的定义即可求解AC,根据平行和垂直满足的系数关系即可求解BD. 【详解】选项A．当时，，所以直线过点，故选项A正确. 选项B.直线，直线，故选项B正确. 选项C.直线过点，直线在轴上的截距为，故C不正确. 选项D.由，可得直线与垂直，故选项D正确. 故选：ABD 17．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若则且所以或 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式】“”是“直线：与直线：互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】依题意，，解得或， 所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 【题型二 利用平行、垂直求直线方程（特殊设法）】 18．已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【解题思路】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【解答过程】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 19．菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)；. (2). 【分析】（1）根据两点斜率公式及直线的平行关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可； （2）根据菱形的性质结合直线的垂直关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可. 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 【考点四 直线方程的应用】 【题型一 直线过定点】 20．直线恒过定点 . 【解题思路】整理直线方程，列出方程组，求出定点坐标即得. 【解答过程】直线，化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为：. 【变式】已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知条件消去，令的系数为0即可. 【解答过程】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D. 21．已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图： 则直线的斜率，直线的斜率， 由图可知：. 故选：D. 【变式】已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果. 【详解】对直线，变形为，故其恒过定点， 若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可. 数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角； 当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为. 根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：. 故选：A. 22．若直线恒过点，点也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为，则， 令，解得， 即直线恒过点. 又因为点A也在直线上，则， 可得，且， 则，即，当且仅当时，等号成立 所以的最大值为. 故选：B. 【题型二 直线与坐标轴围成的三角形面积】 23．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【解答过程】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C. 【变式】过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是__________． 【答案】或 【分析】设出直线方程，交轴于点，交轴于点，代入三角形面积后化为含有一个字母的方程，求解得到直线方程． 【详解】设直线为交轴于点，交轴于点， 则， 得，或 解得或 ，或为所求． 故答案为：或． 24．直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】代入点坐标得到，利用均值不等式得到，计算面积得到答案. 【详解】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 故答案为： 25．设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程； 【解题思路】（1）将整理成，令，即可得解； （2）由题意知，，可得面积的表达式，变形后结合基本不等式求解； 【解答过程】（1）将整理成， 令，解得，所以定点P为， 故不论a为何值，直线l必过一定点． （2）由题意知，，，则， 所以面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，面积最小， 此时， 所以的周长为， 直线方程为，即． 故当面积最小时，的周长为，此时直线方程为． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $