第22讲 反比例函数的应用讲义（知识清单+易错+2必考题型）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

本讲义聚焦反比例函数的应用，系统梳理其在实际问题中的建模方法与图像交点的求解策略，前后衔接函数概念、解析式求解及数形结合思想，构建从抽象关系到具体应用的学习支架。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。例如通过气球压强与体积的现实情境引导学生抽象出反比例关系，体现数学眼光；借助交点坐标求解训练推理能力，彰显数学思维；用函数表达式描述物理规律，强化数学语言。题型由易到难，变式丰富，既适合课堂精讲突破难点，又便于学生课后查漏补缺，提升综合应用能力。

第22讲 反比例函数的应用 题型梳理 易错分析 易错点一 限制条件考虑不全致错 题型方法 题型一 反比例函数在实际问题中的应用 题型二 反比例函数与一次函数的综合应用 知识清单 知识点1.反比例函数在实际问题中的应用（重点） （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 知识点2.反比例函数与一次函数图象的交点（难点） 确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. 易错分析 【易错点一】限制条件考虑不全致错 【例1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（   ） V … 64 48 38.4 32 24 … p … 1.5 2 2.5 3 4 … A． B． C． D．且 【举一反三】【变式1】（2022九年级·全国·专题练习）某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于的说法正确的是（   ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【变式3】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围 ． 题型方法 【题型一】反比例函数在实际问题中的应用 【例1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）电磁波的波长（单位：）与频率（单位：）是反比例函数关系，当频率时，波长．那么当时、波长 ． 【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）（跨学科融合)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度一定时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出此函数的表达式； (2)当气体的体积为 时，气压是多少？ 【题型二】反比例函数与一次函数的综合应用 【例2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A，B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（    ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出满足的取值范围 ． 【变式2】（22-23九年级上·全国·期中）已知一次函数和反比例函数． (1)如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时，的取值范围； (2)如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点．若，直线与函数的图象相交于点．当点，，中的一点到另外两点的距离相等时，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·全国·期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2 B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为 C． D．当时，有 5．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）反比例函数的图像与函数的图像没有交点，若点、、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 二、填空题 7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线与双曲线的一个交点的坐标为．则 ，它们的另一个交点坐标是 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知气体的密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，图象经过点，则容器内二氧化碳的质量为 ． 9．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知反比例函数与一次函数的图象相交，其中一个交点的横坐标为4，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，，与坐标轴分别交于点，．若，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）图①是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ．    12．（24-25九年级上·广东茂名·期中）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于 （）． 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标； (3)观察图象，回答下列问题： ①当一次函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围； ②对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 14．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，O为坐标原点，点和点均在直线和反比例函数图象上． (1)求m，的值； (2)直接写出当x满足什么条件时，； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6米，宽为1米，出口到的距离为4米． (1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)出口到轴的距离的长是多少？ 16．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点的坐标． 18．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致） 销售量m（千克） 销售单价n（元/千克） 当时， 当时， 设第x天的利润w元． (1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克； (2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】 (3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 反比例函数的应用 题型梳理 易错分析 易错点一 限制条件考虑不全致错 题型方法 题型一 反比例函数在实际问题中的应用 题型二 反比例函数与一次函数的综合应用 知识清单 知识点1.反比例函数在实际问题中的应用（重点） （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 知识点2.反比例函数与一次函数图象的交点（难点） 确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. 易错分析 【易错点一】限制条件考虑不全致错 【例1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（   ） V … 64 48 38.4 32 24 … p … 1.5 2 2.5 3 4 … A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，由表中数据判断出与的函数关系是解题的关键．根据所给出的数据可得是的反比例函数，根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴在第一象限内，随着p的增大而减小， 而时，， ∴时，， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（2022九年级·全国·专题练习）某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】x≥3，由于xy=60，所以y≤20， 【详解】解：∵草坪面积为60m2， ∴x、y存在关系y， ∵两边长均不小于3m， ∴x≥3，y≥3， ∴x≤20， ∴3≤x≤20． 故选：C． 【点睛】本题考查了自变量的取值范围和函数值的取值范围，解题的关键是根据函数解析式计算， 【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于的说法正确的是（   ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得，再由题意得出，解不等式即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵压强要大于， ∴， ∴， ∴小于， 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出比例函数解析式，再利用反比例函数的性质求解，即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为， 在第一象限内，随的增大而减小， 当时，，解得：， 当气球内的气压大于时，气球将爆炸， ，此时， 为了安全起见，气体的体积的取值范围为， 故答案为：． 题型方法 【题型一】反比例函数在实际问题中的应用 【例1】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 依据题意，的值即为乙醇质量，再根据图象即可确定甲瓶乙醇质量最多，丙瓶乙醇质量最少，乙、丁两瓶乙醇质量相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为乙醇质量， 描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两瓶乙醇质量相同． 点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面， 甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少， 故答案为：甲． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）电磁波的波长（单位：）与频率（单位：）是反比例函数关系，当频率时，波长．那么当时、波长 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．设，根据题意得出，再将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵电磁波的波长（单位：）与频率（单位：）是反比例函数关系， 设， ∵当频率时，波长， ∴， ∴当时，则波长， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，设反比例函数的解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式． （2）把V的值代入所求函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中，得：， 解得：， ∴， 答：密度关于体积的函数解析式为． （2）解：当时，， 答：当时，该气体的密度为． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）（跨学科融合)某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度一定时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出此函数的表达式； (2)当气体的体积为 时，气压是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）设表达式为，将代入解得k的值即可； （2）当时，代入表达式，解得p的值． 【详解】（1）解：设， 将代入， 得， 此函数的表达式为， （2）当时，． 【题型二】反比例函数与一次函数的综合应用 【例2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A，B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（    ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； 先联立两函数解析式求出，可得，再根据矩形面积公式和周长公式求解即可． 【详解】解：联立， 解得 或， 经检验，这两组解都是方程组的解， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形面积为，周长为， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出满足的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数图象的特点是解题的关键．观察函数图象找出当一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值， ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式2】（22-23九年级上·全国·期中）已知一次函数和反比例函数． (1)如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时，的取值范围； (2)如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点．若，直线与函数的图象相交于点．当点，，中的一点到另外两点的距离相等时，求的值． 【答案】(1)①，；② (2)或4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解． （1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； ②由图象可以直接得出结论； （2），，，由或或得：或0或2，即可求解． 【详解】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式并解得：， 将点的坐标代入反比例函数得：； ②由图象可以得：当时，； （2）当时，点、、的坐标分别为、、， 则，，， 则或或， 即：或或， 即：或0或2或4， 当时，与题意不符， 点不能在的下方，即也不存在，，故不成立， 故或4． 【变式3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题的关键是由的取值确定函数所在的象限．根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数的图象与轴的交点在正半轴，经过一、二、三象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 当时，函数的图象与轴的交点在正半轴，经过一、二、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 四个选项中只有B选项符合题意． 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解题意是解题的关键．根据反比例函数的定义及图象可知，函数图象为第一象限内的反比例函数图象，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴（，）， 故函数图象为第一象限内的反比例函数图象． 故选：D． 3．（22-23九年级上·全国·期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（   ） A．不小于 B．小于 C．不大于 D．小于 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压()是气体体积的反比例函数，且过点，故；故当，可判断． 【详解】解：设球内气体的气压()和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， 即， 在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2 B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为 C． D．当时，有 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数与不等式等知识点，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 先分别求出反比例函数及一次函数的解析式，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知，将点代入得：， 所以反比例函数解析式为， 将点和代入得： ，解得， 所以一次函数的解析式为， 所以一次函数与坐标轴的交点坐标分别为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是：，故A选项正确不符合题意； 由函数图象可知，反比例函数与直线的图象的交点坐标为，故B选项正确不符合题意； 因为，所以，故C选项正确不符合题意； 由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即． 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）反比例函数的图像与函数的图像没有交点，若点、、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，比较反比例函数的函数值大小，先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据反比例函数增减性，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∵反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点， ∴， ∴双曲线过二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵若点、、在这个反比例函数的图像上， ∴点、在第二象限，点在第四象限， ∴，，, ∵， ∴； ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，反比例函数的性质，先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设使用蓄电池时，电流与电阻的解析式为， 根据图象可得：， ∴电流与电阻的解析式为， ∴、该蓄电池的电压为，原说法正确，不符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 、当电阻越大时，蓄电池的电流越小，原说法错误，符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题 7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线与双曲线的一个交点的坐标为．则 ，它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题．利用了待定系数法确定出了m，k的值，得到函数解析式，联立函数解析式求出另一个交点坐标即可． 【详解】解：根据题意，得：， ， 解得：． ∴， 联立得到 ， 解得或 即它们的两个交点坐标是和， 即它们的另一个交点坐标是， 故答案是：2，． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知气体的密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，图象经过点，则容器内二氧化碳的质量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，观察函数图象，根据函数图象上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式即可，根据图象上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将代入表达式中得， ∴， ∴容器内二氧化碳的质量为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知反比例函数与一次函数的图象相交，其中一个交点的横坐标为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为4， ∴， ∴反比例函数与一次函数图象的一个交点为， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，，与坐标轴分别交于点，．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，平行线分线段成比例，一次函数与反比例函数的交点问题等．先求出一次函数与轴的交点坐标，过作，过作，点的坐标为，结合题意，根据平行线分线段成比例求出，再代入一次函数解析式求出的值，结合题意即可求出． 【详解】解：对于一次函数，当时，； 即点的坐标为， 过作，过作，如图： 设点的坐标为， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则，， 故， 即点的坐标为， ∵点，，在反比例函数的图象上， 故将，代入，得， 解得， ∵点，在一次函数的图象上， 故当时，， 即点的坐标为， 将代入，得． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山西晋中·期末）图①是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ．    【答案】25 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴， 当时，， 即当时，P的值为， 故答案为：25． 12．（24-25九年级上·广东茂名·期中）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于 （）． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据第一象限中反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系， 可设， 把代入，得， 解得， 与成反比例函数关系为， 令，则， 解得， ， 在第一象限中，随着得增大而减小， 当气球内的气压大于时，气球会爆炸， 为了安全，， 当时，， 当气球内的气压小于等于时，气球内气体体积应满足不小于． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标； (3)观察图象，回答下列问题： ①当一次函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围； ②对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）①图象法求出x的取值范围即可；②图象法，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴反比例函数的解析式为，， ∴， 把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵，，在第四象限， ∴， ∴， 当时，， ∴； （3）①由图象可知：当一次函数值大于反比例函数值时，或； ②∵反比例函数过点， ∴当时，或． 14．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，O为坐标原点，点和点均在直线和反比例函数图象上． (1)求m，的值； (2)直接写出当x满足什么条件时，； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)P或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、函数与不等式、坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由点在反比例函数图象上，可得，即；将点代入反比例函数即可求得m的值； （2）由（1）可知两函数的交点坐标为点和点，然后再结合函数图象即可解答； （3）利用待定系数法得出直线的解析式为，则直线交y轴于，设，然后根据坐标与图形列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵将点代入反比例函数． ∴，解得：． （2）解：∵点和点是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：当或时，． （3）解：∵点和点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线交y轴于， 设， ∵的面积是面积的2倍， ∴，解得或， ∴P或． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6米，宽为1米，出口到的距离为4米． (1)求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)出口到轴的距离的长是多少？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点在该函数的图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中得解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离的长． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数的表达式为， ∵梯子的高为6米，宽为1米， ∴点在该函数图象上， ∴，得， ∴段所在的反比例函数的表达式为． （2）解：由题意可得，点C的横坐标为， 将代入，得， 即出口C到x轴的距离的长是米． 16．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2) (3)为了安全考虑，气体的体积应不小于 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数图象以及性质是解题的关键． （1）根据图象上的点的坐标，待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式即可； （3）根据反比例函数图象，结合题意解不等式即可． 【详解】（1）解：设该函数表达式为． 将点代入表达式中可得， ， ∴该函数表达式为． （2）解：将代入表达式中可得， ∴气体体积为时，气压是 ． （3）解：由题意可知， 解得， ∴为了安全考虑，气体的体积应不小于． 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入中，得点，再将点A坐标代入，即可得出双曲线的解析式． （2）先求出直线的表达式为，进而可求出点，根据勾股定理得，再根据，可得出，进而求出的面积． （3）延长交的延长线于点，先证明，得；根据点D在直线，设，则，，再根据，得，由此可得，然后根据点是的中点，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点 将代入 ∴ ∴ 将代入 ∴ ∴ （2）解：设直线的表达式为 将代入，得 ∴直线的表达式为 ∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点， 可得方程组， 解方程组得：或 ∴点 又∵ ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：延长交的延长线于点，如图 ∵平分 ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴点是的中点 ∵点在直线上 ∴设点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 设点 ∵点是的中点 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的综合应用，涉及反比例函数的性质与应用，一次函数的性质与应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理，角平分线的性质，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质． 18．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致） 销售量m（千克） 销售单价n（元/千克） 当时， 当时， 设第x天的利润w元． (1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克； (2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】 (3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围． 【答案】(1)第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克 (2)第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元 (3) 【分析】(1)分别在当时，把代入和当时，把代入可得到所求； (2)分别根据二次函数性质和反比例函数性质，计算当时和当时的最值即可； (3)列出表示利润的二次函数，根据二次项系数小于0，前8天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，据此求得a的取值范围． 【详解】（1）解：当时，把代入， 得， 解得， 当时，把代入， 得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克； （2）解：当时，， ， 当时，有最大值为元； 当时，， ，当时，随x的增大而减小， 当时，有最大值为元， 答：第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元； （3）解： ， 前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，， 该抛物线的对称轴为直线， 解得， 又， 的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用二次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $