第22章 专题12 比例式、等积式的常见证明方法（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

2025秋季学期 《学练优》·九年级数学上·HK 第22章　相似形 专题12　比例式、等积式的常见证明方法 类型一　找线段对应的三角形，利用相似证明 1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE. 求证： ＝ . 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. 又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE， ∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC， ∴∠AEB＝∠ADC. ∴△ABE∽△ACD. ∴ ＝ . 2 3 4 1 类型二　利用等线段代换证明 2. (2024·上海中考节选)如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. 求证：AD2＝DE·DC. 证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADE＝ 90°，AB＝DC， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. ∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°. ∴∠ABD＝∠DAE. ∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD. ∴ ＝ .∴AD2＝DE·BA. ∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. 2 3 4 1 类型三　找中间比利用等积式代换 3. 原创题 如图，在△ABC中，E是AB的中点，延长 AC到点D，连接DE交BC于点F，求证：DC·BF＝CF·AD. 证明：如图，过点C作CG∥AB交DE于点G. ∵CG∥AB，∴△DCG∽△DAE，△CFG∽△BFE. ∴ ＝ ， ＝ . ∵E是AB的中点，∴AE＝BE. ∴ ＝ .∴DC·BF＝CF·AD. 2 3 4 1 4. (2025·合肥瑶海区期中)如图，P是▱ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD和CD于点M和N. (1)若 ＝ ，求 的值； (1)解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC. ∵ ＝ ，∴ ＝ . ∵AD∥BC，∴△ADN∽△PCN. ∴ ＝ ＝ . 2 3 4 1 (1)解：在▱ABCD中，AD＝ BC，AD∥BC. ∵ ＝ ，∴ ＝ . ∵AD∥BC， ∴△ADN∽△PCN. ∴ ＝ ＝ . 4. (2025·合肥瑶海区期中)如图，P是▱ABCD的边BC 的延长线上任意一点，AP分别交BD和CD于点M和N. (2)求证：AM2＝MN·MP. (2)证明：∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠MBP，∠DAM＝∠BPM. ∴△ADM∽△PBM. ∴ ＝ . ∵AB∥CD，∴△ABM∽△NDM. ∴ ＝ .∴ ＝ ＝ . ∴AM2＝MN·MP. 2 3 4 1 $