专题04 直线与圆锥曲线的位置关系的六大常考题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题04 直线与圆锥曲线的位置关系的六大常考题型 题型一：直线与圆锥曲线位置关系的判断 题型二：弦长、切线及面积问题 题型三：定点、定值、定直线问题 题型四：最值、取值范围问题 题型五：与向量综合的问题 题型六：创新题（数学文化题、新定义题等） 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系的判断 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 3．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 4.（多选）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 【答案】AC 【详解】由题意，可知两个焦点，，双曲线上一点， 则，，， 则，则，故A正确，B不正确； 因为双曲线C中，，则， 则双曲线C的渐近线方程为， 所以直线与双曲线C的渐近线平行， 则直线与双曲线C只有一个公共点，故C正确； 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧， 且其斜率大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线C的右支有两个交点，故D不正确． 故选：AC. 5．(多选)双曲线，点，则（    ） A．该双曲线渐近线为 B．过点的直线与双曲线交于两点，若，则满足的直线有1条 C．与双曲线两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1 D．过点能作4条仅与双曲线有一个交点的直线 【答案】ACD 【详解】由题意，双曲线， 则双曲线渐近线为，选项A正确； 依题意，当过点的直线直线与双曲线的右支交于两点时，通径最短， 为， 当直线与双曲线的两支交于两点时，的最小值为， 所以，若，则满足条件的直线有3条，故选项B错误； 由于双曲线渐近线为， 与双曲线两支各有一个交点的直线斜率， 而，选项C正确； 过点能作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线只有一个交点， 故满足条件的直线有4条，选项D正确. 故选：ACD    6．(多选)已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 7．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【答案】 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 8.若曲线与恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是为 . 【答案】 【详解】根据曲线方程可知与恒过定点和； 当表示圆时，此时，两曲线如下图所示： 显然，曲线与有三个不同的交点，不合题意； 当表示椭圆时，要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 则需满足，解得； 当表示双曲线时，，双曲线的渐近线方程为， 要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 需满足，解得； 综上可知，实数的取值范围是. 9．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 题型二：弦长、切线及面积问题 10.已知椭圆的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【详解】（1）由题意知，椭圆的离心率为， 可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，椭圆，可得，所以右焦点， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到的距离， 所以的面积， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或．    11．已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【详解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率．    12．已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，，所以， 由题意可知，， 所以，，解得，， 所以， 故双曲线的方程为. （2）因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意， 设直线的方程为，则 ，消去，整理得， 因为直线与双曲线相交于， 所以且，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，即，解得， 所以 所以不存在这样的直线. 13．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【详解】（1）由题可知：.    当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． （2）由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以.    所以△ABO的面积． 14．已知直线是过椭圆上一点的切线． (1)求两焦点到切线的距离的积； (2)当是椭圆的任一切线时，试问两焦点到切线的距离的积是否为定值？ 【详解】（1）由，得， 因为为过上一点的切线， 所以，即， 故. （注：若为椭圆上的点，则过该点的椭圆的切线方程为：）. （2）如图，令切椭圆于点，设， 则切线：，整理得， 又在椭圆上，所以， 设，分别表示，到切线的距离，则： ，为定值. 题型三：定点、定值、定直线问题 15．已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求的方程. (2)若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0. （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故可设， 故椭圆方程为：，代入，故， 故即椭圆方程为：. （2）（i）由椭圆方程可得，故. 设直线，， 由题设，否则由直线关于轴对称可得重合， 这与题设矛盾. 又椭圆方程可化为， 整理得到：，联立直线方程和椭圆方程可得： ， 故， 设，则， 故（▲）， 又，故为▲的两个解， 因为直线关于轴对称，故， 因为的斜率存在且不为零，故，故， 故直线，令，故， 故直线过定点. （ii）由题设. 设，联立椭圆方程可得， 故， 故即. 又，故， 直线，，, 由可得，同理， 故 ， 故为的中点即. 16．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【详解】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ，其中， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线， 由，可解得， 点在定直线上. 17．已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 【详解】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. ②设，可得直线的方程为， 即， 联立，可得， 同理联立，，可得， 而， 故四边形的面积为，为定值. （2）由（1）得， 线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即； 同理可得线段的垂直平分线的方程为， 联立，消去，得， 所以点在直线上. 设关于直线的对称点为，则， 解得，即关于直线的对称点为， 由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点. 题型四：最值、取值范围问题 18．已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. (1)求的方程； (2)直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 因为双曲线右顶点，所以， 由，得：， 所以，则双曲线的标准方程为. （2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然， 联立，消去得：， 由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且， 于是得，则， 双曲线的渐近线为， 联立，消去得：， 设，，则. 当直线的斜率不存在时，，故， 综上，点与点的横坐标的积为定值3. ②由①，且，， 因为，分别在双曲线的两条渐近线上，不妨取， 则，当且仅当时取等号， 所以△周长的最小值为6. 19．拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 【详解】（1）根据题意作图如下：    由已知，得拋物线，则准线为，焦点，且点在第一象限内， 设点. 所以，解得，代入抛物线方程，解得， 所以. （2）根据题意作图如下：    由已知，代入抛物线方程，解得. 设点，又的重心为， 则，解得， 又在上，则，两式相减，得， 即，则直线的斜率. 又线段的中点，即也在直线上， 由点斜式，得，即， 所以直线的方程为. （3）根据题意作图如下：    由已知设且与不重合， 由两点式，得直线的方程，即， 因为直线交于，联立，得点. 又为在上的投影，所以， 所以，化简得， 即对于任意恒成立， 则当时，不等式左边取到最小值， 得，结合，解得， 综上，的取值范围为. 20．已知椭圆的离心率为，且经过点，直线过点A且相互垂直，交C于另一点P，交C于另一点Q． (1)求C的方程； (2)证明：直线过定点； (3)先将C绕原点O旋转，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍得到椭圆E，若与E的一个交点为R，且，求E的长轴长的取值范围． 【详解】（1）因为C过点，所以，又，故， 因为C的离心率为，所以，得． 所以C的方程为． （2）若直线的斜率为0，则直线的方程为，此时直线与椭圆只有一个交点，与已知矛盾， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率存在且不为，同理可得直线的斜率存在且不为， 故设． 由得， 故，所以． 同理可得． 若，故直线， 故直线过点；    若，则直线，直线过点． 综上，直线过定点． （3）由题意可知E的方程为． 因为，所以． 根据对称性，不妨将看作是由逆时针旋转得到， 因为，所以，所以， 因为点R在E上， 所以． 又点P在C上，所以，所以， 设其中， 则，即， 故椭圆E的长轴长的取值范围是． 题型五：与向量综合的问题 21．已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 【详解】（1）依题意，，解得， 则离心率； （2） 由（1）可知，椭圆C的方程为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易知此时 点到直线的距离为，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 设， 联立， 消去整理可得， 则， 由弦长公式可得，， 整理得：， 点A到直线l的距离为， 则 解得或， 则直线l的方程为或； （3）若过中点的动直线的斜率存在， 则可设该直线方程为 设，，， 由，可得， 故， 且，， 而，， 故 因为恒成立， 故，即， 解得， 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需，两者结合可得 故这个点纵坐标的取值范围为. 22．已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 【详解】（1）取，记线段的中点为，连接， 由于线段的中点为，则，， 设圆的半径为，圆与圆内切于，连接， 则三点共线，且， 于是， 又， 根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 则轨迹的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，点重合， 则由，可得，，，则点三点重合， 此时点； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，， 由，得， 则， ，得， 由，，得，，， 故， 化简得， 所以，得， 又因为动点在直线上， 所以，化简得， 经检验符合上式， 所以动点的轨迹为线段， 线段端点为，所以动点的轨迹长度． 23．已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 题型六：创新题（数学文化题、新定义题等） 24．（多选）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”对应着数学曲线中的双纽线. 在平面上，把到两个定点，距离之积等于()的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线：，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ）     A．曲线上满足的点有且只有一个 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 【答案】AD 【详解】若曲线C上点P满足，则点P在的垂直平分线上，即y轴上，故，代入曲线C方程得，解得， 所以这样的点仅有一个，故A正确； 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线C经过整点只能是，故B错； 易知直线与曲线C：一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点， 则只有一个解， 即只有一个解为， 即时，无解 故，即实数的取值范围为 ，故C错； 由可得， 当且仅当时取等号， 曲线上任意一点到坐标原点的距离，故D对； 故选：AD 25．阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C:的面积为，椭圆的焦距为. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点，，，分别为椭圆的上、下顶点，设为直线上一点，且直线，的斜率的积为，证明:点在轴上. 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程是. （2） 设，则，，，且，， 所以直线BM的斜率为， 因为直线BD，BM的斜率的积为， 所以直线BD的斜率为， 所以直线BD的方程为， 又直线AN的方程为， 联立方程组，解得， 因为点M在椭圆C上，所以， 则，所以点D在x轴上. 26．已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【详解】（1）设，则，， 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到， 则， 则，解得，，因此点的坐标是. （2）（i）在双曲线上任取一点， 将绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 则 又点在曲线上，则， 化简得双曲线的标准方程为：， 则，，，故离心率. （ii）由（i）可知，，由题意可知直线的斜率存在不为0， 故设直线方程为：，，， 联立，得， 则，，，， 因线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为， 即， 又，， 则线段的垂直平分线为， 同理线段的垂直平分线为， 设， 因点是的外心，则有， 则是方程， 即的两个根， 则，， 故，， 两式作商得，， 得，则， 即直线与直线的斜率之积为定值. 27．定义:设三角形ABC的内角的对边分别为，若其所在平面内一点O满足，则称点O为三角形ABC的正弦分点. (1)证明:点O为三角形ABC的内心； (2)已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线. （i）已知曲线为曲线，其左顶点为A，右焦点为F，若点是曲线右支上的一点，三角形的正弦分点为Q，证明:点Q在曲线上； （ii）已知曲线为曲线，其焦点分别为，，若点是曲线上的一点，三角形的正弦分点为，则是否存在两定点，使得恒为定值，若存在，求出此定值，若不存在，则说明理由. 【详解】（1）由正弦定理可知 则. 记， 由于， 所以在直线上， 且， 所以在角的角平分线上， 又因为， 所以三点共线， 即在角的角平分线上， 同理可得在角，角的角平分线上， 即为的内心. （2）（i），，则， 即，，， 设，则， 设直线：，直线：， ，. 代入可得. 显然,否则三点共线构成不了三角形. 故，即① 由（1）可知为的内心.，不妨设在第一象限， 故，代入①可得， 则（舍去，注：）或者， 即. （ii）， 即，，，设，， ， ，，， 则， 即， 解得，， 则， 即的轨迹为椭圆，则. 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆锥曲线的位置关系的六大常考题型 题型一：直线与圆锥曲线位置关系的判断 题型二：弦长、切线及面积问题 题型三：定点、定值、定直线问题 题型四：最值、取值范围问题 题型五：与向量综合的问题 题型六：创新题（数学文化题、新定义题等） 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系的判断 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（多选）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．直线与双曲线只有一个公共点 D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 5．(多选)双曲线，点，则（    ） A．该双曲线渐近线为 B．过点的直线与双曲线交于两点，若，则满足的直线有1条 C．与双曲线两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1 D．过点能作4条仅与双曲线有一个交点的直线 6．(多选)已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 7．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 8.若曲线与恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是为 . 9．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 题型二：弦长、切线及面积问题 10.已知椭圆的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程．    11．已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 12．已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 13．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 14．已知直线是过椭圆上一点的切线． (1)求两焦点到切线的距离的积； (2)当是椭圆的任一切线时，试问两焦点到切线的距离的积是否为定值？ 题型三：定点、定值、定直线问题 15．已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求的方程. (2)若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0. （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：. 16．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 17．已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 题型四：最值、取值范围问题 18．已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. (1)求的方程； (2)直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 19．拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. (1)若到焦点的距离为3，求； (2)若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； (3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 20．已知椭圆的离心率为，且经过点，直线过点A且相互垂直，交C于另一点P，交C于另一点Q． (1)求C的方程； (2)证明：直线过定点； (3)先将C绕原点O旋转，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍得到椭圆 题型五：与向量综合的问题 21．已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 22．已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 23．已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 题型六：创新题（数学文化题、新定义题等） 24．（多选）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”对应着数学曲线中的双纽线. 在平面上，把到两个定点，距离之积等于()的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线：，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ）     A．曲线上满足的点有且只有一个 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 25．阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C:的面积为，椭圆的焦距为. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点，，，分别为椭圆的上、下顶点，设为直线上一点，且直线，的斜率的积为，证明:点在轴上. 26．已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 27．定义:设三角形ABC的内角的对边分别为，若其所在平面内一点O满足，则称点O为三角形ABC的正弦分点. (1)证明:点O为三角形ABC的内心； (2)已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线. （i）已知曲线为曲线，其左顶点为A，右焦点为F，若点是曲线右支上的一点，三角形的正弦分点为Q，证明:点Q在曲线上； （ii）已知曲线为曲线，其焦点分别为，，若点是曲线上的一点，三角形的正弦分点为，则是否存在两定点，使得恒为定值，若存在，求出此定值，若不存在，则说明理由. 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $