专题03：简易方程—用字母表示数（计算专项训练）数学人教版五年级上册

该小学数学讲义以“用字母表示数”为核心，通过分知识点梳理构建知识体系，采用框架图呈现书写规则、运算定律、数量关系及计算公式的脉络，结合易错点提示表格明确乘号省略混淆、平方表示错误等重难点，体现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型设计从基础到复杂递进，如用字母表示数量关系、运算定律等题型，搭配分层跟踪训练，培养符号意识与模型意识。典型例题解析结合赋值法等技巧，帮助学生用数学语言表达关系，支持教师实施精准分层教学，提升不同学生运算能力与应用意识。

专题03：简易方程—用字母表示数 知识点1：用字母表示数的书写规则 1. 乘号的省略规则 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。例如a×b可以写成a⋅b或者ab。 数和字母相乘时，省略乘号后，要把数写在字母前面。比如3×a应写成3a；1×a通常写成a，这里的“1”省略不写。 2. 其他运算符号的规则 加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。例如a+b不能写成ab；2×3不能写成23。 易错点提示： 1. 乘号省略规则混淆 学生容易错误地将所有运算符号都省略。比如把a+b写成ab，或者把a÷b写成ab。实际上，只有字母中间的乘号可以记作“·”或省略不写，而加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。例如2×3不能写成23。 在数和字母相乘时，忘记把数写在字母前面。例如可能会把3×a写成a3，正确的写法应该是3a。 2. 平方表示错误 对于a²的含义理解有误，将a²与2a混淆。a²表示两个a相乘，即a×a；而2a表示a+a或2×a。 知识点2：用字母表示运算定律 可以用字母清晰地表示各种运算定律，这些定律具有普遍性，适用于所有符合条件的数。 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为a+b=b+a。例如3+5=5+3，这里a=3，b=5，无论a和b取什么数，这个等式都成立。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。比如(2+3)+4=2+(3+4)。 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为ab=ba。例如2×3=3×2。 4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。用字母表示为(ab)c=a(bc)。比如(2×3)×4=2×(3×4)。 5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示为(a+b)c=ac+bc。例如(2+3)×4=2×4+3×4。 易错点提示： 1. 对运算定律理解不透彻 在运用字母表示运算定律时，可能会写错字母或运算符号。例如把加法交换律写成a−b=b−a，这是对加法交换律的本质“交换加数位置和不变”理解不到位。正确的应该是a+b=b+a。 对于乘法分配律(a+b)c=ac+bc，可能会漏乘或错乘。比如写成(a+b)c=ac+b，没有将c与b相乘。 2. 数量关系分析错误 在根据实际问题用字母表示数量关系时，不能准确找出数量之间的逻辑联系。例如，小明有x颗糖，小红的糖比小明的2倍少3颗，部分学生可能会错误地写成2x+3，正确的应该是2x−3。 对于一些较为复杂的数量关系，如行程问题中，已知甲的速度是v1，乙的速度是v2，经过t小时两人相向而行后相遇，求两地距离。部分学生可能会混淆速度和时间的关系，不能正确列出式子(v1+v2)t。 知识点3：用字母表示常见的数量关系及计算公式 1. 常见数量关系 路程、速度、时间的关系：路程s、速度v、时间t，它们的关系可以表示为s=vt，v=s÷tt，t=s÷v。例如，一辆汽车的速度是60千米/小时，行驶了3小时，那么行驶的路程s=60×3=180千米。 总价、单价、数量的关系：总价c、单价a、数量x，关系为c=ax，a=c÷x，x=c÷a。比如，苹果的单价是5元/千克，买了4千克，总价c=5×4=20元。 2. 计算公式 长方形的周长C和面积S：设长方形的长为a，宽为b，则周长C=2(a+b)，面积S=ab。例如，长方形长5厘米，宽3厘米，周长C=2×(5+3)=16厘米，面积S=5×3=15平方厘米。 正方形的周长C和面积S：设正方形的边长为a，则周长C=4a，面积S=a²。 易错点提示： 1. 代入过程出错 在将字母的值代入含有字母的式子时，可能会出现计算顺序错误。例如对于式子3x+5，当x=2时，错误地先计算加法再计算乘法，写成3×(2+5)=21，正确的应该是3×2+5=6+5=11。 代入时忽略括号的使用。比如式子(x+3)×2，当x=4时，若不注意括号，可能会写成4+3×2=10，正确的是(4+3)×2=14。 2. 取值范围考虑不周 没有考虑字母取值的实际意义。例如，在表示人数的式子中，字母代表的人数只能是正整数。若式子x表示班级学生人数，当计算出x=3.5时，就不符合实际情况，应检查解题过程是否有误。 3. 字母表示的一般性和确定性混淆 字母可以表示任意数，但在具体问题中又有一定的取值范围。部分学生不能很好地把握这一点，比如在一个式子中字母x可以表示很多数，但在“一个正方形的边长为x厘米”这个情境中，x必须大于0，学生可能会忽略这个限制条件。 4. 多个字母关系理解混乱 在一个问题中出现多个字母时，不能清晰地分辨它们之间的关系。例如，在“甲有a本书，乙的书比甲的3倍多2本，丙的书比乙少5本”这样的问题中，对于乙和丙的书的数量表示容易出错，不能准确得出乙有3a+2本书，丙有(3a+2)−5=3a−3本书。 题型1:用字母表示数、数量关系 题型特征： 1. 常见数量关系 路程、速度、时间的关系：路程s、速度v、时间t，它们的关系可以表示为s=vt，v=s÷tt，t=s÷v。 总价、单价、数量的关系：总价c、单价a、数量x，关系为c=ax，a=c÷x，x=c÷a。 2. 计算公式 长方形的周长C和面积S：设长方形的长为a，宽为b，则周长C=2(a+b)，面积S=ab。 正方形的周长C和面积S：设正方形的边长为a，则周长C=4a，面积S=a²。 典型例题：（25-26五年级上·海南海口·单元测试）如图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 解题思路：由图可知，阴影部分是一个长方形，长方形的长是（x－3）厘米，长方形的宽是3厘米，根据“长方形的面积＝长×宽”表示出阴影部分的面积，据此解答。 跟踪训练1：（25-26五年级上·海南海口·单元测试）学校购买了m个篮球，每个48元；购买了n个排球，每个36元。 ①m＋n表示( )。 ②48m表示( )。 ③48－36表示( )。 ④48m＋36n表示( )。 跟踪训练2：（2025五年级上·海南海口·专题练习）①甲数是7.6，甲数比乙数多，乙数是( )。 ②大米的价格是5.8元/千克，妈妈买a千克大米需付( )元。 ③当时，( )，( )。 跟踪训练3：（22-23四年级下·河北邢台·期中）化简下面的式子。 b＋b＋a＋a＝    m×5×n＝    3a－2b＋2a＝ 3×b×4＝    7a×5＝    30x－20x＝ 跟踪训练4：（18-19六年级下·全国·课后作业）用简便方法表示下面各式。 3.8×x＝      a×1＝          m×n＝ a×a×a＝      a＋a＋a＝       4×b×b＝ 题型2:用字母表示运算定律及计算公式 题型特征： 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为a+b=b+a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为ab=ba。 4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。用字母表示为(ab)c=a(bc)。 5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示为(a+b)c=ac+bc。 典型例题：（24-25五年级上·内蒙古通辽·期中）一个正方形的边长为a米，它的周长是( )米，面积是( )平方米；如果a＝8，那么它的周长是( )米，面积是( )平方米。 解题思路：已知一个正方形的边长为a米，根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，用含字母a的式子表示正方形的周长和面积；再把a＝8代入式子中，求出正方形的周长、面积。 跟踪训练1：（24-25五年级上·内蒙古通辽·期中）a×7.5＋7.5×b＝7.5×( )    1.25×m×0.8＝m×( ) 跟踪训练2：（24-25五年级上·广东东莞·期中）根据运算定律填空。 (1)2.5×4.4＝2.5×4×( )。 (2)6.4a＋3.6a＝（ ＋ ）×( )。 跟踪训练3：（23-24五年级上·全国·单元测试）根据乘法分配律，可以写成（    ）。 A． B． C． 跟踪训练4：（23-24五年级上·全国·单元测试）运用运算律，在横线上填上合适的字母或数字。 x－52－48＝x－（ ＋ ）        ac＋bc＝（ ＋ ）× 题型3:用字母表示稍复杂的数量关系 典型例题：（2024·福建莆田·小升初真题）下列选项中，能用2a＋6表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 解题思路：2a＋6表示2个相同的数量a与6的和，长方形周长是长的2倍与宽的2倍的和，面积等于长乘宽，据此逐项分析解答。 跟踪训练1：（22-23五年级上·山西阳泉·期末）a与2.5的差的一半，用式子表示是（    ）。 A．a－2.5÷2 B．2（a－2.5） C．（a－2.5）÷2 跟踪训练2：（21-22六年级下·内蒙古赤峰·期末）一个两位数，它的十位上的数字是a，个位上的数字是b，用含有字母的式子表示这个两位数，可以写成（    ）。 A．ba B． C．ab D． 跟踪训练3：（22-23五年级上·广东汕头·阶段练习）22减去x的1.6倍，用式子表示是( )；x的平方加上8个a，用式子表示是( )。 跟踪训练4：（23-24五年级上·广东阳江·期末）a的3倍与5.6的和用式子表示是（    ）。 A．3a＋5.6 B．a÷3＋5.6 C．0.3a＋5.6 D．3a－5.6 题型4:含有字母式子的直接计算 典型例题：（24-25五年级上·重庆·期末）直接写出得数。 0.05×20＝     7.6÷0.01＝     0.4×0.25＝    3a×5a＝    6.3÷3－0.18＝ 10÷0.5＝     5.6÷0.56＝   7.5÷5＝     1.2×4a＝    7.5÷2.5×0＝ 跟踪训练1：（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）直接写出得数。                                      跟踪训练2：（24-25五年级上·江西赣州·期末）直接写出得数。 0.1÷0.01＝       6.3÷0.9＝    2.5×0.4＝    5×0.6÷5×0.6＝ 2a＋3a＝       0.32＝    0÷0.56＝    1÷0.25×4＝ 跟踪训练3：（24-25五年级上·湖北孝感·期中）直接写出结果。 1.8÷0.9＝   4.5÷0.25＝     0.11×0.5＝    0.125×8÷2＝      b×b×2.4＝ 0.25×80＝   20－1.85＝     0.36÷0.4＝     6.4÷0.8×0＝    7.5x－5x＝ 跟踪训练4：（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）直接写出得数。 2.3×5＝         0.3＋0.01＝         4÷0.5＝ 0.46×100＝       6.7－2.3＝          2.3÷0.01＝ 0.125×8＝                 题型5:含有字母式子的化简与求值 典型例题：（24-25五年级上·云南曲靖·期末）果果把5（x＋8）错写成5x＋8，结果比原来少了（    ）。 A．8 B．5 C．40 D．32 解题思路：采用赋值法进行分析，假设x＝1，将x＝1分别代入5（x＋8）和5x＋8，求值，并求差即可。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 跟踪训练1：（24-25五年级上·四川凉山·期中）求含有字母的式子的值。 当x＝3，y＝5时，求下列各式的值。 （1）x＋y       （2）5x÷y         （3）4x－2y        （4） 跟踪训练2：（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）下面两个式子相等的是（    ）。 A．a＋a和a2 B．a×2和a2 C．a＋a和2a 跟踪训练3：（24-25五年级上·湖南张家界·期末）A＋B＝10，算式7.28×A＋7.28×B的计算结果是72.8。( )（判断对错） 跟踪训练4：（24-25五年级上·河北张家口·期末）在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 (1)当x＝7时，4x＋3x( )49，4＋3x( )49。 (2)当x＝3.5时，7x－3x( )14，7x＋3x( )14。 题型1:用字母表示数、数量关系 典型例题：（x－3）×3 ＝x×3－3×3 ＝（3x－9）平方厘米 所以，阴影部分的面积是（3x－9）平方厘米。 跟踪训练1： 【答案】 学校购买篮球和排球的总个数 购买m个篮球的总花费 每个篮球比每个排球贵的钱数 购买m个篮球和n个排球的总花费 【分析】根据题目中给出的篮球和排球的个数、单价等信息，分析每个式子所代表的实际意义。m是篮球个数，n是排球个数，48是篮球单价，36是排球单价，据此推导每个式子的意义，最终得出结论。 【详解】① m是篮球个数，n是排球个数，所以m＋n表示学校购买篮球和排球的总个数。 ②篮球每个48元，买了m个，所以48m表示购买m个篮球的总花费。 ③ 48是篮球单价，36是排球单价，所以48－36表示每个篮球比每个排球贵的钱数。④ 48m是买篮球的总花费，36n是买排球的总花费，所以48m＋36n表示购买m个篮球和n个排球的总花费。 ①m＋n表示学校购买篮球和排球的总个数。 ②48m表示购买m个篮球的总花费。 ③48－36表示表示每个篮球比每个排球贵的钱数。 ④48m＋36n表示购买m个篮球和n个排球的总花费。 跟踪训练2： 【答案】 7.6－m 5.8a 25 24 【分析】①甲数比乙数多m，说明乙数＝甲数－m； ②总价＝单价×数量，代入数值和字母即可； ③将x＝5代入x2和3x＋9中，按运算顺序计算。 【详解】①7.6－m，乙数是7.6－m； ②5.8×a＝5.8a（元），妈妈买a千克大米需付5.8a元； ③x2＝52＝25，3x＋9＝3×5＋9＝15＋9＝24 当x＝5时，x2＝25，3x＋9＝24 跟踪训练3： 【答案】2b＋2a；5mn；5a－2b； 12b；35a；10x 【分析】根据用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前，据此计算化简即可。 【详解】b＋b＋a＋a ＝（b＋b）＋（a＋a） ＝2b＋2a m×5×n ＝5m×n ＝5mn 3a－2b＋2a ＝3a＋2a－2b ＝5a－2b 3×b×4 ＝3×4×b ＝12×b ＝12b 7a×5 ＝7×5×a ＝35×a ＝35a 30x－20x ＝（30－20）x ＝10x 跟踪训练4： 【答案】3.8x；a；mn a3；3a；4b2 【分析】字母和数字相乘，乘号省略，数字在前字母在后；字母与字母相乘，乘号省略；据此解答。 【详解】3.8×x＝3.8x a×1＝a m×n＝mn a×a×a＝a3 a＋a＋a＝3a 4×b×b＝4b2 题型2:用字母表示运算定律及计算公式 典型例题：正方形的周长：4a（米） 正方形的面积：a2（平方米） 当a＝8时，4a＝4×8＝32（米） 当a＝8时，a2＝48×8＝64（平方米） 一个正方形的边长为a米，它的周长是4a米，面积是a2平方米；如果a＝8，那么它的周长是32米，面积是64平方米。 跟踪训练1： 【答案】 a＋b 1.25×0.8 【分析】a×7.5＋7.5×b，逆用乘法分配律，先算（a＋b），再与7.5相乘； 1.25×m×0.8，利用乘法交换结合律，交换前两个乘数的位置，先算（1.25×0.8），再与m相乘。 【详解】a×7.5＋7.5×b＝7.5×（a＋b）＝7.5（a＋b） 1.25×m×0.8＝m×（1.25×0.8）＝ m×1＝m 跟踪训练2： 【答案】(1)1.1 (2) 6.4 3.6 a 【分析】（1）2.5×4.4，将4.4拆成（4×1.1），利用乘法结合律，先算2.5×4，再乘1.1。 （2）6.4a＋3.6a，逆用乘法分配律，先算（6.4＋3.6），再与a相乘。 【详解】（1）2.5×4.4＝2.5×4×1.1。 （2）6.4a＋3.6a＝（6.4＋3.6）×a。 跟踪训练3： 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。乘法分配律反过来同样适用，据此分析。 【详解】 根据乘法分配律，可以写成。 故答案为：A 跟踪训练4： 【答案】 52 48 a b c 【分析】减法的性质：一个数连续减去两个数等于这个数减去后两个数的和；乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘再相加，据此解答即可。 【详解】x－52－48＝x－（52＋48） ac＋bc＝（a＋b）×c 题型3:用字母表示稍复杂的数量关系 典型例题：A．整条线段长是三小段线段长度的和2＋a＋6化简后是a＋8； B．整条线段长是三小段线段长度的和a＋6＋6化简后是a＋12； C．长方形的周长是2a＋3×2化简后是2a＋6； D．长方形的面积是2×a＋3×a化简后是5a。 故答案为：C 跟踪训练1： 【分析】求差用减法，求一个数的一半，用这个数÷2，据此先用字母表示出a与2.5的差，再除以2即可，注意根据四则混合运算的运算顺序，a与2.5的差要用小括号括起来。 【详解】a与2.5的差的一半，用式子表示是（a－2.5）÷2。 故答案为：C 跟踪训练2： 【分析】十位的计数单位是10，个位的计数单位是1，十位上的数字×十位的计数单位＋个位上的数字×个位的计数单位＝这个两位数，据此用字母表示出这个两位数。 【详解】a×10＋b ＝10a＋b 所以用含有字母的式子表示这个两位数，可以写成（10a＋b）。 故答案为：D 跟踪训练3： 【答案】 （22－1.6x） （x2＋8a） 【分析】第一个空，求一个数的几倍是多少用乘法，据此表示出x的1.6倍，再与22求差即可； 第二个空，一个数的平方表示这个数×这个数，几个几可以用乘法算式写成几×几，据此分别表示出x的平方和8个a，相加即可。 【详解】22减去x的1.6倍，用式子表示是（22－1.6x）；x的平方加上8个a，用式子表示是（x2＋8a）。 跟踪训练4： 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，求和用加法，据此用字母表示出这个式子。 【详解】a的3倍与5.6的和用式子表示是3a＋5.6。 故答案为：A 题型4:含有字母式子的直接计算 典型例题： 【答案】1；760；0.1；15a2；1.92；20；10；1.5；4.8a；0 跟踪训练1： 【答案】1.2；15；2；200；7；0.13；7x；0.3a；25；9 跟踪训练2： 【答案】10；7；1；0.36；5a；0.09；0；16 跟踪训练3： 【答案】2；18；0.055；0.5；2.4b2 20；18.15；0.9；0；2.5x 跟踪训练4： 【答案】11.5；0.31；8；46；4.4；230；1；； 题型5:含有字母式子的化简与求值 典型例题：假设x＝1 5（x＋8） ＝5×（1＋8） ＝5×9 ＝45 5x＋8 ＝5×1＋8 ＝5＋8 ＝13 45－13＝32 结果比原来少了32。 故答案为：D 跟踪训练1： 【答案】（1）8；（2）3；（3）2；（4）34 【分析】把x＝3，y＝5，代入各式进行计算即可解答。 【详解】当x＝3，y＝5时 （1）x＋y ＝3＋5 ＝8 （2）5x÷y ＝5×3÷5 ＝15÷5 ＝3 （3）4x－2y ＝4×3－2×5 ＝12－10 ＝2 （4） ＝ ＝9＋25 ＝34 跟踪训练2： 【分析】根据乘法的意义以及乘方的概念结合举例来判断每个选项中两个式子是否相等。 【详解】A．a＋a＝2a，＝a×a，当a＝2时，2a＝2×2＝4，a×a＝2×2＝4，此时a＋a＝；当a＝3时，2a＝2×3＝6，a×a＝3×3＝9，6≠9，所以a＋a和不一定相等； B．a×2＝2a，＝a×a，由A选项可知，a×2和不一定相等； C．a＋a＝2a，2a＝2a，所以a＋a和2a一定相等。 所以两个式子相等的是a＋a和2a。 故答案为：C 跟踪训练3： 【分析】计算7.28×A＋7.28×B时，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式变成7.28×（A＋B）；再把A＋B＝10代入式子中计算出结果，据此判断。 【详解】当A＋B＝10时 7.28×A＋7.28×B ＝7.28×（A＋B） ＝7.28×10 ＝72.8 所以，A＋B＝10，算式7.28×A＋7.28×B的计算结果是72.8。 原题说法正确。 故答案为：√ 跟踪训练4： 【答案】(1) ＝ ＜ (2) ＝ ＞ 【分析】（1）将x＝7分别代入（4x＋3x）和（4＋3x）中，再判断结果和49的大小关系； （2）将x＝3.5分别代入（7x－3x）和（7x＋3x）中，再判断结果和14的大小关系。 【详解】（1）4x＋3x ＝4×7＋3×7 ＝28＋21 ＝49 4＋3x ＝4＋3×7 ＝4＋21 ＝25 49＝49，25＜49 所以当x＝7时，4x＋3x＝49，4＋3x＜49。 （2）7x－3x ＝7×3.5－3×3.5 ＝3.5×（7－3） ＝3.5×4 ＝14 7x＋3x ＝10x ＝10×3.5 ＝35 14＝14，35＞14 所以当x＝3.5时，7x－3x＝14，7x＋3x＞14。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $