专题03：比（计算专项训练）数学人教版六年级上册

该小学数学“比”专题复习讲义通过知识框架系统梳理了比的核心内容，涵盖比的意义、基本性质、化简比及按比分配，以定义解析、关系对比、易错点提示呈现知识脉络，突出比与分数除法的联系及化简比的方法等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，包含比的意义、化简比等7类题型，如“比与分数除法的关系”通过12÷（ ）＝（ ）∶30＝3∶5＝（ ）训练运算能力与推理意识，典型例题配跟踪训练适配不同学生。易错点提示助学生规避混淆比与比值等问题，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题03：比 知识点01：比的意义 比的定义：两个数相除又叫做两个数的比，比号用“: ”表示，读作“比”。 比值：比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用整数或小数表示 比与分数、除法的关系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数线和除号；比的后项相当于分母和除数；比值相当于分数值和商。但比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算。 连比：表示三个或三个以上数的比，如3:4:5读作“3比4比5” 。求几个数连比时，可先找出中间量对应的数的最小公倍数，再根据比的基本性质进行转化。 特殊情况：体育比赛中的比分，如3:0，它只是一种记分形式，不表示两个数相除的关系。 易错点提示： 混淆比和比值：比是表示两个数相除的关系，是一个式子，可写成a:b（b≠0）或的形式；而比值是比的前项除以后项所得的商，是一个具体的数，可以是整数、分数或小数。 对“比”与“除法、分数”关系把握不准：虽然比与除法、分数有紧密联系，比的前项相当于被除数、分子，比号相当于除号、分数线，比的后项相当于除数、分母，比值相当于商、分数值，但它们的意义不同。比表示两个数的关系，除法是一种运算，分数是一种数。比如，不能因为比和分数形式上相似，就将比的运算完全等同于分数的运算，在描述时要准确使用相应的术语。 误判体育比赛比分与数学比：体育比赛中的比分，如3:0，它只是一种计分方式，不表示两个数相除的关系，与数学中的比概念不同。数学中的比，后项不能为0，因为除数不能为0。但部分同学会将体育比分和数学比混淆，错误认为比的后项可以是0。 知识点02：比的基本性质 性质内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这与商不变的性质（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）以及分数的基本性质（分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数值不变）相呼应。 最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。例如2:3就是最简整数比。 易错点提示： 忽略“0除外”条件：比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。在实际运用时，有些同学容易忽略“0除外”这个关键条件。例如，对2:3的前项和后项同时乘0，得到0:0，这不符合比的定义，因为比的后项不能为0，且这样的操作破坏了比所表示的数量关系。 不能灵活运用性质化简比：化简比是根据比的基本性质把比化成最简整数比。在化简过程中，对于整数比、分数比和小数比，需要根据不同情况选择合适的方法。 知识点03：化简比 化简比的概念：把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫比的化简。化简比的结果仍然是一个比。 化简比的方法 整数比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 分数比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。 小数比：前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，化成整数比后再化简。 易错点提示： 求比值和化简比计算错误 求比值就是用比的前项除以后项。在计算过程中，可能会因为粗心出现计算错误。 化简比结果形式错误：化简比的结果必须是一个比，且是最简整数比。然而，部分同学在化简后会把结果写成一个数（比值的形式）。 知识点04：按比分配 定义：把一个数量按照一定的比来进行分配，这种方法通常叫做按比分配。 解题方法 方法一：先求出总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后用总量乘各部分量占总量的几分之几，求出各部分量。 方法二：先求出每份是多少，再用每份数乘各部分量所占的份数，求出各部分量。 易错点提示： 找不准总份数：在按比分配问题中，准确求出总份数是解题的关键。 对应关系混乱：确定各部分量占总量的几分之几时，容易出现对应关系错误。 题型1:比的意义 题型特征： 比的定义：两个数相除又叫做两个数的比，比号用“: ”表示，读作“比”。 比值：比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用整数或小数表示 典型例题：（25-26六年级上·海南海口·单元测试）甲数的和乙数相等，甲数和乙数的比是（    ）。 A．7∶11 B．11∶7 C． 解题思路：根据题意，甲数的等于乙数，假设甲数为1，则乙数为，据题意列比并化简即可。 跟踪训练1：（23-24六年级上·湖南娄底·期末）解方程。 x＋x＝25        20∶x＝15      x＋x＝        x÷＝ 跟踪训练2：（21-22六年级上·湖南永州·期末）列式计算。 乙数比甲数多，甲数与乙数的最简整数比是多少？ 跟踪训练3：解方程． x＋x=42          x-x=           x：1.3=3 题型2:比的读法、写法及各部分的名称 题型特征： 比的定义：两个数相除又叫做两个数的比，比号用“: ”表示，读作“比”。 比值：比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用整数或小数表示 典型例题：（24-25六年级上·全国·课后作业）如果3∶5＝0.6，那么3是比的( )，5是比的( )，0.6是( )。 解题思路：（1）根据比的定义：两个数相除又叫做两个数的比。在比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商叫做比值。 （2）对于3：5＝0.6这个式子，其中3在比号前面，所以3是比的前项，5在比号后面，所以5是比的后项。 （3）3：5＝0.6，0.6是3与5相除的商，所以0.6是比值 跟踪训练1：比的后项是，比值是0.3，比的前项是( )。 跟踪训练2：（21-22六年级上·山西忻州·期末）写成分数形式的比，仍读作“( )比( )”。 跟踪训练3：（22-23六年级下·河南新乡·期中）当x＝（    ）时，∶x的比值恰好是最小的质数。 A． B． C． D．12 题型3:比与分数、除法的关系 题型特征： 比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数线和除号；比的后项相当于分母和除数；比值相当于分数值和商。但比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算。 典型例题：（25-26六年级上·海南海口·单元测试）12÷（    ）＝（    ）∶30＝3∶5＝。 解题思路：根据题目中的连等式，所有部分的值都等于3∶5。分数的分子相当于被除数、比的前项，分母相当于除数、比的后项。利用比的基本性质和分数与除法的关系，分别求出各个括号中的数。 跟踪训练2：（24-25六年级上·河南南阳·期中）9∶12＝＝21÷（    ）＝（    ）∶80＝（    ）（填小数）。 跟踪训练3：（2025六年级上·海南海口·专题练习）如果，那么下列说法正确的是（    ）。 A．m是n的 B． C．m比n多 题型4:比的基本性质 题型特征： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这与商不变的性质（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）以及分数的基本性质（分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数值不变）相呼应。 典型例题：（24-25六年级上·河南南阳·期末）在9∶27中，如果前项增加9，后项应（    ），比值不变。 A．加9 B．扩大为原来的2倍 C．乘3 解题思路：比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此分析。 跟踪训练1：（24-25六年级上·广东汕头·期末）一个比是4∶5，若前项加12，要使比值不变，后项应（    ）。 A．乘3 B．乘4 C．加12 D．加20 跟踪训练2：（24-25六年级上·重庆黔江·期末）4÷5＝（    ）∶20＝。 跟踪训练3：（24-25六年级上·浙江杭州·期末）先化简比，再求比值。                    题型5:比的化简 题型特征： 化简比的概念：把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫比的化简。化简比的结果仍然是一个比。 化简比的方法 整数比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 分数比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。 小数比：前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，化成整数比后再化简。 典型例题：（24-25六年级上·广东韶关·期末）化简下面各比。 15∶25              4.5∶2.7           ∶ 解题思路：比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 跟踪训练1：（24-25六年级上·安徽黄山·期末）化简比。 4.9∶0.7           ∶         65∶13 跟踪训练2：（24-25六年级上·贵州黔西·期末）把下面各比化成最简单的整数比。                  0.75∶1           2.4吨∶800千克 跟踪训练3：（24-25六年级上·重庆南岸·期末）把下面各比化成最简整数比。 16∶56        0.25∶7.5     题型6:求比值 典型例题：（24-25六年级上·重庆潼南·期末）21÷（    ）＝3∶5＝＝（    ）（填小数）。 解题思路：比与除法的关系：比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；商不变的性质：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；据此解答第一空； 分数与比的关系：分数的分子相当于比的前项，分母相当于后项，分数值相当于比值；据此把比化成分数，分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此解答第二空； 用比的前项除以后项，结果用小数表示。据此解答最后一空。 跟踪训练1：（24-25六年级上·浙江宁波·期末）把下面各比化简成最简整数比，再求出比值。 （1）1.25∶          （2）8平方厘米∶0.06平方米 跟踪训练2：（24-25六年级上·湖北黄石·期末）求比值。（写出主要过程） 公顷∶125平方米    120分∶时    9.8∶    ∶2.4 跟踪训练3：（24-25六年级上·浙江杭州·期末）求比值。                           题型7:按比分配问题 题型特征： 方法一：先求出总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后用总量乘各部分量占总量的几分之几，求出各部分量。 方法二：先求出每份是多少，再用每份数乘各部分量所占的份数，求出各部分量。 典型例题：（20-21六年级上·广东云浮·阶段练习）甲、乙两数的比是9∶5，乙比甲少12，甲、乙之和是多少？ 解题思路：根据题意可知，乙数比甲数少4份，用12÷4即可求出每份是多少，再乘甲数和乙数的份数和即可。 跟踪训练1：（云阳县）只列式不计算． （1）12.5的比1.3除52的商少多少？ （2）一种混凝土把石子、沙和水泥按6：2：1的比调配而成，要配制这种混凝土27吨，需要水泥多少吨？ 跟踪训练2：（20-21六年级上·甘肃金昌·期末）列式计算。 甲乙丙的平均数是7.2，它们的比是4∶2∶3，甲乙丙三个数各是多少？ 跟踪训练3：（20-21六年级上·全国·期中）只列式不计算。 喜盈门大酒店要按男、女人数的比3∶5招收一批服务员，结果招收了48人，其中女服务员有多少人？ 题型1:比的意义 典型例题：假设甲数为1 甲数的和乙数相等，甲数和乙数的比是11∶7。 故答案为：B 跟踪训练1： 【答案】x＝20；x＝；x＝；x＝ 【分析】“x＋x＝25”先计算x＋x，再将等式两边同时除以，解出x； “20∶x＝15”比号相当于除号，那么将20除以15，解出x； “x＋x＝”先计算x＋x，再将等式两边同时除以，解出x； “x÷＝”先将等式两边同时乘，再同时除以，解出x。 【详解】x＋x＝25 解：x＝25 x÷＝25÷ x＝25× x＝20 20∶x＝15 解：x＝20÷15 x＝ x＋x＝ 解：x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ x÷＝ 解：x÷×＝× x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ 跟踪训练2： 【答案】4∶7 【分析】把甲数看作单位“1”，乙数比甲数多，乙数就是甲数的1＋，然后用甲数比乙数即可；根据比的基本性质化简比。 【详解】1∶（1＋） ＝1∶ ＝（1×4）∶（×4） ＝4∶7 【点睛】此题主要依据比的意义和比的性质解决问题。 跟踪训练3： 【答案】x=40; x= ; x=3.9 题型2:比的读法、写法及各部分的名称 典型例题：如果3∶5＝0.6，那么3是比的前项，5是比的后项，0.6是比值。 跟踪训练1：比的后项是，比值是0.3，比的前项是( )。 【答案】 【分析】根据前项∶后项＝比值，前项＝比值×后项，代入数据解答。 【详解】 比的后项是，比值是0.3，比的前项是。 跟踪训练2： 【答案】 5 7 【分析】比的写法有两种形式：或。两种形式的比都读作几比几。据此解答即可。 【详解】先读前项5，再读“比”，最后读后项7，即分数形式的比，仍读作5比7。 【点睛】注意写比的读作时，比的前项和后项用阿拉伯数字，不能用汉字小写数字。 跟踪训练3： 【分析】最小的质数是2，即∶x＝2，根据“前项÷比值＝后项”，求出x的值即可。 【详解】∶x的比值是2，则x＝÷2＝×＝，当x＝时，∶x的比值恰好是最小的质数。 故答案为：B 【点睛】关键是熟悉比各部分之间的关系，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 题型3:比与分数、除法的关系 典型例题： 12÷20＝18∶30＝3∶5＝。 跟踪训练1： 【答案】；；25；3 【分析】，根据比与除法的关系，用比的前项除以比的后项，即用除以。 ，用比的前项除以比的后项，即用除以。 ，用比的前项除以比的后项，即用15除以。 4.5dm∶15cm，因为1dm＝10cm，所以4.5dm为4.5×10＝45cm，原比变为45cm∶15cm。然后用比的前项除以比的后项，即用45除以15。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝25 4.5dm∶15cm 1dm＝10cm 4.5×10＝45（cm） 45cm∶15cm ＝45÷15 ＝3 跟踪训练2： 【答案】3；28；60；0.75 【分析】比与分数的关系：比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比号相当于分数线； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 分数化成小数，用分子除以分母即可。 【详解】9∶12＝＝＝ ＝＝，＝21÷28 ＝＝，＝60∶80 ＝3÷4＝0.75 即9∶12＝＝21÷28＝60∶80＝0.75。 跟踪训练3： 【分析】根据除法与分数的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除法中的除数相当于分数的分母，除号相当于分数线；除法与比的关系：除法中的被除数相当于比的前项，除法中的除数相当于比的后项，除号相当于比的比号；数量差：指两个数量之间的差值，据此求解。 【详解】A．由，根据除法与分数的关系，可得，两边同时乘，可得到，即是的，所以A错误； B．根据除法与比的关系，，因为，所以，B正确； C．因为，所以，所以比少，所以C错误。 故答案为：B 题型4:比的基本性质 典型例题：（9＋9）÷9 ＝18÷9 ＝2 27×2－27 ＝54－24 ＝27 在9∶27中，如果前项增加9，后项应扩大为原来的2倍或增加27，比值不变。 故答案为：B 跟踪训练1： 【分析】4∶5的前项加12，前项由4变为16，相当于前项乘4，要使比值不变，根据比的基本性质，后项也应乘4；5×4＝20，后项由5变为20，20－5＝15，也就是加15。据此解答。 【详解】（4＋12）÷4 ＝16÷4 ＝4 5×4－5 ＝20－5 ＝15 则要使比值不变，后项应乘4或加15。 故答案为：B 跟踪训练2： 【答案】16；8 【分析】除法与比的关系：被除数相当于比的前项，除号相当于比号，除数相当于比的后项； 除法和分数的关系：被除数相当于分子，除号相当于分数线，除数相当于分母； 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变； 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，据此解答。 【详解】4÷5＝4∶5＝（4×4）∶（5×4）＝16∶20 4÷5＝＝＝ 4÷5＝16∶20＝。 跟踪训练3： 【答案】3∶20；；7∶10；0.7；1∶78；；5∶1；5 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；根据比值的求法：用比的前项除以比的后项，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】∶ ＝∶ ＝（×72）∶（×72） ＝15∶100 ＝（15÷5）∶（100÷5） ＝3∶20 3∶20 ＝3÷20 ＝ 1.75∶2.5 ＝（1.75×100）∶（2.5×100） ＝175∶250 ＝（175÷25）∶（250÷25） ＝7∶10 7∶10 ＝7÷10 ＝0.7 ∶42 ＝（×13）∶（42×13） ＝7∶546 ＝（7÷7）∶（546÷7） ＝1∶78 1∶78 ＝1÷78 ＝ kg∶432g ＝（×1000）g∶432g ＝2160∶432 ＝（2160÷432）∶（432÷432） ＝5∶1 5∶1 ＝5÷1 ＝5 题型5:比的化简 典型例题：（1）15∶25 ＝（15÷5）∶（25÷5） ＝3∶5 （2）4.5∶2.7 ＝（4.5÷0.9）∶（2.7÷0.9） ＝5∶3 （3）∶ ＝（×16）∶（×16） ＝9∶12 ＝（9÷3）∶（12÷3） ＝3∶4 跟踪训练1： 【答案】7∶1；3∶5；5∶1 【分析】比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。化简比是根据比的基本性质化成最简整数比，结果仍然是一个比。据此解答。 【详解】4.9∶0.7   ＝（4.9÷0.7）∶（0.7÷0.7） ＝7∶1 ∶ ＝（×6）∶（×6） ＝3∶5 65∶13 ＝（65÷13）∶（13÷13） ＝5∶1 跟踪训练2： 【答案】9∶4；16∶5；3∶4；3∶1 【分析】化简比：根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘（或除以）同一个数（0除外）比值不变。小数与分数的比，可先把分数转化为小数，再化简比，比的前项与后项的单位不同的要先统一单位，再化简比。据此解答。 【详解】 0.75∶1 2.4吨∶800千克 ＝2400千克∶800千克 ＝2400∶800 ＝（2400÷800）∶（800÷800） 跟踪训练3： 【答案】2∶7；14∶9；1∶30；1∶3 【分析】化简比的方法：根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。据此解答。 【详解】 ＝ ＝14∶9 ＝1∶3 题型6:求比值 典型例题：3∶5＝3÷5＝（3×7）÷（5×7）＝21÷35 3∶5＝＝＝ 3∶5＝3÷5＝0.6 所以21÷35＝3∶5＝＝0.6。 跟踪训练1： 【答案】（1）2∶1；2；（2）1∶75； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。根据比值的意义，用最简比的前项除以比的后项，即是比值。 【详解】（1）1.25∶ ＝∶ ＝（×8）∶（×8） ＝10∶5 ＝（10÷5）∶（5÷5） ＝2∶1 2∶1 ＝2÷1 ＝2 （2）8平方厘米∶0.06平方米 ＝8平方厘米∶（0.06×10000）平方厘米 ＝8∶600 ＝（8÷8）∶（600÷8） ＝1∶75 1∶75 ＝1÷75 ＝ 跟踪训练2： 【答案】30；；18.2； 【分析】根据求比值的方法：用比的前项除以比的后项，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】公顷∶125平方米 ＝（×10000）平方米∶125平方米 ＝3750平方米∶125平方米 ＝3750÷125 ＝30 120分∶时 ＝120分∶（×60）分 ＝120分∶90分 ＝120÷90 ＝ 9.8∶ ＝9.8÷ ＝9.8× ＝18.2 ∶2.4 ＝÷2.4 ＝0.4÷2.4 ＝ 跟踪训练3： 【答案】4；； 【分析】根据求比值的方法：用比的前项除以比的后项，即可求出比值；第一、二小题据此解答； 根据比的前项÷比的后项＝比值；比的后项＝比的前项÷比值，第三小题据此解答。 【详解】2.8∶0.7 ＝2.8÷0.7 ＝4 ∶ ＝× ＝ ∶（）＝ （）＝÷ ＝× ＝ 题型7:按比分配问题 典型例题：12÷4×（9＋5） ＝3×14 ＝42 跟踪训练1： 【答案】（1）52÷1.3﹣12.5×；（2）×27 【详解】分析：（1）先求出12.5×的积，再求出52÷1.3的商，最后用求得的商﹣求得的积即可解答， （2）根据一种混凝土把石子、沙和水泥按6：2：1的比调配而成，求出混凝土中石子、沙和水泥的总份数，再依据按比例分配方法即可解答． 解答：解：（1）52÷1.3﹣12.5×， =40﹣10， =30， 答：少30； （2）×27， =27， =3（吨）， 答：需要水泥3吨． 点评：解答本题的关键是明确解决问题需要的数量间的等量关系，以及解决问题所用的方法． 跟踪训练2： 【答案】甲为9.6；乙为4.8；丙为7.2 【分析】用7.2×3求出三个数的总和，再除以总份数求出每份是多少，最后乘各自对应的份数即可。 【详解】7.2×3÷（4＋2＋3） ＝21.6÷9 ＝2.4； 2.4×4＝9.6； 2.4×2＝4.8； 2.4×3＝7.2 跟踪训练3： 【答案】48× 【分析】根据题意可知，女服务员的人数占总人数的，根据“总人数×女服务员的人数占总人数的几分之几＝女服务员的人数”列式即可。 【详解】48× 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $