专题04：简易方程—解简易方程（计算专项训练）数学人教版五年级上册

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理简易方程单元，涵盖方程定义、等式性质、解方程步骤及检验等核心知识点，以层级递进方式呈现概念内涵与内在联系，用对比标注突出方程与等式的区别、等式性质的使用条件等重难点。 讲义亮点在于分层设计“概念辨析-技能应用-综合拓展”练习，如通过“10-x=3”等错题案例指导未知数在减数位置的处理，结合等式性质培养推理意识与运算能力。配备典型例题解题思路及跟踪训练，基础生可掌握规范步骤，进阶生能突破含括号方程等难点，助力教师实施精准复习教学。

专题04：简易方程—解简易方程 知识点1：方程的基本概念 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。比如3x+5=14，它既含有未知数x，又是一个等式，所以是方程。需要注意的是，方程必须同时满足“含有未知数”和“是等式”这两个条件，像x+3不是等式，3+5=8没有未知数，它们都不是方程。 方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程。例如在方程x+2=5中，x=3能使方程左右两边相等，所以x=3就是方程x+2=5的解，而求解x的过程就是解方程。 易错点提示： 方程定义混淆：方程是含有未知数的等式，这两个条件需同时满足。学生易误判，像把3x+5（不是等式）、3+5=8（无未知数）当成方程。 方程的解与解方程区分不清：“方程的解”是使方程左右两边相等的未知数的值，是一个数；“解方程”是求这个值的过程。 知识点2：解方程的原理—等式的性质 性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。例如对于方程x−3=7，为了使左边只剩下x，可以在等式两边同时加上3，得到x−3+3=7+3，即x=10。 性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。比如方程2x=10，等式两边同时除以2，可得2x÷2=10÷2，解得x=5x = 5x=5。因为除数不能为0，所以在等式两边同时除以一个数时，这个数不能是0。 易错点提示： 性质使用错误：等式性质一是等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立；性质二是等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍成立。学生可能会混淆 忽略除数不为0的条件：运用等式性质二时，除以的数不能为0。在方程ax=b（a、b为常数）两边同时除以a时，若未考虑a可能为0的情况，就会出错。例如解方程(x−1)y=2，若直接两边除以x−1，未考虑x=1时不能除，会导致错误。 解方程步骤与书写规范层面 等号未对齐：解方程过程中，等号需上下对齐，这是基本书写规范。等号未对齐，不仅影响美观，还可能在计算复杂方程时导致计算错误。 漏写“解”字：解方程前要先写“解”字，部分学生容易遗漏。 计算过程跳步：解方程应按步骤逐步计算，部分学生为图快跳步，易出错。 易错点提示： 一步方程 未知数在减数或除数位置处理不当：当未知数在减数位置，如方程10−x=3，部分学生可能错误地算成x=10+3，未理解“减数 = 被减数 - 差”；当未知数在除数位置，如方程12÷x=4，可能错误算成x=12×4，未掌握“除数 = 被除数÷商”。 两步方程 运算顺序混乱：对于有不同级运算的两步方程，应先进行逆运算消除加减法，再进行乘除法的逆运算。 整体思想运用不佳：当未知数出现在减数和除数时，要把含有未知数的部分看作一个整体。 三步方程 乘法分配律运用错误：在可应用乘法分配律的三步方程中，学生可能会出现提取公因式错误或计算错误。 检验环节层面 检验意识淡薄：部分学生解方程后不检验，无法发现计算错误。检验时，应把求得的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。 检验过程出错：在检验时可能计算错误 题型1:等式的认识及列等量关系式 典型例题：（24-25五年级上·山西忻州·期末）下面这些式子中，等式有( )，方程有( )。（填序号） ①x－30＝26   ②25×2＝50   ③6＋m  ④ 5a＜2.5  ⑤ x÷0.3＝1.2 解题思路：等式是含有等号的式子，而方程是含有未知数的等式，据此解答。 跟踪训练1：（23-24五年级上·全国·周测）下面的式子中，哪些是等式？哪些是方程？哪些是含有未知数的式子？（填序号） ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧    ⑨ 等式有：( )；方程有：( )；含有未知数的式子有：( )。 跟踪训练2：（23-24五年级下·河南周口·期中）①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 跟踪训练3：（23-24五年级上·广东广州·期末）方程一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中，下列的式子中（    ）是方程。 A．5x－3 B．2＋x＞1 C．0.4＋3＝3.4 D．x－1＝0 题型2:方程的认识 题型特征： 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。比如3x+5=14，它既含有未知数x，又是一个等式，所以是方程。需要注意的是，方程必须同时满足“含有未知数”和“是等式”这两个条件，像x+3不是等式，3+5=8没有未知数，它们都不是方程。 典型例题：（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）下面式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 解题思路：方程是含有未知数的等式，如x＋6＝15（x是未知数且是等式），所以从这两个关键条件（含未知数、是等式）去分析每个选项，进而找出正确答案。 跟踪训练1：（24-25五年级上·江西吉安·期末）3x＋3y＝0.1是方程。( )（判断对错） 跟踪训练2：（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12，96＋x这些式子都是方程。( ) 跟踪训练3：（22-23五年级上·广东肇庆·期末）下面式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 题型3:列简易方程 典型例题：（23-24五年级上·全国·周测）看图列方程。 方程： 解题思路：从图中可知，长度为m的线段有3个，长度为n的线段有1个，根据等量关系：3个长为m的线段＋1个长为n的线段＝51，据此列出方程。 跟踪训练1：（23-24五年级上·全国·课后作业）用方程表示下面的数量关系。 跟踪训练2：（24-25五年级上·福建三明·期末）根据下图列方程，正确的有（    ）。 ①25＋a＋40＝56；②25＋40－a＝56 ③25－a＝56－40；④56＋a＝25＋40 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 跟踪训练3：（23-24五年级上·全国·周测）用方程表示下面的数量关系。 小丽的体重为xkg，妈妈的体重为54kg，比小丽重24kg。 题型4:等式的性质1 题型特征： 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。例如对于方程x−3=7，为了使左边只剩下x，可以在等式两边同时加上3，得到x−3+3=7+3，即x=10。 典型例题：（2025五年级上·全国·专题练习）已知，则下列等式正确的是（    ）。 A． B． C． 解题思路：根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立，据此求解。 跟踪训练1：（23-24五年级上·全国·周测）方程，可整理为。( )（判断对错） 跟踪训练2：（23-24五年级上·浙江台州·期末）已知2x＋6＝24，根据等式的性质，下面等式转化错误的是（    ）。 A．2x＋6－6＝24－6 B．x＋6＝12 C．（2x＋6）÷2＝24÷2 D．6＝24－2x 跟踪训练3：（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是（    ）。 A．b＝a－2 B．b＋2＝a＋2 C．b－2＋2＝a＋2 D．2b＝2a＋2 题型5:等式的性质2 题型特征： 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。比如方程2x=10，等式两边同时除以2，可得2x÷2=10÷2，解得x=5x = 5x=5。因为除数不能为0，所以在等式两边同时除以一个数时，这个数不能是0。 典型例题：（24-25五年级上·北京延庆·期末）图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（    ）不成立。 A．☆＋3＝□＋0.3 B．☆□ C．☆□ D．☆□ 解题思路：等式两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式的左右两边仍相等，据此解答即可。 跟踪训练1：（24-25五年级上·湖南长沙·期末）如果a＝4b，根据等式的性质填空。 2a＝( )          a－b＝( ) 跟踪训练2：（23-24五年级上·全国·课后作业）如果a＝b，根据等式的性质填空。 a＋3＝b＋( )    a－( )＝b－9    a×1.5＝b×( ) a＋( )＝b＋m    a－( )＝b－c    a÷( )＝b÷10 跟踪训练3：（22-23五年级上·山西阳泉·期末）如果3a＝2b，根据等式的性质填空。 3a＋3＝2b＋( )                      3a－( )＝2b－4 3a÷( )＝2b÷6                     3a×d＝2b×( ) 题型6:应用等式的性质1解方程 题型特征： 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。例如对于方程x−3=7，为了使左边只剩下x，可以在等式两边同时加上3，得到x−3+3=7+3，即x=10。 典型例题：24-25五年级上·湖南张家界·期末）解方程。 47.6÷x＝28                x＋0.34＝5.2 13.6－5x＝1.6              1.2x－x＝18.4 解题思路：47.6÷x＝28，根据等式的性质2，方程两边同时乘x，再同时除以28即可。 x＋0.34＝5.2，根据等式的性质1，方程两边同时减去0.34即可。 13.6－5x＝1.6，根据等式的性质1，方程两边同时加上5x，再同时减去1.6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以5即可。 1.2x－x＝18.4，先化简方程左边含有x的算式，即求出1.2－1的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.2－1的差即可。 跟踪训练1：（24-25五年级上·福建三明·期末）解下列方程。 2.3＋＝5.7          2＋3＝7.5          4（－6.1）＝28 跟踪训练2：（24-25五年级上·广东广州·期末）解方程。                     题型7:应用等式的性质2解方程 题型特征： 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。比如方程2x=10，等式两边同时除以2，可得2x÷2=10÷2，解得x=5x = 5x=5。因为除数不能为0，所以在等式两边同时除以一个数时，这个数不能是0。 典型例题：（24-25五年级上·河南开封·期末）求未知数x。 （1）x＋2.7＝12.5       （2）3x＋2.5x＝55       （3）1.8x＋7×0.9＝8.64 解题思路：（1）根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减2.7。计算即可得解； （2）先计算等式左边的加法，再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以5.5，计算即可得解； （3）先计算等式左边的乘法，再根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减6.3。再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以1.8，计算即可得解； 跟踪训练1：（24-25五年级上·河北衡水·期末）解方程。 9x＋0.65×12＝19.5        31x－15－13x＝31.8        （4x－4）÷15＝4 跟踪训练2：（22-23五年级上·新疆昌吉·期末）解下列方程。 96－4x＝15        5.5x＋x＝13        2x－23×4＝134 题型8:应用等式的性质1和2解方程 典型例题：（24-25五年级上·湖南长沙·期末）解方程。            解题思路：，先将左边合并成，根据等式的性质2，两边同时÷0.8即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时÷6，再同时－12即可。 跟踪训练1：（24-25五年级上·河南洛阳·期末）解方程。 4x＋3.5＝9.5        1.9x＋0.5x＝96 跟踪训练2：（2025五年级上·全国·专题练习）解方程。 ①    ②    ③ 题型9:解含括号的方程 典型例题：（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）解方程。（带☆的要写出检验过程。） 1.4x＋9.2x＝53      （3x－7）÷5＝16       ☆6.8＋3.2x＝14.8 解题思路：（1）先计算等式左边的加法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以10.6，计算即可。 （2）根据等式的基本性质2，等式两边同时乘5，再根据等式的基本性质1，等式两边同时加7，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以3，计算即可。 （3）根据等式的基本性质1，等式两边同时减6.8，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以3.2，计算即可。检验就把x的解代入等式的左边，计算出左边的结果如与右边的数相等，即所得的解正确。 跟踪训练1：（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）解方程。 8.9×2＋2x＝19.8        1.3（x－2）＝3.9        1.2x＋0.4x＝32 跟踪训练2：（24-25五年级上·河北保定·期末）解方程。 5（3x－8）＝23        14.2x－7.08x＝3.56 跟踪训练3：（24-25五年级上·四川凉山·期末）解方程。 7.6÷＝0.08        8（－20）＝25.6      5＋0.3×8＝7.7 题型10:解等号两边都有未知数的方程 典型例题：（23-24五年级上·湖南怀化·期末）解方程。 4（6x＋3）＝60            105＋3x＝8x 跟踪训练1：（23-24五年级上·江西赣州·期末）当x＝（    ）时，3x－8与2x＋4相等。 A．12 B．10 C．8 题型11:方程的检验 典型例题：（23-24五年级上·云南红河·期末）解方程。（带★的要写出检验过程） （1）x－97＝34.2     （2）★2x＋1.5x＝17.5     （3）（57－3x）÷2＝8x 跟踪训练1：（24-25五年级上·重庆巫山·期末）已知4x＝32，下面等式不成立的是（    ）。 A．x＝8 B．3x＋12＝36 C．5x÷2＝15 跟踪训练2：（24-25五年级上·江西萍乡·期末）解方程，带*的要检验。 5x÷3.5＝67.2           *9x－4.8＝1.5           50.7－1.6x＝13.9 跟踪训练3：（24-25五年级上·江西吉安·期末）解方程。（带☆的要检验） 7－＝16.8        3＋1.2×6＝17.7      ☆14.8－2＝6.8 题型1:等式的认识及列等量关系式 典型例题：①x－30＝26式子中含有等号，所以是等式； ②25×2＝50式子中含有等号，所以是等式； ③6＋m式子中不含等号，所以不是等式； ④5a＜2.5式子中不含等号，所以不是等式； ⑤x÷0.3＝1.2式子中含有等号，所以是等式。 所以等式有①、②、⑤。 在等式①、②、⑤中，①和⑤的式子中含有未知数，所以①和⑤是方程，②的式子中不含未知数，所以②不是方程。 即在这些式子中，等式有①②⑤，方程有①⑤。 跟踪训练1： 【答案】 ①②④⑥⑦⑧ ②④⑥⑦⑧ ②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】等式是表示两个数或两个代数式相等的式子；方程是含有未知数的等式；含有未知数的式子是含有未知数的表达式，它不一定是等式，也不一定是方程。 【详解】据分析可知 等式有：①②④⑥⑦⑧；方程有：②④⑥⑦⑧；含有未知数的式子有：②③④⑤⑥⑦⑧⑨。 跟踪训练2： 【答案】 ①②③ ①③ 【分析】含有等号的式子叫等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，①②③是等式，①③是方程。 跟踪训练3： 【答案】D 【分析】等式是指用等号连接的式子；方程是指含有未知数的等式，所有的方程都是等式，但等式不一定是方程，据此逐一判断即可。 【详解】由分析可得： A．5x－3不是等式，所以也不是方程； B．2＋x＞1，不是等式，所以也不是方程； C．0.4＋3＝3.4没有未知数，是等式，不是方程； D．x－1＝0，是含有未知数的等式，是方程； 故答案为：D 题型2:方程的认识 典型例题：A．式子7x＋2＞90，里面有未知数x，但它是用“＞”连接的，不是等式，所以不符合方程的定义，不是方程。 B．式子7x＋2＝93，既含有未知数x，又有等号，是等式，同时满足“含有未知数”和“是等式”这两个条件，所以它是方程。 C．式子7×13＋2＝93，计算一下：7×13＝91，91＋2＝93，它是等式，但式子中没有未知数，不满足方程“含有未知数”的条件，所以不是方程。 D．式子7x＋23，含有未知数x，但它没有等号，不是等式，不满足方程的定义，所以不是方程。 故答案为：B 跟踪训练1： 【分析】等式是用等号表示左右两边相等的式子；方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；由此进行选择。 【详解】由分析可得：3x＋3y＝0.1是含有未知数的等式，是方程，原题说法正确。 故答案为：√ 跟踪训练2： 【分析】含有未知数的等式叫做方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式，据此解答。 【详解】2y＋1.6x＝15，含有未知数，是等式，是方程； 8＋2.3a＝2.4a，含有未知数，是等式，是方程； 5x＋7＝12，含有未知数，是等式，是方程； 96＋x，含有未知数，不是等式，不是方程。 2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12这些式子是方程，96＋x不是方程。 原题干说法错误。 故答案为：× 跟踪训练3： 【分析】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式，据此解答。 【详解】A．x－3＞9；含有未知数，不是等式，不是方程； B．2x＋3x＝45，含有未知数，是等式，是方程； C．3＋1＝4，不含有未知数，是等式，不是方程； D．48x＋5，含有未知数，不是等式，不是方程。 2x＋3x＝45是方程。 故答案为：B 题型3:列简易方程 典型例题：3m＋n＝51 因此看图可列方程为：3m＋n＝51。 跟踪训练1： 【答案】2y＋200＝300 【分析】由图可知，一个砝码重y克，两个砝码的质量加上梨的质量，等于一个菠萝的质量，据此列出方程解答即可。 【详解】2y＋200＝300 2y＋200－200＝300－200 2y＝100 2y÷2＝100÷2 y＝50 表示的数量关系为：2y＋200＝300。 跟踪训练2： 【分析】由图可知，第一段长25，第二段长是40，第一段和第二段重合的部分长a，总长是56，分析每个选项列式的实际含义，与图中对比即可。 【详解】①25＋a＋40＝56表示第一段和第二段的长相加，再加上第一段和第二段重合的长，结果应大于56，不符合题意； ②25＋40－a＝56表示第一段和第二段的总长，减去第一段和第二段重合的长，结果应等于56，符合题意； ③25－a＝56－40表示第一段的长减去a等于总长减去第二段的长，符合题意； ④56＋a＝25＋40表示第一段和第二段的长相加，等于总长加上第一段和第二段重合的长，符合题意； 所以选项各个方程，正确的有②③④。 故答案为：D 跟踪训练3：（23-24五年级上·全国·周测）用方程表示下面的数量关系。 小丽的体重为xkg，妈妈的体重为54kg，比小丽重24kg。 【答案】54－x＝24 【分析】妈妈的体重为54kg，比小丽重24kg，根据数量关系：妈妈的体重－小丽的体重＝24，据此列出方程。 【详解】54－x＝24 因此用方程表示的数量关系为：54－x＝24。 题型4:等式的性质1 典型例题：A．左边是，右边是，，等式不成立； B．左边是，右边是，根据，等式左右两边减48，可得，等式成立； C．左边是，右边是，只有当时等式才成立，而题中，等式不成立。 故答案为：B 跟踪训练1： 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，，两边同时＋64，再同时－，可以转化方程的形式，据此分析。 【详解】方程，根据等式的性质1，，可整理为，原题说法错误。 故答案为：× 跟踪训练2： 【分析】等式的性质： （1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 【详解】A．2x＋6－6＝24－6，利用等式的性质1，转化正确； B．如果先利用等式的性质2，（2x＋6）÷2＝24÷2，可得x＋3＝12，选项转化错误； C．（2x＋6）÷2＝24÷2，利用等式的性质2，转化正确； D．6＝24－2x，根据加数＝和－另一个加数，转化正确。 等式转化错误的是x＋6＝12。 故答案为：B 跟踪训练3： 【分析】根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。逐项计算即可得解。 【详解】A．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 所以该选项不成立。 B．b－2＝a b－2＋4＝a＋4 b＋2＝a＋4 所以该选项不成立。 C．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 所以该选项成立。 D．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 2×b＝2×（a＋2） 2b＝2a＋4 所以该选项不成立。 小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是b－2＋2＝a＋2。 故答案为：C 题型5:等式的性质2 典型例题：A．等式左边加的是3，等式右边加的是0.3，所以等式不成立； B．等式的左右两边同时除以7.2，所以等式成立； C．等式的左右两边同时减去4.6，所以等式成立； D． 等式左边除以2，即乘0.5，等式右边乘0.5，所以等式左右两边同时乘0.5，等式成立； 故答案为：A 跟踪训练1： 【答案】 8b 3b 【分析】根据等式的性质1：等式的两边分别乘或者除以一个不为0的数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式的两边同时加或者减去相同的数，等式仍然成立。 【详解】a＝4b 2×a＝2×4b 则2a＝8b； a＝4b a－b＝4b－b 则a－b＝3b 跟踪训练2： 【答案】 3 9 1.5 m c 10 【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 【详解】a＋3＝b＋3    a－9＝b－9    a×1.5＝b×1.5 a＋m＝b＋m    a－c＝b－c    a÷10＝b÷10 【点睛】关键是掌握并灵活运用等式的性质。 跟踪训练3： 【答案】 3 4 6 d 【分析】（1）根据等式的性质1，在等式两边同时加上3。 （2）根据等式的性质1，在等式两边同时减去4。 （3）根据等式的性质2，在等式两边同时除以6。 （4）根据等式的性质2，在等式两边同时乘d。 【详解】因为3a＝2b的左边加上3，所以3a＝2b右边也加上3，即3a＋3＝2b＋3。 因为3a＝2b的右边减去4，所以3a＝2b左边也减去4，即3a－4＝2b－4。 因为3a＝2b的右边除以6，所以3a＝2b左边也除以6，即3a÷6＝2b÷6。 因为3a＝2b的左边乘d，所以3a＝2b右边也乘d，即3a×d＝2b×d。 【点睛】明确等式的基本性质是解决此题的关键。 题型6:应用等式的性质1解方程 典型例题：47.6÷x＝28 解：47.6÷x×x÷28＝28÷28×x x＝47.6÷28 x＝1.7 x＋0.34＝5.2 解：x＋0.34－0.34＝5.2－0.34 x＝4.86 13.6－5x＝1.6 解：13.6－5x＋5x－1.6＝1.6－1.6＋5x 5x＝13.6－1.6 5x＝12 5x÷5＝12÷5 x＝2.4 1.2x－x＝18.4 解：0.2x＝18.4 0.2x÷0.2＝18.4÷0.2 x＝92 跟踪训练1： 【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减2.3，计算即可得解； （2）先计算等式左边的加法，再根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以5，计算即可得解； （3）根据等式的性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以4。再根据等式的性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时加6.1，计算即可得解。 【详解】 解： 解： 解： 跟踪训练2： 【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边同时减去5.4，即可求解。 （2）先将原式化简为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以10，即可求解。 （3）先将原式化简为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.7，即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 题型7:应用等式的性质2解方程 典型例题：（1）x＋2.7＝12.5 解：x＋2.7－2.7＝12.5－2.7 x＝9.8 （2）3x＋2.5x＝55 解：5.5x＝55 5.5x÷5.5＝55÷5.5 x＝10 （3）1.8x＋7×0.9＝8.64 解：1.8x＋6.3＝8.64 1.8x＋6.3－6.3＝8.64－6.3 1.8x＝2.34 1.8x÷1.8＝2.34÷1.8 x＝1.3 跟踪训练1： 【答案】x＝1.3；x＝2.6；x＝16 【分析】9x＋0.65×12＝19.5，先计算出0.65×12的积，再根据等式的性质1，方程两边同时减去0.65×12的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9即可。 31x－15－13x＝31.8，先化简方程左边含有x的算式，即求出31－13的差，以及根据等式的性质1，方程两边同时加上15，再根据等式的性质2，方程两边同时除以31－13的差即可。 （4x－4）÷15＝4，根据等式的性质2，方程两边同时乘15，再根据等式的性质1，方程两边同时加上4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可。 【详解】9x＋0.65×12＝19.5 解：9x＋7.8＝19.5 9x＋7.8－7.8＝19.5－7.8 9x＝11.7 9x÷9＝11.7÷9 x＝1.3 31x－15－13x＝31.8 解：18x－15＝31.8 18x－15＋15＝31.8＋15 18x＝46.8 18x÷18＝46.8÷18 x＝2.6 （4x－4）÷15＝4 解：（4x－4）÷15×15＝4×15 4x－4＝60 4x－4＋4＝60＋4 4x＝64 4x÷4＝64÷4 x＝16 跟踪训练2： 【答案】x＝20.25；x＝2；x＝113 【分析】（1）96－4x＝15，根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上4x，再交换两边的位置，然后根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去15，再同时除以4即可。 （2）5.5x＋x＝13，先将左边合并为6.5x，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以6.5即可。 （3）2x－23×4＝134，先计算出23×4等于92，然后根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上92，再同时除以2即可。 【详解】（1）96－4x＝15 解：96－4x＋4x＝15＋4x 15＋4x＝96 15＋4x－15＝96－15 4x＝81 4x÷4＝81÷4 x＝20.25 （2）5.5x＋x＝13 解：6.5x＝13 6.5x÷6.5＝13÷6.5 x＝2 （3）2x－23×4＝134 解：2x－92＝134 2x－92＋92＝134＋92 2x＝226 2x÷2＝226÷2 x＝113 题型8:应用等式的性质1和2解方程 典型例题： 解： 解： 跟踪训练1： 【答案】x＝1.5；x＝40 【分析】4x＋3.5＝9.5，根据等式的性质1，方程两边同时加上3.5，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可； 1.9x＋0.5x＝96，先化简方程左边含有x的算式，即求出1.9＋0.5的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.9＋0.5的和即可。 【详解】4x＋3.5＝9.5 解：4x＋3.5－3.5＝9.5－3.5 4x＝6 4x÷4＝6÷4 x＝1.5 1.9x＋0.5x＝96 解：2.4x＝96 2.4x÷2.4＝96÷2.4 x＝40 跟踪训练2： 【答案】①；②；③ 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；利用这些性质逐步将方程变形，求出未知数的值。 ①根据等式的性质2，等式两边同时乘1.6即可； ②根据等式的性质，等式两边先同时减2.4，再同时除以3即可； ③先计算方程的左边，，将方程变为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.5即可。 【详解】① 解： ② 解： ③ 解： 题型9:解含括号的方程 典型例题：1.4x＋9.2x＝53 解：10.6x＝53 10.6x÷10.6＝53÷10.6 x＝5 （3x－7）÷5＝16 解：（3x－7）÷5×5＝16×5 3x－7＝80 3x－7＋7＝80＋7 3x＝87 3x÷3＝87÷3 x＝29 6.8＋3.2x＝14.8 解：6.8＋3.2x－6.8＝14.8－6.8 3.2x＝8 3.2x÷3.2＝8÷3.2 x＝2.5 检验：当x＝2.5 左边＝6.8＋3.2×2.5 ＝6.8＋8 ＝14.8 右边＝14.8 左边＝右边，所以x＝2.5是方程的解。 跟踪训练1： 【答案】x＝1；x＝5；x＝20 【分析】对于8.9×2＋2x＝19.8，先算出8.9×2＝17.8，原方程变为17.8＋2x＝19.8。根据等式的性质1，在两边同时减去同一个数，等式仍然成立，在方程两边同时减去17.8，得到：17.8＋2x－17.8＝19.8－17.8，化简后为2x＝2。再根据等式的性质2，在两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立，在方程两边同时除以2，即可解答。 对于1.3（x－2）＝3.9，根据等式的性质2，在两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立，方程两边同时除以1.3，得到：1.3（x－2）÷1.3＝3.9÷1.3，化简后为x－2＝3。再根据等式的性质1，在两边同时加上同一个数，等式仍然成立，在方程两边同时加上2，即可解答。 对于1.2x＋0.4x＝32，先计算左边1.2x＋0.4x＝1.6x，原方程变为1.6x＝32。根据等式的性质2，在两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立，在方程两边同时除以1.6，即可解答。 【详解】8.9×2＋2x＝19.8 解：17.8＋2x＝19.8 17.8＋2x－17.8＝19.8－17.8 2x＝2 2x÷2＝2÷2 x＝1 1.3（x－2）＝3.9 解：1.3（x－2）÷1.3＝3.9÷1.3 x－2＝3 x－2＋2＝3＋2 x＝5 1.2x＋0.4x＝32 解：1.6x＝32 1.6x÷1.6＝32÷1.6 x＝20 跟踪训练2： 【答案】x＝4.2；x＝0.5 【分析】方程两边同时除以5，两边再同时加上8，最后两边再同时除以3； 先把方程左边化简为7.12x，两边再同时除以7.12。 【详解】5（3x－8）＝23 解：5（3x－8）÷5＝23÷5 3x－8＝4.6 3x－8＋8＝4.6＋8 3x＝12.6 3x÷3＝12.6÷3 x＝4.2 14.2x－7.08x＝3.56 解：7.12x＝3.56 7.12x÷7.12＝3.56÷7.12 x＝0.5 跟踪训练3： 【答案】＝95；＝23.2；＝1.06 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时乘，把方程变成0.08＝7.6，然后方程两边同时除以0.08，求出方程的解； （2）方程两边先同时除以8，再同时加上20，求出方程的解； （3）先把方程化简成5＋2.4＝7.7，然后方程两边先同时减去2.4，再同时除以5，求出方程的解。 【详解】（1）7.6÷＝0.08 解：7.6÷×＝0.08× 0.08＝7.6 0.08÷0.08＝7.6÷0.08 ＝95 （2）8（－20）＝25.6 解：8（－20）÷8＝25.6÷8 －20＝3.2 －20＋20＝3.2＋20 ＝23.2 （3）5＋0.3×8＝7.7 解：5＋2.4＝7.7 5＋2.4－2.4＝7.7－2.4 5＝5.3 5÷5＝5.3÷5 ＝1.06 题型10:解等号两边都有未知数的方程 典型例题： 【答案】x＝2；x＝21 【分析】4（6x＋3）＝60，根据等式的性质1和2，两边同时÷4，再同时－3，最后同时÷6即可； 105＋3x＝8x，根据等式的性质1和2，两边同时－3x，再同时÷5即可。 【详解】4（6x＋3）＝60 解：4（6x＋3）÷4＝60÷4 6x＋3＝15 6x＋3－3＝15－3 6x＝12 6x÷6＝12÷6 x＝2 105＋3x＝8x 解：105＋3x－3x＝8x－3x 5x＝105 5x÷5＝105÷5 x＝21 跟踪训练1： 【分析】令3x－8＝2x＋4，先将方程两边同时减去2x，再同时加上8，解出x即可。或者，将选项中各值分别代入3x－8和2x＋4中，找出x取何值时，两式子相等即可。 【详解】3x－8＝2x＋4 解：3x－8－2x＝2x＋4－2x x－8＝4 x－8＋8＝4＋8 x＝12 所以，当x＝12时，3x－8与2x＋4相等。 故答案为：A 题型11:方程的检验 典型例题： 【答案】（1）x＝131.2；（2）x＝5；（3）x＝3 【分析】（1）根据等式的性质1，两边同时加上97即可； （2）首先将左边合并为3.5x，然后根据等式的性质2，两边同时除以3.5，最后把求出的方程的解代入原方程，看看等式左边是否等于右边即可； （3）首先根据等式的性质1和2，两边同时乘2，然后两边再同时加上3x，再两边同时除以19，最后交换左右两边的位置即可。 【详解】（1）x－97＝34.2 解：x－97＋97＝34.2＋97 x＝131.2 （2）2x＋1.5x＝17.5 解：3.5x＝17.5 3.5x÷3.5＝17.5÷3.5 x＝5 检验：当x＝5时， 左边 ＝2×5＋1.5×5 ＝10＋7.5 ＝17.5 ＝右边 因为左边＝右边，所以x＝5是方程2x＋1.5x＝17.5的解。 （3）（57－3x）÷2＝8x 解：（57－3x）÷2×2＝8x×2 57－3x＝16x 57－3x＋3x＝16x＋3x 57＝19x 57÷19＝19x÷19 3＝x x＝3 跟踪训练1： 【分析】根据等式的性质2，方程4x＝32的两边同时除以4，求出x的值，再将x的值代入各选项等式进行判断。 【详解】4x＝32 解：4x÷4＝32÷4 x＝8 A．该选项为x＝8，与我们计算得出的结果一致，所以该选项等式成立； B．将x＝8代入3x＋12，得到3×8＋12＝24＋12＝36，与该选项等式右边36相等，所以该选项等式成立； C．将x＝8代入5x÷2，得到5×8÷2＝40÷2＝20，而该选项等式右边是15，20≠15，所以该选项等式不成立。 所以等式不成立的是5x÷2＝15。 故答案为：C 跟踪训练2： 【答案】x＝47.04；x＝0.7；x＝23 【分析】5x÷3.5＝67.2，根据等式的性质2，方程两边同时乘3.5，再同时除以5即可。 9x－4.8＝1.5，根据等式的性质1，方程两边同时加上4.8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9即可，将x的值带入方程两边看是否相等即可检验。 50.7－1.6x＝13.9，根据等式的性质1，方程两边同时加上1.6x，再同时减去13.9，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.6即可。 【详解】5x÷3.5＝67.2 解：5x÷3.5×3.5＝67.2×3.5 5x＝235.2 5x÷5＝235.2÷5 x＝47.04 9x－4.8＝1.5 解：9x－4.8＋4.8＝1.5＋4.8 9x＝6.3 9x÷9＝6.3÷9 x＝0.7 检验：左边＝9×0.7－4.8 ＝6.3－4.8 ＝1.5 右边＝1.5 左边＝右边 x＝1.5是方程的解。 50.7－1.6x＝13.9 解：50.7－1.6x＋1.6x－13.9＝13.9－13.9＋1.6x 1.6x＝50.7－13.9 1.6x＝36.8 1.6x÷1.6＝36.8÷1.6 x＝23 跟踪训练3： 【答案】＝2.8；＝3.5；＝4 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）先把方程化简成6＝16.8，然后方程两边同时除以6，求出方程的解； （2）先把方程化简成3＋7.2＝17.7，然后方程两边先减去7.2，再同时除以3，求出方程的解； （3）方程两边先同时加上2，把方程变成6.8＋2＝14.8，然后方程两边先同时减去6.8，再同时除以2，求出方程的解。 方程的检验：把的值代入方程的左边，计算出结果，如果等于方程的右边，即的值是方程的解。 【详解】（1）7－＝16.8 解：6＝16.8 6÷6＝16.8÷6 ＝2.8 （2）3＋1.2×6＝17.7 解：3＋7.2＝17.7 3＋7.2－7.2＝17.7－7.2 3＝10.5 3÷3＝10.5÷3 ＝3.5 （3）☆14.8－2＝6.8 解：14.8－2＋2＝6.8＋2 6.8＋2＝14.8 6.8＋2－6.8＝14.8－6.8 2＝8 2÷2＝8÷2 ＝4 检验： 方程左边＝14.8－2 ＝14.8－2×4 ＝14.8－8 ＝6.8 ＝方程右边 所以，＝4是方程的解。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $