2.1.1倾斜角与斜率课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕直线的倾斜角与斜率展开，从生活中的“坡度”引入，通过问题链设计引导学生逐步建构概念，由两点确定直线到倾斜角定义，再过渡到斜率公式推导，形成清晰的知识脉络，有效搭建了从直观感知到抽象理解的学习支架。 其亮点在于深度融合数学核心素养，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的有机统一。例如，用交通坡度类比倾斜角，培养学生从现实世界发现数学问题的能力，体现数学眼光；通过斜率随倾斜角变化规律的表格归纳，强化逻辑推理与函数思想，展现数学思维；借助方向向量与斜率的关系解析，提升数形结合表达能力，彰显数学语言。教学中注重易错点辨析和变式训练，既夯实基础又拓展思维，帮助学生建立结构化认知体系，教师可据此高效开展分层教学，提升课堂实效。

2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 学习目标 1.了解直线的倾斜角和斜率的概念(重点). 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率(重点). 刘雨萌 导语 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k==.若k>0,则表示上坡,若k<0,则表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?本节课我们就来学习一下. 刘雨萌 新知探究 问题1 在平面中,怎样才能确定一条直线? 提示 两点确定一条直线,一点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2 在平面直角坐标系中,规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向,图中过点P的直线有什么区别? 提示 直线的方向不同,相对于x轴的倾斜程度不同. 刘雨萌 知识梳理 1.倾斜角的定义: (1)当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴 与直线l向上的方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 . 2.倾斜角的范围:直线的倾斜角 的取值范围为 . 正向 0 0 ≤ <180 注:(1)从运动变化的观点来看,当直线l与x轴相交时,直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角;未作旋转时,倾斜角为0 . (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)一条直线的倾斜角必存在且唯一. 刘雨萌 典例分析 一、直线的倾斜角 例1 (1)(多选)下列命题中,正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30 C.倾斜角为0 的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为 ,则sin ∈(0,1) √ √ (2)(多选)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为 ,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45 ,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为 A. +45 B. -135 C.135 - D. -45 √ √ 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 (1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30 ,则直线l的倾斜角为 . 60 或120 (2)已知直线l1的倾斜角 1=15 ,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为120 ,如图,则直线l2的倾斜角为 . 135 刘雨萌 新知探究 问题3 在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为 . (1)已知直线l经过O(0,0),P(1), 的正切与O,P的坐标有什么关系? 提示 tan ==. (2)类似地,如果直线l经过P1(-1,1),P2(0), 的正切与P1,P2的坐标有什么关系? 提示 tan ==1-. (3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么 的正切与P1,P2的坐标有什么关系? 提示 tan =. 刘雨萌 知识梳理 1.把一条直线的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= . 2. 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= , 当x1=x2时,直线P1P2的斜率不存在. 正切值 tan 3.直线的方向向量与斜率的关系: (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1,y2-y1),当x1≠x2时,直线P1P2与x轴不垂直,其一个方向向量为=(1,k),其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时,直线P1P2与x轴垂直,直线没有斜率,其一个方向向量为(0,1). 刘雨萌 (1)当x1=x2时,直线的斜率不存在,倾斜角为90 . (2)当y1=y2时,直线斜率为0,倾斜角为0 . (3)斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (5)直线的方向向量与斜率的关系:若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=. 易错点 刘雨萌 典例分析 例2 (课本54例1) 如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 直线AB的斜率kAB==; 直线BC的斜率kBC===-; 直线CA的斜率kCA===1. 由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角; 由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角. 二、直线的斜率 刘雨萌 学习笔记38页例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角. (1)A(2,3),B(4,5); 典例分析 存在.直线AB的斜率kAB==1,则直线AB的倾斜角 满足tan =1,又0 ≤ <180 ,所以倾斜角 =45 . (2)P(-3,1),Q(-3,10); 不存在.因为xP=xQ=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角 =90 . (3)M(2,4),N(-3,4). 存在.因为yM=yN=4,所以直线MN的斜率为0,倾斜角 =0 . 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记38页跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为120 ,则直线的斜率为 . (2)若过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为 . - 1 (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1),则直线l的倾斜角为 . 刘雨萌 新知探究 问题4 当直线的倾斜角由0 逐渐增大到180 ,其斜率如何变化? 提示 当倾斜角为锐角时,斜率为正,而且斜率随着倾斜角的增大而增大;当倾斜角为钝角时,斜率为负,而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 设直线的倾斜角为 ,斜率为k. 的大小 0 0 < <90 90 90 < <180 k的范围 k=0 _ 不存在 _ k的增减性 随 的增大而_ 随 的增大而_ k>0 增大 k<0 增大 刘雨萌 三、倾斜角和斜率的应用 典例分析 例3(24-25高二下 上海浦东新 期中)如图,直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则( ) A.k2<k1<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k2<k3 √ 变式3.1 (24-25高二上 江苏连云港 期末)经过两点A(1,m),B(m-1,3)的直线的倾斜角是锐角,则实数m的范围是( ) A.B. C.(2,3) D. √ 刘雨萌 典例分析 变式3.2 23-24高二上 湖南衡阳 期末已知直线的倾斜角满足,则l的斜率k的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 变式3.3(23-24高二上 江西九江 阶段练习)已知直线的斜率,则的倾斜角的取值范围为( ) A.B. C. D. √ 刘雨萌 典例分析 变式3.4 学习笔记39页跟踪训练3 已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围. (1) 由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==.直线AC的斜率kAC==. 故直线AB的斜率为直线AC的斜率为. (2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是. 刘雨萌 典例分析 变式3.5 学习笔记39页例3 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角 的取值范围. (1)如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1. 要使直线l与线段AB有公共点, 则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又直线PB的倾斜角是45 ,直线PA的倾斜角是135 , 所以 的取值范围是45 ≤ ≤135 . 刘雨萌 典例分析 变式3.6(24-25高二上 黑龙江哈尔滨 期末)已知点P(1,2),经过点P作直线l,若直线l与连接A(9,1),B(5,8)两点的线段(含端点)总有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.(多选)下列说法正确的是 A.若 是直线l的倾斜角,则0 ≤ <180 B.若k是直线的斜率,则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 √ √ √ 2.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45 ,则m等于 A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 3.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x= ,直线AB的倾 斜角为 . 3 4.经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角 的取值范围是 . (其中m≥1) 0 < ≤90 刘雨萌 课后作业 步步高练透145页 作业14 1-10(必写) 11-14(学有余力的写) 15-16(对数学有追求的写) 刘雨萌 本节内容结束 $