第2章 特殊三角形 章节（21知识点回顾+59题型巩固）讲义-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第2章 特殊三角形 章节（21知识点回顾+59题型巩固） 目录 知识梳理 1 轴对称图形的概念 2 轴对称图形的性质 3 图形的轴对称 4 画已知图形的轴对称图形 5 等腰、等边三角形的相关概念 6 等腰、等边三角形的轴对称性 7 等腰三角形的性质定理1及推论 8等腰三角形的性质定理2 9 等腰三角形的判定定理 10 等边三角形的判定定理 11互逆命题 12 互逆定理 13 线段垂直平分线性质定理的逆定理 14直角三角形的定义 15直角三角形的性质 16 直角三角形的判定 17勾股定理 18 勾股定理的证明 19 勾股定理的逆定理 20 斜边、直角边定理（HL） 21 角平分线性质定理的逆定理 题型巩固 一、轴对称图形的识别 二、根据成轴对称图形的特征进行判断 三、根据成轴对称图形的特征进行求解 四、画轴对称图形 五、设计轴对称图案 六、轴对称中的光线反射问题 七、折叠问题 八、钟表的镜面对称 九、最短路径问题 十、线段问题(轴对称综合题) 十一、等腰三角形的定义 十二、作等腰三角形(尺规作图) 十三、等边对等角 十四、等边三角形的性质 十五、三线合一 十六、根据等角对等边证明等腰三角形 十七、根据等角对等边证明边相等 十八、根据等角对等边求边长 十九、格点图中画等腰三角形 二十、找出图中的等腰三角形 二十一、等腰三角形的性质和判定 二十二、等边三角形的判定 二十三、等边三角形的判定和性质 二十四、写出命题的逆命题 二十五、判断是否为互逆命题 二十六、互逆定理 二十七、直角三角形的两个锐角互余 二十八、斜边的中线等于斜边的一半 二十九、锐角互余的三角形是直角三角形 三十、用勾股定理解三角形 三十一、勾股树（数）问题 三十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三十三、勾股定理与网格问题 三十四、勾股定理与折叠问题 三十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 三十六、利用勾股定理证明线段平方关系 三十七、勾股定理的证明方法 三十八、以弦图为背景的计算题 三十九、用勾股定理构造图形解决问题 四十、勾股定理与无理数 四十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 四十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 四十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 四十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 四十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 四十六、解决航海问题(勾股定理的应用) 四十七、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 四十八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 四十九、求最短路径(勾股定理的应用) 五十、判断三边能否构成直角三角形 五十一、在网格中判断直角三角形 五十二、利用勾股定理的逆定理求解 五十三、勾股定理逆定理的实际应用 五十四、勾股定理逆定理的拓展问题 五十五、用HL证全等 五十六、全等的性质和HL综合 五十七、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 五十八、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 五十九、角平分线的判定定理 知识梳理 知识点1 轴对称图形的概念 （重点） 1.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 注意 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段. （2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条. 2.常见的轴对称图形 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在直线 1 等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1 长方形 对边中点所在直线 2 正方形 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4 圆 过圆心的每一条直线 无数条 知识点2 轴对称图形的性质 （重难点） 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点. 知识点3 图形的轴对称 1.图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 2.图形的轴对称的性质： 性质 几何语言 图示 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形中，对应线段所在的直线平行或相交（交点在对称轴上）或重合 成轴对称的两个图形是全等图形. 对应边相等 对应角相等 知识点4 画已知图形的轴对称图形重点 画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴的对称点. 知识点5 等腰、等边三角形的相关概念 1.等腰三角形及其相关概念 定义 图示 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 腰 相等的两条边叫做腰. 底边 另一条边叫做底边. 顶角 两腰的夹角叫做顶角. 底角 腰和底边的夹角叫做底角. 2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点6 等腰、等边三角形的轴对称性 轴对称性 对称轴的条数 等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 1条（只有两腰相等） 等边三角形 等边三角形是轴对称图形，每个内角的平分线所在的直线都是它的对称轴. 3条 知识点7 等腰三角形的性质定理1及推论 性质 几何语言 图示 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等.（或在同一个三角形中，等边对等角） 在 △ABC 中， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C . 推论 等边三角形的各个内角都等于 60° . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60° . 知识点8 等腰三角形的性质定理2 1.等腰三角形的性质定理2： 性质定理2 几何语言 图示 等腰三角形 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一. （1）因为 AB=AC ， AD⊥BC ， 所以 AD 平分 ∠BAC ，且 BD=CD . （2）因为 AB=AC , BD=DC ， 所以 AD⊥BC ，且 AD 平分 ∠BAC . （3）因为 AB=AC , AD 平分 ∠BAC ，所以 BD=DC ，且 AD⊥BC . 利用“等腰三角形三线合一”的性质可以解决角相等、线段相等或垂直问题 2.等边三角形三线合一：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合. 等腰三角形三线合一 知识点9 等腰三角形的判定定理 判定定理 几何语言 图示 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.简单地说：在同一个三角形中，等角对等边. 在 △ABC 中， ∵∠B=∠C , ∴AB=AC . 注意 （1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.（2）“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 知识点10 等边三角形的判定定理 内容 几何语言 图示 定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A=∠B=∠C , ∴△ABC 是等边三角形. 定理2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC 中， ∵AB=AC , ∠A=60° （或 ∠B=60° 或 ∠C=60° ）， ∴△ABC 是等边三角形. 知识点11 互逆命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 注意： （1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； （2）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然. 知识点12 互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 注意 （1）任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理.只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时，才能称这个逆命题为原定理的逆定理. （2） 互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题. 知识点13 线段垂直平分线性质定理的逆定理 内容 几何语言 图示 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 如图， ∵PA=PB ，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 知识点14直角三角形的定义 定义 表示 图示 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 用符号“”表示 知识点15直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 性质定理1 直角三角形的两个锐角互余. 性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则AD=CD=BD=AB. 拓展 （1）性质定理2的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 证明 :作 Rt△ABC 关于直线AC对称的 △ADC ，则 △ABD 是等边三角形， ∴ AB=BD=AD . 又∵ AC⊥BD , ∴ AC 是 BD 边上的中线， ∴ BC=CD , ∴ BC=AB. 知识点16 直角三角形的判定 直角三角形的判定方法 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠B=90° , ∴△ABC 是直角三角形. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A+ ∠C=90° ， ∴△ABC 是直角三角形. 知识点17勾股定理 勾股定理 几何语言 变式 应用 图示 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， ∠A , ∠B , ∠C 的对边分别为 , b , c ，则 ; . ; ; . 注意：（1）勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中. （2）运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确，则需分类讨论，以免漏解. 知识点18 勾股定理的证明 勾股定理的证明有很多方法，其中结合图形的切割、拼接，通过面积证明是最常见的一种方法，举例列表如下. 方法 图形 证明 “赵爽弦图” ∵大正方形的边长为 c ，∴大正方形的面积为 .又大正方形的面积 =4×+(−b)²=+ ,∴ += . 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为 S ，则 S= .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得 S=+,∴ += . 加菲尔德总统拼图 设直角梯形的面积为 S ，则 毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积 =+4× , 由图（2）得大正方形的面积 =++4×, 联立两式易得 += . 知识点19 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 据说古埃及人用等距的结把一根绳子分为等长的12段，然后以3段、4段、5段的长为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角为直角，你知道为什么吗？ 2.利用边的关系判定直角三角形的步骤： （1）找：找出三角形三边中的最长边. （2）算：计算其他两边的平方和与最长边的平方. （3）判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 注意： 在推导过程中不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定此三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°. 在 △ABC 中， 结论 ∠C=90°. 区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“ ”，即由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足 ”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”. 联系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点20 斜边、直角边定理（HL）（重点） 判定定理 几何语言 图示 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∠C=∠C′=90°， ∴Rt△ABC≅Rt△A′B′C′(HL) . 注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等. 知识点21 角平分线性质定理的逆定理（重点） 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 几何语言：如图， ∵PD⊥OA， PE⊥OB， PD=PE ， ∴OP 平分 ∠AOB （或 ∠1=∠2 ）. 注意 利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可. 题型巩固 题型一、轴对称图形的识别 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 2．线段与线段关于直线成轴对称，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 题型三、根据成轴对称图形的特征进行求解 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型四、画轴对称图形 4．如图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点为格点，在所给的网格中，按要求作图． (1)在图1中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称，且点，为格点； (2)在图2中，画一个，使与关于某条直线对称，且点为格点． 题型五、设计轴对称图案 5．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有(    )个. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型六、轴对称中的光线反射问题 6．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 题型七、折叠问题 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为 ． 题型八、钟表的镜面对称 8．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 题型九、最短路径问题 9．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限． (1)画出关于轴对称的图形； (2)在y轴上找一点P，使的周长最小． 题型十、线段问题(轴对称综合题) 10．如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 题型十一、等腰三角形的定义 11．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 题型十二、作等腰三角形(尺规作图) 12．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 题型十三、等边对等角 13．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，在边上取一点，使，取的中点，连接．若，则 度．    题型十四、等边三角形的性质 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型十五、三线合一 15．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 题型十六、根据等角对等边证明等腰三角形 16．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD与CD相等吗？ 请说明理由． 题型十七、根据等角对等边证明边相等 17．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型十八、根据等角对等边求边长 18．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型十九、格点图中画等腰三角形 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． (1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． (2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 题型二十、找出图中的等腰三角形 20．如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型二十一、等腰三角形的性质和判定 21．在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点． （1）如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，试探求PE，PF与BD之间的数量关系； （2）如图②，若P是BC延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD为△ABC的高线，试探求PE，PF与CD之间的数量关系． 题型二十二、等边三角形的判定 22．如图交于点．求证：是等边三角形 题型二十三、等边三角形的判定和性质 23．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 题型二十四、写出命题的逆命题 24．（24-25八年级上·浙江温州·期中）命题“如果，那么．”的逆命题为 ． 题型二十五、判断是否为互逆命题 25．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 题型二十六、互逆定理 26．下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．全等三角形对应角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．一个三角形中，等角对等边 D．两直线平行，同位角相等 题型二十七、直角三角形的两个锐角互余 27．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，，交于点，则的度数是（） A． B． C． D． 题型二十八、斜边的中线等于斜边的一半 28．（24-25八年级·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 题型二十九、锐角互余的三角形是直角三角形 29．根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由． (1)有一个外角为． (2)，． (3)如图，与互余，． 题型三十、用勾股定理解三角形 30．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 题型三十一、勾股树（数）问题 31．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 题型三十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 32．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型三十三、勾股定理与网格问题 33．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上． (1)仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰． (2)仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰． 题型三十四、勾股定理与折叠问题 34．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 题型三十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 35．图1是小明家围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏，底边上等距焊上一些立柱，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏（图2中的实线部分）至少需要不锈钢管 米（焊接部分忽略不计）. 题型三十六、利用勾股定理证明线段平方关系 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 题型三十七、勾股定理的证明方法 37．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 题型三十八、以弦图为背景的计算题 38．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 题型三十九、用勾股定理构造图形解决问题 39．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 尺． 题型四十、勾股定理与无理数 40．边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 题型四十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 41．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 题型四十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 42．（24-25八年级·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 题型四十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 43．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 题型四十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 44．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 题型四十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 45．（23-24八年级·浙江台州·期中）如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是 ． 海问题(勾股定理的应用) 46．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 海里． 题型四十七、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 47．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 题型四十八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 48．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 题型四十九、求最短路径(勾股定理的应用) 49．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 题型五十、判断三边能否构成直角三角形 50．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 题型五十一、在网格中判断直角三角形 51．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． (1)作出关于y轴对称后的图形； (2)判断的形状，并说明理由． 题型五十二、利用勾股定理的逆定理求解 52．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，于点D，，．      (1)求的长 (2)判断的形状，并说明理由 题型五十三、勾股定理逆定理的实际应用 53．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得米，米，米，米，又已知，求这块四边形土地的面积． 题型五十四、勾股定理逆定理的拓展问题 54．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 题型五十五、用HL证全等 55．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，求证：． 题型五十六、全等的性质和HL综合 56．如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 题型五十七、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 57．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型五十八、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 58．(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 题型五十九、角平分线的判定定理 59．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形 章节（21知识点回顾+59题型巩固） 目录 知识梳理 1 轴对称图形的概念 2 轴对称图形的性质 3 图形的轴对称 4 画已知图形的轴对称图形 5 等腰、等边三角形的相关概念 6 等腰、等边三角形的轴对称性 7 等腰三角形的性质定理1及推论 8等腰三角形的性质定理2 9 等腰三角形的判定定理 10 等边三角形的判定定理 11互逆命题 12 互逆定理 13 线段垂直平分线性质定理的逆定理 14直角三角形的定义 15直角三角形的性质 16 直角三角形的判定 17勾股定理 18 勾股定理的证明 19 勾股定理的逆定理 20 斜边、直角边定理（HL） 21 角平分线性质定理的逆定理 题型巩固 一、轴对称图形的识别 二、根据成轴对称图形的特征进行判断 三、根据成轴对称图形的特征进行求解 四、画轴对称图形 五、设计轴对称图案 六、轴对称中的光线反射问题 七、折叠问题 八、钟表的镜面对称 九、最短路径问题 十、线段问题(轴对称综合题) 十一、等腰三角形的定义 十二、作等腰三角形(尺规作图) 十三、等边对等角 十四、等边三角形的性质 十五、三线合一 十六、根据等角对等边证明等腰三角形 十七、根据等角对等边证明边相等 十八、根据等角对等边求边长 十九、格点图中画等腰三角形 二十、找出图中的等腰三角形 二十一、等腰三角形的性质和判定 二十二、等边三角形的判定 二十三、等边三角形的判定和性质 二十四、写出命题的逆命题 二十五、判断是否为互逆命题 二十六、互逆定理 二十七、直角三角形的两个锐角互余 二十八、斜边的中线等于斜边的一半 二十九、锐角互余的三角形是直角三角形 三十、用勾股定理解三角形 三十一、勾股树（数）问题 三十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三十三、勾股定理与网格问题 三十四、勾股定理与折叠问题 三十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 三十六、利用勾股定理证明线段平方关系 三十七、勾股定理的证明方法 三十八、以弦图为背景的计算题 三十九、用勾股定理构造图形解决问题 四十、勾股定理与无理数 四十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 四十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 四十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 四十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 四十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 四十六、解决航海问题(勾股定理的应用) 四十七、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 四十八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 四十九、求最短路径(勾股定理的应用) 五十、判断三边能否构成直角三角形 五十一、在网格中判断直角三角形 五十二、利用勾股定理的逆定理求解 五十三、勾股定理逆定理的实际应用 五十四、勾股定理逆定理的拓展问题 五十五、用HL证全等 五十六、全等的性质和HL综合 五十七、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 五十八、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 五十九、角平分线的判定定理 知识梳理 知识点1 轴对称图形的概念 （重点） 1.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 注意 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段. （2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条. 2.常见的轴对称图形 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在直线 1 等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1 长方形 对边中点所在直线 2 正方形 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4 圆 过圆心的每一条直线 无数条 知识点2 轴对称图形的性质 （重难点） 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点. 知识点3 图形的轴对称 1.图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 2.图形的轴对称的性质： 性质 几何语言 图示 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形中，对应线段所在的直线平行或相交（交点在对称轴上）或重合 成轴对称的两个图形是全等图形. 对应边相等 对应角相等 知识点4 画已知图形的轴对称图形重点 画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴的对称点. 知识点5 等腰、等边三角形的相关概念 1.等腰三角形及其相关概念 定义 图示 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 腰 相等的两条边叫做腰. 底边 另一条边叫做底边. 顶角 两腰的夹角叫做顶角. 底角 腰和底边的夹角叫做底角. 2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点6 等腰、等边三角形的轴对称性 轴对称性 对称轴的条数 等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 1条（只有两腰相等） 等边三角形 等边三角形是轴对称图形，每个内角的平分线所在的直线都是它的对称轴. 3条 知识点7 等腰三角形的性质定理1及推论 性质 几何语言 图示 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等.（或在同一个三角形中，等边对等角） 在 △ABC 中， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C . 推论 等边三角形的各个内角都等于 60° . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60° . 知识点8 等腰三角形的性质定理2 1.等腰三角形的性质定理2： 性质定理2 几何语言 图示 等腰三角形 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一. （1）因为 AB=AC ， AD⊥BC ， 所以 AD 平分 ∠BAC ，且 BD=CD . （2）因为 AB=AC , BD=DC ， 所以 AD⊥BC ，且 AD 平分 ∠BAC . （3）因为 AB=AC , AD 平分 ∠BAC ，所以 BD=DC ，且 AD⊥BC . 利用“等腰三角形三线合一”的性质可以解决角相等、线段相等或垂直问题 2.等边三角形三线合一：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合. 等腰三角形三线合一 知识点9 等腰三角形的判定定理 判定定理 几何语言 图示 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.简单地说：在同一个三角形中，等角对等边. 在 △ABC 中， ∵∠B=∠C , ∴AB=AC . 注意 （1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.（2）“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 知识点10 等边三角形的判定定理 内容 几何语言 图示 定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A=∠B=∠C , ∴△ABC 是等边三角形. 定理2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC 中， ∵AB=AC , ∠A=60° （或 ∠B=60° 或 ∠C=60° ）， ∴△ABC 是等边三角形. 知识点11 互逆命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 注意： （1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； （2）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然. 知识点12 互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 注意 （1）任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理.只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时，才能称这个逆命题为原定理的逆定理. （2） 互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题. 知识点13 线段垂直平分线性质定理的逆定理 内容 几何语言 图示 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 如图， ∵PA=PB ，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 知识点14直角三角形的定义 定义 表示 图示 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 用符号“”表示 知识点15直角三角形的性质 文字语言 几何语言 图示 性质定理1 直角三角形的两个锐角互余. 性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则AD=CD=BD=AB. 拓展 （1）性质定理2的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中， 30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 证明 :作 Rt△ABC 关于直线AC对称的 △ADC ，则 △ABD 是等边三角形， ∴ AB=BD=AD . 又∵ AC⊥BD , ∴ AC 是 BD 边上的中线， ∴ BC=CD , ∴ BC=AB. 知识点16 直角三角形的判定 直角三角形的判定方法 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠B=90° , ∴△ABC 是直角三角形. 判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A+ ∠C=90° ， ∴△ABC 是直角三角形. 知识点17勾股定理 勾股定理 几何语言 变式 应用 图示 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， ∠A , ∠B , ∠C 的对边分别为 , b , c ，则 ; . ; ; . 注意：（1）勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是在直角三角形中. （2）运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确，则需分类讨论，以免漏解. 知识点18 勾股定理的证明 勾股定理的证明有很多方法，其中结合图形的切割、拼接，通过面积证明是最常见的一种方法，举例列表如下. 方法 图形 证明 “赵爽弦图” ∵大正方形的边长为 c ，∴大正方形的面积为 .又大正方形的面积 =4×+(−b)²=+ ,∴ += . 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为 S ，则 S= .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得 S=+,∴ += . 加菲尔德总统拼图 设直角梯形的面积为 S ，则 毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积 =+4× , 由图（2）得大正方形的面积 =++4×, 联立两式易得 += . 知识点19 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 据说古埃及人用等距的结把一根绳子分为等长的12段，然后以3段、4段、5段的长为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角为直角，你知道为什么吗？ 2.利用边的关系判定直角三角形的步骤： （1）找：找出三角形三边中的最长边. （2）算：计算其他两边的平方和与最长边的平方. （3）判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 注意： 在推导过程中不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定此三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°. 在 △ABC 中， 结论 ∠C=90°. 区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“ ”，即由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足 ”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”. 联系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点20 斜边、直角边定理（HL）（重点） 判定定理 几何语言 图示 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∠C=∠C′=90°， ∴Rt△ABC≅Rt△A′B′C′(HL) . 注意：“HL”只能判定两个直角三角形全等，因此在依据此定理书写证明过程时，要突出直角三角形这个条件，且必须是斜边和一条直角边对应相等. 知识点21 角平分线性质定理的逆定理（重点） 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 几何语言：如图， ∵PD⊥OA， PE⊥OB， PD=PE ， ∴OP 平分 ∠AOB （或 ∠1=∠2 ）. 注意 利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可. 题型巩固 题型一、轴对称图形的识别 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 2．线段与线段关于直线成轴对称，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】成轴对称的两个图形必然全等或相等. 【详解】成轴对称的两个图形必然全等或相等，故选B. 【点睛】理解轴对称的含义是解题的关键. 题型三、根据成轴对称图形的特征进行求解 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据成轴对称的个图形对应角相等的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称，， ∴， 故选：A． 题型四、画轴对称图形 4．如图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点为格点，在所给的网格中，按要求作图． (1)在图1中，画一条不与线段重合的线段，使与关于某条直线对称，且点，为格点； (2)在图2中，画一个，使与关于某条直线对称，且点为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】此题考查了作轴对称图形，掌握轴对称图形的含义是解题的关键： （1）是网格的对角线，在正方形网格中找一个或的长方形网格的对角线，且不与重合，关于某条直线与对称的即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 题型五、设计轴对称图案 5．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有(    )个. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】设计轴对称图案 【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示： 与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 题型六、轴对称中的光线反射问题 6．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 题型七、折叠问题 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换和三角形的面积公式，由折叠性质可得，过作于，交的延长线于，由三角形面积公式得，得，， 然后由三角形的和差倍分可得答案． 【详解】由折叠可知 过作于，交的延长线于 得， 故答案为：． 题型八、钟表的镜面对称 8．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键． 根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可解答． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是， 故选：C． 题型九、最短路径问题 9．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限． (1)画出关于轴对称的图形； (2)在y轴上找一点P，使的周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形，最短路径问题等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作点关于轴对称的对应点，依次连接，则即为所求； （2）作点关于轴对称的对应点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，点即为所求， 题型十、线段问题(轴对称综合题) 10．如图，的内部有一点P，在射线上各取一点，，使得的周长最小，作出点，，叙述作法，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小问题， 作点P关于射线，的对称点E，点F，连接交于点，交于点，依次连接可得答案，再根据轴对称可知的周长为，然后根据“两点之间，线段最短”，可知此时的周长最小． 【详解】解：如答图，作点P关于射线的对称点E，点P关于射线的对称点F，连接交于点，交于点，连接，，即为所求． ∵，， ∴的周长为． 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小． 题型十一、等腰三角形的定义 11．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 【详解】解：当这个内角就是底角时，它的底角为； 当这个内角是顶角时，则它的底角为：； 故选C． 题型十二、作等腰三角形(尺规作图) 12．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【答案】见解析 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图的步骤，作图如下： （1）作射线； （2）在射线上截取； （3）作的中垂线，交于点D； （4）截取， 则等腰就是所求的三角形． 题型十三、等边对等角 13．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，在边上取一点，使，取的中点，连接．若，则 度．    【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ，点是的中点， ，， ； 故答案为：． 题型十四、等边三角形的性质 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用． 先由等边三角形的性质得出，，再由直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 题型十五、三线合一 15．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】8 【知识点】垂线段最短、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键． 首先连接，过点作于点，因为平分，交于点，根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， ，平分， 且平分． 即是线段的垂直平分线， ． 根据垂线段最短得， 即当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长， 的面积为，， ， ． ． 的最小值为． 故答案为． 题型十六、根据等角对等边证明等腰三角形 16．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD与CD相等吗？ 请说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【知识点】等边对等角、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】连接，得，进一步得出，从而利用等角对等边可得结论． 【详解】解：相等，理由如下： 连接，如图， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，证明出是解答本题的关键． 题型十七、根据等角对等边证明边相等 17．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定三角形为等腰三角形是解本题的关键． 题型十八、根据等角对等边求边长 18．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握对角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：， ． 故选：B 题型十九、格点图中画等腰三角形 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． (1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． (2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】格点作图题、格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型； （1）根据要求利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据等腰三角形的定义作出图形(答案不唯一)． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求． 题型二十、找出图中的等腰三角形 20．如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】根据三角形内角和定理判定为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； 综上，等腰三角形共有5个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键． 题型二十一、等腰三角形的性质和判定 21．在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点． （1）如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，试探求PE，PF与BD之间的数量关系； （2）如图②，若P是BC延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD为△ABC的高线，试探求PE，PF与CD之间的数量关系． 【答案】(1)详见解析;(2)CD=PF-PE. 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接AP，根据S△ABC=S△ABP+S△ACP列式整理即可得解； （2）连接AP，根据S△ABC=S△ABP-S△ACP列式整理即可得解． 【详解】 （1）如图，连接AP，则S△ABC=S△ABP+S△ACP， 所以，AC•BD=AB•PF+AC•PE， ∵AB=AC， ∴BD=PE+PF； （2）连接AP，则S△ABC=S△ABP-S△ACP， 所以，AB•CD=AB•PF-AC•PE， ∵AB=AC， ∴CD=PF-PE． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的面积列出等式是解题的关键． 题型二十二、等边三角形的判定 22．如图交于点．求证：是等边三角形 【答案】见详解 【知识点】等边三角形的判定 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由．本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ； 又∵， ∴是等边三角形． 题型二十三、等边三角形的判定和性质 23．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． 题型二十四、写出命题的逆命题 24．（24-25八年级上·浙江温州·期中）命题“如果，那么．”的逆命题为 ． 【答案】如果，那么 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】此题考查了逆命题．把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：“如果，那么．”的逆命题为：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 题型二十五、判断是否为互逆命题 25．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 题型二十六、互逆定理 26．下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．全等三角形对应角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．一个三角形中，等角对等边 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】互逆定理 【详解】A选项中，因为“对应角相等不一定是全等三角形”，所以A中定理没有有逆定理； B选项中，因为“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，所以B中定理有逆定理； C选项中，因为“在同一个三角形中，等边对等角”，所以C中定理有逆定理； D选项中，因为“同位角相等，两直线平行”，所以D中定理有逆定理． 故选A． 题型二十七、直角三角形的两个锐角互余 27．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，，交于点，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质的知识点，解答本题的关键是能得出先由等边三角形的性质得出再由直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴ ， ， 故选：A． 题型二十八、斜边的中线等于斜边的一半 28．（24-25八年级·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，是的中点， ， 故选：D． 题型二十九、锐角互余的三角形是直角三角形 29．根据下列条件判断是不是直角三角形，并说明理由． (1)有一个外角为． (2)，． (3)如图，与互余，． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】（1）根据三角形的外角性质得到与已知外角不相邻的两个内角之和等于90°，即可得出结论； （2）根据锐角互余的三角形是直角三角形可得出结论； （3）根据已知可得出，再根据锐角互余的三角形是直角三角形可得出结论． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由： ∵有一个外角为， ∴与这个外角不相邻的两个内角之和等于90°， ∴是直角三角形； （2）解：是直角三角形．理由： ∵，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：是直角三角形．理由： ∵与互余， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查直角三角形的判定、三角形的外角性质，熟知锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键． 题型三十、用勾股定理解三角形 30．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理求出，燃弧根据计算即可． 【详解】解：∵，， 在中，由勾股定理，得：， 即，， ∴． 题型三十一、勾股树（数）问题 31．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、，所以2，4，6不能构成勾股数，不符合题意； B、，所以1，2，3不能构成勾股数，不符合题意； C、，所以8，15，17能构成勾股数，符合题意． D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； 故选：C． 题型三十二、以直角三角形三边为边长的图形面积 32．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利用两个大正方形的面积分别为和，得出，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个大正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 题型三十三、勾股定理与网格问题 33．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上． (1)仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰． (2)仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，和勾股定理，正确利用网格结合勾股定理及其逆定理分析是解题关键． （1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． （2）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． 【详解】（1）如图，等腰即为所求（答案不唯一）． ， ，为以为腰的等腰三角形． （2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）． ， ，为以为底的等腰三角形． 题型三十四、勾股定理与折叠问题 34．如图，Rt，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 【答案】/0.8 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】利用等面积法求出，再根据翻折的性质求出，判断是等腰直角三角形即可求解． 本题考查解直角三角形，图形的翻折，判断是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ， 且， ，且， ， ， 故答案为：． 题型三十五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 35．图1是小明家围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏，底边上等距焊上一些立柱，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏（图2中的实线部分）至少需要不锈钢管 米（焊接部分忽略不计）. 【答案】3.6 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】首先根据等腰三角形的性质可得DO=CD=0.8m，再在Rt△BDO中利用勾股定理计算出BD的长，即可算出答案． 【详解】由题意得：BO⊥CD，如图所示： ∵△BCD是等腰三角形， ∴DO=CD=0.8m， 在Rt△BDO中， ∵BD2=DO2+BO2， ∴BD=1（米）， ∴BC=1米， ∴等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管：1+1+1.6=3.6（米）． 故答案为：3.6. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是利用勾股定理计算出BD的长． 题型三十六、利用勾股定理证明线段平方关系 36．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 题型三十七、勾股定理的证明方法 37．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ， ， 故选：C． 题型三十八、以弦图为背景的计算题 38．（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 题型三十九、用勾股定理构造图形解决问题 39．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 尺． 【答案】12 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深x尺，芦苇尺， 根据题意：， 由勾股定理：， 解得：， 故答案为：12． 题型四十、勾股定理与无理数 40．边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】由于正方形的边长为1，可知为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出的长，即可得到B点表示的数． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴在等腰直角中， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形为正方形判断出为直角三角形是解题的关键． 题型四十一、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 41．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为； (2)梯子的顶端沿墙向上移动了． 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解； 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 题型四十二、求旗杆高度(勾股定理的应用) 42．（24-25八年级·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现测得点C到旗杆的距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗轩的高度为 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设旗杆的高度为，则长为，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则长为， 在中，，， ∴， 解得． 答：旗轩的高度为． 题型四十三、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 43．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 题型四十四、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 44．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论． 【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， ∴原来树的高度为， ∴这棵树原来的高度． 即：这棵大树在折断前的高度为18m. 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 题型四十五、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 45．（23-24八年级·浙江台州·期中）如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键；根据杯子内吸管的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：当吸管与杯底垂直时x最大， ； 当吸管与杯底及杯高构成直角三角形时x最小， ∴ 故答案为：． 题型四十六、解决航海问题(勾股定理的应用) 46．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 海里． 【答案】10 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】根据方位角分析可得，根据路程等于速度乘以时间求得，继而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：甲渔船离开港口向东北方向航行，乙渔船离开港口向西北方向航行， ， 出发一个小时后，（海里），（海里）， （海里）， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，方位角，掌握勾股定理是解题的关键． 题型四十七、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 47．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 【答案】 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案 【详解】解：在Rt中，，，， ∴ 小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分) ∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时， ∴a的取值范围是： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键 题型四十八、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 48．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 【答案】18 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失． 【详解】 如图，过点A作AC⊥ON于N， ∵∠MON＝30°，OA＝80米， ∴AC＝40米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米， 由勾股定理得：（米）， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， 所以CD＝30米， 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． 所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒． 故答案为：18． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 题型四十九、求最短路径(勾股定理的应用) 49．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)13 【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得； （2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值． 【详解】（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD 在中， ∴AC＝＝， CE＝＝， ∴AC+CE＝； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过A作AF⊥DE交ED的延长线于F， ∴DF＝AB＝2， ∴AE＝＝5， ∴AC+CE的最小值是5； （3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值． 过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， 所以AE＝＝＝13， 即的最小值为13． 【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键． 题型五十、判断三边能否构成直角三角形 50．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论． 【答案】是直角三角形，证明见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可． 【详解】解：是直角三角形．证明如下：    ∵ ∴是直角三角形． 题型五十一、在网格中判断直角三角形 51．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． (1)作出关于y轴对称后的图形； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)图形见解析； (2)为等腰直角三角形，理由见解析． 【知识点】在网格中判断直角三角形、画轴对称图形 【分析】（1）本题考查画轴对称图形，根据对应点的连线被对称轴垂直平分直接画即可得到答案； （2）本题考查勾股定理及逆定理，等腰三角形的定义，根据勾股定理求出各边，再根据勾股定理逆定理判断即可得到答案； 【详解】（1）解：根据对应点的连线被对称轴垂直平分找到，，，连接，，，如图，即为所求； ； （2）解：由图像可得， ，，， ，， ， 为等腰直角三角形． 题型五十二、利用勾股定理的逆定理求解 52．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，于点D，，．      (1)求的长 (2)判断的形状，并说明理由 【答案】(1)， (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在和中，直接运用勾股定理即可求出的长，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （2）先得出的长，再根据勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵于点D， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， （2）是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 题型五十三、勾股定理逆定理的实际应用 53．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷米尺，测得米，米，米，米，又已知，求这块四边形土地的面积． 【答案】36平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握：勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 如图，连接，由勾股定理得，，由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形土地的面积为36平方米． 题型五十四、勾股定理逆定理的拓展问题 54．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）；；  （2）是直角三角形；证明见解析 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据题意找到规律即可写出； （2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝ 故答案为：；； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形 证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1     ． ∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1     b2＝（2n）2＝4n2 c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1． 又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ∴ a2＋b2＝c2 ∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 题型五十五、用HL证全等 55．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，求证：． 【答案】见解答 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 直接利用直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明： 在和中， ， ∴． 题型五十六、全等的性质和HL综合 56．如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 题型五十七、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 57．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 题型五十八、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 58．(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）证明即可根据三角形全等的性质得到结论； （2）证明即可根据三角形全等的性质得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ． ． 又 ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等证明角相等是解题关键． 题型五十九、角平分线的判定定理 59．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 【答案】32.5 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $