专题02 数列通项与数列求和（题型清单）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

专题02 数列通项与数列求和 题型1 由Sn与an关系求通项 1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多． 1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，则 . 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）记为数列的前项和，若，，则 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 题型2 累加法求通项公式 累加法适用于邻项差结构． 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 5．（25-26高三上·四川广安·开学考试）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 . 8．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 . 题型3 累乘法求通项公式 累乘法适用于邻项商结构 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知为数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 10．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 11．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 12．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列满足，，则 ． 题型4 构造法求通项公式 （1）形如，引入参数，构造新的等比数列； （2）形如，引入参数，构造新的等比数列； （3）形如，两边同除以，构造新的数列． 13．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 14．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 15．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ． 16．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 题型5 分组（并项）法求和 1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解． 17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 18．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 19．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 题型6 逆序相加法求和 如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和． 21．（24-25高三下·四川容县·月考）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 24．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 题型7 裂项相消法求和 裂项相消的原则及规律 （1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项． 25．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 26．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 27．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)若，记数列的前项和为，证明：． 28．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 题型8 错位相减法求和 1、如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，常采用错位相减法． 2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“”与“”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 3、万能公式：形如的数列的前项和为，其中，，． 29．（25-26高三上·山东淄博·开学考试）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 30．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 31．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列．令， (1)证明数列是等差数列，并求出通项公式； (2)求数列的前项和． 32．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 题型9 斐波那契数列 1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式，，． ①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……； ②递推公式：，； ③通项公式：（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）． 2、求和问题 ①前项和：； ②奇数项和：； ③偶数项和：． 3、平方和问题： 4、余数列周期性 ①被2除的余数列周期为3：1，1，0，…… ②被3的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…… ③被4的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，…… 5、裂项问题： 33．（24-25高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（    ）个奇数 A．1012 B．1348 C．1350 D．1352 34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．2023 B．2024 C．1 D．2 36．（24-25高三上·安徽·月考）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo  Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项. 题型10 数列与不等式综合问题 数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题； （3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证明． 37．（24-25高三下·湖北襄阳·月考）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 38．（24-25高三下·上海·月考）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 39．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 40．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 题型11 公共项与增减项问题 1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数． 2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项． 41．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． (1)求的通项公式； (2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 43．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和． 44．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 题型12 数列的新定义问题 1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 45．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列. (1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列. (2)已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由． (3)证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”. 46．（24-25高三下·河北沧州·月考）设是整数数列，m是某个取定的正整数，若是除以m的余数，则称数列是关于m的模数列，记作．斐波那契数列是常见的整数数列，满足． (1)写出数列的第3项、第4项和第5项； (2)斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题： （i）证明数列是周期为8的周期数列； （ii）求的个位数字． 参考数据：． 47．（24-25高三下·云南·月考）设数列的前n项和为，由，，…，组成的数列记为，把新数列称为原数列的一阶和数列，设数列的前n项和为，把数列称为数列的二阶和数列，依此类推，可得数列的p阶和数列，其中． (1)若，求数列的二阶和数列的通项公式； (2)若． ①求数列的三阶和数列的通项公式； ②写出数列的p阶和数列的通项公式（不用证明）． 48．（24-25高三下·浙江湖州·月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足． (1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数． (2)证明：，． (3)是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列通项与数列求和 题型1 由Sn与an关系求通项 1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多． 1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，则 . 【答案】 【解析】因为数列的前项和为，所以， 当，时，， 又，故满足关系， 所以， 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）记为数列的前项和，若，，则 【答案】243 【解析】，当时，有. 当时，有. 故，即，. 又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列. 因此. 当时，. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得，∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴.故选：A. 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 则，即， 所以数列是公差为4的等差数列． 又，则． 所以．故选：A. 题型2 累加法求通项公式 累加法适用于邻项差结构． 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 5．（25-26高三上·四川广安·开学考试）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 利用累加法可得 , 化简得，则.故选：C. 6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列满足，， 所以， 所以， 则， 所以，故选：A. 7．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【解析】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 8．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 . 【答案】 【解析】由，则, 当时，上式相加得，又， 所以，又符合上式， 可知，所以， 所以. 题型3 累乘法求通项公式 累乘法适用于邻项商结构 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项． 9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知为数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【解析】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以，故选：B 10．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【解析】由得， ， .故选：D 11．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以是常数列，所以， 又，所以．故选：B 12．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 题型4 构造法求通项公式 （1）形如，引入参数，构造新的等比数列； （2）形如，引入参数，构造新的等比数列； （3）形如，两边同除以，构造新的数列． 13．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则.故选：C 14．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【解析】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得， 因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 于是，所以．故选：C 15．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ． 【答案】 【解析】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 16．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，即． 题型5 分组（并项）法求和 1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解． 17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）在等差数列中，，解得，而， 因此数列的公差，； 设等比数列的公比为，由，得，解得， 又，则，解得，而，因此，， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得， 所以. 18．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】(1)；(2)100或97 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以的通项公式为； （2）， ， 若为偶数，则， 若为奇数，则， ，若为偶数，则，解得， 若为奇数，则，解得， 综上，或97 19．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），当时，, 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，； （2） 20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ， 因为，即， 可得， ， 所以，所以数列的前2n项的和为． 题型6 逆序相加法求和 如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和． 21．（24-25高三下·四川容县·月考）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得.故选：B. 22．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则 两式相加得 所以，所以.故选：A. 23．（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 【答案】A 【解析】因为， 所以 所以的图象关于点对称， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，， 所以，所以， 所以，， 所以.故选:A. 24．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【解析】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得： 即. 题型7 裂项相消法求和 裂项相消的原则及规律 （1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项． 25．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为， 所以当时， ， 是首项为1的正项数列，则， 又满足上式，所以. （2）由（1）可得，， 所以. 26．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)10 【解析】（1）当时，，整理得， 又，所以. 当时，即，解得， 又，所以. （2）， ， 上述两式相减，得， ， ， ， 数列为等差数列，首项为2，公差为4. （3））由（2）得：， ， ， ，由求根公式得， ， ， . 27．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由已知有，所以，解得， 当时，， 又满足上式，所以． （2）， 所以， 因为，所以， 由于单调递减，所以单调递增， 所以当时，最小，为，故． 28．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意，， 又，解得， ，① ，② ②减①得， 所以，即， 所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 当时，， 所以，即， 经检验，当时，满足上式， 所以， 因为， 所以. 题型8 错位相减法求和 1、如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，常采用错位相减法． 2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“”与“”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 3、万能公式：形如的数列的前项和为，其中，，． 29．（25-26高三上·山东淄博·开学考试）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）已知 ，当 时，； 当 时，； 验证时，，符合上式， 故数列通项公式为. 因为， 所以，等式两边同时加 可得， 即，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 数列通项公式为，所以. 故数列的通项公式为. （2）由（1）可知，则， 所以， 记数列的前项和为 ， ，① 上式乘以公比2可得；，② 由① ②可得：， 即， ， 化简可得， 即. 30．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，，解得， 当时，，， 两式相减可得：，即① 则②， ②①可得， 由于，所以数列是首项为2，公差为4的等差数列， 则 （2）设， 所以③ ④， ③④可得, 化简可得： 31．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列．令， (1)证明数列是等差数列，并求出通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1），两端除以，得，即， 由，得，所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列， ． （2）， ，① ，② 由①-②，得， ． 32．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. 题型9 斐波那契数列 1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式，，． ①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……； ②递推公式：，； ③通项公式：（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）． 2、求和问题 ①前项和：； ②奇数项和：； ③偶数项和：． 3、平方和问题： 4、余数列周期性 ①被2除的余数列周期为3：1，1，0，…… ②被3的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…… ③被4的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，…… 5、裂项问题： 33．（24-25高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（    ）个奇数 A．1012 B．1348 C．1350 D．1352 【答案】C 【解析】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数， 又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C 34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，，， 则.故选：C. 35．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．2023 B．2024 C．1 D．2 【答案】C 【解析】“斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，, . 由题意得：， 即， ， ， ，                     ， 即 即.故选：C. 36．（24-25高三上·安徽·月考）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo  Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项. 【答案】2025 【解析】由题意知，（，）， 所以（，）， 所以，，……，， 由累加法可得， 则， 所以是斐波那契数列的第2025项. 题型10 数列与不等式综合问题 数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题； （3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证明． 37．（24-25高三下·湖北襄阳·月考）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【解析】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增， ，所以.故选：B 38．（24-25高三下·上海·月考）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析. 【解析】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； （2）即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. 39．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由，可得， 即，所以， 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列， 则. （2）， ， 因为，所以，所以， 又恒成立，即恒成立，，即. 所以的取值范围为. 40．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)①；② 【解析】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数，所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立，所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 题型11 公共项与增减项问题 1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数． 2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项． 41．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 【答案】(1)，；(2)55 【解析】（1）由题意，得， 又时，，符合题意，所以. 设数列的公比为，又，， 即，解得，所以. （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1； 在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1； 在4和5之间插入个1， 此时刚好有45项，则. 所以的值为55. 42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． (1)求的通项公式； (2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为 因此对任意正整数，即 因为，所以， 所以，是首项为2，公比为3的等比数列， 所以 （2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以 因为，所以，即 因为,所以,则的值为 所以，可得 43．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和． 【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3) 【解析】（1）数列中，， 则，而， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为； （2）由（1）知，，， 所以数列的通项公式为. 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即，则有， 又，即，于是， 所以数列的通项公式为； （3）依题意，数列中，前有数列中的前项， 有数列中的前项， 因此数列中，前共有项， 当时，， 当时，， 因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项， 所以 . 44．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】(1)；(2)；(3)12182 【解析】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意， 当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以 . 题型12 数列的新定义问题 1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 45．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列. (1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列. (2)已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由． (3)证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”. 【答案】(1)是“和差单值”数列；(2)是“和差单值”数列，理由见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）对于：8，4，2，1，2，4，8， 若不是“和差单值”数列， 则存在以及，使得， 则． 1为该数列中唯一奇数． 若，则，为奇数，矛盾 若，则只能是或或， 这里的，枚举可得均不成立， 故是“和差单值”数列. （2）由（1）可得，若不是“和差单值”数列，则存在以及， 使得，即， 设中最小值为，则， 只能是， 由于为偶数，而, 故为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立， 是“和差单值”数列. （3）数列共有项，且恒成立， 取， 由，可知， 又，则至多有个不同的值， 故中必有两个值相等，故一定不是“和差单值”数列. 46．（24-25高三下·河北沧州·月考）设是整数数列，m是某个取定的正整数，若是除以m的余数，则称数列是关于m的模数列，记作．斐波那契数列是常见的整数数列，满足． (1)写出数列的第3项、第4项和第5项； (2)斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题： （i）证明数列是周期为8的周期数列； （ii）求的个位数字． 参考数据：． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）4 【解析】（1）由递推关系得， 所以． （2）（i）由题中给的性质，可得， 因为， 所以， 所以， 所以数列是周期为8的周期数列． （ii）因为要计算个位数字，所以考虑数列的周期， 由参考数据，猜想数列的周期为60，证明如下： 因为，又由参考数据易得， 所以， 所以数列是周期为60的周期数列． 因为， 所以， 所以 ， 又因为该数列的个位数字是以60为周期，所以， ， 所以， 所以的个位数字为4． 47．（24-25高三下·云南·月考）设数列的前n项和为，由，，…，组成的数列记为，把新数列称为原数列的一阶和数列，设数列的前n项和为，把数列称为数列的二阶和数列，依此类推，可得数列的p阶和数列，其中． (1)若，求数列的二阶和数列的通项公式； (2)若． ①求数列的三阶和数列的通项公式； ②写出数列的p阶和数列的通项公式（不用证明）． 【答案】(1)；(2)①；②（） 【解析】（1）因为，根据定义知： ， 所以数列的一阶和数列的通项公式为． 同理数列的二阶和数列的通项公式为： ． （2）①因为，所以． 设，， ． 而，所以， 又因为，而，…，， 所以． ，又因为， 所以，…，， 所以数列的三阶和数列的通项公式为： ． ②观察数列的一阶和数列的通项公式， 二阶和数列的通项公式， 三阶和数列的通项公式， 猜想数列的阶和数列的通项公式为（） 48．（24-25高三下·浙江湖州·月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足． (1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数． (2)证明：，． (3)是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)巽卦“”对应的十进制为，兑卦“”对应的十进制为；(2)证明见解析 (3)不存在正偶数，使得对任意，满足．理由见解析 【解析】（1） 巽卦“”的二进制为，故对应的十进制为， 兑卦“” 的二进制为，故对应的十进制为； （2）由，可得， 故， 所以，， 因为， 所以， 所以，. （3）不存在正偶数，使得对任意，满足． 反证法，假设存在正偶数，使得对任意，满足． 当时，①，当时，②， 当时，③， 由（2）可知，，因此④， 所以由⑤可得，对于正偶数，，， 而，，所以， 由①②③可知：， 令正偶数，， 则 则根据④可得：， 若为偶数，由⑤得，矛盾， 若为奇数，则为偶数，由⑤可知：， 综上所述，不存在正偶数，使得对任意，满足． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $