第3章 勾股定理 综合检测·培优卷-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（苏科版2024）

一初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 在Rt△AM1N中，AM=AN2+M1N2=x2+3002. 由勾股定理，得AB'=√AC-BC=√102-82= 在Rt△ABM,中，AM=AB2-BM=(225+x)2-3752, 6(m), ∴.x2+3002=(225+x)2-3752, .BB'=AB-AB'=8-6=2(m). 解得x=400, 4.B,AC=3,BC=4,AB=5,四边形AMNB是正方形， .AN=400m…8分 ∴.0Q=5, 在Rt△AM1N中，AM1=√AN2+NM ∴.折叠成直三棱柱后，CN=√52+4=√④红， √4002+3002=500(m) 点M与点P重合，CM=CP=√52+32=√34. 监控器有效监测距离为500m, .√4I>√34>5， ∴符合题意， ∴与点C距离最大的是点N. ∴.AB=AN+NB=400+225=625(m). 5.C由勾股定理，得AB=√+32=√10，AC= ,河岸长5000m,5000÷625=8, .该水利部门至少需要布设8个监控器.…10分 √32+42=5，BC=√12+4=√/17. (3)2. A边AB和BC的长为无理数，边AC的长为有理数，故 提示：监控器M1的监测范围AB的距离最大，则水利部 原说法错误，不符合题意； 门需布设的监控器个数少.…12分 B.三角形中任意两边都不相等，则△ABC不是等腰三角 第3章综合检测·培优卷 形，故原说法错误，不符合题意； 1.DA42+52=41,62=36,∴.42+52≠62，.不能构成 C.△ABC的面积为4X4- ×34-号×14 直角三角形，故A选项不符合题意； 1×3=6.5,故原说法正确，符合题意； B.,22+32=13,42=16,.22+32≠42，.不能构成直角 D.AB2+BC2≠AC,则△ABC不是直角三角形，故原说 三角形，故B选项不符合题意； 法错误，不符合题意， C.(3)2+(W7)2=10,42=16,∴.(W5)2+(W7)2≠4,6.C设AB=x ∴不能构成直角三角形，故C选项不符合题意： :△ABC的周长为12， D.12+(W2)2=3,(3)2=3,∴12+(W2)2=(W3)2,.能 ∴.AB+AC+BC=12. 构成直角三角形，故D选项符合题意， ,BC=3, 2.C设每个小直角三角形的面积为m,则S1=4m十S2, ..AB+AC=9, S3=S2-4m. .AC=9-x. S1+S2+S3=60, 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC, ∴.4m+S2+S2+S2-4m=60, 即x2=(9-x)2十32， 即3S2=60, 解得x=5,即AB=5. 解得S2=20. :DE是AC的垂直平分线， 3.B由题意可得，AC=AC'=10m,BC=6m,B'C'=8m. .'DA-DC, 在Rt△ABC中， ∴.△BCD的周长为BC+BD+CD=BC+BD+AD= 由勾股定理，得AB=√AC2-BC=√102-6=8(m). BC+AB=3+5=8. 在Rt△AC'B'中， 7.D如图，过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于点F. 。18。 CB平分∠ACD, .'.BE=BF. 在△ABC中，∠ABC=90°，AC=20cm,AB=16cm, BC=12 cm, 1 由三角形的面积公式，得SAx=2AC·BF- 2AB·BC, BF=AB·BC_16X12 AC 20 9.6(cm), ∴.BE=BF=9.6cm, ∴.点B到CD的距离是9.6cm. 8.C①，7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广 义勾股数，故①结论正确. ②13=22+32，.13是广义勾股数，故②结论正确. ③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10 是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论 错误 ④设m1=a2+b2,m2=c2+d2, 则m1·m2=(a2+b2)·(c2+d2) =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd) =(ac+bd)2+(ad-bc)2, 当ad=bc或ac=一bd时，两个广义勾股数的积不一定是 广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2=4,4不 是广义勾股数，故④结论错误， ∴正确的是①②. 9.5,三角形的三边长分别为6,8,10,62十82=102，符合勾 股定理的逆定理，此三角形为直角三角形，10为直角三 角形的斜边. ,三角形斜边上的中线是斜边的一半，∴三角形最长边 上的中线为5. 10.5AB=AC,AD平分∠BAC,BC=12, .AD⊥BC,BD=CD=6, .∠ADB=90°， ∴.AB=√AD2+BD=√82+62=10. E为AB的中点， DE是斜边AB上的中线，DE-2AB=5. 11.37设弦是x,股是x一2，则122十(x-2)2=x2,解得 x=37,则其弦是37. 12.2在Rt△ACD中，AC-2AB=4cm,CD=3cm, 根据勾股定理，得AD=√AC+DC=√/4十3= 5(cm), ∴.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm),故橡皮 筋被拉长了2cm. 13.50如图. F北 30° 北 160 B一→东 A 一→东E 根据题意，得∠DAB=60°，∠FBC=30°，AD∥EF, ∴∠DAB=∠ABE=60°， .∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=180°-60° 30°=90°. 在Rt△ABC中，AB=30km,BC=40km,由勾股定理， 得AC=√AB2+BC2=√302+402=50(km), ∴.A,C两港之间的距离为50km. 14.C.AMP=12=1,MN2=12+22=5,AN2=12+ 12=2, ∴.AM+AN2≠MN2, ∴.△AMN不是直角三角形，故点A不符合题意。 ,MN2=12+22=5,BN2=12+22=5,BM=22=4, .∴.N2+MB2≠BN2, ∴△BMN不是直角三角形，故点B不符合题意. MN2=12+22=5,CN2=12+22=5,MC2=12+ 32=10, 一初中数学周末小测卷八年级上册SK版 ∴.MN2+CN2=MC, ∴.△CMN是直角三角形，故点C符合题意， MN2=12+22=5,DN2=22+22=8,MD2=32=9, ∴.MN2+DN2≠MD2, ∴.△DMN不是直角三角形，故点D不符合题意. 15.89.BD⊥AC, ∴.∠CEB=∠AEB=∠AED=∠CED=9O°. 在Rt△CEB和Rt△AED中，根据勾股定理可得， BE2+CE2=CB2,ED2+EA2=AD2, .CB2+AD2=BE2+CE2+ED2+EA2=64+25=89. .AB2=BE2+AE2,CD2=EC2+ED2, ..AB2+CD2=BE2 +AE2 +EC2 ED2 CB2+ AD2=89. 16.2√3如图，设AC与B'C相交于点D. 6 D AM=号AB,AB=5, ∴.AA'=1. 由平移可得，AA'=BB'=1,BC∥B'C, ∴∠BCA=∠B'DA=90°，AB'=AB-BB'=5-1=4. ∠BAC=30°， .B'D-3AB'-2.AD-/AB"-B'D-2/5, 六重叠部分的面积为2AD·DB'=号×2v5X2=25. 17.解：如图，首先过点O作垂线，再截取AO=3,然后连接 点A和表示1的点B,再以O为圆心，AB的长为半径 作弧，与数轴正半轴的交点即为√10对应的点.…1分 /10 …6分 解题大招 当表示无理数√a(a≥0)时，常作直角三角形， 使其斜边长为v√a. 18.解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是xm,则 BC为(2.2-x)m. 由题意可知，AC=2.4m,DE=2m,AB=DB.…1分 在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理，得AB2= BC2+AC2,DB2=BE2+DE2, ..BC2+AC2=BE2+DE2, …3分 即(2.2-x)2+2.42=x2十22，…5分 解得x=1.5.… …6分 答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5m. …7分 19.解：(1)，△ABC≌△DEF, .∠BAC=∠EDF. ,∠BAC+∠ABC=90°， ∴.∠EDF+∠ABC=90°， .∠DGB=180°-90°=90°， .∠AGE=∠DGB=90°， ∴.DE⊥AB, Sa=Sam十Se57AB·DG+合AB· 1 1 EG=2AB·(DG+EG)=2AB·DE=2c, 1 故答案为90,2c2. …2分 (2)方法1：S四边形AE= 2AC+EF)·BC-2(b+a)· 1 1 a=2ab+2a2. …3分 方法2：S四边形ACE=SAACD十S四边形ADE= 1 1 2C27b2b)c2…4分 根据上面的方法可得，246十7a:-4 1 1 1 =2b-2b+22, …6分 a2十b2=c2.…7分 DB的长为1.…3分 解题大招 (2)证明：AB=5,BD=1, 拼图法是用两种不同的方法计算同一个图形的 .AD=AB-BD=5-1=4.…4分 面积，由此得到一个等式，化简后得到直角三角形三 在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=42+22=20, 边之间的数量关系，是验证勾股定理的常用方法. .∴.AC2+BC2=20+(W5)2=25. AB2=52=25,…6分 20.解：(1)证明：如图，连接EC AC2十BC2=AB2,…8分 ∴.△ABC是直角三角形， ∴.∠ACB=90°， AC⊥BC.…10分 ,AB=AC,AD是∠BAC的平分线， 22.解：(1)AD⊥BD.理由如下：…1分 AD垂直平分BC.…1分 ,AD是边BC的中线， 点E在AD上， BD=CD=2BC=5.…2分 BE=EC.…2分 ,AD=12,AB=13, AC的垂直平分线交AD于点E, ∴.AD2+BD2=122+52=169,AB2=132=169, ∴.AE=EC, .'.AE=BE. ..AD2+BD2=AB2, …3分 ∴△ABD是直角三角形， (2②)由0)可得，BD=2BC. ∴∠ADB=90°， BC=6, AD⊥BD.… …7分 BD=3,…4分 (2),AD⊥BD,BD=CD, AD=√AB2-BD=V52-32=4.…6分 .AD是BC的垂直平分线， 设AE=BE=x,DE=4-x .∴.AC=AB=13. …10分 在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2十DE2=BE, 23.解：如图，延长AB,过点C作CD⊥AB的延长线于点D. .32+(4-x)2=x2, 25 甲树A ∴x Γ8’ …8分 25 即AE= ,…9分 -D ·△ABE的周长为AB+BE+AE=5+25+25_45 8十84· 由题意可得，BC=13m,DC=12m, …10分 则BD=√BC-DC=√132-12=5(m), 21.解：(1)CD⊥AB, 即AD=AB十BD=4十5=9(m),…4分 ∴.∠CDA=∠CDB=90°. 则AC=√AD2+CD2=√92+122=15(m),…8分 在Rt△CDB中，BC=√5，CD=2, 故AC+AB=15+4=19(m).…9分 ∴.DB=√BC-CD=√(W5)2-22=1, 答：甲树原来的高度是19m.…10分 。19● 一李初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 24.解：(1)证明：x2+y2 根据长方形的性质可知，第四个顶点的坐标为(2,1). =(2n)2+(n2-1)2 6.三根据第一象限（十，十）；第二象限（一，十）；第三象限 =4n2+n4-2n2+1 (一，一)；第四象限（十，一）可得，点P(一3，一2)所在象限 =n+2n2+1 =(n2+1)2 是第三象限 =x2, 解题大招 即x,y,之为勾股数.…6分 判断一个点属于哪个象限，可以通过点的横坐 (2)(13,84,85). 标、纵坐标的符号来判断，也可以根据点的坐标找到 提示：①3=2×1+1,4=2×12+2×1,5=2×12+2× 它在平面直角坐标系中的位置来判断！ 1+1; ②5=2×2+1,12=2×22+2×2,13=2×22+2×2+1； 7.(0,一3)由题意可得，点在y轴的负半轴上. ③7=2×3+1,24=2×32+2×3,25=2×32+2×3+1； ,距离原点3个单位长度，点的坐标是(0，一3) ④9=2×4+1,40=2×42+2×4,41=2×42+2×4+1； 8.(1,3)如图，由点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(2,2)， ⑤11=2×5+1,60=2×52+2×5,61=2×52+2× 5+1; 可确定原点和平面直角坐标系的位置. 则⑥13=2×6+1,84=2×62+2×6,85=2×62+2× 6+1; 即第6个数组是(13,84,85).…12分 3 第4章平面直角坐标系 第⊙周点的位置与坐标系 由图可得，点C的坐标为(1,3) 1.A:手的位置是在第二象限，∴手盖住的点的横坐标小9.(3,150)由题意，得点的坐标用两个参数来描述：一个是 于0，纵坐标大于0，∴这个点的坐标可能是（一2,3）. 该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与 2.D由题意可得，点P的横坐标为一5，纵坐标为6，则 正半轴之间的夹角的度数，即可得点D的坐标为 点P的坐标为(-5,6). (3,150). 3.C由点P的坐标为(2,1)可知，每个小正方形的边长为 10.解：(1)根据第四象限的点的坐标特点， 1,根据在平面直角坐标系中点Q的位置可得，点Q的坐 a-4>0, 标为(3,2) 得 …2分 2b+2<0, 4.AOA=√32+42=5，OB=4,OC=3,OD= w√12+22=√5,5>4>3>√5， a>4, 解得 ∴.当a>4,b<-1时，点P位于第四象限 .表示到原点距离最远的点的坐标是A(3,4) b<-1, 5.A如图，在平面直角坐标系中找到(-3，一2)，(-3,1)， …5分 (2,-2)三个顶点. (2)根据点在y轴左侧的坐标特点可得，a一4<0,2b十2 (-3,1) 为任意数，…7分 解得a<4,b为任意数，.当a<4,b为任意数时，点P (-3,-2)(2,-2) 位于y轴左侧。…10分 。20。 解题大招 已知点的位置求点的坐标中字母的值或取值范 围时，一般借助坐标轴上或各象限内特殊直线上的 点的坐标特点，列方程或不等式（组）求解. 11.解：(1)由题意可得，正东方向上有体育场；要明确这些 设施相对于学校的位置，还需要距离；离学校最近的设 施是游乐园，在学校南偏西27°方向上.…3分 (2)如图，建立平面直角坐标系. 电视塔 北 市政府！学校 27体场 游标园 植物园 菜市场 由图可知，电视塔的坐标为（一4,3），菜市场的坐标为 (一2，一4)，植物园的坐标为(1，一3).…6分 12.解：(1)小明的说法正确理由如下：…1分 3 当点P位于第二象限时， 2a-2 <0,① …2分 2a-12>0,② 解不等式①，得a<3, 解不等式②，得a>6, 原不等式组无解， ∴点P不可能位于第二象限…4分 (2)点P位于第四象限， 1 …5分 2a-12<0,② 解不等式①，得a>3, 解不等式②，得a<6, .3<a<6. …7分 ,a为整数， .a=4或a=5.…9分 ,点P的横、纵坐标都是整数， .0=5.…10分 13.Dx2+2>0,-3<0,∴点P(x2+2,-3)所在的象 限是第四象限。 14.A.点M(1-m,1+m)在x轴上，.1+m=0, ∴.m=-1. ,点N(n十2，n-2)在y轴上，.n+2=0, .n=-2,∴.m+n=-1+(-2)=-3. 15.D如图，过点A作BC的垂线，垂足为M. ,AB=AC,且AM⊥BC, .∴.BM=CM. ,点B的坐标是(8,12)，点C的坐标是(8,2)， .∴.BC=12-2=10, ∴.BM=CM=5, .点M的纵坐标是12-5=7， 即点A的纵坐标是7. 在Rt△ABM中，AM=√J132-5=12, 即点A的横坐标是8-12=-4， 点A的坐标是(-4,7) 16.(-5,-10)由题意，得3(m-1)=2(3m+2)+5, 解得m=一4， ∴.m-1=-5,3m+2=-10, ∴.点M的坐标为(-5，-10) 17.(2,1)点(1,4)经过第1次运算后得到点的坐标为(1× 3+1,4÷2),即(4,2)， 经过第2次运算后得到点的坐标为(4÷2,2÷2)，即(2， 1), 经过第3次运算后得到点的坐标为(2÷2,1×3十1)，即 为(1,4)， … 由此可得，点(1,4)经过3次运算后坐标不变. 2024÷3=674…2, .点(1,4)经过第2024次运算后得到点的坐标为(2,1).一本初中数学周末小测卷八年级上册SK版 第 章 综合检测·培优卷 ⑥时间：90分钟号分值：120分 凸得分 ☑答案：P52 一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 弥 A.4,5,6 B.2,3,4 C./3,4,/7 D.1,W2,W3 2.由8个全等的直角三角形通过“赵爽弦图”变化得到的图形如图 泌 所示，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的 面积分别为S1,S2,S3.若S1十S2十S3=60,则S2的值是() A.12 B.15 C.20 D.30 H Q G M B M 栽 第2题图 第3题图 第4题图 封 3.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的渔线BC的长 为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC 的位置，此时露在水面上的渔线BC'为8m,则BB'的长为() A.1 m B.2 m C.3m D.4 m 4.某直三棱柱的表面展开图如图所示，AC=3,BC=4,AB=5,四 边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与 点C距离最大的是 () A.点M B.点N C.点P D.点Q 5.如图，在4×4的方格纸中，有一个格点三角形ABC(三角形的 三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1)，下列关于它的 线 描述中，正确的是 () A.△ABC的三边长都是有理数B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC的面积为6.5 D.△ABC是直角三角形 料 D 第5题图 第6题图 第7题图 6.(2025宿迁宿豫区期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC的 垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若△ABC的 周长为12，BC=3,则△BCD的周长为 () A.12 B.10 C.8 D.6 7.(2025淮安金湖期末)可调节的平板支架的结构示意图如图所 示，已知平板支架的宽度AB为16cm,支架脚BC的长度为 12cm,当∠ABC=90°时，可测得AC=20cm,保持此时△ABC 的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是() A.8 cm B.8.6 cm C.9 cm D.9.6 cm 8⊙新定义问题阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整 数a,b的平方和，即m=a2十b2,那么称m为广义勾股数.下面 的四个结论中：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两 个广义勾股数的和仍是广义勾股数；④两个广义勾股数的积仍 是广义勾股数其中正确的是 () A.②④ B.①②④ C.①② D.①④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9.(2025无锡锡山区期末)一个三角形的三边长分别为6,8,10，则 这个三角形最长边上的中线为 10.(2025宿迁泗阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC的 平分线AD交BC于点D,E为AB的中点.若BC=12,AD= 8,则DE的长为 D R A B水平面 第10题图 第12题图 11.(2025徐州邳州期中)勾股定理在《周髀算经》中记载如下：勾广 三，股修四，径隅五（勾为较短的直角边，股为较长的直角边，径 为斜边).观察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，这类勾 股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶 数，弦与股相差2的一类勾股数，如6,8,10；8,15,17；…，若此 类勾股数的勾为12，则其弦是 12.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和 B,然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长 了 cm. 13.一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿 北偏西30°方向航行40km至C港，则A,C两港之间的距离 为 km. 14.一如图，在小正方形组成的3×2的网格中，每个小正方形的顶 点称为格点，点A,B,C,D,M,N均在格点上，其中A,B,C, D四个点中能与点M,N构成一个直角三角形的 是点 B' M D 第14题图 第15题图 第16题图 15.对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.现有如图所示的垂 美四边形ABCD,若AD=5,BC=8,则AB2十CD2= 16.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=5,将 △ACB沿斜边BA平移得到△A'B'C者AA'-AB,则重 叠部分的面积为 三、解答题（共72分） 17.新考法尺规作图(6分)请你在数轴上画出与√10对应的点. 43201234 18.(7分)(2025准安盱胎期中)如图，小巷左右两侧是竖直的墙， 已知小巷的宽度CE是2.2m,一架梯子AB斜靠在左墙时，梯 子顶端A与地面点C的距离是2.4m,如果保持梯子底端B位 置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E的距离 是2m,求此时梯子底端B到右墙角点E的距离. 77777777777777777777 。23· 一奉初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 19.D(7分)(2025镇江丹徒区期中)勾股定理体现了数与形的完 美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感， 发现新的拼图方法：如图，两个全等的直角三角板ABC和直角 三角板DEF,顶点D在边BC上，顶点F,B重合，连接AE, AD.设AB,DE交于点G,∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF= a,AC=DF=b(a>b),AB=DE=c.请你回答以下问题： (1)填空：∠AGE= °，S四边形ADBE (用含字 母c的代数式表示)； (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证 明勾股定理 G B(FY 20.(10分)(2025无锡锡山区期末)如图，在△ABC中，AB=AC, AD是∠BAC的平分线，AC的垂直平分线交AD于点E,交 AC于点F,连接BE (1)求证：AE=BE; (2)若AB=AC=5,BC=6,求△ABE的周长. 。24。 21.(10分)如图，在△ABC中，CD⊥AB,AB=5,BC=√5， CD=2. (1)求DB的长； (2)求证：AC⊥BC. 22.新考法代数推理(10分)如图，在△ABC中，AB=13,BC= 10,边BC上的中线AD=12. (1)AD与BD互相垂直吗？请说明理由. (2)求AC的长. 23.(10分)(2025宿迁期末)如图，由于大风，山坡上的甲树从点A 处拦腰折断，其树顶端恰好落在乙树的根部C处，已知AB= 4m,BC=13m,两棵树的水平距离为12m,求甲树原来的 高度 树 甲树A B C 24.易错题(12分)法国数学家费马早在17世纪就研究过形如 x2十y2=之2的方程，显然，这个方程有无数组解，我们把满足该 方程的正整数的解(x,y,之)叫作勾股数，如(3,4,5)就是一组 勾股数. (1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表 示大于1的整数，x=2n,y=n2一1，之=n2十1，那么以x,y,之 为三边的三角形为直角三角形，即x,y,之为勾股数，请你加以 证明； 弥 (2)探索规律：观察下列数组(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)， (9,40,41),…,直接写出第6个数组. 封 线