第3章 第9周 勾股定理的简单应用-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册周末小测卷（苏科版2024）

一本初中数学周末小测卷八年级上册SK版 第 周 勾股定理的简单应用 ⊙时间：45分钟 8分值：100分 8得分： @答案：P51 基础测·教材变式 弥一、选择题（每题3分，共15分） 1.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部的底面直径为9cm,内壁高为l2cm,则这支铅笔在笔 n 洲 筒内部的长度L的取值范围为 () A.12cm≤l≤15cm B.9cm≤l≤12cm C.10cm≤l≤15cm D.10cm≤l≤12cm D 13 5 第1题图 第2题图 第5题图 T 2.如图，在高为5m、坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要 () 封 A.8 m B.13m C.17m D.18m 3.一艘轮船以3 n mile/h的速度从港口A出发向东北航行，另一艘轮船以4 n mile/h的速度同时从 港口A出发向东南航行，离开港口1h后，两船相距 () A.3 n mile B.4 n mile C.5 n mile D.10 n mile 4.一架长为5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角4m,若梯子的顶端下滑1m, 则梯子的底端将滑动 () A.0 m B.1 m C.(W21-3)m D.(√21-4)m 5.“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何？”这是我国数学 爵 史上的“引葭赴岸”问题其大意是：如图，在一个边长为一丈的正方形湖塘水面的正中间有一芦苇 BD,高出水面一尺，将芦苇拉向岸边，顶端D刚好到达岸边点A处（注：一丈为十尺.丈，尺均为我国 古代计量单位)，则水深BC= () 线 A.8尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺 二、填空题（每题3分，共12分） 6.如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3m处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4m,则 这棵大树折断前的高度为 m. 马 养 帅 第6题图 第7题图 7.如图，象棋盘中的各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日” 的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 8⊙如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， 甲、乙两轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile.,1h后两轮船分别位于点A,B处，且相距 20 n mile,已知甲轮船沿北偏西40°方向航行，则乙轮船沿 方向航行. 东 第8题图 第9题图 9.D某校九年级学生准备毕业庆典，打算用彩带来装饰大厅圆柱.已知大厅圆柱高4，底面周长为 1.因为同窗三年，所以他们打算将彩带从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），则彩带的长至少是 m. 三、解答题（共16分） 10.(8分)古文中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”其 大意是：现在有一个竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后，堆在 地面的部分有3尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处绳索用尽，求绳索 的长 11.口新考法综合与实践(8分)某中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动. 主题：检测雕塑底座（如图）的边AD是否垂直于边CD A 素材：一个雕塑底座，一把卷尺. 步骤1：利用卷尺测量边AD,边CD的长度，并测量出点A,C之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座的边AD是否垂直于边CD. 解决问题： 通过测量得到边AD的长是60cm,边CD的长是80cm,点A,C之间的距离是100cm,边AD垂 直于边CD吗？为什么？ 。21● 一李初中数学周末小测卷八年级上册SK版 能力测·迁移运用 一、选择题（每题3分，共9分） 12.如图，一艘小船横渡一条河，由于受水流的影响，实际到达对岸的地点C偏离欲到达地点B60, 结果小船在河中比预计多航行了20m,则河宽AB为 () A.60m B.70m C.80m D.90m O B D 2.5m -4m 第12题图 第13题图 第14题图 13.新考法真实问题情境如图，一辆装满货物、宽为2.4m的卡车，欲通过隧道，则卡车的外形高必须 低于 () A.4.1m B.4.0m C.3.9m D.3.8m 14.如图，嘉琪为了得到树的高度CD,测量了相关数据：∠CBE=45°，∠EBD=30°，BE=3m.根据数 据，得到的树高CD为 () A.3 m B.(3+√3)m C.4.5m D.(3+√2)m 二、填空题（每题3分，共6分） 15.(2025南京秦淮区期末)如图，在某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直 方向的AB,BC两段构成.若BC段的长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段 的长度为 cm. C 第15题图 第16题图 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D为边AC上的一动点，将△BCD沿直线BD 对折，其中点C的对应点为E,连接AE.当△ADE为直角三角形时，线段CD的长为 三、解答题（共42分） 17.(9分)(2025连云港海州区期末)如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水 点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，村庄C到点A的路现在已经不通了，该村庄为方便村民取 水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B三点在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB= 3 km,CH=2.4 km,HB=1.8 km (I)问：CH是否为从村庄C到河边最近的路（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明. (2)求原来的路AC的长. B 。22 18.(10分)(2025苏州张家港期中)如图，经过A村和B村（将A,B村看成直线1上的点）的笔直公路 l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破.已知C处与A村的距离为300m,C处与B村 的距离为400m,且AC⊥BC: (1)求A,B两村之间的距离. (2)为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否需 要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由. 弥 19.(11分)(2025徐州泉山区期中)小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计 了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15；根据手中余线长度，计算出AC 的长度为17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m,已知点A,B,C,D在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD. (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,是否能够成功？请运用数 学知识说明. D封 思维测·拓展创新 20.⊙易错题(12分)(2024无锡锡山区期中)【项目主题】为监控器的布设选择最优方案， 【项目背景】监控器有效监测距离为500，最大旋转角度为90°；村落、河流如图1所示，河岸长 5000m;监控布设线l距离河流300m,l上任意两个监控(M1,M2,…)之间的距离相等. 【项日方案】(1)方案1：如图1，从河流南岸边缘点A处起，使AM1=500m,BM1⊥AB,垂足为B, 即AB为监控器M1的监测范围；以此类推继续设置监控器，则水利部门至少需要布设多少个监 控器？ (2)方案2：如图2，AB为监控器M1的监测范围，BC为监控器M2的监测范围，AM1⊥BM1, BM2⊥CM2,垂足分别为M1,M2,此时BM1=CM2=375m,则水利部门至少需要布设多少个监 控器？ 线 【项目总结】(3)我认为方案 (填“1”或“2”)为最优化方案. ABC河岸 A B河岸C M.M. M M 村落 村落 图1 图2一初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 Saae=SAa十SAs十Saue=号ab 262 1 :∠B=2∠A, ∠CDB=∠B, 1 b,…4分 .'.CD=CB=a, 1 ∴.AD=CD=a, Si助AaED=SAN十SAm十Saae=2ab+2c2+ .DB=AB-AD=c-a.…l0分 2(h-),…6分 ,CE⊥AB, + 62+1 1 1 2 ab= 1 2 4b+. 1 2c2+ a(b-a), 六DE=BE=2(c-a), 1 a2十b2=c2.…10分 六AE=AD+DE=a+2(c-a)=2(c+a).…11分 19.解：(1)9,40,41是一组勾股数.理由如下：…1分 .92+402=81+1600=1681,412=1681, 在△McE中，CE=AC-AE--[2c+o) .92十402=412，……2分 在R△BCE中，CE=BC-BE=a-[合c-a)]、 9,40,41是一组勾股数.…3分 (2)①可以用m表示出n.…4分 6-[2c+a]=a-[2c-a],…12分 .m2+n2=(n+1)2, '.b2=ac+a2, .m2=(n十1)2-n2=2n十1，…6分 ,∴.△ABC是“类勾股三角形”.…13分 n=m21 第⑨，周勾股定理的简单应用 2 …7分 ②这组勾股数是17,144,145. 1.A当铅笔不垂直于底面放置时，铅笔在笔筒内部的最大 提示：当m=17时，n-m,1_17,1-14, 长度为√122+92=15(cm); 2 2 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部的长度 则这组勾股数是17,144,145.…10分 最小，最小长度为12cm, 20.解：(1)AB=BC,AC>AB, 则这支铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围为l2cm≤ a=c,b>c.…1分 l≤15cm, ,△ABC是“类勾股三角形”， 2.C由勾股定理可得，楼梯的水平宽度为√132-52= ∴.ac+a2=b2, 12(m). .c2十a2=b2,…3分 ,'楼梯表面铺地毯所需的长度是楼梯的水平宽度与垂直 ∴△ABC是等腰直角三角形， …5分 高度的和， ∠A=45°.… …6分 ∴.地毯的长度至少需要12十5=17(m). (2)证明：如图. 3.C如图，设离开港口1h后，向东北方向航行的轮船至 点B,向东南方向航行的轮船至点C,连接BC. .'AD=CD, 东 ,.∠A=∠ACD, ∴.∠CDB=∠ACD十∠A=2∠A.…8分 。16。 由题意，得AB=3×1=3(n mile),AC=4×1= 4(n mile),∠BAC=90°， .BC=√AB2+AC=5 n mile,∴.离开港口1h后，两船 相距5 n mile. 4.D由题意作出图形如下. BD 在Rt△AOB中，OB=4m,AB=5m, .OA=√JAB2-OB2=√52-4=3(m). 在Rt△COD中，OC=OA一AC=3-1=2(m),CD= AB=5 m, ∴.0D=√CD2-0C=√52-22=√21(m), .BD=OD-OB=(√21-4)m, 即梯子的底端将滑动（√21一4）m. 5.C由题意，得AC=5尺，DC=1尺，BD=BA. 设BC=x尺，则BD=BA=(x十1)尺. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BA2=AC2+BC2, 即(x+1)2=52+x2, 解得x=12, 即BC=12尺. 解题大招 如果已知直角三角形的两边长，可直接由勾股 定理求第三边长；如果已知直角三角形的一边长及 另两边长的关系，可设未知数，根据勾股定理列方程 求解。 6.8由题意可得，AB=3m,AC=4m,∠BAC=90°. 由勾股定理可得，BC=√AB2+AC=√32+4平= 5(m), ∴.这棵大树折断前的高度为AB十BC=3+5=8(m). 7√2如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与 出发点间的最短距离为√1十1=√2. ② 帅》 8.北偏东50°由题意可知，AP=12 n mile,BP=16 n mile, AB=20 n mile. .122+162=202, ∴△APB是直角三角形， .∠APB=90° 由题意可知，∠1=40°， .∠2=90°-∠1=90°-40°=50°， 即乙轮船沿北偏东50°方向航行. 9.5如图，将圆柱表面展开. D G E H B C ,圆柱高为4m,底面周长为1m, .'.AB=DC=4 m,BC=1 m, ∴FC=3DC=m 4 在R△F中，BF=VC+元-√F+() m ..BF+HE+GD= 5×3=5(m), 则彩带的长至少是5m. 解题大招 此类问题往往化曲为直，将侧面展开转化为平 面内两点之间的距离问题，从而构造直角三角形，根 据勾股定理来解。 10.解：设绳索的长为x尺. 根据题意，得x2一(x一3)2=82，…4分 73 解得x= 61 …7分 73 答：绳索的长为 尺.…8分 一初中数学周末小测卷八年级上册SK版 11.解：边AD垂直于边CD.理由如下：…2分 如图，连接AC D .'AD=60 cm,CD=80 cm,AC=100 cm, 602+802=10000=1002,…4分 ..AD2+CD2=AC2, ∴△ACD是直角三角形，…6分 AD⊥CD.…8分 12.C设AB=xm. 由题意可知，BC=60m,AC=(x十20)m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC,即(x十 20)2=x2+602,解得x=80,所以河宽AB为80m 解题大招 解答该类问题的关键是能从实际问题中构建直 角三角形，抽象出数学问题加以解决.当直接运用勾 股定理比较困难时，常常设直角三角形中的某一条 边为未知数，利用勾股定理建立方程来解答。 13.A卡车宽为2.4m,∴.由题意可得，只需求出距隧道 中线1.2m处的高度，即CH的长即可. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=√OC2-OD=√22-1.22=1.6(m), ∴.CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1(m). 14.B,BE⊥CD, ∠BEC=∠BED=9O°. ∠CBE=45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴.CE=BE=3m ∠EBD=30°， .BD=2DE. 在Rt△BED中，由勾股定理，得BE2十DE=BD, 即32+DE2=(2DE)2, 解得DE=√3（负值舍去）， ∴.CD=CE+DE=(3+√3)m. 15.15如图，连接AC. B :∠ABC=90°，AC=(AB+2)cm,BC=8cm, ∴.AB2+BC2=AC2, .AB2+82=(AB+2)2, ∴.AB=15cm. 16.1.5或3当∠AED=90时，如图所示. C D 由折叠的性质，知∠BED=∠ACB=90°， ∴.∠AED+∠BED=90°+90°=180°， ∴点E在AB上， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√BC+AC √32+4=5. .BE=BC=3,..AE=AB-BE=2. 设CD=x,则DE=x,AD=4一x. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2+AE2=AD2, 即2+2=(4-，解得z号CD-号 21 当∠ADE=90时，如图所示. B 由题意，易得四边形CDEB是正方形， ..CD=BC=3. 综上所述，线段CD的长为1.5或3. 17.解：(1)CH是从村庄C到河边最近的路理由如下： …1分 在△CHB中， CH+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9, ∴.CH2+BH2=BC2, 则EF=70十70=140(m).…9分 .CH⊥AB, 答：需要封锁的路段长度为140m.…10分 即CH是从村庄C到河边最近的路.…4分19.解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E,则AE=BD= (2)设AC=xkm. 15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°， 在Rt△ACH中，由题意，得AC=xkm,AH=(x .CE=√/AC2-AE=√172-15=8(m),…2分 1.8)km,CH=2.4km. ∴.CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m).…3分 由勾股定理，得AC2=AH十CH,…6分 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m.…4分 .∴.x2=(x-1.8)2+2.42,… …7分 解得x=2.5.… 8分 答：原来的路AC的长为2.5km.…9分 解题大招 在运用勾股定理求解线段的长度问题时，若不 能直接计算求值，常常考虑在一个直角三角形中利 用勾股定理列出方程，有时在两个直角三角形中，利 (2)能够成功理由如下：… …5分 用公共边或相等线段列出方程，从而求出线段的长， 假设能上升12m,如图，延长DC至点F,连接AF. 这也体现了方程思想。 由题意可得，CF=12m, ∴.EF=CE+CF=8+12=20(m),…7分 18.解：(1)在Rt△ABC中，AC=-300m,BC=400m, ∴.AF=√AE2+EFz=√152+20=25(m).…8分 由勾股定理，得AB=√AC2+BC=√3002+4002= ,AC=17m,余线仅剩9m, 500(m). 17+9=26>25,…9分 答：A,B两村之间的距离为500m.…4分 .风筝沿射线D℃方向再上升12m,能够成功.…11分 (2)公路AB段需要封锁.…5分 20.解：(1)在Rt△ABM1中，BM1=300m,AM1=500m, 如图，过点C作CD⊥AB于点D,以点C为圆心，250m ∴.AB=√/AM-BM=400(m).…2分 为半径作弧，交AB于点E,F,连接CE,CF. .河岸长5000m,5000÷400=12.5,且监控器的个数 AED F B 为整数， ∴.该水利部门至少需要布设13个监控器。…4分 (2)如图，过点M1作M1N⊥AB于点N. 1 :SAAe=zAB·CD=2AC·BC, 由题意可得，M1N=300m. ÷CD-AC:BC_300X400=240(m..6分 AB 500 由于240m<250m,故公路AB段有危险， M 因此公路AB段需要封锁.…7分 在Rt△M1NB中，M1B=375m, .EC=FC=250 m, 则NB=√M1B2-M1Nz=√3752-300=225(m). ∴.ED=√/2502-2402=70(m. …5分 同理可得，FD=70m, 设AN=x,则AB=AN+BN=225+x. 。170 一初中数学周末小测卷|八年级上册SK版 在Rt△AM1N中，AM=AN2+M1N2=x2+3002. 由勾股定理，得AB'=√AC-BC=√102-82= 在Rt△ABM,中，AM=AB2-BM=(225+x)2-3752, 6(m), ∴.x2+3002=(225+x)2-3752, .BB'=AB-AB'=8-6=2(m). 解得x=400, 4.B,AC=3,BC=4,AB=5,四边形AMNB是正方形， .AN=400m…8分 ∴.0Q=5, 在Rt△AM1N中，AM1=√AN2+NM ∴.折叠成直三棱柱后，CN=√52+4=√④红， √4002+3002=500(m) 点M与点P重合，CM=CP=√52+32=√34. 监控器有效监测距离为500m, .√4I>√34>5， ∴符合题意， ∴与点C距离最大的是点N. ∴.AB=AN+NB=400+225=625(m). 5.C由勾股定理，得AB=√+32=√10，AC= ,河岸长5000m,5000÷625=8, .该水利部门至少需要布设8个监控器.…10分 √32+42=5，BC=√12+4=√/17. (3)2. A边AB和BC的长为无理数，边AC的长为有理数，故 提示：监控器M1的监测范围AB的距离最大，则水利部 原说法错误，不符合题意； 门需布设的监控器个数少.…12分 B.三角形中任意两边都不相等，则△ABC不是等腰三角 第3章综合检测·培优卷 形，故原说法错误，不符合题意； 1.DA42+52=41,62=36,∴.42+52≠62，.不能构成 C.△ABC的面积为4X4- ×34-号×14 直角三角形，故A选项不符合题意； 1×3=6.5,故原说法正确，符合题意； B.,22+32=13,42=16,.22+32≠42，.不能构成直角 D.AB2+BC2≠AC,则△ABC不是直角三角形，故原说 三角形，故B选项不符合题意； 法错误，不符合题意， C.(3)2+(W7)2=10,42=16,∴.(W5)2+(W7)2≠4,6.C设AB=x ∴不能构成直角三角形，故C选项不符合题意： :△ABC的周长为12， D.12+(W2)2=3,(3)2=3,∴12+(W2)2=(W3)2,.能 ∴.AB+AC+BC=12. 构成直角三角形，故D选项符合题意， ,BC=3, 2.C设每个小直角三角形的面积为m,则S1=4m十S2, ..AB+AC=9, S3=S2-4m. .AC=9-x. S1+S2+S3=60, 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC, ∴.4m+S2+S2+S2-4m=60, 即x2=(9-x)2十32， 即3S2=60, 解得x=5,即AB=5. 解得S2=20. :DE是AC的垂直平分线， 3.B由题意可得，AC=AC'=10m,BC=6m,B'C'=8m. .'DA-DC, 在Rt△ABC中， ∴.△BCD的周长为BC+BD+CD=BC+BD+AD= 由勾股定理，得AB=√AC2-BC=√102-6=8(m). BC+AB=3+5=8. 在Rt△AC'B'中， 7.D如图，过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于点F. 。18。 CB平分∠ACD, .'.BE=BF. 在△ABC中，∠ABC=90°，AC=20cm,AB=16cm, BC=12 cm, 1 由三角形的面积公式，得SAx=2AC·BF- 2AB·BC, BF=AB·BC_16X12 AC 20 9.6(cm), ∴.BE=BF=9.6cm, ∴.点B到CD的距离是9.6cm. 8.C①，7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广 义勾股数，故①结论正确. ②13=22+32，.13是广义勾股数，故②结论正确. ③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10 是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论 错误 ④设m1=a2+b2,m2=c2+d2, 则m1·m2=(a2+b2)·(c2+d2) =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd) =(ac+bd)2+(ad-bc)2, 当ad=bc或ac=一bd时，两个广义勾股数的积不一定是 广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2=4,4不 是广义勾股数，故④结论错误， ∴正确的是①②. 9.5,三角形的三边长分别为6,8,10,62十82=102，符合勾 股定理的逆定理，此三角形为直角三角形，10为直角三 角形的斜边. ,三角形斜边上的中线是斜边的一半，∴三角形最长边 上的中线为5. 10.5AB=AC,AD平分∠BAC,BC=12, .AD⊥BC,BD=CD=6, .∠ADB=90°， ∴.AB=√AD2+BD=√82+62=10. E为AB的中点， DE是斜边AB上的中线，DE-2AB=5. 11.37设弦是x,股是x一2，则122十(x-2)2=x2,解得 x=37,则其弦是37. 12.2在Rt△ACD中，AC-2AB=4cm,CD=3cm, 根据勾股定理，得AD=√AC+DC=√/4十3= 5(cm), ∴.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm),故橡皮 筋被拉长了2cm. 13.50如图. F北 30° 北 160 B一→东 A 一→东E 根据题意，得∠DAB=60°，∠FBC=30°，AD∥EF, ∴∠DAB=∠ABE=60°， .∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=180°-60° 30°=90°. 在Rt△ABC中，AB=30km,BC=40km,由勾股定理， 得AC=√AB2+BC2=√302+402=50(km), ∴.A,C两港之间的距离为50km. 14.C.AMP=12=1,MN2=12+22=5,AN2=12+ 12=2, ∴.AM+AN2≠MN2, ∴.△AMN不是直角三角形，故点A不符合题意。 ,MN2=12+22=5,BN2=12+22=5,BM=22=4, .∴.N2+MB2≠BN2, ∴△BMN不是直角三角形，故点B不符合题意. MN2=12+22=5,CN2=12+22=5,MC2=12+ 32=10,