2.6 应用一元二次方程 第1课时 应用一元二次方程(1)　　课件 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.6应用一元二次方程 第1课时 应用一元二次方程（1） 第1课时 应用一元二次方程(1) 情 境 导 入 “梯子”问题 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ ①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 思考下面三个问题： （1）梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？ （2）此问题的已知量、未知量是什么？相等关系是什么？ 如何建立方程？ （3）方程的解是否都符合题意？ （1）在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ x x 解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8-x)2+(6+x)2 =102, x2-2x = 0. x1= 0（舍），x2 = 2. 答：当梯子顶端下滑2 m时， 梯子底端滑动的距离和它相等. “梯子”问题 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 （2）如果梯子长度是 13 米，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 米，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 答：当梯子顶端下滑7 m时， 梯子底端滑动的距离和它相等. 解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12-x)2+(5+x)2 =132, x2-7x = 0, x1= 0（舍），x2 = 7. x m x m “梯子”问题 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 例1.如图：某海军基地位于A处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标B，在B的正东方向 200 n mile处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从 A 出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里） 一元二次方程的应用 新 课 探 究 第1课时 应用一元二次方程(1) 解： 连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB. ∵AB⊥BC，Ab=BC=200n mile, ∴DF = 100 n mile，BF = 100 n mile. 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF-（AB + BE）=（300-2x）n mile. 在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300-2x)2， 整理，得 3x2-1 200x + 100 000 = 0. 解这个方程，得 . 所以,相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 一元二次方程的应用 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 列方程解应用题的一般步骤： 审：审清题意：已知什么？求什么？已知、未知之间有什么关系？ 设：设未知数，语句要完整；（可以直接设：问什么设什么；也可以间接设.） 列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等量关系列方程； 解：解所列的方程； 验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意； 答：答案也必须是完整的语句. 一元二次方程的应用 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 巩固练习 1.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 解: 设较多的钱为 x． 由题意,可得 x(20－x)＝96，解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)． 答：赛义德得到的钱数为12. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 3. 如图，在 <m></m> ，<m></m> , <m></m> ， <m></m> .点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿 <m></m> 边向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动，点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿 <m></m> 边向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动. （1）如果 <m></m> ，<m></m> 分别从 <m></m> ， <m></m> 同时出发，经过几秒后， <m></m> 的面积等于 <m></m> ？ 解:设经过 <m></m> s后， <m></m> 的面积等于 <m></m> ， 根据题意，得 <m></m> ， 整理得 <m></m> ，解得 <m></m> ， <m></m> . 答:经过2 s或3 s后， <m></m> 的面积等于 <m></m> . 巩固练习 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 3. 如图，在 <m></m> ，<m></m> , <m></m> ， <m></m> .点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿 <m></m> 边向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动，点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿 <m></m> 边向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动. （2）如果 <m></m> ， <m></m> 分别从 <m></m> ， <m></m> 同时出发，经过几秒后， <m></m> 的长度等于 <m></m> ？ 巩固练习 解: 设经过 <m></m> s后， <m></m> 的长度等于 <m></m> , 在 <m></m> 中 ， <m></m> ， 有 <m></m> ， 解得 <m></m> （不合题意，舍去）， <m></m> . 答：经过2 s后， <m></m> 的长度等于 <m></m> . 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 3. 如图，在 <m></m> ，<m></m> , <m></m> ， <m></m> .点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿 <m></m> 边向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动，点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿 <m></m> 边向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动. （2）如果 <m></m> ， <m></m> 分别从 <m></m> ， <m></m> 同时出发，经过几秒后， <m></m> 的长度等于 <m></m> ？ 巩固练习 解决动点问题要先分析出动点的运动轨迹，把相应线段的数量关系表示出来是解此类问题的关键.用“静”的方法来处理“动”的问题. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 课 堂 小 结 1、这节课你都学会了什么？ 2、将你的所学形成网络框架. 第1课时 应用一元二次方程(1) 利用一元二次方程解决行程问题 列方程步骤 应用的类型 行程问题 面积问题 动点问题 1.用含x的代数式填空： (1)某直角三角形两直角边长的和为14，设一直角边长为x，则另一直角边长为　 　，  这个直角三角形的面积为  　；  (2)某菱形两条对角线长的差为5，设较长的对角线长为x，则菱形的面积为  　；  (3)某长方形的长为x米，宽是长的一半，则这个长方形的面积为  　.  x2 14－x 课后练习 小结：直接运用几何图形的面积公式，列出一元二次方程求解，注意要把不符合题意的根舍去. 2. (人教9上P4)一个直角三角形的两条直角边长相差 3 cm，面积是9 cm2，较长的直角边长是　 　cm.  　6　 3.(人教9上P25)一个梯形的下底比上底长2 cm，高比上底短1 cm，梯形的面积是8 cm2，求梯形上底和下底的长. 小结：此类题涉及多个未知量，找出最适合的变量设为基准变量是关键. 解：设梯形的上底长为x cm，则下底长为(x＋2)cm，高为(x－1)cm， 由题意，得(x＋x＋2)(x－1)＝8， 解得x1＝3，x2＝－3(不合题意，舍去)， 当x＝3时，x＋2＝5. 答：梯形的上底长为3 cm，下底长为5 cm. 5.北师9上P54改编)(2024内蒙古模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后， △PBQ的面积等于6 cm2？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后， PQ的长度等于5 cm？ 解：(1)设经过x秒后，△PBQ的面积等于6 cm2， 根据题意，得(5－x)×2x＝6， 整理得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3. 答：经过2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6 cm2. (2)设经过t秒后，PQ的长度等于5 cm， 在Rt△PBQ中，∵BP2＋BQ2＝PQ2， ∴(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2. 答：经过2秒后，PQ的长度等于5 cm. 小结：解决动点问题要先分析出动点的运动轨迹，把相应线段的数量关系表示出来是解此类问题的关键.用“静”的方法来处理“动”的问题. 6.(北师9上P35改编、人教9上P17改编)一个矩形的周长是22 cm，面积是30 cm2，矩形的长是　 　cm，宽是　 　cm.  　5　 　6　 7.(北师9上P45改编)如图，有一面积为600 m2的长方形茶园，茶园的一边靠墙(墙长35 m)，另三边用篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).若篱笆的长为69 m，求茶园的长和宽. 解：设茶园垂直于墙的一边长为x m， 则另一边的长度为(69＋1－2x)m， 根据题意，得x(69＋1－2x)＝600， 整理，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题意，舍去； 当x＝20时，70－2x＝30，符合题意. 答：这个茶园的长和宽分别为30 m，20 m. 4.【例3】(北师9上P57改编)如图，在长为8 cm，宽为6 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个底面积为24 cm2的无盖长方体，求截去小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为x cm， 由题意，得(8－2x)(6－2x)＝24. 解得x1＝1，x2＝6(不合题意，舍去). 答：截去的小正方形的边长为1 cm. 小结：解这类图形问题的关键是先将不规则图形分割或组合成规则图形，找出各部分面积或周长之间的关系. 8.如图，某生物兴趣小组要在长30 m，宽20 m的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为468 m2，求小路的宽. 解：设小路的宽应为x m，由题意，得 (30－2x)(20－x)＝468， 解得x1＝2，x2＝33(不合题意，舍去). 答：小路的宽为2 m. ★9. 0.45 (北师9上P40改编)如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，点P停止运动时点Q也停止运动. (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33 cm2？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的 距离第一次是10 cm？ 解：设P，Q两点运动的时间为t s. (1)依题意，得AP＝3t，BP＝AB－AP＝16－3t，CQ＝2t，DQ＝DC－CQ＝16－2t， S梯形PBCQ＝(CQ＋PB)·BC. 又∵S梯形PBCQ＝33，(2t＋16－3t)×6＝33，解得t＝5. 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2. (2)过点P作PE⊥CD交CD于E， 则QE＝DQ－AP＝16－5t， 在Rt△PQE中，PE2＋QE2＝PQ2， 可得62＋(16－5t)2＝102， 解得t1＝(不合题意，舍去)，t2＝ 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10 cm. THANK YOU $