函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问题专项训练 函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问题专项训练 考点目录 函数与导数新定义问题 数列新定义问题 解析几何新定义问题 立体几何新定义问题 考点一 函数与导数新定义问题 1．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 【答案】D 【详解】解：构造函数，则， 取初始近似值，，， 则，即，则A错误； ，，B错误； 根据题意，可知， 上述式子相加，得， 所以，C不正确，则D正确. 故选：D. 2．（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A：，令，则，解得，，存在“坚定点”； 对选项B：，在上单调递减， 时，，时，； 在上单调递增，时，，时，， 所以关于的方程在上有一解，存在“坚定点”； 对选项C：，令， 则，即，显然是“坚定点”； 对选项D：，令，则，因为且，所以不存在“坚定点”． 故选：D. 4．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．8 C．9 D．27 【答案】D 【详解】由题设，的值域为，则或或， 结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从、、中各取至少一个数， 所以共有种. 故选：D 5．（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为时，=1， 所以， 当时，， 所以， 函数的值域是 故选：D 6．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D 上具有性质 P.现有三组函数： ①    ②    ③ 其中具有性质 P 的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①，，则， 则存在，使得，故具有性质P； 对于②，，两函数定义域均为R，由于， 故不存在非零实数c，使得，故不具有性质P； 对于③，，则， 存在，使得，故具有性质P； 故选：B 7．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试·多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BC 【详解】依题意，函数的定义域为， 对于A，，，，函数不是偶函数，A错误； 对于B，，则函数是奇函数，B正确； 对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确； 对于D，由，得，则，的值域为，D错误. 故选：BC 8．（25-26高三上·江苏常州·开学考试·多选）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的“1倍增区间”，则，则或 （舍去），A正确； 对于B，函数中x的取值范围为 ， 若存在“1倍增区间”，则必有或， 又因为函数在区间上递减， 则有，则，解得 ，不符合或，所以B错误； 对于C，因为函数在上单调递减， 若存在“1倍增区间”（）， 则有，即， 两式作差得，即， 又，所以，故， 所以，设，则 ， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需 ，解得，C正确； 对于D，若函数存在“2倍增区间”， 设定义域为，值域为， 当 时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为 ，D正确， 故选：ACD ． 9．（25-26高三上·广东中山·阶段练习·多选）已知，集合.若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的一个子集，以下说法正确的是（   ） A．是数集的一个子集 B．函数可作为某个集合的变换函数 C．函数可作为某个集合的变换函数 D．若满足，则存在函数为集合的变换函数 【答案】ABD 【详解】A：当，时， 此时函数是集合的变换函数， 集合是的子集，正确； B：对于在上单调递减， 显然存在时，有， 此时函数是集合的变换函数， 此时是的子集，正确； C：函数在上单调递减， 当时集合，其中， 假设函数为集合变换函数，则， 即，即，得， 整理后得，，即， 所以，而由，得，显然矛盾， 即函数不是集合变换函数，错误； D：对于，， 当时，，故，与题设矛盾； 当时，且，又， 易知，所以，则， 另或，则（舍）或， 同理，依次可得，，，，此时满足题设； 当时，，则且，又，易知，则， 另或，则（舍）或， 同理，依次可得，，，，此时满足题设； 综上，中，且各元素从小到大构成公比大于1的等比数列， 不妨设中满足首项为1，公比为的等比数列， ，则 ，满足， 设，对且，， 而时，，及有个不同元素，即能覆盖所有元素. 又的图象在区间上是一段连续曲线， 存在函数为集合的变换函数，正确. 故选：ABD 10．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）记为中最小的数.设，，.则的最大值为 【答案】 【详解】设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴，当且仅当时取等号. 所以的最大值为. 故答案为： 11．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为 . 【答案】 【详解】由题意，因为在第一象限，所以， 则，记， 则， 故，，故. 故答案为： 12．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）对于函数，若在其定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部奇函数”，称点和点是函数的一对“局部对称点”，请写出函数的一对“局部对称点”： ；若函数为“局部奇函数”，则实数的取值范围为 . 【答案】 和 【详解】设函数的一对“局部对称点”为， 则，即，解得或， 所以函数的一对“局部对称点”为和； 根据局部奇函数的定义，需存在使得， 不妨设，则，可得方程，即， 问题转化为方程在上有解. 令，求导得 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，当时，， 当，且时，， ，当时，，当时， 因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为：和； 13．（24-25高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点附近用多项式逼近．若函数在包含的闭区间上具有n阶导数，在开区间上具有阶导数，则对上任意一点x，有，其中为泰勒公式的余项．（的n阶导数记为，其中为的导数，为的导数，为的导数．） (1)若，写出在处的泰勒展开式； (2)当时，判断第（1）问中与0的大小，并证明； (3)证明：对任意正整数n，有，其中，． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， ，则； ，则； ，则， 则在处的泰勒展开式为. （2）判断：，证明如下： 由（1）可得， 设， 则， 故在上单调递减，则， 即. （3）对于取对数得， 由（2）知， 由可得，， 当时，， 故， 令，则，所以， 又， 所以， 故，故. 14．（25-26高三上·江苏·开学考试）定义：若函数和同时满足条件①对任意，都有成立，②存在，使得，则称函数为的“伴随函数”，其中称为“伴随点”. (1)设函数，若存在一次函数，使得是的“伴随函数”，求的取值范围. (2)设函数为的“伴随函数”，若函数，试证明：对任意为的“伴随函数”. (3)设函数，若存在一次函数是的“伴随函数”，且“伴随点”，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）首先，根据条件②，存在使得，即， 这是一个关于的二次方程，它至少有一个实数解. 其次，根据条件①，对于任意，有，即， 则二次函数的图象在轴上方或与轴相切， 因此其判别式， 由，得. 结合，代入得，即， 即，故， 代入， 得，由于，故， 因此的取值范围是. （2）证明：为的“伴随函数”，则对任意，都有成立， 且存在满足， 此时，对于，在处有， 由于， 故对任意， 故对任意为的“伴随函数”. （3）的定义域为，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 若存在一次函数是的“伴随函数”， 则满足对任意，都有，且存在，使得， 故当为在处的切线方程时，才满足要求. ， ①若，，此时，则，则此时. ②若， 此时，故切线方程为， 令，得， 由于，设， 所以在上恒成立， 故在上单调递增，所以. ③若，结合②知，， 令，则，而，时取等号， ，此时，与已知矛盾，故舍去. 综上，实数的最大值为. 15．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）定义：非零向量的“伴生函数”为，函数的“源生向量”为（其中为坐标原点）． (1)已知函数，求函数的源生向量的坐标； (2)已知向量为函数的源生向量，求的值； (3)已知向量为函数的源生向量，若关于的方程在区间上恰有五个不相等的实数根，求实数的取值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由源生向量的定义，可得，， 所以函数的源生向量. （2）因为为函数的源生向量，所以， 又，故，即， 所以，又， 所以. （3）由题，可得，方程，即， 整理得，令，， 当时，， 当时，， 所以， 由正弦函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，，， 由方程在区间上恰有五个不相等的实数根， 故函数的图象与有且仅有五个不同的交点， 所以，解得.    16．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. (1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. (2)已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）因为，定义域为， 所以，. 因为是上的凸函数，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 当，即时，只需时，即可，所以， 综上可得. （2）①因为，，所以，. 因为是上的凹函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，， 所以方程在内有两个根，，即. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以. 欲证，即证. 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证. 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立. 欲证，即证. 因为，所以只需证， 即证，即需证. 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证. 故. 17．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数满足“定义域内任意的，都有”则称函数具有“广义对称性”，已知函数. (1)判断是否具有“广义对称性”； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的所有极值点，证明：. 【答案】(1)具有“广义对称性”，理由见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明过程见解析 【详解】（1）具有“广义对称性”，理由如下： ， 故， 故具有“广义对称性”； （2）（ⅰ）由（1）知，具有“广义对称性”， 故，令得，即， 的定义域为，有3个零点，，，其中， 由题意可知，，即若为零点，则也为零点， 故，，， ， 令得，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， ，又时，，时，， 当时，，此时恒成立， 此时在上单调递增，不满足有3个零点， 当时，，此时恒成立， 此时在上单调递减，不满足有3个零点， 当时，存在和，使得，， 当和时，， 当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 其中，故，， 又当时，，当时，， 所以在和上各有1个零点，满足有3个零点， 故； （ⅱ）由（ⅰ）可知，有2个极值点，即， 不妨设， ，两边求导得， 即，故若，则有，即， 又，要证，只需证， 即证， 由（ⅰ）知，故，证毕. 18．（25-26高三上·重庆·开学考试）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当.若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是. (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围. (2)在锐角三角形中，求的最大值. (3)已知正实数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，可得，， 因为是上的下凸函数， 所以在上恒成立，即恒成立， 所以在上恒成立， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）令，， 则，， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （3）因为正实数满足， 所以. 令，， 则，， 因为，所以，，， 即， 所以， 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 考点二 数列新定义问题 1．（24-25高二下·江西上饶·期中）若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为“对奇数列”，则，即， 且，可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中d为非零常数，则称数列为等方差数列．那么（   ） A．是等方差数列 B．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 C．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 D．若是等方差数列，则不存在正整数n，使得 【答案】C 【详解】对于A，当时，有，由于不是一个常数，故A错误； 对于B，由，，则， 因为，所以，则， 解得仍为常数列，这与相矛盾，故B错误； 对于C，因为，所以 而，故C正确； 对于D，当时，总会存在使得，这显然是不成立的， 所以，由，则，即， 所以有 ， 因为，所以一定会随着的增大而增大，且能趋向于正无穷， 则总存在正整数，使得，故D错误； 故选：C． 3．（2025·北京海淀·一模）对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（   ） A．若，则数列不具有性质 B．若，则数列具有性质 C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质 D．若数列和均具有性质，则具有性质 【答案】D 【详解】因，则，由于是个不同的正整数， 因此不可能相等，故数列不具有性质，故A正确； B，，故当为偶数时，，此时， 故取为个不同的偶数，此时， 则数列具有性质，故B正确； 取，由A选项可知，数列不具有性质；取， 则，由于是个不同的正整数，因此不可能相等， 故数列不具有性质；，则， 故任取为个不同的正整数， 有，则数列具有性质，故C正确； 取，，则当为奇数时，， 故取为个不同的奇数，此时， 故数列具有性质；当为偶数时，，故取为个不同的偶数， 此时，故数列具有性质；， 则，由于为个不同的正整数， 则，，，不可能相等， 此时数列不具有性质，故D错误. 故选：D 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线变形得： ，当时， 所以直线过定点，即， 由数列为“等和”数列且（为常数）， 所以， 所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2， 所以 ， 故选：D. 5．（2025·江西·模拟预测·多选）若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（   ） A．数列是形数列 B．“数列是形数列”的充要条件是“” C．若正项单调数列是形数列，则是形数列 D．若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有 【答案】AD 【详解】若，由，得，若，由， 得，故原题意可转化为当时，是形数列． 对于A，易知，而，故， 即，故是形数列，故A正确； 对于B，当是形数列时，，即，得，必要性成立， 下面考虑充分性，当时，，此时没有意义，充分性不成立，故B错误； 对于C，若是递减数列，则．故，于是， 而，故当时，．， 故不是形数列，故C错误； 对于D，显然，则，故， 于是， 同理． 故 ，即，故D正确． 故选：AD． 6．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 【答案】BD 【详解】对于A，若为等差数列，设公差为，则， 当时，，所以不存在满足题意的正数，故A错误； 对于B，若是以1为首项，为公比的等比数列，则，， 则， 因，则当时，，故，故B正确； 对于C，若，则数列是数列，此时， 但不是常数，即数列不是数列，故C错误； 对于D，若数列是数列，即存在常数， 对任意有，即， 则 ，则数列是数列，故D正确. 故选：BD 7．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试·多选）对于，将表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，当时，， 所以，不符合，故B错误； 对C，设， 所以， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，， ∴，故D错误； 故选：AC. 8．（2025·云南昆明·二模）已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为 ． 【答案】24 【详解】当时，按的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况： 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 所以所求操作次数的和为. 故答案为：24 9．（2025·福建宁德·三模）已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为 ，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为 . 【答案】 5 【详解】（1）当时，满足要求的“规范数列”有 ；；；； ； 所以当，时，“规范数列”的个数为. （2），，时，具有“规范数列”数列特征的数列的个数为， 当，，时，由已知数列共有项，其中项为，项为， 所以满足条件的数列的个数为， 若数列为“规范数列”，则第一项为， 若第一项为，第二项为时，“规范数列”个数为， 当第一项为，第二项为，第三项必然为，此时“规范数列”个数为， 所以. 故， 因为函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，， 故答案为：；. 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为 ． 【答案】10120 【详解】已知，，， 则， 因为，所以，，即为以为首项，6为公比的等比数列. 则. 所以，即. 当时，. 因为当时，由,可得， 所以当时，. 故当时， 又，则， 故对于任意，， 所以. 所以. 故答案为：. 11．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， ， ∴数列满足，即数列是“方特数列”. （2）当时，， ，满足条件； 当时，， ∵数列是“方特数列”， ∴，. ∴，∴且， 综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为. （3）当时，由（1）知满足条件， 当且时，， ， ∴， ∴， ， 设，∴， 当时，单调递增；当时，单调递减，∴， ∴， 综上所述，当时，数列是“方特数列”. 12．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列. (1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由). (2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示). (3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)，其中. (3)不能，理由见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，故， 否则，这与为等比数列矛盾. 故，而，故， 故，而，故，即或， 故4阶好数列的各项为：或. （2）设等差数列的公差为， 由，得，即， 因，则，从而，. 若，则为常数列且常数为0，这与矛盾. 当时，因，，则有， 所以，解得. 由得，则. 所以. 当时，同理可得，即. 由得，则， 所以. 综上，，其中. （3）因为，故. 故， 结合绝对值不等式取等的条件可得. 故， 当时， ， 所以， 所以与不能同时成立， 所以数列不能为阶好数列. 13．（2025·湖南湘潭·一模）在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列 ，则加密序列的所有项之和为 ．已知数列的前n项和为 且满足 (1)写出，并求出 ； (2)求 ； (3)证明： 【答案】(1)，； (2)； (3)详见解析； 【详解】（1）， ， ， ， ； ，， 两式做差，可得：； 可得：，故为公比为4的等比数列， 令，，可得， 故； （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 故也为奇偶分段数列，先求（为奇数，且）： ， ， ， ， …… ， ， ， ， 等号两边分别求和，， 等式右边是为首项为5，公差为的等差数列的前项和， 故，， 当时，成立； 当为偶数时，为奇数，此时： ； 故； （3），， ， ， （）； 故 ， 故. 14．（2025·福建三明·模拟预测）数列的项数为，各项互不相同，．设，对数列各项作变换：若，将移到第项；若，将移到第项，得到的新数列记为；对各项重复上述变换，得到的新数列记为；…；依此类推．给定，若存在，使得的第项为，则称是的“关联数”． (1)若：4，1，3，5，2，给定，写出； (2)给定，证明：对任意，2和7都是的“关联数”； (3)已知：若整数，则存在，，，使得，其中．证明：当时，对任意，至少有4个“关联数”． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由：4，1，3，5，2，，结合题设定义，则； （2）设，， 当时， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 当时， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 综上，对任意，2和7是的“关联数”； （3）1与显然是的关联数，只需再找两个关联数， 由题意，存在整数，满足，其中， 显然，只讨论与的情形， 当时，显然，， 若，对做次变换，此时一共变换了个位置，等价于从第项移到第项， 所以对做次变换，将从第项移到第项， 若，对做次变换，即从第项移到第项， 所以重复做次变换，可以把从第项移到第项， 所以对做次变换，就将从第项移到第项， 当时，显然，， 若，对做次变换，此时一共变换了个位置，等价于从第项移到第项， 所以对做次变换，将从第项移到第项， 若，对做次变换，即从第项移到第项， 所以对做次变换，就将从第项移到第项， 综上，是的关联数， 令，又，则满足， 对重复上述讨论过程，得是的关联数， 下证：， 假设，则， 由为整数，，显然矛盾， 所以至少有4个关联数，分别为. 15．（25-26高三上·北京延庆·阶段练习）已知数列，定义：.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质. (1)已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值； (2)已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； (3)已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 【答案】(1)最大值9，最小值5 (2)最小值6 (3)最大值，这样的数列有个 【详解】（1）根据绝对值的性质可得当为单调递增或单调递减数列时，. 定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项. 设数列A：中的极端项依次为，记， 则，其任意的子列,的每个极端项都必然在数列A的某两个相邻极端项之间，故其子列的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列的相邻极端项的绝对值的和，即. 对于具有性质的数列，是1，2，…的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1， 因此其长度为的子列的值不小于. ​数列，. 子序列，，是的最大值， 子序列，，也是的最大值， 子序列，是的最小值. ∴的最大值和最小值分别是和； （2）∵已知数列A：具有性质，则是1,2,3,4,5,6的一个排列， 又∵存在唯一的长度为3的子列，使得， 则子列的极端项恰好是数列的极端项，且子列的极端项只有3个， ∴数列只有3个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项， 这个极端项必为最大项6或最小项1， 当中间的极端项1时，两端的极端项有一端为6，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6， 这样的数列的一个例子为. 中间的极端项为6时，两端的极端项有一端为1，另一端记为，可能为5，4，3，2，都有可能，，其最小值为时取到，最小值为6， 这样的数列的一个例子为. ∴的最小值为6； （3）根据对称性不妨先设.首先证明：对于具有性质的数 ，当最大时，数不存在连续3项单调递增或递减， 假设具有性质的数列存在连续3项单调递增或递减， 即存在使得或， 则将调换到之前，得到， ，与最大矛盾， ∴假设不成立. 因此设，对于具有性质的数列，当最大时，必有， ∵为偶数，数列中的数分成2组： ，中的每个数都小于中的每个数， ∴ , 为了使得取得最大值，要尽可能的大，要尽可能的小， 在此之下，和再取剩余数中的最大和最小值， ∴， 当且仅当时取到“等号”，∴的最大值为， ∵有种不同的排列方式，也有种不同的排列方式， ∴这样的数列有个， 根据对称性，时也有同样的结果，对应的数列也有， ∴使得最大的数列总共有. 考点三 解析几何新定义问题 1．（25-26高三上·湖南·开学考试）若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且， 所以，即，则， 所以的3型双曲线的渐近线为. 故选：D. 2．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.      判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.    故选：A. 3．（2025·山东淄博·三模·多选）旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例如， 对任意平面向量，把 绕起点 沿逆时针方向旋转角得到向量 ，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转 角得到点 .已知椭圆 ，绕坐标原点逆时针旋转得到斜椭圆 ，则下列结论正确的是:（ ） A．已知点 ，点 ，把点绕点逆时针旋转 得到点 B．斜椭圆 的离心率是 C．斜椭圆 方程是 D．过斜椭圆 在第一象限内的焦点作斜率为 的直线，与斜椭圆交于点 ，则 【答案】ACD 【详解】，由新定义可得， 所以，A正确， 由，可得，其离心率为：，故的离心率为，B错误 设上任意一点，绕坐标原点 逆时针旋转 得到， 由新定义可得：， 所以，代入， 可得：， 也即斜椭圆 方程是 ，C正确， ，右焦点坐标为：，绕坐标原点 逆时针旋转 ， 可得第一象限焦点坐标， 此时过焦点斜率为的直线方程为：， 设与斜椭圆的两交点坐标为， 联立，消去可得：， 所以， 所以， 所以，D正确， 故选：ACD 4．（2025·海南·模拟预测·多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（   ） A． B．点在C上，则 C．点N在椭圆上，若，则 D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 【答案】ACD 【详解】由题意，，即， 对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，故错误； 对于，椭圆的焦点坐标恰好为与，则， 由，得：， 则，，故C正确； 对于D，设，则，而，则， 又根据勾股定理得，则，化简得， 解得，因此，故D正确； 故选：ACD． 5．（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【详解】圆的圆心在轴上，设圆与的另一个交点为， 设，当点不与点重合时，直线的方程为， 联立，解得，所以点纵坐标为，此时点， 当点与点重合时，点的纵坐标也满足，所以， 对任意的，，所以的定义域为， 对于命题①，因为，所以是偶函数，故①正确； 对于命题②，因为，当时，，即在区间上单调递增， 所以当时，若，则，所以②错误， 对于命题③，，因为，当时，， 当时，，又，当且仅当，即时取等号， 所以，故③正确， 对于命题④，，令， 则，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，即时，， 即当时，的最小值为，所以④错误， 故答案为：①③. 6．（2025·浙江绍兴·二模）设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为 . 【答案】/-0.125 【详解】当时，，即，平方得，即， 此时 ，. 当时，，即，平方得，即， 此时 ， 综上，的最小值为. 故答案为：. 7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)是，理由见解析； (3)证明过程见解析. 【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. （2）若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 8．（2025·湖北黄冈·二模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）（1）因为，即， 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以； （2）（i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线， 设为曲线E上点旋转后的对应点， 设，则， 又因为， 所以，整理得，   （ii） 由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且， AB与CD交点满足，且在椭圆内部， 当AB与重合时；· 当AB与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 所以，         同理可得，                              ， 当且仅当，即时取等号，             因为，即四点构成的四边形面积的最小值为. 9．（2025·湖北·模拟预测）对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意，， 则，，而， 因此，，所以点. （2）设，，，并记， 则，因此， 即， 于是，即， 因此只要证明方程组有解即可，令，，，， 则只要证明方程组有解即可，而点P在椭圆外，则，即， 圆的圆心到直线的距离， 因此直线和圆相交，即方程组有解， 所以存在点A，B使得它们关于点P构成“-共轭点对”. （3）设，，，由（2）知直线的方程为， 由消去得，， 又，则 ，令，函数在上单调递增， 当时，，即当时，， 所以面积的最大值为. 10．（2025·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i），；（ii）证明见解析 【详解】（1）设，则，， 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到， 则， 则，解得，，因此点的坐标是. （2）（i）在双曲线上任取一点， 将绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 则 又点在曲线上，则， 化简得双曲线的标准方程为：， 则，，，故离心率. （ii）由（i）可知，，由题意可知直线的斜率存在不为0， 故设直线方程为：，，， 联立，得， 则，，，， 因线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为， 即， 又，， 则线段的垂直平分线为， 同理线段的垂直平分线为， 设， 因点是的外心，则有， 则是方程， 即的两个根， 则，， 故，， 两式作商得，， 得，则， 即直线与直线的斜率之积为定值. 11．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等. 如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故相等，则相等，    所以相等，而，所以相等，即离心率相等； 若离心率相等，则相等，则相等，则相等； 同理，相等，则相等，所以相等； 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等. （2）设椭圆的半焦距为. 因为椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似，所以椭圆的离心率也为， 若的面积为，又的面积与的面积之比为， 所以的面积为． 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为． （3）由离心率相等可知椭圆的方程为， 如图，设直线MN的方程为的中点为．      由消去并整理得， 则，即， 由MN的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 椭圆中，短半轴长，半焦距， 所以椭圆的“焦顶三角形”的周长为 故椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围是． 12．（2025·辽宁·二模）过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． (1)若，点，求； (2)若，，判断圆是否具有性质，并说明理由； (3)若，圆具有性质，求． 【答案】(1) (2)圆不具有性质，理由见解析 (3)2 【详解】（1）由题意知，，， 则，，， 所以； （2）取，圆， 设切线方程为，， 由，解得， 将直线代入， 解得或或， 假设，， 则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切， 所以圆不具有性质； （3）取，圆， 设切线方程为，，则，① 将直线代入，解得，或，， 假设，由对称性可得， 所以直线的方程为，由直线和圆相切，可得，② 由①②解得，． 下面证明当时，满足条件． 设，，，， 则， 所以直线的方程为， 即， 同理得直线的方程为， 所以直线的方程为． 由直线与圆相切，得， 即， 同理由直线与圆相切得， 所以，为方程的两个根， 所以，， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相切，所以． 考点四 立体几何新定义问题 1．（24-25高二上·湖北·期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】因为为一组不共面的空间向量，则不能用，线性表示， 即只有当时，. 对于A：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故A错误； 对于B：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故B错误； 对于C：设， 整理得：， 所以有，取， 所以，，线性相关，故C错误； 对于D：设， 整理得：， 所以有，解得， 所以，，线性无关，故D正确. 故选：D 2．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确． 故选：B 3．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据正方体的特征易知平面，平面， 平面，所以， 又，则， 如图建立平面直角坐标系，设， 则，整理得， 即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径； 因为，则P轨迹为以为中心， 一条对角线长4且在纵轴上的正方形， 如上图所示，，易得， 过圆心作的垂线，可知垂线方程为 易得上的垂足，显然在线段上， 而上的垂足，显然H距N远， 则圆心到的距离为， 圆心到H的距离. 故选：A 4．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习·多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是（   ） 注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体 A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥 B．存在7条棱的多面体 C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同 D．若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12 【答案】AD 【详解】A选项：代入欧拉公式得，故为六棱锥，A正确； B选项：若，则，而V，，故，或，，无论哪种情况都无法形成多面体，B错误； C选项：任意相邻两个面的边数都不同，因此每个顶点至少连接4个面，设共有x个五边形，y个六边形，则（数遍每个五边形的5个顶点和每个六边形的6个顶点，则该多面体每个顶点都被至少数了4遍），考虑所有多边形的内角和，注意每个顶点所连接的内角之和小于，故，整理得无解，C错误； D选项：①若每个面都是正方形，则每个顶点连接3个面（正方形内角为90°），每条棱连接2个面，故，，代入得，此时为正方体， ②若每个面都是正五边形，则每个顶点连接3个面数（正五边形内角为108°）， 每条棱连接2个面，故，，代入得，此时为正十二面体， ③若即存在正方形又存在正五边形，则每个顶点连接3个面，每条棱连接2个面，设共有m个正方形，n个正五边形，则，，代入欧拉公式得， 因为每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，故每个顶点要么连接2个正方形1个五边形，要么连接1个正方形2个五边形， （i）若每个顶点连接2个正方形1个五边形，则，，解得，，，此时为侧面为正方形的正五棱柱， （ii）若每个顶点连接1个正方形2个五边形，此时考虑某个五边形，其5条边每条边相连的面一定是五边形正方形间隔环形排列，而5是奇数，不可能； 因此符合题意的简单凸多面体的面数只可能为6，7，12，D正确. 故选：AD 5．（24-25高一下·江西九江·期末·多选）球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球的半径为1，A，B，C为球面上三点.平面中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.球面中，，的弧长分别记为线段OA，OB，OC与球面围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面.设，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则球面的体积 【答案】ABD 【详解】对于， 由，得，即，故A正确； 对于由，得，故B正确； 对于C，，∴， 即， 又， ∴，， 取，满足， 此时，故C错误； 对于D，， 则平面的面积为， 此时三棱锥为边长为1的正四面体，取的中点，连接， 过点作⊥平面，交于点， 其中，，故， 故到平面ABC的距离， 所以三棱锥的体积， 则球面的体积，故D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高一下·贵州·阶段练习）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面所成二面角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为 ． 【答案】 【详解】如图，连接，设，连接，则平面， 取的中点，连接， 则由正四棱锥的结构特征可知，， 所以为侧面与底面所成的角，设， 则，在中，， 所以，又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为， 故正四棱锥在顶点处的曲率为. 故答案为：. 7．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】连接，由已知在中， 又因为是的中点，所以， 又且都在平面内，所以平面， 所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为：. 8．（24-25高二上·浙江·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． (1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 【答案】(1)2 (2)① ；② 【详解】（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； （2）① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在空间直角坐标系O－xyz中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为． (1)若直线l的方向向量为，平面α的一般式方程为，求直线l与平面α所成角的正弦值； (2)若平面β经过点，点，点，平面γ的一般式方程为，直线l为平面β和平面γ的交线，求平面β的一般式方程，并求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； (3)已知集合，，记集合Q中所有点构成的几何体为，中所有点构成的几何体为． （ⅰ）若，求几何体的体积和的表面积． （ⅱ）若，求几何体的体积关于m的函数关系式． 【答案】(1) (2)，或（写出其中一个即可） (3)（ⅰ），21 （ⅱ） 【详解】（1）平面α的一般式方程为， 则平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角为， 所以， 即直线l与平面α所成角的正弦值为. （2） 设平面β的一个法向量， 则，不妨取，则， 此时， 所以平面β的一般式方程为， 又平面γ的一般式方程为，则平面γ的一个法向量， 设直线l的一个方向向量，又直线l为平面和平面γ的交线， 则，不妨取，则， 此时， 所以直线l的一个单位方向向量为或（写出其中一个即可）. （3）（ⅰ）集合， 所以集合是以原点为中心，边长为2的正方体， 时，， 当时，即， 根据题意知是平面的一般方程，且过， 则，形成的是一个三棱锥，如图， 所以形成的立体几何图形为八面体， 体积， 又在八面体中时的截面是对角线长为3的正方形，与正方体上底面交点如图， 正方形对角线长为3，正方形边边长为2， ，则等腰直角三角形中，， 所以中所有点构成的几何体为如下图所示， 则几何体为的表面积， 所以，几何体的体积为，的表面积21. （ⅱ）由（ⅰ）知，时，八面体在正方体六个面的交线都为六边形， 正方形对角线长为，正方形边边长为2， ， 则等腰直角三角形中，， 故几何体的体积， 即. 10．（2025·山东青岛·模拟预测）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，，，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出的面数和棱数. 【答案】(1)，； (2)，； (3)①16；②，共有12个面，24条棱. 【详解】（1）集合表示平面上所有的点， 表示这八个顶点形成的正方体内所有的点， 而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点. 发现它是边长为2的正方形，因此. 对于，当时， 表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知Q表示，， 这六个顶点形成的正八面体内所有的点. 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点. 它是边长为的正方形，因此. （2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，； 考虑集合的子集； 即为三个坐标平面与围成的四面体. 四面体四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为 由对称性知， 考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体， 即， ， 显然为两个几何体公共部分， 记，，，. 容易验证，，在平面上，同时也在的底面上. 则为截去三棱锥所剩下的部分. 的体积，三棱锥的体积为. 故的体积. 当由对称性知，. （3） 如图所示，即为所构成的图形. 其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥， 其中到面的距离为， ，. 由题意面方程为，由题干定义知其法向量 面方程为，由题干定义知其法向量 故. 由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为. 由图可知共有12个面，24条棱. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问题专项训练 函数与导数新定义问题、数列新定义问题、解析几何新定义问题、立体几何新定义问题专项训练 考点目录 函数与导数新定义问题 数列新定义问题 解析几何新定义问题 立体几何新定义问题 考点一 函数与导数新定义问题 1．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 2．（24-25高三上·河北石家庄·期中）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义的实数根为的“坚定点”，已知，且，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．8 C．9 D．27 5．（25-26高三上·广东肇庆·阶段练习）设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D 上具有性质 P.现有三组函数： ①    ②    ③ 其中具有性质 P 的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试·多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 8．（25-26高三上·江苏常州·开学考试·多选）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 9．（25-26高三上·广东中山·阶段练习·多选）已知，集合.若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的一个子集，以下说法正确的是（   ） A．是数集的一个子集 B．函数可作为某个集合的变换函数 C．函数可作为某个集合的变换函数 D．若满足，则存在函数为集合的变换函数 10．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）记为中最小的数.设，，.则的最大值为 11．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为 . 12．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）对于函数，若在其定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部奇函数”，称点和点是函数的一对“局部对称点”，请写出函数的一对“局部对称点”： ；若函数为“局部奇函数”，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点附近用多项式逼近．若函数在包含的闭区间上具有n阶导数，在开区间上具有阶导数，则对上任意一点x，有，其中为泰勒公式的余项．（的n阶导数记为，其中为的导数，为的导数，为的导数．） (1)若，写出在处的泰勒展开式； (2)当时，判断第（1）问中与0的大小，并证明； (3)证明：对任意正整数n，有，其中，． 14．（25-26高三上·江苏·开学考试）定义：若函数和同时满足条件①对任意，都有成立，②存在，使得，则称函数为的“伴随函数”，其中称为“伴随点”. (1)设函数，若存在一次函数，使得是的“伴随函数”，求的取值范围. (2)设函数为的“伴随函数”，若函数，试证明：对任意为的“伴随函数”. (3)设函数，若存在一次函数是的“伴随函数”，且“伴随点”，求实数的最大值. 15．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）定义：非零向量的“伴生函数”为，函数的“源生向量”为（其中为坐标原点）． (1)已知函数，求函数的源生向量的坐标； (2)已知向量为函数的源生向量，求的值； (3)已知向量为函数的源生向量，若关于的方程在区间上恰有五个不相等的实数根，求实数的取值． 16．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. (1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. (2)已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 17．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数满足“定义域内任意的，都有”则称函数具有“广义对称性”，已知函数. (1)判断是否具有“广义对称性”； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的所有极值点，证明：. 18．（25-26高三上·重庆·开学考试）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当.若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是. (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围. (2)在锐角三角形中，求的最大值. (3)已知正实数满足，求的最小值. 考点二 数列新定义问题 1．（24-25高二下·江西上饶·期中）若数列满足，则称为“对奇数列”.已知为“对奇数列”，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中d为非零常数，则称数列为等方差数列．那么（   ） A．是等方差数列 B．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 C．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 D．若是等方差数列，则不存在正整数n，使得 3．（2025·北京海淀·一模）对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（   ） A．若，则数列不具有性质 B．若，则数列具有性质 C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质 D．若数列和均具有性质，则具有性质 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·模拟预测·多选）若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（   ） A．数列是形数列 B．“数列是形数列”的充要条件是“” C．若正项单调数列是形数列，则是形数列 D．若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有 6．（24-25高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为数列.则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则为数列 B．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为数列 C．若为一数列，则也为数列 D．若为一数列，则也为数列 7．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试·多选）对于，将表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·云南昆明·二模）已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为 ． 9．（2025·福建宁德·三模）已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为 ，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为 . 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为 ． 11．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 12．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列. (1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由). (2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示). (3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由. 13．（2025·湖南湘潭·一模）在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列 ，则加密序列的所有项之和为 ．已知数列的前n项和为 且满足 (1)写出，并求出 ； (2)求 ； (3)证明： 14．（2025·福建三明·模拟预测）数列的项数为，各项互不相同，．设，对数列各项作变换：若，将移到第项；若，将移到第项，得到的新数列记为；对各项重复上述变换，得到的新数列记为；…；依此类推．给定，若存在，使得的第项为，则称是的“关联数”． (1)若：4，1，3，5，2，给定，写出； (2)给定，证明：对任意，2和7都是的“关联数”； (3)已知：若整数，则存在，，，使得，其中．证明：当时，对任意，至少有4个“关联数”． 15．（25-26高三上·北京延庆·阶段练习）已知数列，定义：.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质. (1)已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值； (2)已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值； (3)已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数. 考点三 解析几何新定义问题 1．（25-26高三上·湖南·开学考试）若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 3．（2025·山东淄博·三模·多选）旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例如， 对任意平面向量，把 绕起点 沿逆时针方向旋转角得到向量 ，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转 角得到点 .已知椭圆 ，绕坐标原点逆时针旋转得到斜椭圆 ，则下列结论正确的是:（ ） A．已知点 ，点 ，把点绕点逆时针旋转 得到点 B．斜椭圆 的离心率是 C．斜椭圆 方程是 D．过斜椭圆 在第一象限内的焦点作斜率为 的直线，与斜椭圆交于点 ，则 4．（2025·海南·模拟预测·多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（   ） A． B．点在C上，则 C．点N在椭圆上，若，则 D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 5．（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 6．（2025·浙江绍兴·二模）设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为 . 7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 8．（2025·湖北黄冈·二模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 9．（2025·湖北·模拟预测）对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 10．（2025·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 11．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 12．（2025·辽宁·二模）过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． (1)若，点，求； (2)若，，判断圆是否具有性质，并说明理由； (3)若，圆具有性质，求． 考点四 立体几何新定义问题 1．（24-25高二上·湖北·期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习·多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是（   ） 注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体 A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥 B．存在7条棱的多面体 C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同 D．若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12 5．（24-25高一下·江西九江·期末·多选）球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球的半径为1，A，B，C为球面上三点.平面中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.球面中，，的弧长分别记为线段OA，OB，OC与球面围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面.设，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则球面的体积 6．（24-25高一下·贵州·阶段练习）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面所成二面角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为 ． 7．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为 . 8．（24-25高二上·浙江·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． (1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在空间直角坐标系O－xyz中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为． (1)若直线l的方向向量为，平面α的一般式方程为，求直线l与平面α所成角的正弦值； (2)若平面β经过点，点，点，平面γ的一般式方程为，直线l为平面β和平面γ的交线，求平面β的一般式方程，并求直线l的单位方向向量（写出一个即可）； (3)已知集合，，记集合Q中所有点构成的几何体为，中所有点构成的几何体为． （ⅰ）若，求几何体的体积和的表面积． （ⅱ）若，求几何体的体积关于m的函数关系式． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，，，，且为该平面的法向量.已知集合，，. (1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值； (2)记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值： (3)记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出的面数和棱数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $