第12章 全等三角形 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第12章综合评价 害 (时间：100分钟满分：120分) 、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 新 1.一个等腰三角形的底角度数为70°，则它的顶角度数为( A.100 B.140° C.50 D.40° 2.若△ABC≌△DEF,AB=6,BC=8,FD=10,则△DEF的周 长为 A.12 B.16 C.20 D.24 3.下列命题的逆命题是真命题的是 ( ) A.两直线平行，内错角相等 B.如果a=b,那么a2=b C.钝角三角形中有两个锐角 D.对顶角相等 4.如图，公园里有一座假山，要测假山两端A,B之间的距离，先 在平地上取一点C,分别连结并延长AC,BC到点D,E,使 CD=CA,CE=CB,连结DE,此时△ABC≌△DEC,通过测量 DE的长就可以得到假山两端A,B之间的距离.其中，判定 △ABC≌△DEC的依据是 A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS D (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，AB=ED,BC=DC,CA=CE,∠ACB=80°，∠1=50°，则 ∠2等于 A.20° B.30 C.50° D.80° 6.如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为 棕 圆心，大于AB的长为半径作孤，两孤交于点E,F,过点E,F 如 作直线交AC于点D,连结BD,则△BCD的周长为( ) A.7 B.8 C.10 D.12 7.如图，BC,AE是锐角三角形ABF的高，相交于点D,若AD= BF,AF=7,CF=2,则BD的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 (第7题图) (第8题图》 (第9题图) 13 8.如图，E是等边三角形ABC的边AC上一点，∠1=∠2，BE= CD,则△ADE的形状描述最准确的是 ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定 9.如图，在△ABC中，CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,已知 △ABC的面积为12cm2,则阴影部分的面积为 ( A.6 cm2 B.8 cm2 C.10 cm2 D.12 cm2 10.将两块大小相同的三角尺（∠B=∠C=30°）按如图所示的位 置摆放.BE交CF于点D,交AC于点M,AB交CF于点N. 有下列结论：①∠EAM=∠FAN;②△ACN≌△ABM; ③∠EAF+∠BAC=120°；④EM=FN;⑤CF⊥BE.其中，正 确结论的个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 A路灯 P B (第10题图) (第11题图) (第13题图) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，已知∠C=∠D=90°，添加一个条件，可直接用“HL”判定 Rt△ABC与Rt△ABD全等，则添加的条件是 12.“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是 13.小明利用一根3长的竹竿来测量路灯的高度.他的方法如 下：如图，在路灯前选一点P,使BP=3m,并测得∠APB=70°， 然后把竖直的竹竿CD(CD=3m)在BP的延长线上移动，使 ∠DPC=20°，此时量得BD=11.2m.则路灯的高度是 m. 14.如图，在△ABC中，∠A=∠ABE,CD平分∠BCE,且CD⊥1 BE于点D,AC=5,BC=3,则DE的长为 (第14题图) (第15题图) 15.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°.点D在边BC上运 动（点D不与点B,C重合），连结AD,作∠ADE=30°，使DE 交边AB于点E.在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三 角形时，∠CAD的度数为 14 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)如图，AB=CD,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点 F,AF=CE.求证：△ABE≌△CDF; (2)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的 周长为21cm,△ABD的周长为13cm,求AE的长. 17.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD=DE=EB,BC= BD,求∠A的度数. 15 18.(9分)如图，工人师傅要在墙壁上的点O处用电钴打孔，要使 钻头从墙壁对面的点B处打出.已知墙壁厚30cm,点B与点 O的铅直距离AB为15cm.在点O处作一直线平行于地面， 在直线上截取OC=30cm,过C作OC的垂线，在垂线上截取 CD=15cm,连结OD,然后沿着DO的方向打孔，就能使钻头 正好从点B处打出，为什么？ 19.(9分)如图，在△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB. (1)请用尺规作出∠A的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连结DE.求 证：BE=DE. 20.(9分)如图，在△AFD和△CEB中，点A,E,F,C在同一条 直线上，有下列四个选项：①AD=CB;②AE=CF;③DF= BE;④AD∥BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结 论，构成一个真命题.并写出证明过程 条件：，结论： .(填序号) —16 21.(9分)如图，已知在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的 外角平分线交于点D,过点D作DE⊥BC于点E. (1)若∠BAC=68°，求∠BDC的度数； (2)连结AD,求证：AD平分∠CAM. M CE 22.(10分)如图，在等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F 是BC延长线上一点.连结BE,AF.G是线段BE的中点， BN∥AC,交AG的延长线于点N. (1)若∠BAN=15°，则∠N的度数为 (2)若AE=CF,求证：AF=2AG. -17 23.(10分)如图①，AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A,B,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A 向点B运动，同时点Q在射线BD上运动，它们运动的时间 为t$.（当，点P运动结束时，点Q运动随之结束) (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t=1时， △ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段 PQ的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点 Q的运动速度为xcm/s,其他条件不变，当点P,Q运动多 少秒时，△ACP与△BPQ全等？求出相应的x的值， 图① 图② —18-10c+25=0.∴.(a-2b)2+(b-3)2+(c-5)2=0..b=3,c=5,a=6.∴.△ABC的周 长为3十5十6=14.21.解：(1)由题意，得(3a-b)(3a十b)-(a十b)2=9a2-b2-a2 2ab-b=8a2-2ab-26.答：长方形实验田比正方形实验田多种植了(8a2-2ab-26)株 豌豆幼苗.(2)由题意，得(3a-b)(3a十b)+(a+b)2=9a2-b+a2十2ab+b2=10a2+ 2ab.当a=4,b=3时，原式=10×4十2×4×3=184.答：该种植基地这两块实验田 共种植了184株豌豆幼苗，22.解：(1)由题意，得当x=3时，x2十kx十12=0..9十 3k十12=0，解得k=-7.(2)由题意，得当x=3或x=4时，x3十mx2十12x十n=0. :/27+9m+36+n=0. 解得/m一7， (3)由(2)，知m=-7,n=0.∴.原式=x3-7x2 64+16m+48+n=0 n=0. +12x=x(x2-7x+12)=x(x-3)(x-4).23.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+6 (2)①5②5(3)设正方形ACDE的边长为m,正方形BCGF的边长为n.则S1=m, S2=n2,AG=AC+CG=m十n=7..S+S2=m+n2=25,(m十n)2=72=49..m2+ T+2mn=49.∴25十2mn=49.mm=12.用来种花的阴影部分的面积为号AC·BC- 1 2m=2X12=6. 第12章综合评价 1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B 11.AC=AD(BC=BD) 12.如果两个三角形全等，那么对应的三边相等13.8.214.115.45°或90°16.(1)证明： BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠DFC=90°.：AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,.AE= AB=CD, CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).(2)解：DE是 AE-CF. AC的垂直平分线，·AD=DC,AE=CE=号AC.”△ABC的周长为21cm,·AB十BC+ AC=21cm.:△ABD的周长为13cm,∴.AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC= 13cmAC=21-13=8(m.∴AE=号AC=4m17.解：AD=DE=EB,∠A= ∠AED,∠ABD=∠BDE.设∠BDE=∠ABD=x,则∠A=∠AED=∠BDE+∠ABD=2x. .∠BDC=∠A十∠ABD=3x..'BD=BC,.∠C=∠BDC=3x.AB=AC,.∠ABC= ∠C=3x.在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，即3x十3x+2x=180°，解得x=22.5°. ∴∠A=2x=45°.18.解：由题意，得OA=OC=30cm,AB=CD=15cm.:OC⊥CD, OA=OC, ∴.∠OAB=∠OCD=90°.在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD,∴.△AOB≌△COD AB=CD. (SAS).∴∠AOB=∠COD.∴点B,O,D在同一条直线上..沿着DO的方向打孔，就能使钻 头正好从点B处打出.19.(1)解：如图所示.(2)证明：：AE平分 ∠BAC,∴.∠BAE=∠DAE.在△ABE和△ADE中， AB=AD, ∠BAE=∠DAE,.△ABE≌△ADE(SAS).∴.BE=DE. 20.解：答案 AE-AE. 不唯一，如：①②③④证明如下：：AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在 AD=CB, △AFD和△CEB中，DF=BE,.△AFD≌△CEB(SSS).∴∠A=∠C..AD∥BC. AF=CE, 21.(1)解：，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,.∠ABD=∠CBD, ∠ACD=∠DCN.·∠BAC=68°，∴∠ACN-∠ABC=∠BAC=68°，∴.∠DCN- 76 ∠CBD=(∠ACN-∠ABC)=∠BAC=X6=3,:∠BDC=∠DCN ∠CBD,∴∠BDC=34°.(2)证明：过点D作DP⊥BM于点P,DQ⊥AC于点Q.:DE ⊥BC,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,DP=DE,DQ=DE,.DP=DQ,.AD平 分∠CAM.22.(1)解：45°(2)证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠BAC=∠ACB= 60°，AB=AC.BN∥AC,∴∠N=∠GAE,∠ABN=180°-∠BAC=120°.：G是线 ∠N=∠GAE, 段BE的中点，.BG=EG.在△NBG和△AEG中， ∠VGB=∠AGE,∴.△NBG≌ BG=EG, △AEG(AAS)..AG=NG,EA=BN.AE=CF,.BN=CF.:∠ACB=60°， ∴.∠ACF=180°-∠ACB=120°=∠ABN.在△ABN和△ACF中， BN=AF, ∠ABN=∠ACF△ABN≌△ACF(SAS).AF=AN.:AG=NG=AN, AB=AC, .AF=2AG.23.解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下：.AC⊥AB,BD AB,.∠A=∠B=90°.由题意，得AP=BQ=2X1=2(cm),∴.BP=AB-AP=5cm. AP=BQ, ∴.BP=AC.在△ACP和△BPQ中，∠A=∠B,∴△ACP≌△BPQ(SAS)..∠C= AC=BP, ∠BPQ.∠APC+∠C=90°，∴.∠APC+∠BPQ=90°..∠CPQ=180°-（∠APC+ ∠BPQ)=90°..PC⊥PQ.(2)分两种情况讨论：①若△ACP≌△BPQ,则BP=AC= 5cm,AP=BQ,.BQ=AP=AB-BP=2cm..2t=2,xt=2,解得t=1,x=2;②若 △ACP≌△BQP,则AP=BD,BQ=AC=5em,AP=BP=号AB=号em.2= 7 名m=5,解得1=子，x=9,综上所述，当点P,Q运动1s或子s时，△ACP与 △BPQ全等，相应的x的值分别为2或9. 期中综合评价 1.B2.C3.B4.C5.C6.B7.B8.A9.A10.C【解析】如 图，由题可知AD=BD=BC,∴.∠A=∠ABD,∠C=∠BDC.设∠A=x, 则∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2x,∠C=2x.AB=AC,.∠ABC =∠C=2x..x十2x十2x=180°，解得x=36°.∠ABC=2x=72°.故B2 选C.11.a(a十4)(a-4)12.假13.414.10°15.6或1216.解：(1)原式=5 -3+号-1=12.(2)原式-3(x2-4y+4y)=3(-2),17.解：原式=[(d- b+4ab-46)-(a-4)]÷(-3a）=(a+3ab-46-a+46)÷(-3a）=3ab ÷(弓）=-96，当a=号，b=一号时，原式=-9X(-号)=6.18.1)解：如图 所示.(2)证明：∠BAE=∠DEA,∴AB∥DE.∠B=∠D.在 AB=CD, △ABC和△CDE中，∠B=∠D,∴.△ABC≌△CDE(SAS)..AC= BC=DE, CE.又：CF是∠ACE的平分线，∴.CF⊥AE.19.解：(1)由题意知，2a-14十a十2=0， 36+1=-3,解得a=4,b=-28,∴.x=(a十2)2=36，.x和b的值分别为36和-28. (2)c是√17的整数部分，4<√/17<5，∴.c=4,.a-b+c=4-(-28)+4=36.36 77 的平方根为士6，.a一b十c的平方根为士6.20.解：(1)A=x2+10x十25-6十x十x -4=2x2+11x十15.(2)(x十3)2=16且x>0,x+3=4或x十3=-4..x=1或 x=-7(舍去).把x=1代入多项式A中，得A=2×1+11×1十15=28.21.(1)证 AE=CE, 明：E为AC的中点，∴.AE=CE.在△AED和△CEF中，∠AED=∠CEF, DE=FE, ∴△AED≌△CEF(SAS),∴∠A=∠ACF,.CF∥AB.(2)解：：∠A=∠ACF=70°，∠F- 35°，∴∠AED=∠CEF=180°-70°-35°=75°.BE⊥AC,∴∠AEB=90°.∠BED =90°-75°=15.22.解：(1)：(2x,kx)☒(2y,-y)=(2x十y)2,.4x2十y2-2kxy= 4x2+4xy+y..-2kxy=4xy.k=-2.(2):(3x+y,2x2+3y2)☒(3，x-3y)= (3x+y)2+(x-3y)2-(2x2+3y)×3=104,.4x2+y=104.2x+y=12,.(2x十 y)2=4x2+y2+4xy=104+4xy=144..xy=10.23.(1)证明：：∠ACB=∠DCE= a,.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中， CA=CB, ∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS)..AD=BE.(2)解：由(1)知△ACD≌ CD=CE. △BCE,∴·∠CAD=∠CBE.'∠BAC+∠ABC=l80°-a,∴.∠BAM+∠CAM+ ∠ABC=180°-a..∠BAM+∠CBE+∠ABC=∠BAM+∠ABM=180°-a. ∴.∠AMB=180°-（∠BAM+∠ABM)=a.(3)解：△CPQ为等腰直角三角形.证明如 下：由(1)知△ACD≌△BCE,.∠CAP=∠CBQ,BE=AD.:AD,BE的中点分别为 点P,QAP=号AD,BQ=是BE.&AP=BQ在△ACP和△BCQ中， CA=CB, ∠CAP=∠CBQ,∴.△ACP≌△BCQ(SAS).∴.CP=CQ,∠ACP=∠BCQ..∠ACP AP-BQ. 十∠PCB=∠ACB=90°，∴∠BCQ十∠PCB=90°，即∠PCQ=90°.∴△CPQ为等腰直 角三角形， 第13章综合评价 1.C2.A3.D4.C5.C6.C7.C8.C9.B10.D11.512.直角三角形 13.40014.15cm15.2.616.(1)解：.正方形的面积为16，.AB=4.在Rt△ABC 中，BC=2,由勾股定理，可得AC=√AB2一BC=√42一2=√12.(2)证明：假设三角 形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A十∠B+ ∠C=90°十90°+∠C>180°，这与“三角形的内角和等于180”相矛盾，∴.假设不成立， ∴.一个三角形中不能有两个角是直角.17.解：(1)如图，点C即为 D 所求.(2)连结BC.由作图可得CD为AB的垂直平分线，则CB= CA.由题意可得OC=OA-CA=36-CB.:OA⊥OB,.在RtO △BOC中，由勾股定理，得BO十OC=BC,即12+(36-BC)2=BC,∴.BC=20. 答：我国海监船行驶的航程BC的长为20 n mile..l8.解：：DE⊥DC,·∠CDE= 90°.在Rt△CDE中，DE=√2，CE=2,根据勾股定理，得DC=√CE-DE=√2.DC ⊥BC,∴∠DCB=90°.在Rt△BCD中，BC=√⑧，根据勾股定理，得BD=√DC十BC =√10.D为AB的中点，∴.AB=2BD=2√I0.19.解：在Rt△ABD中，AD= 9dm,AB=6dm,根据勾股定理，得BD=AD-AB=45.:在△BCD中，BC= 3dm,CD=6dm,.BC+CD=45.∴.BC+CD=BD2.∴.△BCD是直角三角形，且 ∠BCD=90°，.BC⊥CD..该车符合安全标准.20.解：(1)，BC=20cm,CD= -78